下载文档原格式
三角函数的基本性质与应用实践引言三角函数是数学中一个重要的分支，它与几何、物理、工程等学科密切相关。
本文将探讨三角函数的基本性质以及其在实际应用中的重要性。
一、三角函数的定义及基本性质1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的一种，它的定义如下：在单位圆上，以原点为中心，与x轴正方向相交于点A，与单位圆上的点P(x, y)相对应。
则角PAO的正弦值定义为y坐标，即sinθ=y。
正弦函数的基本性质如下：（1）定义域：整个实数集。
（2）值域：[-1, 1]。
（3）周期性：sin(θ+2π)=sinθ。
2. 余弦函数余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的一种，它的定义如下：在单位圆上，以原点为中心，与x轴正方向相交于点A，与单位圆上的点P(x, y)相对应。
则角PAO的余弦值定义为x坐标，即cosθ=x。
余弦函数的基本性质如下：（1）定义域：整个实数集。
（2）值域：[-1, 1]。
（3）周期性：cos(θ+2π)=cosθ。
3. 正切函数正切函数是三角函数中另一种重要的函数，它的定义如下：在单位圆上，以原点为中心，与x轴正方向相交于点A，与单位圆上的点P(x, y)相对应。
则角PAO的正切值定义为y/x，即tanθ=y/x。
正切函数的基本性质如下：（1）定义域：所有使得cosθ≠0的实数。
（2）值域：整个实数集。
（3）周期性：tan(θ+π)=tanθ。
二、三角函数的应用实践1. 几何应用三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，利用正弦定理和余弦定理，我们可以解决各种三角形的边长和角度问题。
此外，三角函数还可以用于计算三角形的面积、高度、周长等相关参数。
2. 物理应用三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，运动学中的速度、加速度等概念可以通过三角函数来描述。
此外，波动学、光学等学科中的波动现象也可以用三角函数来解释和计算。
3. 工程应用在工程学中，三角函数的应用尤为广泛。
例如，建筑工程中的角度测量、地质勘探中的地形测量、电力工程中的电流和电压计算等都需要用到三角函数。
三角函数的性质与计算三角函数是数学中常见且重要的概念，它们具有许多独特的性质和用于解决各种问题的计算方法。
本文将介绍三角函数的性质以及如何进行计算，为读者提供清晰的解释和实用的方法。
一、三角函数的基本性质1. 正弦函数（sin）的性质：正弦函数是周期函数，周期为2π。
它的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数的图像在每个周期内是对称的，且在x = kπ (k为整数)处取得零值。
正弦函数的最大值为1，在x = (2k + 1)π/2 (k为整数)处取得，最小值为-1，在x = 2kπ (k为整数)处取得。
2. 余弦函数（cos）的性质：余弦函数也是周期函数，周期为2π。
与正弦函数类似，余弦函数的定义域也是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数的图像在每个周期内也是对称的，且在x = (2k + 1)π/2 (k为整数)处取得最小值-1。
余弦函数的最大值为1，在x = 2kπ (k为整数)处取得。
3. 正切函数（tan）的性质：正切函数是周期为π的函数。
它的定义域为实数集，但值域是无界的。
正切函数在x = kπ (k为整数)处有奇点（即函数无定义），在这些点附近的值趋向于无穷大或负无穷大。
在其他点处，正切函数的值随着角度的变化在正负无穷大之间摆动。
二、常见的三角函数计算方法1. 度数与弧度之间的转换：在计算三角函数时，度数和弧度是两种常用的表示方式。
由于三角函数的定义基于弧度，因此在计算时通常需要将度数转换为弧度。
转换公式为：弧度 = 度数× (π/180)其中，π是圆周率，约等于3.14159。
2. 三角函数的计算方法：触类旁通可知，后文的计算方法不能列举全面，以下列出常用且基础的计算方法：- 已知角度，求三角函数值：通过计算器或查表可得出指定角度的正弦、余弦和正切值等。
- 已知三角函数值，求角度：通过反函数（例如 arcsin、arccos、arctan）求出给定三角函数值对应的角度。
三角函数的性质与应用三角函数是数学中一类重要的函数，它们在数学、物理、工程等领域应用广泛。
本文将介绍三角函数的性质以及其在实际问题中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期为2π的函数，定义如下：sinθ = y/r其中，θ表示角度，y表示直角三角形中的对边长度，r表示直角三角形的斜边长度。
正弦函数的性质有：（1）周期性：sin(θ+2π) = sinθ（2）奇偶性：sin(-θ) = -sinθ（3）微分关系：d(sinθ)/dθ = cosθ2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期为2π的函数，定义如下：cosθ = x/r其中，θ表示角度，x表示直角三角形中的邻边长度，r表示直角三角形的斜边长度。
余弦函数的性质有：（1）周期性：cos(θ+2π) = cosθ（2）奇偶性：cos(-θ) = cosθ（3）微分关系：d(cosθ)/dθ = -sinθ3. 正切函数（tan）正切函数是一个周期为π的函数，定义如下：tanθ = y/x其中，θ表示角度，y表示直角三角形中的对边长度，x表示直角三角形中的邻边长度。
正切函数的性质有：（1）周期性：tan(θ+π) = tanθ（2）奇偶性：tan(-θ) = -tanθ（3）微分关系：d(tanθ)/dθ = 1/cos²θ二、三角函数的应用1. 几何应用在几何学中，三角函数广泛应用于解决各种角度和长度相关的问题。
例如，我们可以利用正弦函数和余弦函数来求解三角形的边长和角度，或者计算一个平面图形的面积。
2. 物理应用三角函数在物理学中也有重要的应用，特别是在描述波动、振动和周期性现象时。
例如，我们可以利用正弦函数来描述声波、光波的传播规律，或者利用余弦函数来描述振动物体的运动规律。
3. 工程应用三角函数在工程领域中的应用非常广泛。
例如，在建筑工程中，我们可以利用三角函数来计算房屋的高度、角度等信息；在电子工程中，三角函数可以用于描述电流、电压的波动过程。
三角函数的性质与变形公式三角函数是数学中的一门重要内容，它被广泛应用于物理学、工程学等领域。
三角函数的性质和变形公式是掌握三角函数的重要基础。
在本文中，我将详细介绍三角函数的性质和变形公式。
