上海春季高考数学试卷详细答案版最新

第1页，共13页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列函数定义域为R 的是( ) A. y =x −12B. y =x −1C. y =x 13D. y =x 122. 若a >b >c >d ，则下列不等式恒成立的是( ) A. a +d >b +cB. a +c >b +dC. ac >bdD. ad >bc3. 上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点(包含0点，不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为( )A. 0B. 2C. 4D. 124. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，则下列选项判断正确的是( )第2页，共13页A. 若S 2022>S 2021，则数列{a n }是递增数列B. 若T 2022>T 2021，则数列{a n }是递增数列C. 若数列{S n }是递增数列，则a 2022≥a 2021D. 若数列{T n }是递增数列，则a 2022≥a 2021第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知z =2+i(其中i 为虚数单位)，则z −=______． 6. 已知集合A ={−1,2}，集合B ={1,3}，则A ∩B =______． 7. 不等式x−1x<0的解集为______．8. 若tanα=3，则tan(α+π4)=______．9. 设函数f(x)=x 3的反函数为f −1(x)，则f −1(27)=______． 10. 在(x 3+1x )12的展开式中，则含1x 4项的系数为______．11. 若关于x ，y 的方程组{x +my =2mx +16y =8有无穷多解，则实数m 的值为______． 12. 已知在△ABC 中，∠A =π3，AB =2，AC =3，则△ABC 的外接圆半径为数为______．13. 用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为______.(用数字作答)14. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =2，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 15. 已知P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)两点均在双曲线Γ：x 2a2−y 2=1(a >0)的右支上，若x 1x 2>y 1y 2恒成立，则实数a 的取值范围为______．16. 已知函数y =f(x)为定义域为R 的奇函数，其图像关于x =1对称，且当x ∈(0,1]时，f(x)=lnx ，若将方程f(x)=x +1的正实数根从小到大依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则n →∞lim(x n+1−x n )=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共11小题，共53.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若直线2x +y −1=0是圆(x −a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =( )A. 12B. −12C. 1D. −12. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：y =kx +m ，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =( )A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±33. 已知圆M:x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l:2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为( )A. 2x −y −1=0B. 2x +y −1=0C. 2x −y +1=0D. 2x +y +1=0 4. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为( )A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√555. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1D. y =12x +126. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A. 4B. 5C. 6D. 77. 直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则ΔABP 面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]8. 下列函数是偶函数的是( ) A. y =sinxB. y =cosxC. y =x 3D. y =2x9. 根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小10. 如图，P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边A 1C 1上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11. 已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

2022届上海市春季高考数学试卷一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z =2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 3. 不等式10x x-<的解集为 4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+=5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为 6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=7. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 8. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为10. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为 11. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是12. 已知()f x 为奇函数，当[0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A . 1y x -=B . 12y x -= C . 13y x = D . 12y x = 14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个 时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次A . 0B . 2C . 4D . 1216. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； （2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（2）当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m ²）20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程； （2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.21. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.参考答案一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z = 【答案】2i z =-2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 【答案】AB =(1,2) 3. 不等式10x x-<的解集为 【答案】(0,1)4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+= 【答案】2-5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为【答案】4m =6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=【答案】37. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 【答案】668. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为【答案】1710. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为【答案】7811. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ， 满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是【答案】1a ≥12. 已知()f x 为奇函数，当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 【答案】2二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A . 1y x -=B . 12y x-= C . 13y x = D . 12y x = 【答案】C14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >【答案】B15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个 时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次A . 0B . 2C . 4D . 12【答案】B16. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）arctan2；（2）侧面积24rh ππ=，体积22r h ππ=18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； （2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.【答案】（1）4；（2）[0,1]d ∈19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（长度精确到0.1m ）（2）当AE 多长时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m ²）【答案】（1）23.3EF ≈m ；（2）最大面积为2254503255.142-≈m ² 20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程； （2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.【答案】（1）2214x y +=； （2）交点为34(,)55a ，在椭圆上； （3）621. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）2x =；（2）(,(1][(12),)t t -∞++∞；（3）证明略。

