苏科版数学九(下)第七章“锐角三角函数”教材分析和教学建议

锐角三角函数小结与思考教学简案复习目标：知识与技能：1.通过复习进一步巩固锐角三角函数的定义，并能灵活运用定义进行有关计算；2.通过复习牢记特殊角的三角函数值，并能进行有关计算；3.通过复习进一步巩固直角三角形的边角关系，并能进行解直角三角形的知识应用. 过程与方法：通过对本章的复习，让学生学会将千变万化的问题转化为数学问题来解决的能力，培养学生用数学的意识.复习重点：特殊角的三角函数值，并能进行有关计算；解直角三角形的知识应用. 复习难点：解直角三角形的知识应用.教学方法：讲练结合法课型：复习课教具准备：多媒体课件教学过程：一．引出课题，复习目标。

问题1 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°,AB =5,AC =3,P 是边BC 上一动点，以1cm/s 的速度由B 向C 运动，t s 后点P 到AB 的距离PH 的长是 .（用含t 的代数式表示）【批改作业中发现，学生还没有用三角函数解决问题的意识，遇到问题时还是首选“相似”】二、目录回顾问题2 （1）如图,在Rt △ABC 中,∠C =90º,AC =12,BC =5.sin A = ;sin B = ;cos A = ;cos B = ;tan A = ;tan B = .（2） 在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则∠ABC 余弦值为________.（3）如图，直径为5的⊙A 经过点C (0,3)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的正切值为____.三、以题想纲 复习旧知问题3（1）比较大小:sin22° ______sin65° cos27°______cos33°tan46°______tan44°sin55° ______cos35°sin30° ______cos45°（2）当锐角a >60°时，cos a 的值（ ）．A ．大于0小于B ．大于0小于1 P A BC 12 5C ．大于D ．大于1问题4 计算或求锐角：(1)cos245°+ tan60°cos30°(2)2sin60°-3tan30°-(π-cos30°)0+(-1)2018;(3)已知 tan( ∠A +20°)= 3 ，求锐角A ;(4)在△ABC 中， ∠ B 、 ∠ C 均为锐角，且 求∠A 的度数. 问题5 在Rt △ ABC 中，∠C=90°，∠A =30°，BC =5，解这个直角三角形.问题6 在△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AB =6 ，求BC 的长.变式1：若以上问题中，BC =6，其余条件不变，如何求AB 的长呢？变式2：在△ABC 中，若∠A =15°，∠B =30°，AC =6，求AB 的长？变式3 在△ABC 中，∠B =30°，AB =6，AC = 26 ，求∠BAC 的度数．四、中考链接，提升技能。

苏科版数学九年级下册7.6《锐角三角函数的简单应用》讲教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.6《锐角三角函数的简单应用》这一节主要介绍了锐角三角函数的概念和简单应用。

学生通过学习这一节内容，可以进一步理解锐角三角函数的定义和性质，并能运用到实际问题中。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生掌握锐角三角函数的应用方法。

二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了锐角三角函数的定义和性质，但对函数的应用可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要帮助学生理解和掌握锐角三角函数的应用方法，并能够将其运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握其应用方法，并能够解决实际问题。

2.过程与方法：学生通过观察、分析和实践，培养解决问题的能力。

3.情感态度价值观：学生能够积极参与学习，增强对数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.重点：学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握其应用方法。

2.难点：学生能够将锐角三角函数运用到实际问题中，解决问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

2.案例教学法：通过分析例题和练习题，让学生掌握锐角三角函数的应用方法。

3.小组合作学习：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具准备：准备多媒体教学设备，如投影仪和计算机等。

2.教学资源：准备相关的例题和练习题，以及教学PPT。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如建筑工人测量高度等，引入锐角三角函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示锐角三角函数的定义和性质，引导学生观察和分析。

3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的例题，教师进行个别指导，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的应用方法。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，共同完成教材中的练习题，教师巡回指导，巩固学生对锐角三角函数应用的理解和掌握。

苏教版九年级数学第七章三角函数知识点梳理一、锐角三角函数的意义：（1）一个锐角的正弦、余弦、正切就叫做这个角的三角函数。

①锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA 。

（即直角三角形中两条直角边的比）②锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。

（即直角三角形中锐角A 所对的直角边与斜边的比） ③锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA 。

（即直角三角形中锐角A 相邻的直角边与斜边的比） （2）如图,在△ABC 中,∠c=900二、锐角三角函数之间的关系：（1）等角（锐角）的三角函数之间的关系：如果几个锐角相等,则其三角函数值对应相等；反之,如果几个锐角的三角函数值对应相等,则这几个锐角相等。

即锐角的三角函数值只与角的度数有关； 若度数相等,则其三角函数值则对应相等。

边A的对边sinA 斜∠=斜边A的邻边cosA ∠=边A 边A的tanA 的邻对∠∠=（2）同一个锐角的三角函数之间的关系 ①sin²A+cos²A=1（即同一个锐角的正弦值和余弦值的平方和为1。

）② （即同一个锐角的正切值=这个角的正弦值与该角余弦值的商。

） （3）互余两锐角之间的三角函数之间的关系①若∠A 与∠B 互为余角,则sin A= cos （90︒- A ）= cosB②若∠A 与∠B 互为余角,则tan A ×tan （90︒- A ）= 1即tan A ×tanB = 1即：若∠A 与∠B 互为余角,则①∠A 的正弦值=∠B 的余弦值；∠A 的余弦值=∠B 的正弦值。

②∠A 的正切值与∠B 的正切值互为倒数。

三、锐角三角函数值的变化规律（或增减性）①当角度在0---90之间变化时,正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

②当角度在0---90之间变化时,余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

四、特殊角的三角函数cosAsinAtanA =五、解直角三角形（1）意义：由直角三角形中的已知元素（除直角外）,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。

苏科版数学九年级下册《7.3 特殊角的三角函数》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级下册》第七章第三节“特殊角的三角函数”是初高中数学衔接的重要内容。

本节课主要介绍特殊角的三角函数值，包括30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值。

这些值在三角函数的学习以及解决实际问题中具有重要作用。

通过对特殊角的三角函数的学习，学生可以更好地理解三角函数的概念，为后续学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数、几何知识，具备一定的数学基础。

