拉氏变换习题解答

二题目：已知()t t f 5.0=，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.221sD. s 21 分析与提示：由拉氏变换的定义计算，可得()[]215.0s t f L = 答案：C题目：函数f (t )的拉氏变换L[f(t)]= 。

分析与提示：拉氏变换定义式。

答案：dt e t f st ⎰∞-0)(题目：函数()atet f -=的拉氏变换L[f(t)]= 。

分析与提示：拉氏变换定义式可得，且f(t)为基本函数。

答案：as +1题目：若te t tf 22)(-=，则()=)]([t f L 【 】A.22+s B.3)2(2+s C.22-s D.3)2(2-s 分析与提示：拉氏变换定义式可得，即常用函数的拉氏变换对，3)2(2)]([+=s t f L答案：B题目：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足 条件。

分析与提示：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足狄里赫利条件。

答案：狄里赫利题目：已知()15.0+=t t f ，则其()[]=t f L 【】A. 25.0s s +B. 25.0sC.ss 1212+D. s 21分析与提示：由拉氏变换的定义计算，这是两个基本信号的和，由拉氏变换的线性性质，其拉氏变换为两个信号拉氏变换的和。

()[]s st f L 115.02+= 答案：C题目：若()ss s s F ++=214，则()t f t ∞→lim )=( )。

【 】 A. 1 B. 4C. ∞D. 0分析与提示：根据拉氏变换的终值定理)(lim )(lim )(0s sF t f f s t →∞→==∞。

即有414lim )(lim 20=++=→∞→ss s st f s t答案：B题目：函数()t et f atωcos -=的拉氏变换L[f(t)]= 。

分析与提示：基本函数t ωcos 的拉氏变换为22ω+s s，由拉氏变换的平移性质可知()[]()22ω+++=a s as t f L 。

拉普拉斯变换、复频域分析习题课1. 求下列函数的拉氏变换。

（1）1at e-- （2）sin 2cos t t + （3）2t te - （4）sin(2)t e t -（5）(12)t t e -+ （11）1()t t e e αββα---- （13）(2)(1)t te u t --- （15）()ta t e f a-，设已知[()]()L f t F s = 解：（1）11[1]()at a L e s s a s s a --=-=++ （2）2221221[sin 2cos ]111s s L t t s s s ++=+=+++ （3）221[](2)t L te s -=+ （4）22[sin(2)](1)4t L e t s -=++ （5）23[(12)](1)ts L t e s -++=+ （11）11111[()]()()()t t L e e s s s s αββαβααβαβ---=+=--++++ （13）由于(2)(1)(1)(1)[(1)](1)t t t teu t e t e e u t -------=-+- （15）[()](1)ta t L e f aF as a-=+2求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。

（1）()(2)tf t e u t -=- （2）(2)()(2)t f t e u t --=- （3）(2)()()t f t e u t --= （4）()sin(2)(1)f t t u t =-（5）()(1)[(1)(2)]f t t u t u t =----解：（1）因为(2)2()(2)t f t ee u t ---=-，所以 222(1)11[()]11s s L f t e e e s s ---+==++ （2）21[()]1s L f t e s -=+ （3）因为2()()t f t e e u t -=，所以2[()]1e Lf t s =+ （4） ()sin[2(1)2](1) {sin[2(1)]cos 2cos[2(1)]sin 2}(1)f t t u t t t u t =-+-=-+-- 2222cos 2sin 22cos 2sin 2[()]()444s s s s L f t e e s s s --+=+=+++ （5）()(1)(1)(2)(2)(2)f t t u t t u t u t =-------222221111[()][1(1)]s s s s s L f t e e e s e e s s s s-----=--=-+ 3求下列函数的拉普拉斯逆变换。