一、三角函数的性质1. 周期性正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为 $2\pi$，即$sin(x+2k\pi) = sin(x)$，$cos(x+2k\pi) = cos(x)$，其中 $k$ 为任意整数。
2. 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，即 $sin(-x) = -sin(x)$，$tan(-x) = -tan(x)$；余弦函数是偶函数，即 $cos(-x) = cos(x)$。
3. 对称性正弦函数是以$y$ 轴为对称轴对称的，即$sin(\pi -x) = sin(x)$；余弦函数是以 $x$ 轴为对称轴对称的，即 $cos(\pi -x) = -cos(x)$。
4. 增减性正弦函数在 $[0,\pi]$ 区间是增函数，在 $[\pi,2\pi]$ 区间是减函数。
余弦函数在 $[0,\pi]$ 区间是减函数，在 $[\pi,2\pi]$ 区间是增函数。
二、三角函数的变形公式1. 正切函数的变形公式$$tan(x \pm \pi) = \pm tan(x)$$根据正切函数的周期性可以得到上述公式。
当 $x$ 落在$[\frac{\pi}{2},\pi]$ 区间内时，$tan(x)$ 的符号与 $\pi$ 内角的符号相同；当 $x$ 落在 $[\pi,\frac{3\pi}{2}]$ 区间时，$tan(x)$ 的符号与 $\pi$ 内角的符号相反。
$$tan(\frac{\pi}{2} \pm x) = -\frac{1}{tan(x)}$$当 $x$ 落在 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 区间内时，上式成立。
2. 正弦函数和余弦函数的变形公式$$sin(x \pm \pi) = -sin(x),\quad cos(x \pm \pi) = -cos(x)$$由三角函数的周期性可以得到上述公式。
利用三角函数性质求解三角方程三角方程是在三角函数中含有未知数的方程，求解三角方程可以利用三角函数的性质和特点进行分析和计算。
在这篇文章中，我将介绍如何利用三角函数的性质来求解三角方程。
一、三角函数的周期性三角函数中的正弦函数、余弦函数、正切函数等都具有周期性的特点。
正弦函数和余弦函数的周期是2π，而正切函数的周期是π。
这就意味着，如果一个三角方程中的角度值增加（或减少）一个周期，那么方程的解不变。
例如，对于方程sin(x) = 0，我们知道正弦函数在0、π、2π、3π等角度上的值为0。
因此，该方程的解可以是0、π、2π、3π等等。
我们可以通过对这些解依次加上或减去周期2π，得到所有的解。
二、三角函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
奇函数的特点是在对称轴上的函数值为0，而偶函数的特点是在对称轴上函数值关于坐标系原点对称。
利用三角函数的奇偶性，可以求解一些特定形式的三角方程。
例如，对于方程sin(2x) = 0，我们可以因为sin函数的奇函数性质，将2x = 0简化为x = 0。
同样地，对于cos(3x) = 0，我们可以因为cos函数的偶函数性质，将3x = π/2简化为x = π/6。
三、基本三角函数的关系正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在一些基本的关系。
例如，tan(x) = sin(x)/cos(x)，sec(x) = 1/cos(x)，csc(x) = 1/sin(x)。
利用这些关系，我们可以将三角方程中的一个三角函数用其他函数表示，从而简化方程的求解过程。
例如，对于方程tan(x) = 1，我们可以利用tan函数和sin函数、cos函数的关系，将方程改写为sin(x)/cos(x) = 1，进一步得到sin(x) =cos(x)。
然后，我们可以利用正弦函数和余弦函数的关系sin(x) = √(1 - cos²(x))，将方程转化为√(1 - cos²(x)) = cos(x)。
三角函数的定义与性质及应用三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义与性质以及它们在实际问题中的应用。
一、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）等，在平面直角坐标系中定义如下：正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示斜边与对应的直角边的比值，记作sinθ，其中θ为对应的角度。
正弦函数的取值范围为[-1,1]。
余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示斜边与斜边所在直角边的比值，记作cosθ，其中θ为对应的角度。
余弦函数的取值范围为[-1,1]。
正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值，记作tanθ，其中θ为对应的角度。
正切函数的取值范围是整个实数集。
三角函数具有一些基本性质：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ。
正切函数的周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ)=cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。
3. 相关性质：正弦函数与余弦函数有如下关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。
这被称为三角恒等式，它是三角函数最基本的性质之一。
二、三角函数的应用三角函数在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
下面分别介绍它们的应用。
1. 几何学应用：三角函数在几何学中经常用于解决直角三角形的问题。
通过利用正弦函数、余弦函数和正切函数，可以求解三角形的边长、角度等信息。
例如，通过已知一个角度和一个边长，可以利用正弦函数求解另一个角度或边长。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中的应用广泛，尤其是在描述周期性运动中。
例如，物体做简谐振动时，其位移随时间的变化可以用正弦函数或余弦函数表示。
三角函数的基本性质与应用三角函数是数学中一类非常重要且广泛应用的函数。
它们在几何和物理等领域中具有重要作用。
本文将介绍三角函数的基本性质以及它们在实际应用中的具体应用。
一、正弦函数的基本性质与应用正弦函数（sine function）是最基本的三角函数之一。
它定义为一个角的对边与斜边的比值。