但是，对于特殊角的三角函数值，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生逐步理解特殊角的三角函数值，并通过实例让学生感受其在实际问题中的应用。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值，并能运用这些值解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生探究特殊角的三角函数值的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习三角函数的兴趣，培养学生的数学思维。

四. 教学重难点1.重点：特殊角的三角函数值。

2.难点：特殊角的三角函数值的推导和应用。

五. 教学方法1.引导法：教师引导学生探究特殊角的三角函数值，激发学生的思维。

2.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得，互相促进。

3.实例分析法：通过实际问题，让学生感受特殊角的三角函数值在解决问题中的作用。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、多媒体教学设备。

2.学生准备：笔记本、三角板、计算器。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的锐角三角函数知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示特殊角的三角函数值，包括30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值。

引导学生观察这些值的特点，并引导学生思考如何推导这些值。

苏科版九年级数学下册《由三角函数值求锐角》说课稿一、教材分析1.1 教材背景《由三角函数值求锐角》是苏科版九年级数学下册的一章内容。

本章主要是帮助学生通过已知三角函数值来求解锐角，进一步加深学生对三角函数的理解和运用能力。

1.2 教学目标•理解三角函数值的定义和性质。

•掌握由三角函数值求解锐角的方法和技巧。

•提高运用三角函数进行实际问题求解的能力。

1.3 教学重点•三角函数值的定义和性质。

•由已知三角函数值求解锐角的方法和步骤。

1.4 教学难点•利用已知三角函数值求解锐角的实际问题。

二、教学准备2.1 教具准备•黑板、白板及相应书写工具•教科书和作业本•三角函数表2.2 学生准备•所需教材及学习资料三、教学过程3.1 导入与引入首先，我会通过引入实际问题让学生了解本章的学习内容。

例如，通过给出一个建筑物的高度和角度，让学生思考如何利用三角函数值求解出这个角度的具体数值。

3.2 知识点讲解3.2.1 三角函数值的定义和性质首先，我们回顾一下三角函数的定义和性质。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示一个角的对边、邻边和斜边之间的关系。

我们会通过示意图和数学公式来详细讲解三角函数的定义和性质，让学生对其有一个清晰的认识。

3.2.2 由已知三角函数值求解锐角的方法和步骤接着，我们将重点教授由已知三角函数值求解锐角的方法和步骤。

我们会先介绍如何通过三角函数表查找对应的角度值，然后通过一些例题来演示具体的求解过程。

我们会提供不同难度的例题，从简单到复杂逐步引导学生掌握方法和技巧。

3.3 讲解例题在讲解方法和步骤后，我将给学生提供一些例题进行练习。

这些例题将涵盖不同的应用场景，如建筑、航空导航等，让学生能够将所学知识应用到实际问题中。

3.4 小结与拓展在讲解完成后，我会对本节课的重点内容进行小结，并与学生一起总结掌握的方法和技巧。

然后，我会提供一些拓展问题，让学生进一步运用所学知识解决更复杂的问题，培养他们的思维能力和创新能力。

主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。

从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。

新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。

如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。

和坝底宽AD。

(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。

问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。

坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。

7.1 正切一、教材分析1.教材内容本节课是义务教育课程标准苏科版教科书九年级 (下) 第七章《锐角三角函数》的第一课时，主要内容是：理解正切的概念，会进行简单的计算.2.地位及作用正切在生活中的运用非常广泛，如物体的倾斜程度、山的坡度等都往往用正切来刻画.同时正切也是学生接触的第一个三角函数.学好正切，既为正弦余弦的学习打下基础，又为高中系统学习三角函数做好铺垫.因此本节内容极其重要.二、学情分析1.知识基础九年级学生已经学习了直角三角形，函数和相似三角形的相关知识，具备了学习锐角三角函数的知识基础.但是，锐角三角函数和学生以前学习过的一次函数、反比例函数有所不同，它揭示的是角度与线段比值之间的对应关系.学生是第一次接触用符号表示的函数，因此学生对锐角三角函数的理解仍然比较抽象和困难.2.能力基础学生已经经历了多次小组合作，探索新知的过程，对探究性学习掌握了一定的方法，具有一定的活动学习的经验，这为本节课采用小组活动来感知概念打下了基础.3.任教学生特点我班学生数学基础较扎实，求知欲强，想象力丰富.能较好地运用所学的知识解决问题.三、目标分析1.教学目标：（1）经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的概念并能进行简单的计算.（2）经历数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理的、清晰的阐述自己的观点.2.教学重点理解正切概念.3.教学难点正切概念的形成过程.4.突出重点、突破难点的策略抓住学生的认知盲点，教师加以启发诱导，抽象出本节课重要的数学模型——直角三角形，配合实验直观展示，帮助学生理解一个锐角和它的对边与邻边的比值之间的对应关系，确定这是一种函数关系，给出正切概念，突破本节课的难点.理解概念后，通过小组合作辨析、应用概念，突出本节课重点.四、教法、学法教法：启发式与自主探究结合的教法.学法：自主探究、合作交流的学法.五、教学过程：（一）情境创设生活中处处都有数学，生活中经常遇到爬坡，你如何判断坡的陡峭程度？（二）探索活动问题1：（展示两张山坡台阶图片）这两个台阶哪个更陡？为什么？【设计意图】从生活情境入手，激发学生兴趣，情境贴近学生生活，让学生感知数学与生活密切相关，学生的感性认识直接感知第2个台阶陡，说明理由正是从感性走向理性的逐步渗透。

