2015年数学应用竞赛决赛题20151217

已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM△O B M ，则四面体1O ADM 的体积为748（江苏2007夏令营）在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线 已知x 为锐角，则22cos sin33=+x x 是4π=x 的（充要条件）同信一寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐。

①A 既不在修指甲，也不在看书；②B 既不在听音乐，也不在修指甲；③如果A 不在听音乐，那么C 不在修指甲；④D 既不在看书，也不在修指甲；⑤C 既不在看书，也不在听音乐。

若上面的命题都是真命题，问她们各在干什么？答：ABCD 分别在听音乐；看书；修指甲；梳头发 已知)1(3tan m +=α，且βαββα,,0t a n )t a n (t a n 3=++⋅m 为锐角，则βα+的值为3π=︒-︒︒-︒︒+)5tan 5(cot 10sin 20sin 220cos 12330cos =︒=函数d cx bx ax x x f ++++=234)(，若3)3(,2)2(,1)1(===f f f ，那么)4()0(f f +的值为（28 ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且31cos =A 。

（1）求A CB 2cos 2sin2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值。

（-1/9； 9/4） 若m 、{}22101010n x x aa a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ 90 ）圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2.斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 515满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）恰有两对设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（45）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。

2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c ac a b +++++=---（ ） A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上﬌且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（ ） A ．12B．2 C ．1 D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（ ）A．3-B．6-C ．1 D．6+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（ ） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为 .9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝ .10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .第一试（B ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A． B ．15CD．4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（ ） A ．12BC ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（ ） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20， AD＝AC 的长为 .10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ，b ，c ，d ，e ，使得ab ＋bc ＋cd ＋de ＋ea最小，则这个最小值为 .ABCD EF第二试（A ）1．（20分）关于xx 有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范围. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ； （2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN ＝MD .3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+， ∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==22x y +取得最小值，最小值为2(21)36--=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-.∵2535n n +-是15的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数.∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，∴所求概率为112. 9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点.又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°.又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°. 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ，∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.ABCD E F G第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=L L . 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F .∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE .设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE中，由勾股定理得DE ==在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2），此时的和式为155P b b d ed e =++++； 交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b dbd d b -=+--=-->，∴12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小.AB CD E F Gd d d de 图1 图2 图3 图4 图5当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x ，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-，化简整理得？？？，于是有403m ≤≤，此时方程①有唯一解x =.综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD . 又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD .又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CD BD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD .3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①，方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=， ∴2111111211211211212321a aM a b a a a a a a a a =+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=+++当a .∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当a =2b =时，11112M a b=+++取得最小值2. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC . （2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α. ∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α， ∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α， ∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α. 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ， ∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ， ∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数， 则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+， ∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +.若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1. ∴满足条件的正整数k ＝1.。

2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c ac a b +++++=---（ ） A. 0B. 3C. 6D. 92．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上﬌且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（ ） A ．12B．2 C ．1 D ．25．已知实数x （y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为（ ）A．3-B．6-C ．1 D．6+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（ ） A ．285 B ．350 C ．540 D ．635 二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为 .9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 的外心，若AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝ .10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .第一试（B ）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---（ ）A. 12B. 9C. 6D. 32．若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A （m ，n ），B （m －8，n ），则n ＝（ ）A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝（ ） A． B ．15CD．4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为（ ） A ．12BC ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是（ ） A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20， AD＝AC 的长为 .10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ，b ，c ，d ，e ，使得ab ＋bc ＋cd ＋de ＋ea最小，则这个最小值为 .ABCD EF第二试（A ）1．（20分）关于xx 有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范围. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ； （2）如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN ＝MD .3．（25分）设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试（B ）1．（20分）若正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . （1）证明：∠BAD ＝3∠DAC ；（2）如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．（25分）若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A ）1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+， ∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==22x y +取得最小值，最小值为2(21)36--=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =（m 是正整数），则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-.∵2535n n +-是15的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数.∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，∴所求概率为112. 9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点.又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°.又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°. 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ，∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.ABCD E F G第一试（B ）1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =（m 是正整数），则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c （a b c ≥≥）， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组（a ，b ，c ）可以为： （8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F .∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE .设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE中，由勾股定理得DE ==在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1（如图2），此时的和式为155P b b d ed e =++++； 交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b d bdd b -=+--=-->，∴12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻（如图3）以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边（如图5）时，和式的值会变小.AB CD E F Gd d d de 图1 图2 图3 图4 图5当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试（A ）1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x ，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-，化简整理得，于是有403m ≤≤，此时方程①有唯一解x =.综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD . 又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .（2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD .又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CD BD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD .3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①，方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，若4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+，从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.第二试（B ）1. 解：∵1ab =，∴1b a=， ∴2111111211211211212321a aM a b a a a a a a a a =+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=+++当a .∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当a =2b =时，11112M a b=+++取得最小值2. 2. 证明：（1）在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC . （2）设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α. ∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α， ∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α， ∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α. 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ， ∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ， ∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数， 则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+， ∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +.若117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 若217|(1)x +，同样可得k ＝1. ∴满足条件的正整数k ＝1.。