第二章 习题解答2-1试求下列各函数的拉氏变换。

（a ）()12f t t =+，（b ）2()37()f t t t t δ=+++，（c ）23()2ttt f t e ete ---=++，（d ）2()(1)f t t =+，（e ）()sin 22cos 2sin 2tf t t t e t -=++，（f ）()2cos tf t te t t -=+，（g ）()sin32cos f t t t t t =-，（h ）()1()2cos 2f t t t t =+ 解：（a ）212()F s s s =+（b ）23372()1F s s s s=+++（c ）2121()12(3)F s s s s =+++++ （d ）2()21f t t t =++，3221()F s s s s=++（e ）222222()44(1)4s F s s s s =++++++ （f ）2222211621()11(1)s d s s F s s ds s s ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=+=++++ （g ）2222222223262231()(3)(1)s d d s s s s F s ds ds s s ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=-+=-++（h ）2222211684()(4)s d s s F s s ds s s ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=+=++2-2试求图2.54所示各信号的拉氏变换。

（a ） （b ） （c ） （d ）图2.54 习题2-2图解：（a ）021()t s e X s s s -=+（b ）000221()t s t se e X s t s s s--=-+- （c ）33112212()()t s t st s t s t s t s t s t s a ae be be ce ce a b a c b ce X s e e s s s s s s s s s s----------=-+-+-=++-（d ）11()1()1()1()()1()1()11()1()(2)1(2)1(2)1111()21()2()1()(2)1(2)1(2)x t t t T t t t T t T t T T Tt T t T t T t T t T T Tt t T t t T t T t T t T t T T T T=--+--------+--+-=-⨯-+---+--+-所以22222222211111111()222Ts Ts TsTsTs Ts s s s e e e e T T T X s e e s s T s T s T s s s s s------+++=-+-++=-+2-3运用部分分式展开，求下列各像函数的原函数。

★1.试求下列函数的拉氏变换：(1)f(t)=(4t+5) δ(t)+(t+2)·1(t); 解：F(s)=L[(4t) δ(t)]+L[5δ(t)]+L[t ·1(t)]+L[2·1(t)] =0+5+1/S 2+2/S=5+2/S+1/S 2(2)f(t )=sin(5t +3π)·1(t); 解：F(s)=L{[sin5t cos3π+cos5t sin3π]·1(t)}=L[21sin5t ·1(t)+23cos5t ·1(t)] =)25(2532++S S(4)f(t)=[4cos(2t-3π)]·1(t-6π)+t e 5-·1(t);解：F(s)=L{[4cos2(t-6π)]·1(t-6π)+t e 5-·1(t)}=22624+-s se s π+51+s =4426+-s se s π+51+s (7)f(t)=te6- (cos8t+0.25sin8t) ·1(t);解：F(s)=L[te6-cos8t ·1(t)+0.25te6-sin8t ·1(t)]=228)6(6+++s s +228)6(2++s =1001282+++s s s(2-(2))F(s)=412+s ; 解：f(t)=L -1{21×2222+s }=21sin2t ·1(t)★2-3.用拉氏变换法解下列微分方程：(1)22)(dt t x d + 6dt t dx )(+8x (t)=1,其中x(0)=1, 0)(|=t dtt dx =0;解：对原方程取拉氏变换，得 S 2X (s)-s x (0)-)0(x+6[s X (s)-x (0)]+8X (s)= s1将初始条件代入，得S 2X (s)-s+6s X (s)-6+8X (s)= s1(S 2+6s+8)X(s)=s1+s+6X(s)= )86(1622++++s s s s s =s 81+247+s +487+s取拉氏变换，得x(t)=81+47t e 2--87te 4-(2)dt t dx )(+10x(t)=2,其中x(0)=0;解：对原方程去拉氏变换，得s X(s)-x(0)+10X(s)= s2将初始条件x(0)=0代入，得s X(s)+10X(s)=s2由此得 X(s)=)10(2+s s =s0.2-100.2+s取拉氏变换，得x(t)=0.2(1-te10-)(3)dt t dx )(+100x(t)=300,其中0)(|=t dtt dx =50. 解：当t=0时，将初始条件)0(x=50代入方程，得 50+100x(0)=300 则x(0)=2.5对原方程去拉氏变换，得sX(s)-x(0)+100X(s)=s300将x(0)=2.5代入，得sX(s)-2.5+100X(s)= s300由此得X(s)= )100(3002.5s ++s s =s 3-1000.5+s取拉氏变换，得x(t)=3-0.5te100-★2-6化简图所示的方块图，并确定其传递函数。