课中，我将采用问题驱动法和案例分析法为主要教学方法。问题驱动法能够激发学生的学习兴趣和动机，引导学生主动探索和解决问题。案例分析法能够让学生直观地理解和掌握锐角三角函数在实际问题中的应用。这两种方法都符合建构主义学习理论，即学生通过主动构建知识体系来提高学习效果。
（二）媒体资源
为了辅助教学，我将使用多媒体课件、实物模型和数学软件等技术工具。多媒体课件能够生动地展示锐角三角函数的图像和性质，帮助学生直观地理解知识点。实物模型和数学软件则可以让学生亲身体验和操作，增强他们的动手能力和解决问题的能力。
3.动手实践：让学生利用实物模型或数学软件进行操作和实践，亲身体验锐角三角函数的应用过程。这样的实践活动能够增强学生的动手能力和解决问题的能力。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我会引导学生进行自我评价，并提供有效的反馈和建议。首先，我会让学生回顾所学知识，总结锐角三角函数的概念和性质。然后，我会鼓励学生分享自己的学习心得和体会，让其他同学和学习成果。最后，我会对学生的表现进行点评，给予肯定和鼓励，并提出改进的建议和指导。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我会逐步呈现锐角三角函数的知识点，引导学生深入理解。首先，我会回顾一下锐角三角函数的定义和性质，为学生提供一个知识框架。然后，我会通过多媒体课件展示锐角三角函数的图像，让学生直观地理解函数的变化规律。接下来，我会通过案例分析法，引导学生分析和解决实际问题，让学生将理论知识运用到实际情境中。在这个过程中，我会鼓励学生积极参与，提出问题和解决问题，从而加深对锐角三角函数的理解。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将注重布局的合理性、内容的精炼性和风格的简洁性。板书将包括本节课的主要知识点，如锐角三角函数的定义、图像和性质，以及解决实际问题的方法。布局上，我会将板书分为几个部分，每个部分都有明确的标题和内容，以便学生能够清晰地理解和把握知识结构。板书在教学过程中的作用是提供一个视觉辅助工具，帮助学生梳理和巩固知识点。为了确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我会尽量使用简洁的文字和图示，并注意字体的清晰度和大小。

苏科版数学九年级下册7.3《特殊角的三角函数》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.3《特殊角的三角函数》是学生在学习了锐角三角函数的定义、三角函数的图像和性质的基础上进行的一节内容。

本节课主要让学生了解并掌握30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值，并能运用其解决实际问题。

教材通过实例引入特殊角的三角函数值，引导学生探究并发现规律，进而总结出一般性结论。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了锐角三角函数的定义、三角函数的图像和性质，对三角函数有了初步的认识。

但是，对于特殊角的三角函数值，学生可能还不太熟悉，需要通过实例和练习来进一步巩固。

此外，学生可能对于如何运用三角函数解决实际问题还有一定的困难，需要在教学中给予指导和训练。

三. 教学目标1.了解30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值，并能熟练运用。

2.掌握特殊角的三角函数值的求法，并能运用其解决实际问题。

3.培养学生的探究能力和合作精神，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.重点：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值。

2.难点：特殊角的三角函数值的求法及其运用。

五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引入特殊角的三角函数值，引导学生探究并发现规律。

2.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，培养学生的合作精神和团队意识。

3.练习法：通过适量练习，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.课件：制作课件，展示特殊角的三角函数值的图像和实例。

2.练习题：准备适量练习题，用于巩固所学知识。

3.三角板：准备三角板，用于演示特殊角的三角函数值。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示特殊角的三角函数值的图像，引导学生观察并思考：你能发现什么规律？2.呈现（10分钟）呈现30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值，引导学生探究并发现规律。

