002静力学-基本力系

12目录2.1 汇交力系的合成与平衡2.2 力矩2.3 力偶系的合成与平衡3平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。

①平面汇交力系平面力系②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况)③平面一般力系(平面任意力系)1.力系分为：平面力系、空间力系。

平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系。

引言例：起重机的挂钩。

4§2.1 汇交力系合成与平衡一、几何法αcos2212221FFFFR++=)180sin(sin1αϕ−=RF1.两个共点力的合成合力方向由正弦定理知：ααcos)180cos(−=−°由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。

由余弦定理得：52. 平面汇交力的合成为力多边形结论：即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。

∑=FR4321FFFFR+++=63.平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。

所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭。

或：力系中各力的矢量和等于零。

平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零，即：∑==0FR7[例1]平面刚架ABCD 在B 点作用一水平力F ，如图所示。

已知F ＝20kN ，不计刚架自重。

用几何法求支座A 、D处的约束反力。

解(1) 选平面刚架为研究对象，按比例画出其分离体图。

(2) 对刚架进行受力分析，并画出其受力图，如图b) 所示。

刚架上作用有水平力F ，辊轴支座D 的反力F D 。

根据三力平衡汇交定理，力F 和F D 交于C 点，所以固定铰支座处的反力F A ，必沿A 、C连线，构成一平面汇交力系。

8(3) 选取适当比例尺，自a 点起先作已知力F ，再作自行封闭的力三角形abc ，按力矢顺序同一转向确定F A 的指向，如图c)所示。

(4) 求解未知量。

因为力三角形abc 与三角形ADC 相似，故CAF DC F AD F A D ==其中，AD ＝8m ，DC ＝4m ，CA ＝544822=+o 572621tan kN 4.22kN 10.======αα，，F ADCA F F AD DC F A D m，因此计算得9 [例2]已知压路机碾子重P=20kN，r=60cm，欲拉过h=8cm 的障碍物。

求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。

577.0)(tg22=−−−=hrhrrα又由几何关系：①选碾子为研究对象；②取分离体画受力图；解：∵当碾子刚离地面时NA=0，拉力F最大，这时拉力F、自重及支反力NB构成一平衡力系。

由平衡的几何条件知，力多边形封闭。

αtg⋅=∴PFαcosPNB=10由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN 。

此题也可用力多边形方法用比例尺去量。

F=11.5kN , N B=23.1kN所以几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；③作力多边形，选择适当的比例尺；④求出未知数。

几何法解题不足：①精度不够，误差大②作图要求精度高；③不能表达各个量之间的函数关系。

下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法——解析法11 1、力在空间轴上的投影与分解：(1).力在空间的表示：力的三要素：大小、方向、作用点(线)大小：作用点：在物体的哪点就是哪点方向：由α、β、γ三个方向角确定由仰角θ与俯角ϕ来确定。

βγθF xyOFF=二、解析法12 (2)、一次投影法（直接投影法）由图可知：γβαFZFYFXcoscoscos⋅=⋅=⋅=ϕθϕϕγcoscoscoscossin⋅⋅=⋅=⋅⋅=FFFX xyϕθϕϕγsincossinsinsin⋅⋅=⋅=⋅⋅=FFFY xyθγsincos⋅=⋅=FFZ(3)、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将F 投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即13 (4)、力沿坐标轴分解：若以表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：zyxFFF,,zyxFFFF++=222ZYXF++=∴FZFYFX===γβαcos,cos,cosk ZFj YFi XF zyx===,,而：k Zj Yi XF++=所以：F xF yF z14由于代入上式合力由为合力在x轴的投影，∴kZjYiXFiiii++=kZjYiXR iii∑∑∑++=∑i X∑=ixXR∑=iyYR∑=izZR2、空间汇交力系的合成：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。

inFFFFFR∑=++++=L321即：合力等于各分力的矢量和。

15 3、合力投影定理：空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

∑∑∑++=++=222222)()()(:ZYXRRRRzyx合力RRRRRRzyx===γβαcos,cos,cos16 4、空间汇交力系的平衡：∑=0X∑=0Y∑=0Z空间汇交力系的平衡方程∴解析法：平衡充要条件为∴几何法：平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。

0==∑i FR空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：17FFFXx==αcosFFFY y==βcos22yxFFF+=力在坐标轴上的投影X=F x=F·cosαY=F y=F·sinα=F ·cosβ平面汇交力学是空间汇交力系的特殊情况：18合力投影定理由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：∑=−+=XXXXRx421∑=+++−=YYYYYRy4321∑=YRy∑=XRx合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