习题八答案 1． 求下列函数的拉氏变换：(1) 3,,2()cos ,;2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 解：由拉氏变换的定义知：22220231[()]3cos 1.1s s st stL f t e dt etdt e e s s ππππ+∞−−−−⎛⎞=+=−−⎜⎟+⎝⎠∫∫(2) ()cos ()sin ().f t t t t u t δ=⋅−⋅解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：0202221[()]cos ()sin ()cos |111.11st st st t L f t t t e dt t u t e dt t e s s s s δ+∞+∞−−−==⋅⋅−⋅⋅=⋅−+=−=++∫∫2. 求下列函数的拉氏变换：(1)2()1;f t t =−解：由拉氏变换的线性性质知：2332!121[()][][1].L f t L t L s s s s=−=−=− (2) ()1;tf t te =−解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：211[()][1][].(1)t L f t L L te s s =−=−− (3) ()cos ;f t t t =解：法一：利用位移性质。

()cos .2it ite ef t t t t −+==由拉氏变换的位移性质知：222211111[()][][].222()()(it its L f t L te L te s i s i s −⎡⎤−=+=+=⎢⎥−++⎣⎦211) 法二：利用微分性质。

令 则()cos ,g t t =2221()[()],'().1(s s G s L g t G s s s −===++21) 由拉氏变换的微分性质知：[cos ][()]'().L t t L tg t G s ==−即 2221[()].(1)s L f t s −=+ (4) 2()sin 6;tf t et −=解：因为 26[sin 6],36L t s =+ 故由拉氏变换的位移性知：26[()].(2)36L f t s =++ (5) 2()cos ;f t t = 解：1cos 2().2tf t +=故22211112[()][][cos 2].22224(4)s s L f t L L t s s s s +=+=+⋅=++ (6)()(1);tf t u e −=−解：因为1,10(1),0,10ttte u e e −−−⎧−>⎪−=⎨−<⎪⎩ 即： 1,0(1).0,0t t u e t −>⎧−=⎨<⎩ 故01[()]1.st L f t e dt s+∞−=⋅=∫(7) 2()(1);tf t t e =−解：22()(1)2.ttttf t t e t e te e =−=−+ 法一：利用拉氏变换的位移性质。

控制工程基础习题解答第二章2-1．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。

(1).()()t t f 3cos 15-= 解：()[]()[]9553cos 152+-=-=s ss t L t f L (2). ()t et f t10cos 5.0-=解：()[][]()1005.05.010cos 25.0+++==-s s t eL t f L t(3). ()⎪⎭⎫⎝⎛+=35sin πt t f 解：()[]()252355cos 235sin 2135sin 2++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=s st t L t L t f L π 2-2．试求下列函数的拉氏反变换。