九年级下数学三角函数教学案班级 姓名：课 题 7.5解直角三角形学 习 目 标 使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形. 重 点 直角三角形的解法．难 点三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学流程随笔栏一、探究活动：1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，其余5个元素之间有以下关系(1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝ .(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝ .(3)边与角关系sinA ＝ ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝ ,a= = , b= = .二、典例研究：例1. 由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°： （1）已知BC=5，∠A=30°，求AC 、AB 的长，tanA 的值.（2） 已知AC+CB=12，tanB=1，求三边的长，sinB 的值.三、课堂反馈：1.在下列直角三角形中不能求解的是（ ）A.已知一直角边一锐角B.已知一斜边一锐角C.已知两边D.已知两角 2.由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C=90°： （1）已知AC=10，sinB=23，求BC ，AB ．（2）已知AB=20，cosA=21，求BC ，tanB ．bac3．等腰三角形的底边长20 cm ，面积为33100cm 2，求它顶角和底角的度数.4．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，∠CAB 的平分线AD ＝3316， 求∠B 的度数以及边BC 、AB 的长.四、拓展提高：在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC ，其中AB=AC ，∠BAC=120°，在点A 处有一束红外光线AP ，从AB 开始，绕点A 逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC 后立即以相同旋转速度返回AB ，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB 处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP 交BC 边于点M ，BM 的长为（320-20）cm ．（1）求AB 的长；（2）从AB 处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP 与BC 边的交点在什么位置？若旋转2020秒，交点又在什么位置？请说明理由．五、课堂小结： 课堂反思九年级下数学三角函数教学案班级姓名：课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）学习目标1.会把现实生活中较简单的实际问题转化为直角三角形的问题；2.在解决实际问题的过程中进一步体会三角函数的意义.重点把现实生活中较简单的实际问题转化为直角三角形的问题.难点把现实生活中较简单的实际问题转化为直角三角形的问题.教学流程随笔栏一、探索研究1.如图1，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m2.如图3，AB是伸缩性遮阳棚，CD是窗户，要想夏至正午时的阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米.（假如夏至正午时的阳光与地平面的夹角是600）二、典例研究：例1.如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5m，风筝飞到C处时的线长BC为30m，这时测得∠CBD＝75º．求此时风筝离地面的高度．（精确到0.1m，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.7）例2．如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：8秒后船向岸边移动了多少米?(结果保留根号)三、课堂反馈2.1.已知不等臂跷跷板AB长4m．如图①，当AB的一端A碰到地面上时，AB与地面的夹角为α；如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β．求跷跷板AB 的支撑点O到地面的高度OH．（用含α，β的式子表示）四、拓展延伸身高1.65米的小明在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，小明位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，小明与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．（1）求风筝距地面的高度GF；（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若小明充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）五、我的收获课堂反思:九年级下数学三角函数教学案班级 姓名：课题 7.6锐角三角函数的简单应用（2）学 习目 标3.能把现实生活中较复杂的实际问题（仰角、俯角、方位角）转化为直角三角形的问题；4.体会“化斜为直”的思想 .重点 在解决实际问题的过程中，进一步体会三角函数的意义. 难点 在解决实际问题的过程中，进一步体会三角函数的意义.教学流程 随笔栏一、探索研究 1.当从高处测量低处的目标时，视线与水平线之间的夹角叫做 角， 2.当从低处测量高处的目标时，视线与水平线之间的夹角叫做 角. 如图，∠1叫做 角，∠2叫做 角．3.如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆21米的C 处，用1米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角a ＝30°.在图中标出仰角a ，并求电线杆AB 的高度．（结果保留根号）二、典例研究：例1.某校九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在C 点测得旗杆顶端A 的仰角为30°，向前走了6米到达D 点，在D 点测得旗杆顶端A 的仰角为60°(测角器的高度不计). (1)AD ＝_______米; （2）求旗杆AB 的高度.（3≈1.73）例2．如图，小山顶上有一信号塔AB ，山坡BC 的倾角为30°，现为了测量塔高AB ，测量人员选择山脚C 处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E 处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB （结果保留整数，3≈1.73，2≈1.41）30°60° A 6米 D C B铅垂线水平线视线视线21三、课堂反馈1.如图，人们从O处的某海防哨所发现，在它的北偏东60°方向相距600米的A处有一艘快艇正向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向的B处，则A、B 之间的距离是米.2.某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．四、拓展延伸在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．（1）求该轮船航行的速度（结果保留根号）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．五、我的收获课堂反思：NM东北BCAl九年级下数学三角函数教学案班级 姓名：课题 7.6锐角三角函数的简单应用（3） 学 习 目 标 5.能把现实生活中较复杂的实际问题（坡度、坡角）转化为直角三角形问题； 6.体会“化斜为直”的思想. 重点 在解决实际问题的过程中，进一步体会三角函数的意义. 难点 在解决实际问题的过程中，进一步体会三角函数的意义.教学流程 随笔栏一、探索研究 一张水库拦水坝的横断面的设计图如图所示，坡面的垂直高度与水平宽度的比叫 做 (或 )，记作i ，即i ＝ ，坡度通常用l ︰m 的形式，从三角 函数的概念可以知道，坡度与坡角之间的关系是 .1.一坡面的坡角为600，则坡度i= .2.．小明沿着坡角为20°的斜坡向上前进80m, 则他上升的高度是 ( ) A ．080m cos 20 B ．080m sin 20C ．80sin200mD ．80cos200m 3．如图是一个拦水大坝的横断面图,AD ∥BC, .斜坡AB=10m,大坝高为8m,(1)则斜坡AB 的坡度i AB = .(2)如果坡度i AB =1︰3，则坡角∠B= .(3)如果坡度i AB =1︰2，AB=8m ，则大坝高度为___m. 二、典例研究：例1.如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．例2．如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB 的长为16.50米，坡角∠BAC 为32°． （1）求一楼与二楼之间的高度BC （精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2．小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249．A B CD三、课堂反馈1. 小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了（ ） A ．5200m B ．500m C ．3500m D ．1000m2.如图，一水库迎水坡AB 的坡度1i =︰3，则该坡的坡角α= .3. 如图，在东西方向的海岸线MN 上有A 、B 两艘船，均收到已触礁搁浅的船P 的求救信号，已知船P 在船A 的北偏东60°方向，船P 在船B 的北偏西45°方向，AP 的距离为30海里．（1）求船P 到海岸线MN 的距离；（2）若船A 、船B 分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P 处．四、拓展延伸如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC ）为30°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：（3≈1.732）（1）若修建的斜坡BE 的坡角（即∠BEF ）不大于45°，则平台DE 的长最多为 米； （2）一座建筑物GH 距离坡角A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM ）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？五、我的收获 课堂反思：九年级下数学三角函数教学案班级姓名：课题锐角三角函数复习（1）学习目标回顾三角函数定义、理清锐角三角函数边角关系、求（特殊）三角函数值.重点理清锐角三角函数边角关系、求（特殊）三角函数值.难点理清锐角三角函数边角关系、求（特殊）三角函数值.教学流程随笔栏例题1：在△ABC中，∠C=90°,求三角函数值：sinA= sinB=cosA= CosB=tanA= tanB=例题2：如图，在△ABC中，∠C=90°, ∠B=30°，AC=3，求AB、BC的值.变式：如上图，在△ABC中，∠C=90°, ∠A=60°，AB=8，求AC、BC的值.例题3：如图，在△ABC中，∠B=90°, cosA=54，AB=8，求AC、BC的值.变式：如图，在△ABC中，∠B=90°, sinA =135，AB=24，求AC、BC的值.例题4：如图，在△ABC中，∠C=90°, ∠B=45°，AB=36,求AC的值.BACAB C例题5：如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC=14，AD=12，tan ∠BAD=43，求sinC 的值．例题6：如图，在△ABC 中，已知∠B=40°，BC=12，AB=10，能否求出AC ？如果能，请求出AC 的长度？（参考数据：sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.75）例题7：如图，在△ABC 中，AB=AC=10，sinC=53,点D 是BC 上一点，且DC=AC ． （1）求BD 的长； （2）求tan ∠BAD ． 课堂反思九年级下数学三角函数教学案班级姓名：课题三角函数复习（2）学习目标三角函数的简单运用.重点三角函数的简单运用.难点三角函数的简单运用.教学流程随笔栏例1．在离地面高6米处的拉线固定一烟囱BC，拉线与地面成60°角，求拉线AC的长.例2．太阳光与地面成42.5°的角，一树的影长10米，求树高.（精确到0.1米）已知：sin42.5°≈0.68，cos42.5°≈0.74，tan42.5°≈0.92.例3．如图，河对岸有一铁塔AB．在C处测得∠ACB为30°，向塔前进16米到达D，在D处测得∠ADB为45°，求铁塔AB的高．例4．如图，要测量小山上电视塔BC的高度，在山脚A处测得：∠BAD=40°，∠CAD=29°，AC=200米. （参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55．）（1）求山脚到电视塔的水平距离AD长；（精确到1米）（2）求电视塔BC的高．（精确到1米）例5．为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造．如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，在点B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200米．请你求出该河段的宽度（结果保留根号）．例6．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，救援队伍在B处测得A 在B的北偏东60°的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A在C的北偏东30°的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．（1）求点A到陆地BC的距离；（2）在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由．（参考数据3=1.7，精确到1米）例7．地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西26°方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄C在北偏西52°方向．（1）求B处到村庄C的距离；（2）求村庄C到该公路的距离．（结果均精确到0.1km）（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62）课堂反思九年级下数学三角函数教学案班级姓名：课题三角函数复习（3）教学目标复习解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．重点解决与仰角、俯角有关的实际问题．难点在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题。