2022届上海市春季高考数学试卷一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z =2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 3. 不等式10x x-<的解集为 4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+=5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为 6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=7. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 8. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为10. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为 11. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是12. 已知()f x 为奇函数，当[0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A . 1y x -=B . 12y x -= C . 13y x = D . 12y x = 14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个 时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次A . 0B . 2C . 4D . 1216. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； （2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（2）当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m ²）20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程； （2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.21. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.参考答案一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z = 【答案】2i z =-2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 【答案】AB =(1,2) 3. 不等式10x x-<的解集为 【答案】(0,1)4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+= 【答案】2-5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为【答案】4m =6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=【答案】37. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 【答案】668. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为【答案】1710. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为【答案】7811. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ， 满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是【答案】1a ≥12. 已知()f x 为奇函数，当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 【答案】2二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（ ）A . 1y x -=B . 12y x-= C . 13y x = D . 12y x = 【答案】C14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >【答案】B15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个 时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次A . 0B . 2C . 4D . 12【答案】B16. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（ ）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）arctan2；（2）侧面积24rh ππ=，体积22r h ππ=18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； （2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.【答案】（1）4；（2）[0,1]d ∈19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（长度精确到0.1m ）（2）当AE 多长时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m ²）【答案】（1）23.3EF ≈m ；（2）最大面积为2254503255.142-≈m ² 20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程； （2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.【答案】（1）2214x y +=； （2）交点为34(,)55a ，在椭圆上； （3）621. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）2x =；（2）(,(1][(12),)t t -∞++∞；（3）证明略。