2015 年全国高中数学联合竞赛参考答案及评分标准一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ① 当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1．若22222220x y z xy yz x ++−−−+=，则x y z ++=( )A ．3B ． 4C ． 5D ． 62．设实数a b c ，，满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=−−− ( )A ．9B 6C 3D ． 03．锐角ABC △中，BC 边的中垂线和ABC ∠的角平分线相交于点P ．若72A ∠=︒， 24ACP ∠=︒，则ABP ∠=( )A ．24°B ．28°C ．30°D ．36°4．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 ( )A ．11B ．12C ．17D ．185．设12014A =+++++，则不超过A 的 最大整数为( ) A ．2017 B ．2016 C ．2015 D ．20146．满足22105b a a b +=+，22104a b a b +=+的整数对()a b ，的组数为 ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题(本题满分28分，每小题7分)7．在直角ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC ==AD 为CAB ∠的平分线，BE AD ⊥交 AD 的延长线于点E ，则AE = ．8．已知a b ，为实数，对任何满足01x ≤≤的实数x ，都有1ax b +≤成立，则a 的最大值 为 ．9．设n 是小于100的正整数且使2232n n −−是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和 是 ．10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在66⨯的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 ．第二试(A)一、(本题满分20分)求所有的两位数A ，使得2A 的末两位数字构成的数恰好为A ．二、(本题满分25分)在四边形ABCD 中，4AC =，3CD =，45ADB ABD ACD ∠=∠=∠=︒，求BC ．三、(本题满分25分)已知实数a b c ，，满足条件2220()()()a b c b c c a a b ++=−−−．求代数式 a b c b c c a a b ++−−−的值．BD。