正弦函数的基本性质如下：1. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期为2π（或360°）。
这意味着对于一个给定的角度，正弦函数的值会在每个周期内重复。
2. 奇函数性质：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称，左右两侧呈现镜像关系。
正弦函数在实际应用中广泛应用，其中一些典型的应用包括：1. 音波分析：正弦函数被广泛用于声音和音乐的分析。
通过正弦函数的频率和振幅，我们可以分析和描述不同音调和音量的声音信号。
2. 振动现象：正弦函数模拟周期性振动现象。
例如，通过正弦函数的图像，我们可以了解弹簧振子、摆振等周期性振动的特点和行为。
二、余弦函数的基本性质与应用余弦函数（cosine function）是另一个基本的三角函数。
它定义为一个角的邻边与斜边的比值。
余弦函数的基本性质如下：1. 周期性：余弦函数同样是周期性函数，其周期也是2π（或360°）。
余弦函数的周期与正弦函数完全相同。
2. 偶函数性质：余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
这意味着余弦函数关于y轴对称，左右两侧呈现对称关系。
余弦函数在实际应用中也具有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用：1. 电路分析：在电路分析中，余弦函数用来描述交流电的电压和电流变化。
通过余弦函数的振幅和频率，我们可以分析电路中的电压和电流随时间的变化情况。
2. 光学的干涉和衍射现象：在光学中，余弦函数被用来描述光的干涉和衍射现象。
通过余弦函数，我们可以计算不同波长的光线的叠加和干涉效应。
三、正切函数的基本性质与应用正切函数（tangent function）是三角函数中的第三个基本函数。
三角函数公式性质及应用
一、三角函数的定义
三角函数是数学上常用的函数，它们的值取决于它们的自变量的角度。
三角函数的定义可以用正弦函数、余弦函数和正切函数表示。
正弦函数sin(x)= y：
它表示x角度的圆的弧长和半径之比，例如sin 30° = 0.5，它表
示的是半径为1的圆的弧长为半圆弧的长度。
余弦函数cos(x)= y：
它表示x角度，圆的弧和半径之间的关系，例如cos 30° = 0.8，
它表示的是半径为1的圆的弧长为 0.8
正切函数tan(x)= y：
它表示x角度圆的弧长与直径之比，例如tan 30°= 0.9，它表示的
是半径为1的圆的弧长为 0.9
1、三角函数的绝对值性质：
任何正数的正弦、余弦和正切的值都在-1到1之间，即：-1<sin x，cos x，tan x<1
2、三角函数的对称性：
正弦函数的值和负x的值是相等的，即sin(-x)= -sin x；
余弦函数的值和x的值是相等的，即cos(-x)= cos x；
正切函数的值和-x的值是相等的，即tan(-x)= -tan x；
3、三角函数的周期性：
正弦函数是周期性的，即sin(x+2π)= sin x；
余弦函数也是周期性的，即cos(x+2π)= cos x；
正切函数也是周期性的，即tan(x+2π)= tan x；
4、三角函数的应用：
(1)在天文学中，用三角函数来计算测量天体的位置，用余弦定理来计算天体间的距离。
(2)在建筑学中，用三角函数来计算建筑物的投影大小。
三角函数最值问题的十种常见解法解法一：利用图像性质求解利用三角函数的图像性质，首先将函数图像画出来，观察函数在指定区间上的最大值和最小值所对应的点的坐标。
解法二：使用导数求解通过对三角函数进行求导，然后将导数等于零进行求解，可以得到函数的关键点，进而通过函数的变化趋势确定最值。
解法三：使用平均值不等式求解根据平均值不等式的性质，可以得到三角函数的最值。
例如，对于正弦函数sin(x)，可以利用平均值不等式得到最值。
解法四：使用二次函数的性质求解将三角函数转化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质求解最值。
例如，可以将正弦函数sin(x)转化为二次函数的形式。
解法五：使用三角函数的周期性质求解三角函数的周期性质可以帮助我们确定最值所在的区间。
通过观察函数的周期性质，可以得到函数的最大值和最小值。
解法六：使用三角函数的反函数求解利用三角函数的反函数，可以将问题转化为求解反函数的最值问题。
通过对反函数的最值进行求解，可以得到原函数的最值。
解法七：使用三角函数的恒等式求解利用三角函数的恒等式，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用和差公式将三角函数的角度转化为相对简单的形式。
解法八：使用三角函数的基本关系求解利用三角函数的基本关系，可以将复杂的三角函数转化为简单的形式，进而求解最值问题。
例如，可以利用正切函数和余切函数的基本关系求解最值。
解法九：使用三角函数的积分求解通过对三角函数进行积分，可以得到函数的积分表达式，并通过积分表达式求解最值。
例如，可以通过对正弦函数进行积分得到函数的积分表达式。
解法十：使用泰勒级数展开求解利用泰勒级数展开，可以将三角函数转化为幂级数形式，进而求解最值问题。
通过计算前几项幂级数的和，可以得到函数的近似值，并进一步求解最值。
高一使用 2021年4月三角函数的主要性质有奇偶性、单调性、周期性、对称性及最值等。
利用三角函数的性质可以求参数的值或参数的取值范围。
下面举例分析，供同学们学习与参考。
—、利用三角函数的奇偶性求参数的值例1 函数y = 3 sin 2x 一 cos 2x 的图像向右平移p (oV p Vy )个单位长度后，得到函数g(x )的图像，若函数g(x )为偶函数,)。
则p 的值为(A 1nn B6C -4D3解：因为 2k n + ；C2x + p C2k n +'：，解：由函数 y = 3 sin 2x 一 cos 2x2sin (x — 6)，可知其图像向右平移pk e Z ,所以 k n + n — p C x C k n + —j- — p ,(o V p v2)个单位长度后，得到函数g(x ) =k ez 。
又因为倚冷)是f (x )的一个单调2sin (2x —2p —6)的图像递增区间， p V n ,所以5n C k n + 3^ — 2,因为g (x )为偶函数，所以2p + n6k e Z ,解得p C :。
同理可知,由n A k n +n n k n-+k n,ez ，可得 p = 6 + w k ez又4一2，k eZ,|p IVn,可得 p #10。
由上可p e (。
，2)，所以 p = 6。
应选 b 。
评析：利用三角函数的奇偶性求参数问 题常用下列结论：①函数y =A cos 9x +p )+ B (A H0)为奇函数O p = k n+ n (k e Z )且B = 0 ；②函数 y = A cos(9x + p ) + B (A H0)为偶函数O p = k n(k e Z )。