苏科版数学九（下）第七章《锐角三角函数》教材分析和教学建议一、教材分析1、地位、作用从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段，在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，即本章内容.在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的基础.与此同时，本章为学生提供了更加广阔的探索空间，可以开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式.2、主要内容本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容.锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度.本章需要落实五个教学内容：锐角三角函数的概念；特殊角的三角函数值；根据三角函数值求角度；解直角三角形的含义；实际问题与解直角三角形.本章需要认识三个教学要点：基本点——对锐角三角函数的认识与应用；支撑点——相似和勾股定理；能力提升点——组合图形的转化求解，根据具体问题构造直角三角形.二、教学目标1、课标对教材的总体要求（1）通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角.（2）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.2、课标对本章内容的具体要求（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比；记忆300，450，600角的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数；（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；（3）理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；（4）通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.三、教学重点、难点1、教学重点：锐角三角函数的概念，解直角三角形及其简单应用.2、教学难点：锐角三角函数的概念；掌握300，450，600角的三角函数值.三、教材的编写意图1、正确处理数学，社会，学生三者的关系，适应科技发展的形势，关注社会进步的需求，更新对数学基础知识和基本技能的认识，注重培养理性精神和创新意识，提高学生发现、提出、分析和解决问题的能力.2、遵循认知规律，为学生创造自主探究，合作交流的空间，为教师营造教学创新的氛围，为师生互动式教学提供丰富的资源.促进现代信息技术与数学课程的整合，改进教材的呈现方式，提高学生学习数学的兴趣.四、学情分析学生前面已经学习了函数、四边形、相似三角形和勾股定理的知识，已经掌握了直角三角形各边、各角之间的关系和函数的基本概念，能够熟练地利用勾股定理解决有关直角三角形的问题.为锐角三角函数的学习提供了研究的方法，具备了一定的逻辑思维能力和推理能力，通过以前的合作学习，具备了一定的合作与交流的能力，会观察、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理.但在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解，学生很难想到对于任意锐角，它的对边、邻边和斜边的比值也是固定的实事，关键在于教师引导学生比较、分析、得出结论.五、教学建议在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解，应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形.因此在教学中将采取以下策略：1、认真钻研教材、选择教法，选取的例子要深入浅出，让教学内容一脉贯通.突出学数学、用数学的意识与过程.因为锐角三角函数的概念是本章的重点、难点和关键，因此，如何选取例子引入这个概念就显得尤为重要，在教学三角函数的应用时尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题，让学生感觉自然，熟悉和容易理解.2、重视学生记忆的环节，充分运用现代信息技术.教师要引导学生对定义、基本公式、性质等进行记忆，并检查和督促，因为这是整册书学习的基础，如果忽略了这一环节的工作，我们的教学将会是事倍功半，甚至是徒劳无功的.三角函数定义的记忆在解直角三角形这章中显得尤其重要，学生只有在熟记的基础上才能谈得上运用，形成技能，发展思维.另外，教师应当在学生理解并能正确应用公式、法则等进行计算的基础上，指导学生用计算器完成较为繁杂的计算.在课堂教学、课外作业、实践活动中，鼓励学生用计算器进行探索规律等活动.3、注意数形结合，自然体现数与形之间的联系.数形结合是一种重要的数学思想和数学方法，是几何学习必不可少的有效方法.如本章对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质；再如，解直角三角形在实际中有着广泛的应用，先将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决.因此，在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、化简计算、解决实际问题时都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解.4、数学来源于生活，又服务于生活.在教学中还要提供一些具有实际背景和应用意义的题目，让学生经历“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展” 解决问题的过程.。

锐角三角函数一、教材分析1 •教材内容本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第一章《直角三角形的边角关系》的第一节•本课为第一课时，主要内容是：理解正切的概念，会进行简单的计算，了解坡度.2. 地位及作用正切在生活中的运用非常广泛，如物体的倾斜程度、山的坡度等都往往用正切来刻画•同时正切也是学生接触的第一个三角函数•学好正切，既为正弦余弦的学习打下基础，又为高中系统学习三角函数做好铺垫•因此本节内容极其重要.二、学情分析1. 知识基础九年级学生已经学习了直角三角形，函数和相似三角形的相关知识，具备了学习锐角三角函数的知识基础•但是，锐角三角函数和学生以前学习过的一次函数、反比例函数有所不同，它揭示的是角度与线段比值之间的对应关系•学生是第一次接触用符号表示的函数，因此学生对锐角三角函数的理解仍然比较抽象和困难.2. 能力基础学生已经经历了多次小组合作，探索新知的过程，对探究性学习掌握了一定的方法，具有一定的活动学习的经验，这为本节课采用小组活动来感知概念打下了基础.3. 任教学生特点我班学生数学基础较扎实，求知欲强，想彖力丰富•能较好地运用所学的知识解决问题.三、目标分析1 •教学目标：（1）经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的概念并能进行简单的计算.（2）经历数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理的、清晰的阐述自己的观点.教学环节教师活动学生活动以诗句引导学生欣赏剑门关、乐山大佛、窦团山登山阶梯图片，再由“激流勇进”让学生感受斜坡的陡悄，提出问题：我们用数学知识怎样來比较阶梯的倾斜程度呢？设计意图用实际问题引出本课的探索问题，让学生感悟数学来源2. 教学重点理解正切概念.3. 教学难点正切概念的形成过程.4•突出重点、突破难点的策略抓住学生的认知盲点，教师加以启发诱导，抽象出本节课重要的数学模型——直角三角形，配合实验直观展示，帮助学生理解一个锐角和它的对边与邻边的比值之间的对应关系，确定这是一种函数关系，给出正切概念，突破本节课的难点•理解概念后，通过小组合作辨析、应用概念，突出本节课重点.四、教法、学法教法：启发式与自主探究结合的教法.学法：自主探究、合作交流的学法.五、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节如下:感悟概念C=> 理解概念应用概念 ^=> 归纳小结生活.现实模型学生欣赏图片，思考问题合作探究念1・请学生观察4幅图片.教师提出问题并巡视各个小组交流情况.并请小组代表汇报观察得出的结论.小组活动1学牛观察4幅图片，展开讨论.学生代表发言，展示探究四幅图片的成果.判断梯子的倾斜程度可以通过研究倾斜角的度数.教师活动问题1：如图，梯子AB和DE 哪个更陡？你是怎么判断的？学生活动设计意图合作探感7S m1（图• 澜/顾］11\14f>Llmre L打Y'图1中的梯子等高，底小的更陡。