2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试〔A 〕一、选择题〔每题7分，共42分〕1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---〔 〕A. 0B. 3C. 6D. 92．假设抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A 〔m ，n 〕，B 〔m －8，n 〕，则n ＝〔 〕A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝〔 〕 A． B ．15 CD．4．已知O 为䝐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上﬌且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为〔 〕 A ．12BC ．1D ．25．已知实数x 〔y 满足关系式1xy x y --=，则22x y +的最小值为〔 〕A．3-B．6-C ．1 D．6+6．设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是〔 〕A ．285B ．350C ．540D ．635 二、填空题〔每题7分，共28分〕7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a ++的值为 . 8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形 的概率为 .9．已知锐角△ABC 的外心为O ，AO 交BC 于D ，E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 的外心，假设AB ＞AC ，EF ＝BC ，则∠C －∠B ＝ .10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为 .第一试〔B 〕一、选择题〔每题7分，共42分〕1．设实数a ，b ，c 满足：3a b c ++=，2224a b c ++=，则222222222a b b c c a c a b+++++=---〔 〕A. 12B. 9C. 6D. 32．假设抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，且过点A 〔m ，n 〕，B 〔m －8，n 〕，则n ＝〔 〕A. 8B. 12C. 16D. 243．矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝10，E 、F 分别为矩形外的两点，BE ＝DF ＝4，AF ＝CE ＝3，则EF ＝〔 〕 A． B ．15CD．4．已知实数x ，y 满足关系式223x xy y ++=，则2()x y -的最大值为〔 〕A ．3B ．6C ．9D ．125．已知O 为坐标原点，位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上，且OA ⊥OB ，则tan ∠ABO 的值为〔 〕 A ．12B．2C ．1D ．26．设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数，则符合条件的所有正整数n 的和是〔 〕 A ．784B ．850C ．1536D ．1634二、填空题〔每题7分，共28分〕7．设a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根，则32234a b a++的值为 . 8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .9．C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上，AD 平分∠BAC ，AB ＝20， AD＝AC 的长为 .10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ，b ，c ，d ，e ，使得ab ＋bc ＋cd ＋de ＋ea最小，则这个最小值为 .ABCD EFAOB第二试〔A 〕1．〔20分〕关于xx 有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范围. 2．〔25分〕如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . 〔1〕证明：∠BAD ＝3∠DAC ； 〔2〕如果BF DF CDBD AC-=，证明：MN ＝MD .3．〔25分〕设正整数m ，n 满足：关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解，证明：222()5m n mn +<.第二试〔B 〕1．〔20分〕假设正数a ，b 满足ab ＝1，求11112M a b=+++的最小值. 2．〔25分〕如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，且AC ⊥BD ，AB ＝AC ＝BD . 过点D 作DF ⊥BD ，交BA 的延长线于点F ，∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . 〔1〕证明：∠BAD ＝3∠DAC ；〔2〕如果MN ＝MD ，证明：BF ＝CD ＋DF .3．〔25分〕假设关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试〔A 〕1. 解：D. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 5. 解：B. 提示：设x y t +=，则由题设条件可知11xy x y t =++=+， ∴x ，y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根， 于是有：24(1)0t t ∆=-+≥，解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--，∴当2t =-1x y ==22x y +取得最小值，最小值为2(21)36--=-6. 解：D. 提示：∵2535n n +-是15的倍数， ∴25|(535)n n +-，∴5|3n ，∴5|n . 设5n m =〔m 是正整数〕，则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-.∵2535n n +-是15的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+，其中k 是非负整数.∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：112. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c 〔a b c ≥≥〕， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组〔a ，b ，c 〕可以为： 〔8，8，8〕，〔9，9，6〕，〔9，8，7〕，〔10，10，4〕，〔10，9，5〕，〔10，8，6〕， 〔10，7，7〕，〔11，11，2〕，〔11，10，3〕，〔11，9，4〕，〔11，8，5〕，〔11，7，6〕. 共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，∴所求概率为112. 9. 解：60°. 提示：作EM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BC 于点N ，FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心， ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点.又EF ＝BC ，∴PF ＝MN ＝12BC ＝12EF ，∴∠PEF ＝30°.又EF ⊥AD ，EM ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠PEF ＝30°. 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋12(180°－2∠C )＝90°＋∠B －∠C ，∴∠C －∠B ＝90°－∠ADC ＝60°.10. 解：63. 提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字，∴A 不小于3； ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字，且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小，∴B 不小于6.同理可知：C 不小于9，D 不小于12，E 不小于15，F 不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A ＋B ＋C ＋D ＋E ＋F ≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法〔后三列的数字填法不唯一〕.ABCD E F G第一试〔B 〕1. 解：B. 提示：∵3a b c ++=，2224a b c ++=，∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解：C. 提示：依题意，有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+，于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点，∴240b c -=，∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解：C. 提示：易知∠AFD ＝∠BEC ＝90°，△BEC ≌△DF A ，∴∠DAF ＝∠BCE . 延长F A ，EB 交于点G . ∵∠GAB ＝90°－∠DAF ＝∠ADF ，∠GBA ＝90°－∠CBE ＝∠BCE ＝∠DAF ，∴△BGA ∽△AFD ，且∠AGB ＝90°，∴AG ＝8，BG ＝6， ∴GF ＝11，GE ＝10，∴EF ==4. 解：D. 提示：设x y t -=，则x y t =+，代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=，整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤≤22()12x y t -=≤. 