二、利用三角函数的单调性求参数的取 值范围例 2 已知函数 f (x ) = — 2sin(2x +p )得,0 C p C n 。
应选C评析：解答本题要注意单调区间的给出方式，如"函数f(x )在k 兀—5；，兀+］：］( eZ)上单调递增"与函数f(x )的单调递增区间为［吃n — — , k n + 12］(k e Z )是不同的。
三角函数的性质与应用解析几何与三角关系的掌握三角函数的性质与应用解析几何与三角关系的掌握三角函数是解析几何和三角关系中的重要概念，它们具有许多性质和应用。
本文将围绕着三角函数的性质以及在解析几何与三角关系中的应用展开讨论。
一、三角函数的性质1. 周期性：三角函数具有周期性，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)，而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 函数值范围：正弦函数和余弦函数的值域都在[-1, 1]之间，而正切函数的值域是整个实数集。
4. 基本关系：正弦函数和余弦函数之间存在基本关系sin²(x) +cos²(x) = 1，这一关系也被称为三角恒等式。
5. 单调性：正弦函数在[0, π]区间上是递增函数，在[π, 2π]区间上是递减函数；余弦函数在[0, π/2]区间上是递减函数，在[π/2, 3π/2]区间上是递增函数。
二、解析几何与三角关系的应用1. 直角三角形中的应用：通过利用正弦函数、余弦函数和正切函数，可以解决直角三角形中的问题，如计算边长和角度，求解高度等。
2. 角的平分线问题：在平面几何中，通过三角函数的应用可以求解角的平分线问题，即给定一个角，如何找到它的平分线方程。
3. 三角方程的求解：三角函数可以用于求解包含三角函数的方程，如sin(x) = 0和cos(x) = 1等。
通过利用三角函数的性质和恒等式，可以解得方程的根。
4. 解析几何中的曲线图像：三角函数在解析几何中的曲线图像具有重要应用，如正弦曲线、余弦曲线等。
通过对三角函数的图像进行分析，可以得到曲线的周期、振幅、最值等信息。
5. 三角函数在物理学中的应用：三角函数在物理学中有广泛的应用，如分析周期性运动、波动现象等。
通过利用三角函数的性质，可以描述和解决许多物理问题。
总结：三角函数作为解析几何和三角关系中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
应用三角函数的性质求解参数问题知识拓展 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性假设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω≠0),那么(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．3．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2,k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π,k ∈Z确定其横坐标． 题型分析(一) 与函数最值相关的问题【例1】函数2()2cos 2f x x x m =--． 〔1〕求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间； 〔2〕假设53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值． 【分析】〔1〕()f x 化为1sin(2)62x m π---,可得周期22T ππ==,由222262k x k πππππ-+≤-≤+可得单调递增区间；〔2〕因为53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以42,643x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,进而()f x 的最大值为1102m --=,解得12m =.〔2〕因为53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以42,643x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,那么当262x ππ-=,3x π=时,函数取得最大值0, 即1102m --=,解得12m =． 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值. 【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】假设方程22sin sin 0x x m +-=在[)0,2π上有且只有两解，那么实数m 的取值范围_____．【答案】()11,38⎧⎫⋃-⎨⎬⎩⎭【解析】[]221122,sin 1,148m t t t t x ⎛⎫=+=+-=∈- ⎪⎝⎭所以当(]11,38m m =-∈或时， y m = 与22y t t =+ 只有一个交点，当3m =时1t =，方程22sin sin 0x x m +-=只有一解所以要使方程22sin sin 0x x m +-=在[)0,2π上有且只有两解，实数m 的取值范围()11,38⎧⎫⋃-⎨⎬⎩⎭(二) 根据函数单调性求参数取值范围如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常别离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.【例2】ω＞0,函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减,那么ω的取值范围是________．【分析】根据y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,列出关于ω的不等式组【解析】 由π2＜x ＜π,ω＞0得,ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4,又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原那么,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减〞；求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ〞为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】假设函数sin y x ω=在区间[]0,2π上单调递增，那么实数ω的取值范围是________．