“锐角三角函数的简单应用”的教学实录及反思“锐角三角函数的简单应用”是苏科版教材第七章第六节的内容，它是在学生掌握了锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值和解直角三角形的基础上展开的一节应用，是解决生活中实际问题的需要，同时也是学生深刻理解锐角三角函数知识的需要.研究锐角三角函数的应用，其目的是让学生用所学知识解决实际生活中的问题，感受生活与数学的关系，培养学生学习数学的兴趣，以及应用数学的意识与能力.这节课的学习不仅是对已学知识的综合应用和深化，而且是培养学生理性思维和创新思维的有效途径.同时，在研究锐角三角函数的简单应用时，需要学生对图形结构相互关系进行观察和分析，对图形整体或部分进行必要的变换.有了前面的知识做铺垫，学生已经建立了各种解直角三角形的知识储备和一定的推理能力基础，有能力采用直观与理性相结合的方式学习本节内容.一、教学实录上课开始，屏幕上以动画形式播放一个气球在天空停留，一学生站在a点处观测气球，测得仰角为30°，然后他向着气球的方向前进了100m，此时小明再次观测气球，仰角为45°，若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢？（精确到0.1m）教师与学生一起画出草图，将实际问题转化为数学模型，学生一起看图，逐一说出问题中的已知量与未知量.师：要计算cd，可以利用rt△cbe和rt△cae，先找出be、ce 与已知量的关系？生：可以设ce长为xm，则在rt△cbe中，由“等角对等边”可知be=ce=xm，ae=（100+x）m，然后在rt△cae中，利用tan30°=，算出x+1.6的值，即为旗杆的高度.师：根据上述方程，大家以最快的速度解这个方程，不会的相互帮忙一下.点评：以上的分析过程简洁明了，根据30°角的正切值列出方程也很容易理解，但是具体在解这个方程的过程中，学生却遇到了很大的麻烦。

有很多学生不会解决此类方程，因为方程中x的系数带有根号，而且要先移项，再合并同类项，最后还要经历分母有理化的过程，分母有理化本身是书本上的选修内容，中间还渗透了平方差公式，对于一些对平方差公式不熟练的学生而言，这是解此类方程的一个难点.教师边引导学生解方程的一般步骤，边引导学生找出分母的有理化因式，从而保证结果的最简，师生一起努力共同完成解答过程.生：解：设ce长为xm，在rt△cbe中，∵∠ceb=90°，∠cbe=45°，∴∠cbe=∠bce=45°，由“等角对等边”可知be=ce=xm，ae=（100+x）m，在rt△cae中，∠cea=90°，tan∠cae=，∴tan30°=，即=∴3x=100+x∴（3-）x=100∴x===50（+1）∴cd=ce+de=50（+1）+1.6≈138.2m.教师点评：这一种方案是先在rt△cbe中设未知数，再根据“边角关系”用的代数式表示be，从而表示ae，最后在rt△ace中利用tan30°的函数值列出方程，从而达到解决问题的目的.除了用以上方法解决问题外，同学们观察一下图形的特点，能否找出已知线段与未知线段之间存在的相等关系？生：ae-be=ab.师：能否根据这一相等关系列方程呢？大家先独立研究，然后把自己的研究成果与同组同学交流.学生开始探究，教师巡视.巡视过程中发现大部分同学能利用第一种方案中的两个直角三角形展开思维，也有的同学在“ae-be=ab”的基础上重新设未知数，结果得出的方程与第一种方案一致.师：请想出不同方案的同学把你的研究成果写在黑板上，其他小组进行补充.全体同学一起努力，最后得到如下结果：设ce=xm，在rt△ace中，∠aec=90°，∵tan30°=，∴ae==x.在rt△cbe中，∠ceb=90°，∵tan45°=，∴be==x，由ae-be=ab 可知，x-x=100，∴（-1）x=100，∴x===50（+1）.教师总结：以上给出了两种方案，从解题的技巧和解题方法来看，第一种方案利用小rt△bec的边角关系设未知数，再由大rt △aec的边角关系列方程，由内而外地展开大家很容易理解，但是得出方程后解此方程有一定的困难.第二种方案由两个直角三角形同时进行，利用边角关系表示ae，be，再根据“ae-be=ab”直接列出方程，而且这个方程比第一种方案中的方程容易解，由此评价方案二比较可行，但是方案二中表示ae，be时必须注意方式方法.师：将问题中的特殊角改为27°与40°，其他数据不变，求气球的高度，选择一种你认为比较合适的方案，自己先试一试.（在巡视的过程中，选两位用不同方法解答完成的学生上黑板板演.）生甲：设ce=xm，在rt△bec中，∠bec=90°，∵tan40°=，∴be==.在rt△aec中，∠aec=90°，∵tan27°=，∴ae==.∵ae-be=100，∴-=100.∴tan40°x-tan27°x=100·tan27°·tan40°.∴x=.生乙：设ce=xm，在rt△bec中，∠bec=90°，∵tan40°=，∴be==.在rt△aec中，∠aec=90°，∵tan27°=，∴tan27°=.∴100·tan27°+=x.∴100·tan27°·tan40°+tan27°·x=tan40°·x.∴x=.教师与学生一起点评，生甲的方案是建立在“ae-be=100”的基础上进行的，方程比较简单，解题的过程简洁明了.生乙的方案是由内而外展开，由小rt△bec内的边角关系设未知数，由大rt△aec 的边角关系列方程，所列方程稍微有点复杂，但是只要细心，照样可以解出答案.师：大家有没有发现这两个直角三角形有着一条公共的边呢？生：有，是线段ce.师：能否根据公共边相等列方程呢？此时设哪条线段为未知数比较合适呢？生：设be=xm，则ae=（100+x）m，在rt△bec中，∠bec=90°，∵tan40°=，∴ce=be·tan40°=x·tan40°.在rt△aec中，∠aec=90°，∵tan27°=，∴ce=ae·tan27°=（100+x）·tan27°，∴x·tan40°=（100+x）·tan27°.解得x=.∴ce=·tan40°=.最后求出气球的高度即可.教师总结：本节课我们主要研究了锐角三角函数的简单应用，学会了从各种不同的角度分析问题，抓住问题的突破口，步步逼近.今天我们一起探究了解决锐角三角函数的三种方案：方案一，由内而外，利用三角函数列方程求解；方案二，根据两线段之差等于已知线段列方程求解；方案三，抓住两个三角形的公共边列方程.这三种方案各有千秋，平时解题时我们要具体问题具体对待.二、总评1.本节课最大的“亮点”：在数学教学中，教师有意识地引导学生自主探索，合作交流，注重培养学生理性思维的习惯和方法，求解过程不必统一，鼓励多样化的解题方法，培养学生的创新意识.2.需要进一步思考的问题：学生在探究的过程中，图形语言与数学符号语言相结合是重要的数学思想和数学方法，这一过程需要时间的保证，因此教学内容还需要精简，教学语言还需要精练.。