2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a =　21　．【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解析】：因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+´=．故答案为：21．2．已知13z i =-　．【解析】：z =Q 31i i -=则|||12|z i i -=+=．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为　4p ．【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解析】：圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh p p p ==´´=侧．故答案为：4p ．【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．不等式2512x x +<-的解集为　(7,2)-　．【思路分析】由已知进行转化702x x +<-，进行可求．【解析】：252571100222x x x x xx +++<Þ-<Þ<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-．【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．5．直线2x=-10y -+=的夹角为　6p　．【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解析】：Q 直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2p，10y -+=，倾斜角为3p，故直线2x =-10y -+=的夹角为236ppp-=故答案为：6p．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．6．若方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，则1122a b a b =　0　．【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．【解析】：对于方程组111222a xb yc a x b y c +=ìí+=î，有111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===，当0D ¹时，方程组的解为x y D x DD y Dì=ïïíï=ïî，根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0．【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为　64　．【思路分析】由已知可得6n =，令1x =，即可求得系数和．【解析】：由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．8．已知函数()3(0)31x x af x a =+>+的最小值为5，则a =　9　．【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成()31131x x af x =++-+，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解析】：()3311153131x xx x a a f x =+=++--=++…，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a ®¥-=，则2a 的取值范围是　(4-，0)(0È，4)　．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q 的取值范围，再由极限的运算知14a =，从而得解．【解析】：Q 无穷等比数列{}n a ，\公比(1q Î-，0)(0È，1)，\lim 0n n a ®¥=，\11lim()4n n a a a ®¥-==，214(4a a q q \==Î-，0)(0È，4)．故答案为：(4-，0)(0È，4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合　23种　.A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7点8-点8点9-点9点10-点10点11-点11点12-点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意，由此求出结果．【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种)．故答案为：23种．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F Ð=°，则抛物线的准线方程是　1x =【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线1PF 的方程并与抛物线联立，求出点P 的坐标，由此可得212PF F F ^，进而可以求出1PF ，2PF 的长度，再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ì=í=+î，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以2PF F F ^，又22112,PF F F c PF ===所以所以PF =，所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =-，1x c =-=故答案为：1x =-．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．已知0q >，存在实数j ，使得对任意*n N Î，cos()n q j +<q 的最小值是　25p　．【思路分析】在单位圆中分析可得3pq >，由2*N pqÎ，即2kpq =，*k N Î，即可求得q 的最小值．【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n q j +的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx pÐ=Ð=，所以3AOB pq >Ð=，因为对任意*n N Î都成立，所以2*N p q Î，即2kp q =，*k N Î，同时3pq >，所以q 的最小值为25p ．故答案为：25p ．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )A ．2()f x x =B ．()sin f x x=C ．()2xf x =D ．()1f x =【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．【解析】：选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．14．已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，则下列关系中，正确的是( )A ．A BÍB ．R R A BÍððC ．A B =ÆI D ．A B R=U 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解析】：已知集合{|1A x x =>-，}x R Î，2{|20B x x x =--…，}x R Î，解得{|2B x x =…或1x -…，}x R Î，{|1R A x x =-…ð，}x R Î，{|12}R B x x =-<<ð；则A B R =U ，{|2}A B x x =I …，故选：D ．【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( )A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD ，举出反例可得三个选项错误，对于C ，利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意，依次判断选项：对于A ，()cos 12xf x p =+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x p =，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误，对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ，()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++，与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确，对于D ，()sin 2xf x p =，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．在ABC D 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC D ，使得0AB CE ×=uuu r uuu r；②存在三角形ABC D ，使得//()CE CB CA +uuu r uuu r uuu r ；它们的成立情况是( )A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【思路分析】设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，由向量数量的坐标运算即可判断①；F 为AB 中点，可得()2CB CA CF +=uuu r uuu r uuu r，由D 为BC 中点，可得CF 与AD 的交点即为重心G ，从而可判断②【解析】：不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---uuu r ，(1,)CE x y =-uuu r，若0AB CE ×=uuu r uuu r，则2(12)(0x x y -+-=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立；②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=uuu r uuu r ，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE uuu r 与CG uuu r不共线，即②不成立．故选：B ．【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ^平面ABCD ．（1）若PAB D 为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45°，求PC 与AD 所成角的大小．【思路分析】（1）由13ABCD V PE S =×正方形，代入相应数据，进行运算，即可；（2）由PE ^平面ABCD ，知45PFE Ð=°，进而有4PE FE ==，PB =//AD BC ，知PCB Ð或其补角即为所求，可证BC ^平面PAB ，从而有BC PB ^，最后在Rt PBC D 中，由tan PBPCB BCÐ=，得解．1）PAB D Q 为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE \=，又PE ^平面ABCD ，\四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =×=´=正方形．（2）PE ^Q 平面ABCD ，PFE \Ð为PF 与平面ABCD 所成角为45°，即45PFE Ð=°，PEF \D 为等腰直角三角形，E Q ，F 分别为AB ，CD 的中点，PE \PB \==//AD BC Q ，PCB \Ð或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ^Q 平面ABCD ，PE BC \^，又BC AB ^，PE AB E =I ，PE 、AB Ì平面PAB ，BC \^平面PAB ，BC PB \^在Rt PBC D 中，tan PB PCB BC Ð==故PC 与AD 所成角的大小为．【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC D 的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos(45A p -=，求c ．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b 的值；利用余弦定理即可求解c 的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cos A ，sin A ，sin C 的值，进而根据正弦定理可得c 的值．【解析】：（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于1cos 4C ==-，可得c =（2）因为4)5A =，可得cos A +又22cos sin A +，可解得cos A =，sin A =sin A =cos A =因为cos sin C ，tan C =，若sin A =cos A =，可得tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B C 为钝角矛盾，舍去，所以sin A =2sin sin c A C=，可得c =．【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1)°【思路分析】（1）求出a ，c ，b 的值即可求得双曲线方程，求出直线OP 的方程，与双曲线方程联立，即可求得P 点坐标；（2）分别求出以A 、B 为焦点，以C ，D 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q 的坐标，从而求得||OQ ，及Q 点位置．【解析】：（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y =，即点P 的坐标为．（2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为225y -两双曲线方程联立，得，所以||19OQ »米，Q 点位置北偏东66°．20．（16分）已知函数()f x x =-．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ¹，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【思路分析】（1）把1a =代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；（2）()f ax a ax a =Û=+，设0ax a t +=…，得2a t t =-，0t …，求得等式右边关于t 的函数的值域可得a 的取值范围；（3）分x a -…与x a <-两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数()f x 在定义域内具有单调性的a 的范围．【解析】：（1）当1a =时，()f x x =-，由|1|10x +-…，得|1|1x +…，解得2x -…或0x …．\函数的定义域为(-¥，2][0-U ，)+¥；（2）()f ax ax -，()f ax a ax a =Û+，设ax a t +=t 有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t …，211(24a t \=--+，0t …，当且仅当104a <…时，方程有2个不同实数根，又0a ¹，a \的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -…时，211())24f x x x =-=-=--+，在1[4，)+¥上单调递减，此时需要满足14a -…，即14a -…，函数()f x 在[a -，)+¥上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(-¥，2]a -上递减，104a -<Q …，20a a \->->，即当14a -…时，函数()f x 在(,)a -¥-上递减．综上，当(a Î-¥，14-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a …，对任意2n …，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【思路分析】（1）根据n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项建立等式，然后将1a ，2a ，4a 的值代入即可；（2）根据递推关系求出5a 、8a ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；（3）分别求出1r a +，1s a +，1t a +的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．【解析】：（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a \=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===Q ，322a a \=，或232a a =，经检验，232aa =；\32524a a a ==，或2512a a a =-=-（舍)，\254aa =；\52628a a a ==，或2654a a a =-=-（舍)，\268aa =；\628216a a a ==，或2868a a a =-=-（舍)，\2816aa =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a \=，则3111221111111()()1()(,*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-×-××-=-×-Î，\11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-×-××-=-×-×Î，\11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++\++的最大值2164．【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。