【答案】10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得][0,0,2,22x ππωωωπ⎡⎤>∈⊂-⎢⎥⎣⎦，所以102024πωπω<≤⇒<≤5．(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围 【例3】函数2()[2sin()sin ]cos 3sin 3f x x x x x π=++-．(1)假设函数)(x f y =的图像关于直线(0)x a a =>对称,求a 的最小值; (2)假设存在05[0,],12x π∈使0()20mf x -=成立,求实数m 的取值范围. 【分析】(1)先利用降幂公式进展化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为)32sin(2)(π+=x x f ,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可；(2)根据05[0,],12x π∈的范围求出320π+x 的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f (x 0)的值域,从而可求出＝00021()20()sin(2)3mf x m f x x π-=⇒==+的取值范围． (2)00021()20()sin(2)3mf x m f x x π-=⇒==+ 0057[0,],212336x x ππππ∈≤+≤01sin(2)123x π∴-≤+≤故(,2][1,)m ∈-∞-⋃+∞．【点评】对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进展判断．【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】假设将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,所得的图象关于y 轴对称,那么ϕ的最小值是 【答案】8π 【解析】函数()sin2cos22sin 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,得到2sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 图象关于y 轴对称,即()242k k Z ππϕπ+=+∈,解得1=28k πϕπ+,又0ϕ>,当0k =时, ϕ的最小值为8π. (四) 等式或不等式恒成立问题在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围.【例4】不等式262sin cos 6cos 04442x x x m +--≥对于,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,那么实数m 的取值范围是 【答案】22m ≤【点评】解决恒成立问题的关键是将其进展等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：假设不等式()f x A >在区间D 上恒成立,那么等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；假设不等式()f x B <在区间D 上恒成立,那么等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ．【小试牛刀】【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,假设对任意的实数5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,都存在唯一的实数[]0,m β∈,使()()0f f αβ+=,那么实数m 的最小值是__________． 【答案】2π【解析】函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,假设对任意的实数5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦, 那么：f 〔α〕由于使f 〔α〕+f 〔β〕=0,那么：f 〔β〕∈[0,．sin 06πβ⎡⎛⎫-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦,0β63ππ≤-≤,β=2π,所以：实数m 的最小值是2π．故答案为： 2π(五) 利用三角代换解决范围或最值问题由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进展变换,得到新的范围,到达解决问题的目的.【例5】12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是他们的一个公共点,且123F PF π∠=,那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为__________．ABC .3D .2 【解析】设椭圆方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0),双曲线方程为222211x y a b-=(a ＞0,b ＞0),其中a ＞a 1,半焦距为c ,于是|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|PF 1|－|PF 2|＝2a 1,即|PF 1|＝a ＋a 1,|PF 2|＝a －a 1, 因为123F PF π∠=,由余弦定理：4c 2＝(a ＋a 1)2＋(a －a 1)2－2(a ＋a 1)(a －a 1)即4c 2＝a 2＋3a 12,即221()3()4a a cc+= 令ac ＝2cosθ＝2sinθ所以11112cos a a e e c c θθ+=+=≤【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁. 【小试牛刀】实数,x y 满足221x y +=,那么()()11xy xy -+的最小值为【答案】43 【解析】由221x y +=,可设cos ,sin x y θθ== ,那么()()11xy xy -+=111sin 21sin 222θθ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2131sin 244θ=-≥.五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的图像与x 轴的交点A ， B ， C 满足2OA OC OB +=，那么ϕ=________.【答案】34π【解析】不妨设0x ωϕ+=， πx ωϕ+=， 2πx ωϕ+=，得π2π,,B A C x x x ϕϕϕωωω--=-==，由2OA OC OB +=，得3π22ϕϕωω-=，解得3π4ϕ=. 2．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】假设函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π， 3π， 23π，那么实数ω的值为____． 【答案】4 【解析】2362T πππ=-=，所以4ω=。