即：19合力的大小：方向：作用点：xyRR=θtg∑∑−−==XYRRxy11tgtgθ∴为该力系的汇交点。

平衡的解析法从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。

即：或∑∑====YRXRyx为平衡的充要条件，也叫平衡方程。

2222∑∑+=+=YXRRRyx22=+yxRR=R20[例3]已知F 1＝200N ，F 2＝300N ，F 3＝100N ，F 4＝250N 。

求图示平面汇交力系的合力。

解根据公式可得N 3.11245sin 45sin 60sin 30sinN 3.12945cos 45cos 60cos 30cos o4o3o2o14321o4o 3o 2o 14321=−−+=+++==+−−=+++=F F F F F F F F F F F F F F F F F F y y y y y x x x x x 于是合力的大小和方向分别为：oR o R 2222R 01496556.03.1713.112cos 99.407548.03.1713.129cos N 3.1713.1123.129.F F F F F F F x x yx =========+=+=ββθθ，，21解：①研究AB杆；②画出受力图；③列平衡方程；④解平衡方程：=∑X=∑Y45coscos0=⋅−⋅CDASRϕ45sinsin0=⋅+⋅−−CDASRPϕ[例4]已知P=2kN，求SCD、RA。

由EB=BC=0.4m，312.14.0tg===ABEBϕ解得：kN24.4tg45cos45sin0=⋅−=ϕPS CD kN16.345cos0=⋅=ϕCDASR；ϕ22 [例5]已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力ND=？α解：研究球受力如图，选投影轴列方程为PQP-QT-QND360sin2sin2−==⋅=α由②得60=∴α212cos21===PPTTα由①得=∑X=∑Ycos12=−⋅TTαQsin2=+−⋅DNTα①②23又：αcosFN=)2(1)(cos22hRhRRhRR−=−−=α)2(hRhRFN−⋅⋅=∴[例6]求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h。

解：先研究物块，受力如图，解力三角形：24再研究球，受力如图，作力三角形，解力三角形：αsin⋅′=NPQRhR−=αsinQ又NN=′)2()()2(sinhRhhRFRhRhRhRFNP−⋅−=−⋅−⋅⋅=⋅=∴αhRhRhPF−−=∴)2(时球方能离开地面。

当hRhRhPF−−≥∴)2(（NB=0时，为球离开地面）25 [例7]直杆AB、AC铰接于A点，自重不计，其下悬挂一物体重W＝1000 N，并用绳子AD吊住，如图2.6(a)所示。

已知AB与AC 等长且互相垂直，∠OAD＝30o，图中O、B、A、C在同一水平面上，B、C处均为球铰链，求杆AB和AC及绳子AD所受的力。

26 0=∑xF045sin30cos ooT=−−FFAC=∑yF045cos30cos30sin ooTo=−−FFAB=∑zF030sin oT=−WFN1225N2000T−===CAABFFF，解得所得结果中FAB、FAC均为负值，说明这两个力的假设方向与实际方向相反，即两杆均受压力。

解取销钉A为研究对象，其受力图如图b) 所示，为一空间汇交力系。

选取坐标系Oxyz，如图b) 所示。

列出平衡方程为27[例8]物块G 重为10kN ，挂在D 点，如图所示。

A 、B 、C 三点用铰链固定，试求DA 、DB 、DC杆所受的力。

28解：取结点D为研究对象。

因为三杆均为二力杆，假设均受拉力，则D点受力分析如图所示，列平衡方程：解之得：SA=SB=－26.4kN(负号说明DA、DB杆均受压力)，SC=33.5kN45cos45cos00=−=∑ABxSSF15cos30cos45sin30cos45sin00=+⋅+⋅=∑CABySSSF15sin30sin45sin30sin45sin00=++⋅+⋅=∑GSSSFCABz29解题技巧及说明：1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。

2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。

3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。

4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。

5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。

对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。

30①是代数量。

)(F M O 当F =0或d =0时，=0。

)(F M O ③是影响转动的独立因素。

)(F M O ⑤=2⊿AOB =F ·d ,2倍⊿形面积。

)(F MO 力对物体可以产生移动效应—取决于力的大小、方向转动效应—取决于力矩的大小、方向§2.2 力矩-+dF F M O ⋅±=)(一、力对点的矩说明：②F ↑,d ↑转动效应明显。

④单位N ·m，工程单位kgf ·m。