2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝　2　．【答案】见试题解答内容【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝2．故答案为：2．2．（4分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝　（1，0）　．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．故答案为：（1，0）．3．（4分）不等式|x﹣1|≤2的解集为：　[﹣1，3]　．（结果用集合或区间表示）【答案】见试题解答内容【解答】解：不等式|x﹣1|≤2即为﹣2≤x﹣1≤2，即为﹣1≤x≤3，则解集为[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]．4．（4分）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为　1　．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，故答案为：1．5．（4分）已知事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝　0.5　．【答案】见试题解答内容【解答】解：事件A的对立事件为，若P（A）＝0.5，则P（）＝1﹣0.5＝0.5．故答案为：0.5．6．（4分）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：正实数a、b满足a+4b＝1，则ab＝，当且仅当a＝，时等号成立．故答案为：．7．（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为　7　．【答案】见试题解答内容【解答】解：极差为186﹣154＝32，组距为5，且第一组下限为153.5，＝6.4，故组数为7组，故答案为：7．8．（5分）设（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a4＝　17　．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4＝＝17．故答案为：17．9．（5分）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为　x＝3　．【答案】见试题解答内容【解答】解：当x≥0时，g（x）＝2⇔log2（x+1）＝2，解得x＝3；当x＜0时，g（x）＝f（﹣x）＝2x+1＝2，解得x＝0（舍）；所以g（x）＝2的解为：x＝3．故答案为：x＝3．10．（5分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为　0.5　．【答案】见试题解答内容【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为，恰有1名男生2名女生的事件个数为，则恰有1名男生2名女生的概率为．故答案为：0.5．11．（5分）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为　[0，]　．【答案】见试题解答内容【解答】解：设z1﹣1＝cosθ+i sinθ，则z1＝1+cosθ+i sinθ，因为z 1＝i•，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），所以|z1﹣z2|＝＝＝，显然当＝时，原式取最小值0，当＝﹣1时，原式取最大值2，故|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．故答案为：[0，]．12．（5分）已知、、为空间中三组单位向量，且⊥、⊥，与夹角为60°，点P为空间任意一点，且||＝1，满足|•|≤|•|≤|•|，则|•|最大值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设，，，，不妨设x，y，z＞0，则||＝x2+y2+z2＝1，因为|•|≤|•|≤|•|，所以，可得，z≥y，所以，解得，故＝y．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13−14题每题4分，第15−16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸相应的位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（4分）下列函数是偶函数的是（ ）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x3D．y＝2x【答案】B【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sin x为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y＝cos x为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数．故选：B．14．（4分）如图为2017﹣2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B．从2018年开始，进出口总额逐年增大C．从2018年开始，进口总额逐年增大D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小【答案】C【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，D正确．故选：C．15．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）A．DD1B．AC C．AD1D．B1C【答案】B【解答】解：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．16．（5分）已知无穷数列{a n}的各项均为实数，S n为其前n项和，若对任意正整数k＞2022都有|S k|＞|S k+1|，则下列各项中可能成立的是（ ）A．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等差数到，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等比数列B．a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1，⋯为等比数列，a2，a4，a6，⋯，a2n，⋯为等差数列C．a1，a2，a3，⋯，a2022为等差数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等比数列D．a1，a2，a3，⋯，a2022为等比数列，a2022，a2023，⋯，a n，⋯为等差数列【答案】C【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|S k|＞|S k+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，⋯，a n不可能为等差数列，因为若d＜0，当n→+∞，an→﹣∞，Sn→﹣∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＝0，a n＝0，则|S k|＝|S k+1|，矛盾；若d＝0，a n＜0，当n→+∞，S n→﹣∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＝0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；所以选项B中的a2，a4，a6，⋯，a2n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D中的a2022，a2023，a2024，⋯，a n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A中的a1，a3，a5，⋯，a2n﹣1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取即可．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数是偶函数的是( )A. y=sinxB. y=cosxC. y=x3D. y=2x2.根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小3.如图，P是正方体ABCD−A1B1C1D1边A1C1上的动点，下列哪条边与边BP始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C4.已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。