三角函数定积分的四种求解方法在数学中，三角函数的定积分是一个常见的问题。
为了解决这个问题，人们提出了四种不同的求解方法。
本文将介绍这四种方法，并对其进行比较和分析。
方法一：换元法换元法是求解三角函数定积分最常用的方法之一。
该方法通过引入一个新的变量来简化积分表达式。
以求解正弦函数的定积分为例，假设我们要求解∫sinx dx，可以令u = cosx，通过对u求导得到du = -sinx dx，最终将原积分转化为∫-du。
通过求解新的积分表达式，我们可以得到结果。
方法二：三角函数的性质三角函数具有一系列的性质，利用这些性质可以简化定积分的求解过程。
例如，利用奇偶性，周期性以及和差化积等性质，我们可以将原积分表达式中的三角函数转化为更简单的形式，并且得到结果。
方法三：积分公式积分公式是求解三角函数定积分的重要工具。
根据积分公式，我们可以将原积分表达式直接转化为已知的积分公式形式，并通过对公式进行运算，得到结果。
常见的积分公式有正弦函数与余弦函数的积分，正切函数的积分等。
方法四：数值积分当无法用已知的数学方法求解三角函数定积分时，我们可以通过数值积分的方法来逼近解。
数值积分是通过离散化积分区间，将定积分转化为求和的形式，然后通过数值计算的方法来进行近似计算。
常见的数值积分方法有梯形法则，Simpson法则等。
通过比较这四种求解方法，我们可以发现每种方法都有其适用的场景。
换元法适用于对积分表达式进行简化的情况；利用三角函数的性质可以简化积分表达式的形式；积分公式对于已知的积分形式非常有用；数值积分则可以用于处理无法用传统方法求解的情况。
因此，在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的求解方法。
综上所述，三角函数的定积分可以通过换元法、三角函数的性质、积分公式以及数值积分等四种求解方法来进行。
每种方法都有其独特的优势和适用场景。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解三角函数的定积分，从而得到准确的结果。
三角函数的性质及其应用三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学和工程学等多个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的性质及其应用，并讨论其在实际问题中的应用案例。
一、三角函数的定义及基本性质1. 正弦函数（sine function）：在数学上，正弦函数通常用sin(x)表示，其中x为角度。
该函数的值等于一个直角三角形中与指定角的正弦比例，即对边与斜边之比。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]之间的实数。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数通常用cos(x)表示，其中x为角度。
余弦函数的值等于一个直角三角形的邻边与斜边之比，即临边与斜边之比。
余弦函数的定义域为实数集，值域也为[-1, 1]之间的实数。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数通常用tan(x)表示，其中x为角度。
正切函数的值等于一个直角三角形的对边与邻边之比，即对边与临边之比。
正切函数的定义域为实数集，但它在某些角度上无定义，比如90度的整数倍。
值域为实数集。
4. 余切函数（cotangent function）：余切函数通常用cot(x)表示，其中x为角度。
余切函数的值等于正切函数的倒数，即1/tan(x)。
它也有相应的定义域和值域。
5. 正割函数（secant function）：正割函数通常用sec(x)表示，其中x为角度。
正割函数的值等于余弦函数的倒数，即1/cos(x)。
它也有相应的定义域和值域。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数通常用csc(x)表示，其中x为角度。
余割函数的值等于正弦函数的倒数，即1/sin(x)。
它也有相应的定义域和值域。
二、三角函数的应用1. 几何学中的应用：三角函数在几何学中有广泛的应用，例如求解三角形的边长和角度。
通过利用正弦定理、余弦定理和正切定理，可以计算出未知的三角形边长和角度，解决各种几何问题。
三角函数的基本性质与应用三角函数是数学中的重要概念，在几何学、物理学、工程学等领域广泛应用。
本文将主要介绍三角函数的基本性质和应用，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数的定义和基本性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即sinθ=opposite/hypotenuse。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即cosθ=adjacent/hypotenuse。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。
4. 余切函数（cot）：在直角三角形中，余切函数定义为邻边与对边的比值，即cotθ=adjacent/opposite。
5. 修正正弦函数（csc）：修正正弦函数定义为斜边与对边的比值的倒数，即cscθ=hypotenuse/opposite。
6. 修正余弦函数（sec）：修正余弦函数定义为斜边与邻边的比值的倒数，即secθ=hypotenuse/adjacent。
7. 修正正切函数（cotan）：修正正切函数定义为邻边与对边的比值的倒数，即cotanθ=adjacent/opposite。
三角函数有周期性，即在一个周期内，函数值会不断重复，周期的长度是2π（弧度制）或360°（角度制）。