课题7.1正切(1) 自主空间学习目标知识与技能:1.理解正切的概念, 能通过画图求出一个角的正切的近似值。

能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。

过程与方法:1.经历探索表示物体倾斜程度, 形成正切的概念的过程, 练就创造性解决问题的能力。

1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。

学习重点理解并掌握正切的含义, 会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。

学习难点计算一个锐角的正切值的方法。

教学流程预习导航观察回答: 如图某体育馆, 为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。

下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答: 图的台阶更陡, 理由合作探究一、新知探究:1.思考与探索一:除了用台阶的倾斜角度大小外, 还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比, 来说明台阶的倾斜程度。

（思考: BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答: _________________. 讨论: 你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答: ________________________. 2.思考与探索二:（1）如图, 一般地, 如果锐角A的大小已确定,我们可以作出无数个相似的RtAB1C1, RtAB2C2, RtAB3C3……, 那么有: Rt△AB1C1∽_____∽____……根据相似三角形的性质,得: ＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定, 那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。

3.正切的定义如图, 在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。

我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______, 记作______。

即: tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？ ）试试看.4．思考: 当锐角α越来越大时, α的正切值有什么变化？ 二. 例题分析:例1：⑴某楼梯的踏板宽为30cm, 一个台阶的高度为15cm, 求 楼梯倾斜角的正切值。

第7章 锐角三角函数 复习学案学习目标：1、理解锐角三角函数的定义，能运用相关知识解直角三角形。

2、经历解直角三角形有关知识解决实际应用问题，提升分析问题、解决问题的能力。

3、通过本章知识的复习，体会转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想在解决数学问题中的广泛应用，深刻理解用数学方法解决实际问题的重要性和必要性。

学习重点：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化；运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。

一、自我回顾：课前对本章知识进行复习整理，课上进行成果展示，比一比，谁更优秀。

二、基础演练1．计算1sin 60cos302︒•︒-=______ 2．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若2AC BC =，则tan A 的值是（ ）A. 12B.2C.D.3．在Rt ABC ∆中，90,C AB ∠=︒=，AC =A ∠的值是（ ）A. 90︒B. 60︒C. 45︒D. 30︒4．在下列直角三角形中，不能解的是（ ）A.已知一直角边和所对的角B.已知两个锐角C.已知斜边和一个锐角D.已知两直角边思考：解决上述问题，需要哪些基础知识？三、灵活运用1．ABC ∆中，3,5,4a b c ===，则sin A 值是（ ） A. 34 B. 54 C. 35 D. 452．Rt ABC ∆中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=︒，则BC 边长是（ ）A. sin 40m ︒B. cos40m ︒C. tan 40m ︒D. tan 40m ︒3．ABC ∆中，190,tan 3C A ∠=︒=，则sin B 的值是（ ）A.B. 23C. 34D. 4．1012sin 45(2)3-⎛⎫-+-π- ⎪⎝⎭o =_________ 反思：正确解决上述问题，你认为在哪些环节需要特别注意？激活思维1．某中学有一块三角形形状的花园ABC ，现可直接测得30A ∠=︒，AC =40米，BC =25米，请你求出这块花园的面积。