章金读上海市届春季高考数学试卷专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）、《挑战高考压轴题•高中数学》（新一版2020）《数学初高中衔接•讲与练》、《数学初高中衔接•练与考》（2021）。

近年来，他先后在北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地为师生授课。

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2024上海春季高考数学模拟试卷一、选择题（共30题，每题4分，共120分）1. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3，求 f(1) 的值。

解析：将 x = 1 代入函数 f(x) 中，得到 f(1) = 2(1)^2 - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0。

答案：02. 若 2^x = 8，则 x 的值为多少？解析：将等式两边取对数，得到 log₂(2^x) = log₂(8)。

由对数的性质，左边的指数可以移到前面，得到 x·log₂(2) = log₂(8)。

由于 log₂(2) = 1，所以 x = log₂(8) = 3。

答案：33. 若直线 y = 3x + 2 与直线 y = 2x - 1 相交于点 P，则 P 的坐标为多少？解析：两条直线相交时，其对应的 x 和 y 值相等。

因此，我们可以将两条直线的方程相等，得到 3x + 2 = 2x - 1。

解这个方程得到 x = -3。

将 x = -3 代入其中一条直线的方程，得到 y = 3(-3) + 2 = -7。

所以点 P 的坐标为 (-3, -7)。

答案：(-3, -7)4. 若sinθ = 0.6，且θ是锐角，则cosθ 的值为多少？解析：由三角函数的性质，sinθ = 0.6 可以得到cosθ = √(1 - sin²θ) = √(1 - 0.6²) = √(1 - 0.36) = √(0.64) = 0.8。

答案：0.85. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {2, 4, 6, 8}，则 A ∪ B 的元素个数为多少？解析：集合 A ∪ B 是指将两个集合中的元素合并，去除重复元素。

因此，A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}，元素个数为 6。

答案：6二、填空题（共10题，每题6分，共60分）1. 已知 a = 3，b = 4，c = 5，那么 a² + b² + c² = __。

上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。

若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。

11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。