二、三角函数的应用1. 几何学应用三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，利用正弦定理和余弦定理可以求解三角形的边长和角度。
三角函数还可以用于求解图像之间的夹角，比如计算两条直线的夹角。
2. 物理学应用三角函数在物理学中有很多应用，尤其是在描述振动、波动和周期性运动方面。
例如，正弦函数可以用来描述周期性的振动或波动。
利用三角函数的周期性，可以计算波长、频率以及相位差等物理量。
3. 工程学应用三角函数在工程学中也有广泛应用。
例如，三角函数可以用于描述交流电压和电流的周期性变化。
利用三角函数的性质求解三角方程的解三角方程是指含有三角函数的方程，在解题过程中，我们可以利用三角函数的性质来求解。
本文将介绍如何利用这些性质来求解三角方程的解。
一、利用角度关系求解三角方程在解三角方程时，常常需要利用角度关系来进行转化。
我们可以利用以下角度关系来求解三角方程：1. 同一边角关系：如果两个角的终边相同，则它们的初边相差360°的整数倍。
2. 补角、余角关系：如果两个角是互补角，则它们的正弦、余弦、正切、余切相等。
3. 倍角关系：如果两个角之间的关系是倍角、半角、倒角，则它们的正弦、余弦、正切、余切之间存在特定的关系。
通过利用以上角度关系，我们可以进行一系列的等式变换，将原始的三角方程转化为更容易求解的形式。
下面通过具体的例子来说明。
例1：求解方程sin2x = 0的解。
解：根据sin2x = 0，可以利用倍角关系将其转化为sinx = 0的形式。
因为sin(180°n) = 0，所以x = 180°n为方程的解。
例2：求解方程cos2x = 1的解。
解：根据cos2x = 1，可以利用倍角关系将其转化为cosx = 1的形式。
因为cos(360°n) = 1，所以x = 360°n为方程的解。
二、利用三角函数的周期性求解三角方程三角函数具有周期性，即存在一个最小正周期T，使得任意角度x和x ± nT（n为整数）的三角函数值相等。
利用三角函数的周期性，我们可以求解如下的三角方程：1. sinx = sina的解即为x = a ± 360°n的解。
2. cosx = cosa的解即为x = a ± 360°n的解。
3. tanx = tana的解即为x = a ± 180°n的解。
利用周期性可以大大简化求解三角方程的过程，下面通过具体的例子来说明。
例3：求解方程sinx = 0.5的解。
问题5应用三角函数的性质求解参数问题一、考情分析利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意. 二、经验分享(1) 三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元,转换成二次函数求值域．(2)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错．(3)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．(4)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断． (5)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(6)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象,有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(8)求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0,ω>0)解析式的步骤①求A ,B ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则A ＝M －m2,B ＝M ＋m2.②求ω,确定函数的周期T ,则ω＝2πT .③求φ,常用方法如下：i.代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．ii.五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.三、知识拓展 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω≠0),则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．3．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2,k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π,k ∈Z 确定其横坐标． 四、题型分析(一) 与函数最值相关的问题 【例1】已知函数．（1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间； （2）若时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值．【分析】（1）()f x 化为,可得周期22T ππ==,由可得单调递增区间；（2）因为,所以,进而()f x 的最大值为,解得12m =. 【解析】（1）,则函数()f x 的最小正周期T π=, 根据,k Z ∈,得,k Z ∈,所以函数()f x 的单调递增区间为,k Z ∈．（2）因为,所以,则当262x ππ-=,3x π=时,函数取得最大值0,即,解得12m =． 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值. 【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围_____． 【答案】【解析】所以当时， y m = 与22y t t =+ 只有一个交点，当3m =时1t =，方程解所以要使方程在[)0,2π上有且只有两解，实数m 的取值范围(二) 根据函数单调性求参数取值范围如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.【例2】已知ω＞0,函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减,则ω的取值范围是________．【分析】根据y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,列出关于ω的不等式组【解析】 由π2＜x ＜π,ω＞0得,ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4,又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若函数sin y x ω=在区间[]0,2π上单调递增，则实数ω的取值范围是________． 