《锐角三角函数》教材分析和教学建议一、教材分析1、地位、作用从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段，在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，即本章内容在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的基础.与此同时，本章为学生提供了更加广阔的探索空间，可以开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式.2、主要内容本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容.锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度.本章需要落实五个教学内容：锐角三角函数的概念；特殊角的三角函数值；根据三角函数值求角度；解直角三角形的含义；实际问题与解直角三角形.本章需要认识三个教学要点：基本点——对锐角三角函数的认识与应用；支撑点——相似和勾股定理；能力提升点——组合图形的转化求解，根据具体问题构造直角三角形.二、教学目标1、课标对教材的总体要求（1）通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角.（2）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.2、课标对本章内容的具体要求（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比；记忆300，450，600角的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数；（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；（3）理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；（4）通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.三、教学重点、难点1、教学重点：锐角三角函数的概念，解直角三角形及其简单应用.2、教学难点：锐角三角函数的概念；掌握300，450，600角的三角函数值.三、教材的编写意图1、正确处理数学，社会，学生三者的关系，适应科技发展的形势，关注社会进步的需求，更新对数学基础知识和基本技能的认识，注重培养理性精神和创新意识，提高学生发现、提出、分析和解决问题的能力.2、遵循认知规律，为学生创造自主探究，合作交流的空间，为教师营造教学创新的氛围，为师生互动式教学提供丰富的资源.促进现代信息技术与数学课程的整合，改进教材的呈现方式，提高学生学习数学的兴趣.四、学情分析学生前面已经学习了函数、四边形、相似三角形和勾股定理的知识，已经掌握了直角三角形各边、各角之间的关系和函数的基本概念，能够熟练地利用勾股定理解决有关直角三角形的问题.为锐角三角函数的学习提供了研究的方法，具备了一定的逻辑思维能力和推理能力，通过以前的合作学习，具备了一定的合作与交流的能力，会观察、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理.但在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解，学生很难想到对于任意锐角，它的对边、邻边和斜边的比值也是固定的实事，关键在于教师引导学生比较、分析、得出结论.五、教学建议在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解，应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形.因此在教学中将采取以下策略：1、认真钻研教材、选择教法，选取的例子要深入浅出，让教学内容一脉贯通.突出学数学、用数学的意识与过程.因为锐角三角函数的概念是本章的重点、难点和关键，因此，如何选取例子引入这个概念就显得尤为重要，在教学三角函数的应用时尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题，让学生感觉自然，熟悉和容易理解.2、重视学生记忆的环节，充分运用现代信息技术.教师要引导学生对定义、基本公式、性质等进行记忆，并检查和督促，因为这是整册书学习的基础，如果忽略了这一环节的工作，我们的教学将会是事倍功半，甚至是徒劳无功的.三角函数定义的记忆在解直角三角形这章中显得尤其重要，学生只有在熟记的基础上才能谈得上运用，形成技能，发展思维.另外，教师应当在学生理解并能正确应用公式、法则等进行计算的基础上，指导学生用计算器完成较为繁杂的计算.在课堂教学、课外作业、实践活动中，鼓励学生用计算器进行探索规律等活动.3、注意数形结合，自然体现数与形之间的联系.数形结合是一种重要的数学思想和数学方法，是几何学习必不可少的有效方法.如本章对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质；再如，解直角三角形在实际中有着广泛的应用，先将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决.因此，在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、化简计算、解决实际问题时都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解.4、数学来源于生活，又服务于生活.在教学中还要提供一些具有实际背景和应用意义的题目，让学生经历“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”解决问题的过程.。

《正切》教学设计教学内容：苏科版数学九年级下册第七章《锐角三角函数》第1节《正切》．学情分析：九年级学生的认知发展水平处于从具体形象思维向抽象概括思维的过渡阶段，对图形的认知水平逐步提高。

在学习本节内容之前，学生已经学习了有关直角三角形的边（勾股定理及其逆定理）、角（直角三角形的两个锐角互余）的知识，并积累的一定的几何学习经验，这为本节课的学习奠定了坚实的认知基础．教学目标：1．认识锐角的正切的概念，会求一个锐角的正切值．2．经历正切概念的探索过程，感受利用控制变量法研究多个因素之间关系的方法。

3．了解锐角的正切值随着锐角的增大而增大，随着锐角的减小而减小，初步感受正切的函数思想．教学重点：正切的概念、求一个锐角的正切值．教学难点：探索正切的概念．教学重点解决措施：在教学过程中，我从概念的内涵和外延两个方面来加深学生对正切本质的理解．在概念的内涵上，通过设问：要正确把握正切的概念需要抓住哪几个关键点，来引发学生对概念内涵的思考；在概念的外延上，通过一组“试一试”即求直角三角形（摆放位置各不相同）及斜三角形任意内角的正切，来感受求一个角的正切值的前提（直角三角形）及注意点（两条直角边比的顺序）．教学难点解决措施：教学中，我从学生熟悉的爬山情境出发，通过比较不同类型山坡的倾斜程度，引发学生对山坡的倾斜角、垂直高度、水平距离之间关系的思考。

通过由易到难，层层铺设问题，利用控制变量法，分别控制三个变量中的每个变量，进而探索另外两个变量之间的关系．在此过程中，学生对三个变量间关系的思考也越来越深入，最终水到渠成，获得：当倾斜角一定时，其垂直高度与水平距离的比就一定，当倾斜角变化时，这个比值也随之变化，即获得正切的概念．教学工具及资源：利用可触摸电子屏幕，在几何画板环境下组织、实施教学．教学过程：一、问题情境你爬过山或坡吗？什么样的山或坡爬的时候比较累？你是怎样描述山坡的倾斜程度的？二、建构活动1．如果把山坡看作是直角三角形的斜边，如下图所示，你觉得坡AB和坡A’B’哪个更陡？你是怎么判断的？由此，你能获得什么结论？【多媒体资源使用】教师利用几何画板，移动ΔA’B’C’，使得点A’与点A重合，从而比较∠A’与∠A的大小．2．下图中坡AB和坡A’B’哪个更陡？你是怎么判断的？由此，你能获得什么结论？【多媒体资源使用】让学生利用几何画板，移动ΔA’B’C’，使得点A’与点A重合，或使得B’C’与BC重合，从而比较∠A’与∠A的大小．3．当倾斜角不变时，其垂直高度与水平距离之间有什么关系？学生画图分析、组内讨论，阐述结论及证明思路．6cm4cm B'BC'10cm 6cm6cm B'BC C'【多媒体资源使用】在学生思考、讨论完以后，教师利用几何画板画出两个具有相等倾斜角的直角三角形，如上图所示，让学生研究当倾斜角不变时，垂直高度与水平距离之间的数量关系．4．当山坡的倾斜角变化时，其垂直高度与水平距离之比有怎么样的变化？【多媒体资源使用】利用几何画板交互性的优势，将前面的两组图调出来，研究倾斜角变化的情况．5．通过以上活动你能得出什么结论？通过以上活动发现：山坡的倾斜角与其垂直高度、水平距离的比有着密切的联系．在数学中，这个比叫做这个角的正切．三、数学化认识1．定义：在Rt △ABC 中，∠C =90°，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切（tangent ），记作 tan A ．2．符号表示：b a A A A =∠∠=的邻边的对边tan ． 3．阅读正切的概念，你觉得把握这个定义需要抓住哪几个关键点？4．活动：请你将下列各锐角的正切表示出来．【多媒体资源使用】教师利用几何画板画出一组直角三角形和斜三角形，如上图所示，让学生以“接长龙”、“开火车”表示出各个锐角的正切值。