5. 解：A. 提示：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB ＝90°，于是可得△AOC ∽△OBD ，∴12OAABO OB∠===. 6. 解：D. 提示：∵2232n n --是6的倍数， ∴22|(232)n n --，∴2|3n ，∴2|n .设2n m =〔m 是正整数〕，则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数，∴21m -是3的倍数，∴31m k =+或32m k =+，其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+，其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解：11. 提示：∵a ，b 是一元二次方程210x x --=的两根， ∴1ab =-，1a b +=，21a a =+，21b b =+， ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解：12. 提示：设三角形的三边长为a ，b ，c 〔a b c ≥≥〕， 则324a a b c ≥++=，2()24a a b c <++=，∴812a ≤<，故a 的可能取值为8，9，10或11， 满足题意的数组〔a ，b ，c 〕可以为： 〔8，8，8〕，〔9，9，6〕，〔9，8，7〕，〔10，10，4〕，〔10，9，5〕，〔10，8，6〕， 〔10，7，7〕，〔11，11，2〕，〔11，10，3〕，〔11，9，4〕，〔11，8，5〕，〔11，7，6〕. 共12组，∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解：4. 提示：连接OD 、OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F .∵AD 平分∠BAC ，∴∠DOB ＝2∠BAD ＝∠OAC .又OA ＝OD ，∴△AOF ≌△ODE ，∴OE ＝AF ，∴AC ＝2OF ＝2OE .设AC ＝2x ，则OE ＝AF ＝x . 在Rt △ODE中，由勾股定理得DE ==在Rt △ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2，即222(100)(10)x x =-++，解得x ＝2.∴AC ＝2x ＝4.10. 解：37. 提示：和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3，4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的，且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++，不妨设a ＝5.如果1和5的位置不相邻，不妨设c ＝1〔如图2〕，此时的和式为155P b b d ed e =++++； 交换1和b 的位置后，得到如图3的摆法， 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b d bdd b -=+--=-->，∴12P P >.因此，交换1和b 的位置使得1和5相邻〔如图3〕以后，和式的值会变小. 如图3，如果d ＝2，此时的和式为35225P b b e e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图4的摆法，此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->，∴34P P >. 因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b ＝2，此时的和式为55225P d ed e =++++；交换e 和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->，∴56P P >.因此，交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知：1和2摆在5的两边〔如图5〕时，和式的值会变小.AB CD E F Gd d d de 图1 图2 图3 图4 图5当d ＝3，e ＝4时，和式的值为754126103P =++++=； 当d ＝4，e ＝3时，和式的值为853*******P =++++=. 因此，所求最小值为37.第二试〔A 〕1. 解：将所给方程记为方程①，显然有2x m ≥且1x ≥.假设0m <x >，此时方程①无解，不符合题意，故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方，整理得228(2)(4)m x m -=-.显然，应该有02m ≤<，并且此时方程①只可能有解x =.将x =1=-，化简整理得？？？，于是有403m ≤≤，此时方程①有唯一解x =.综上所述，所求实数m 的取值范围为403m ≤≤. 2. 证明：〔1〕在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD . 又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ，∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC .〔2〕设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α，∠NDM ＝90°－α. 在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则BQ ＝BF －FQ ＝BF －FD .又BF DF CD BD AC -=，∴BQ CD BD AC=. 又∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DBC ，∴QD ∥BC ，∴∠FQD ＝∠ABC . 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝90°－α. 又FQ ＝FD ，∴∠BFD ＝2α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠AFM ＝α，∴∠NMD ＝∠AMF ＝∠BAD －∠AFM ＝3α－α＝2α， ∴∠MND ＝180°－∠NMD －∠NDM ＝90°－α＝∠MDN ，∴MN ＝MD .3. 证明：方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①，方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+，22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+，假设4880m n -+>，即22m n >-，则2(3)m n ∆<-+， 从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+，故只可能2(2)m n ∆<-+， 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+，整理得332m n =-， 这与m ，n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-，从而可得2m n <，∴2mn<. 又∵112m n >>，∴有1()(2)02m m n n --<，整理即得222()5m n mn +<.第二试〔B 〕1. 解：∵1ab =，∴1b a=， ∴2111111211211211212321a aM a b a a a a a a a a =+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=，则22333N a a =++=+++当a 时取得等号.∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此，当a =2b =时，11112M a b=+++取得最小值2. 2. 证明：〔1〕在BE 上取一点P ，使得∠BAP ＝∠DAC ， 则△BAP ≌△CAD ，∴AP ＝AD .又AE ⊥PD ，∴△ADE ≌△APE ，∴∠P AE ＝∠DAE ， ∴∠P AE ＝∠BAP ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝3∠DAC . 〔2〕设∠DAC ＝α，则∠BAC ＝2α，∠BAD ＝3α. ∵AC ⊥BD ，∴∠NDM ＝90°－α.∵MN ＝MD ，∴∠MND ＝∠MDN ＝90°－α， ∴∠NMD ＝180°－∠MND －∠NDM ＝2α，∴∠AMF ＝2α， ∴∠AFM ＝∠BAD －∠AMF ＝3α－2α＝α.∵FN 平分∠BFD ，∴∠BFD ＝2∠AFM ＝2α.在FB 上截取FQ ＝FD ，连接QD ，则∠FQD ＝90°－α. 又AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，∴∠ABC ＝90°－α，∴∠FQD ＝∠ABC ， ∴QD ∥BC ，∴∠QDB ＝∠DBC .又∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠QDB ＝∠DAC .又∵DB ＝AC ，∠QBD ＝∠DCA ，∴△QBD ∽△DCA ，∴BQ ＝CD ， ∴BF ＝BQ ＋FQ ＝CD ＋DF .3. 解：设方程的两个根为x 1，x 2，且x 1为正整数， 则1234x x +=，12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-，∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >，∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+， ∴1217|(1)(1)x x ++，∴117|(1)x +或217|(1)x +.假设117|(1)x +，则由112134x x x +≤+=知：1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时，116x =，218x =，此时3411618k -=⨯，k 无整数解； 当1134x +=时，133x =，21x =，此时341331k -=⨯，解得k ＝1. 假设217|(1)x +，同样可得k ＝1. ∴满足条件的正整数k ＝1.。