(1).()()11+=s s s F解：()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=---11121111s k s k L s s L s F L()10111==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=s s s s k ()()111112-=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=s s s s k()[]te s s L s F L ----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=111111 (2).()()()321+++=s s s s F解：()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=---3232121111s k s k L s s s L s F L()()()1223211-=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=s s s s s k ()()()2333212=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=s s s s s k ()[]tt e e s s L s F L 231123221-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=(3).()()()2222522+++++=s s s s s s F 解：()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=---22222225232112211s s k s k s k L s s s s s L s F L()()()22222225221-=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=s s s s s s s k ()()()3331331222222513223222232==-=---=-+---=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=--=+k k jjjjk k k j s s s s s s s s j s k s k ()[]()()t e e s s s L s s s s L s F Ltt cos 32111322223322221211-----+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-=2-3．用拉氏变换法解下列微分方程（1）()()()()t t x dt t dx dt t x d 18622=++，其中()()00,10===t dt t dx x 解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()0,8747818747814242168616181618060042132132122222≥-+==-===++++=++++=++++==+-+-=+-+=-----t e e s X L t x k k k s k s k s k s s s s s s s s s s s X ss X s sX s s X s ss X x s sX t dt t dx sx s X s t t（2）()()210=+t x dtt dx ，其中()00=x 解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()[]()0,515151511010221021001012121≥-==-==++=+==+=+---t e s X L t x k k s k s k s s s X s s X s sX ss X x s sX t（3）()()300100=+t x dtt dx ，其中()500=x 解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()[]()0,4734731001003005030010050300100010012121≥+====++=++==+-=+---t e s X L t x k k s k s k s s s s X ss X s sX s s X x s sX t2-4．某系统微分方程为()()()()t x dtt dx t y dt t dy i i 322300+=+，已知()()0000==--i x y ，其极点和零点各是多少？解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()()()233223323022030000-=-=++==+-=+-z p i i i i s s s s s X s Y s G s X x s sX s Y y s sY2-5．试求图2-25所示无源网络传递函数。

第十五章 拉普拉斯变换典型习题解答与提示习 题 15-11．（1）提示：2()f t t =， ￡20[()]()ptpt f t f t edt t e dt +∞+∞--==⎰⎰，求广义积分后可得￡32[()]f t p =，(0)p >； （2）提示：4()tf t e -=，￡40[()]()pt t pt f t f t e dt e e dt +∞+∞---==⎰⎰，￡1[()](4)4f t p p =>-+； （3）因302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，则￡242[()]()3(1)ptptpt f t f t edt edt e dt +∞---==+-⎰⎰⎰24024,(0)31,(0)pt pt p e e p p p --=⎧⎪=⎨-+≠⎪⎩4234,(0)4,(0)p pe e p pp --⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩； （4）因()tf t te -=， 则￡2(1)(1)0001[()]()1ptp tp t f t f t edt tedt td e p +∞+∞--+-+⎛⎫===- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰ (1)(1)0111p t p t te e dt p p +∞+∞-+-+=-+++⎰ (1)21(1)(1)p tep p +∞-+=->-+21(1)(1)p p =>-+。

2．（1）￡231[()](263)(0)f t p p p p=+->； （2）￡2262[()](0)41pf t p p p =->++； （3）因()1tf t te =+，则￡[()]f t =￡(1)+￡()tte1(1)[p=+-￡()]t e ' （微分性） 222111(1)(1)(1)p p p p p p p -+=+=>--； （4）因3()sin 4tf t e t =，又因￡24(sin 4)()16t F p p ==+，则由位移性知￡24[()](3)(3)(3)16f t F p p p =-=>-+； （5）方法一 因22()tf t t e-=，又￡232[]()(0)t F p p p ==>，则由位移性知 ￡32[()](2)(2)(2)f t F p p p =+=>-+； 方法二 因￡21(),(2)2tep p -=>-+，则由微分性知 ￡2312[()](1)(2)2(2)f t p p p ''⎛⎫=-=>- ⎪++⎝⎭； （6）因21()sin (1cos 2)2f t t t ==-，则￡1[()][2f t =￡(1)-￡22112(cos 2)](0)24(4)p t p p p p p ⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭； （7）因1()sin 2cos 2sin 42f t t t t ==， 则￡1[()]2f t =￡22142(sin 4)(0)21616t p p p =⨯=>++；（8）因()sin()sin cos cos sin f t t t t ωϕωϕωϕ=+=+， 则￡[()]cos f t ϕ=￡(sin )sin t ωϕ+￡2222cos sin (cos )p t p p ωϕϕωωω=+++22cos sin (0)p p p ωϕϕω+=>+； （9）因11()(21)222f t t t t μμμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则由延滞性知￡121[()](0)p f t ep p-=>； （10）因3()sin 2tf t tet -=，又￡22(sin 2)(0)4t p p =>+， 则由位移性知￡322(sin 2)(3)(3)4t e t p p -=>-++，故再由微分性知 ￡22224(3)[()](3)(3)4[(3)4]p f t p p p '⎡⎤+=-=>-⎢⎥++++⎣⎦； （11）因4()cos 24tf t et π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因￡cos 242t π⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦￡222(cos 2sin 2)244p t t p p ⎫-=-⎪++⎝⎭2224p p -=+，则由位移性知￡22[()](4)2(4)4p f t p p +=⨯>-++。