【答案】10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得，所以5．(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围【例3】已知函数．(1)若函数)(x f y =的图像关于直线对称,求a 的最小值;(2)若存在使成立,求实数m 的取值范围.【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可； (2)根据的范围求出320π+x 的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x 0)的值域,从而可求出m＝00021)20()sin(2)3x m f x x π-=⇒==+的取值范围．【解析】(1)首先将函数)(x f y =的解析式化简为：,又因为函数)(x f y =的图像关于直线对称,所以,即,又因为0>a ,所以a 的最小值为12π． (2)故．【点评】对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断． 【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,所得的图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值是 【答案】8π【解析】函数的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,得到图象关于y 轴对称,即,解得,又0ϕ>,当0k =时, ϕ的最小值为8π. (四) 等式或不等式恒成立问题在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围. 【例4】已知不等式对于,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数m 的取值范围是【答案】22m ≤【解析】因为＝,所以原不等式等价于在,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立．因为,所以∈2[,2]2,所以22m ≤,故选B ． 【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ．【小试牛刀】【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数[]0,m β∈,使,则实数m 的最小值是__________．【答案】2π【解析】函数,若对任意的实数,则：f （α）∈[﹣32,0],由于使f （α）+f （β）=0,则：f （β）∈[0, 32]．,,β=2π,所以：实数m 的最小值是2π．故答案为： 2π(五) 利用三角代换解决范围或最值问题由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.【例5】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为__________．A .43 B .23C .3D .2 【解析】设椭圆方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0),双曲线方程为222211x y a b -=(a ＞0,b ＞0),其中a ＞a 1,半焦距为c ,于是|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|PF 1|－|PF 2|＝2a 1,即|PF 1|＝a ＋a 1,|PF 2|＝a －a 1, 因为,由余弦定理：4c 2＝(a ＋a 1)2＋(a －a 1)2－2(a ＋a 1)(a －a 1)即4c 2＝a 2＋3a 12,即令ac ＝2cosθ,13a c＝2sinθ 所以【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁. 【小试牛刀】已知实数,x y 满足221x y +=,则的最小值为【答案】43【解析】由221x y +=,可设,则=.五、迁移运用1.【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数是偶函数，点是函数图象的对称中心，则最小值为________.【答案】【解析】∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，∴φ＝,∵点（1，0）是函数y＝f（x）图象的对称中心∴sin（ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k2π，k2∈Z，∴ω＝k2π﹣φ＝（k2﹣k1）π﹣．又ω＞0，所以当k2﹣k1＝1时，ω的最小值为．故答案为：．2．【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】设函数，其中．若函数在上恰有个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为，所以满足，解得：3.【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______.【答案】【解析】将函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y＝sin（ωx）的图象，再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπkπ，k∈Z，∴当k＝0时，ω取得最小值为，故答案为：．4．【江苏省徐州市2019届高三上学期期中】已知函数，若，且，则的最大值为______．【答案】【解析】令＝1，，则，＝＝＝，m ，n ，k 都是整数，因为，所以，所以，的最大值为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数的图像与x 轴的交点A ， B ， C 满足，则ϕ=________.【答案】34π【解析】不妨设0x ωϕ+=， πx ωϕ+=，，得，由，得，解得3π4ϕ=. 6．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】若函数的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π， 3π， 23π，则实数ω的值为____． 【答案】4 【解析】，所以4ω=。