第1页 共5页2015年大学生数学竞赛试卷答案___________专业________班级 学号________________ 姓名___________一、 解答下列各题（本题满分共20分）1. （10分,每5分）()332300tan 13lim lim s in 3(1)x x x x x xx x x x x ο→→++--== （2）求极限21/sin 02cos lim 3x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭222221/sin 1/sin 001(cos 1)/3(/2)/362cos cos 1lim lim 133lim lim x x x x x x xx x x x x e e e→→---→→+-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===2. （10分）设函数3222, 1(), 1157, 1x x f x Ax Bx Cx D x x x -<-⎧⎪=+++-≤≤⎨⎪+>⎩试确定常数A,B,C,D 的值，使()f x 处处可导。

第2页 共5页此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写……………………………………………装………………………………订…………………………线……………………………………………………1321121(10)lim(22)4(1).(1)(22)|2(1)()|(32)|32.(10)(10)12,(1)32(1) 5.x x x x f x f A B C D f x f Ax Bx Cx D Ax Bx C A B C f A B C D f f A B C f →--=-+=-=--+---=-=-=-+-+''''-=-==-=+++=++=-+-=+++=+=''=++==解:=43221232 5.{ -9/4, 3/4, 41/4, 13/4}.A B C D A B C A B C D A B C A B C D -+-+=-⎧⎪-+=⎪⎨+++=⎪⎪++=⎩====二、解答下列各题（本题满分共30分，每题10分）3.确定常数,a b R ∈，使2001lim2sin x x ax x →=-⎰。