21拉氏逆变换1、用留数方法求下列函数)(s F 的拉氏逆变换: (1) abs b a s ss F ++-=)()(2; 【解】 由于b s a s ==,是sts F e )(的一级极点, 且有ba a a sb a s s a s F atst st-==+-=e )(2e ],e )(Res[;ba b b s b a s s b s F btst st--==+-=e )(2e ],e )(Res[,故有)]([)(1s F t f -=L],e )(Res[],e )(Res[b s F a s F st st +=ab b a a b b b a a btat bt at --=---=e e e e . …………………………………………………………………………………………………………… (2) )9)(4()(22++=s s ss F ; 【解】 由于i s i s 3,2±=±=是sts F e )(的一级极点, 由Heaviside 展开式, 有)]([)(1s F t f -=Lis s s s i s s s s stst 2264e 2264e 33-=++=+=i s ss s i s s s s stst 3264e 3264e 33-=++=++)3cos 2(cos 51t t -=. ……………………………………………………………………………………………………………(3) 22)1(12)(+-+=s s s s s F ; 【解】 由于0=s 是st s F e )(的一级极点, 1-=s 是sts F e )(的二级极点, 且有1)1(12lim ]0,e )(Res[220-=+-+=→s s s s s s F s st; t t s st t s s s s s s F ---→+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=-e 2e 2)1(12)1(lim 1],e )(Res[2221, 故有)]([)(1s F t f -=L1e 2e 2-+=--t t t . (4)22)4(1)(s s s F -=.【解】 由于2±=s 是sts F e )(的一级极点, 0=s 是sts F e )(的二级极点, 且有16e )4(e )2(lim ]2,e )(Res[2222tst s sts s s s F =--=→; 16e )4(e )2(lim ]2,e )(Res[2222tst s sts s s s F --→-=-+=-; 4)4(e lim ]0,e )(Res[2220ts s s s F sts st -='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→, 故有)]([)(1s F t f -=L42sh 81tt -=.……………………………………………………………………………………………………………2、利用拉氏变换的性质求下列函数的拉氏逆变换: (1) 221)(a s s F -=;【解】 因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=a s a s a a s s F 11211)(22, 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==--a s a s a s F t f 1121)]([)(11LL⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--a s a a s a 1211211 1 L L ()at at a--=e e 21. ……………………………………………………………………………………………………………(2) 22e 1)(ss F s-+=; 【解】 由于sss s F 222e 11)(-+=, 且有2e 1 ,]1[22121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---t s t ss L L, 所以22)]([)(1-==-t s F t f L .……………………………………………………………………………………………………………(3) 222e )(as s s F s+=-; 【解】 由于at as scos ][221=+-L,故利用延迟性质, 有)2(cos )]([)(1-==-t a s F t f L.……………………………………………………………………………………………………………(4) 221ln )(ss s F -=. 【解】 由于)1(21ln )(222-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='s s s s s F , 故有2e e )]([1-+='--t t s F L.根据微分性质, 有=-)(t tf 2e e )]([1-+='--t t s F L,因此, 有tt t s F t f tt ----==e e 2)]([)(1L. ……………………………………………………………………………………………………………。