湘教版九年级数学上《相似三角形判定与性质》综合培优题

湘教版九年级数学上册第三章第四节《相似三角形的判定与性质》同步测试一．选择题（共10小题）1．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．=2．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．=D．=4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．5．如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于（）A．B．C．D．6．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D． 1：167．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（）A．16 B．8 C． 4 D． 28．（2015•呼伦贝尔）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1 B．C．1 D．9．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．10．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A．4 B．7C．3 D．12二．填空题（共8小题）11．在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC 相似，且S△ADE：S四边形BCED=1：8，则AD= cm．12．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为．13．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当时（写出一个答案即可），△ADE与△ABC相似．14．如图，在方格纸中，以每个小方格的边长为单位1，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，请你提供一个符合条件的点P，使△ABC与以E、P、D为顶点的三角形相似，则点P所在的格点坐标可以是．15．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动．若以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似，则运动的时间 t 为 秒．16．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，则△ABC ∽ ，△BAD ∽△ACD （写出一个三角形即可）．17．如图，已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠DEC ，且点E 为AB 边中点，则图中有 对相似三角形．18．如图，正方形ABCB 1中，AB=1．AB 与直线l 的夹角为30°，延长CB 1交直线l 于点A 1，作正方形A 1B 1C 1B 2，延长C 1B 2交直线l 于点A 2，作正方形A 2B 2C 2B 3，延长C 2B 3交直线l 于点A 3，作正方形A 3B 3C 3B 4，…，依此规律，则A 2014A 2015= ．三．解答题（共6小题） 第15题图第16题图第17题图19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，问△AOB与△COD 是否相似？有一位同学解答下：∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO．∴△AOD∽△BOC．∴．又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD．请判断这位同学的解答是否正确并说明理由．21．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．22．在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？第三章第四节《相似三角形的判定与性质》同步测试参考答案：一．选择题（共10小题）1．D 2.D 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B二．填空题（共8小题）11．2或cm．12．2：3 ．13．不唯一，如∠ADE=∠C 14．（3，6）．15． 2.4或1.5 秒．16．△DBA （写出一个三角形即可）．17． 3 18．2（）2014．三．解答题（共6小题）19．解：∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．20．解：不正确，错误的原因是由△AOD∽△BOC得出，正解是：∵△AOD∽△BOC，∴，而就不能进一步推出△AOB∽△COD了．21．证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE．22．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△AFD，∴，∵E为BC的中点，∴BE=BC=AD，∴EF：FA=1：2．23．解：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），当△BMN∽△BAC时，，∴，解得：t=；当△BMN∽△BCA时，，∴，解得：t=，∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM=BMsinB=3t=（cm），BD=BMcosB=3t=t（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（8﹣）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴=，解得t=．24．解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，由勾股定理得PQ=；（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S=cm2；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t=3秒；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t=秒．因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。

湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝12，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶12.如图，△ABC与△DE F相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC＝1，则EF的长是( )A.1B.2C.3D.43.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶14.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：25.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )A.2条B.3条C.4条D.5条8.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在格点为( )A.P1 B.P2C.P3D.P49.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种10.如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE.①CF＝BN；②∠ACB＝90°；③FN∥AB；④AD2＝DF•DC.则下列结论正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③二、填空题11.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比值为.12.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是.13.若△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′＝3：4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为____________．14.下图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是.(写出满足条件的所有的点)15.如图，平行四边形ABCD中，E是BC边延长线上一点，AE交CD于F，则图中相似三角形有对．16.如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0，1)作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是.三、解答题17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°. 求证：△ADC∽△DEB.18.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；(2)求∠BAC的度数．19.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.20.如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD.(1)求证△ADC∽△BGC；(2)求证CG·AB＝CB·DG.21.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点(1)求证：△ADQ∽△QCP；(2)若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长.22.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.(1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF.(2)如图②，若BD＝1nCE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明.(3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中结论还成立吗？试证明.答案1.C2.B3.B4.A5.C.6.C7.C.8.B9.C.10.C.11.答案为：1：4.12.答案为：4：9.13.答案为：16cm.14.答案为：Q.15.答案为：4.16.答案为(﹣3×4n﹣1，4n).17.证明：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝∠CAD＋60°∵∠ADE＝60°∴∠ADB＝∠BDE＋60°∴∠CAD＝∠BDE∴△ADC∽△DEB.18.解：(1)△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝5，BC＝5，BP＝1∴∵∠PBA＝∠ABC∴△PBA∽△ABC；(2)∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA∵∠BPA＝90°＋45°＝135°∴∠BAC＝135°．19.证明：(1)∵AB∥CD∴∠B＝∠C又∠C＝∠EAF∴∠EAF＝∠B(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA ∴△AFE∽△BFA则AFBF＝FEFA∴AF2＝FE·FB20.解：(1) ∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高∴∠BGC＝∠ADC＝90°.又∠C＝∠C∴△ADC∽△BGC.(2)∵△ADC∽△BGC∴CGDC＝BCAC.∴CGBC＝DCAC.又∠C＝∠C∴△GDC∽△BAC.∴CGBC＝DGAB.∴CG·AB＝CB·DG.21.证明：(1)∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点∴PC＝14﹣BC，CQ＝DQ＝12CD，且BC＝CD＝AD∴PC ：DQ ＝CQ ：AD ＝1：2 ∵∠PCQ ＝∠ADQ ＝90° ∴△PCQ ∽△ADQ (2)∵△BMP ∽△AMD ∴BM ：DM ＝BP ：AD ＝3：4 ∵AB ＝10 ∴BD ＝10 2 ∴BM ＝同理QN ＝53 5.22.证明：(1)在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C. ∴∠EGC ＝∠C.∴EG ＝EC. ∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ∴△BFD ≌△GFE. ∴DF ＝EF. (2)解：DF ＝1nEF.证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG.由(1)得EG ＝EC. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ∴△BFD ∽△GFE.∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1n EG∴DF ＝1n EF.(3)解：成立.证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE.∴BDEG＝DFEF.∵BD＝1nCE＝1nEG，∴DF＝1nEF.。

湘教版九年级数学上册第三章3.4《相似三角形的判定》解答题专项练习+解析一．解答题（共12小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．3．如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．4．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．5．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．6．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．（1）填空：AC=，AB=．（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C．（1）若BC=8，求FD的长；（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE．8．如图：方格纸中的每个小正方形边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．①判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；②点P1，P2，P3，D，F都是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．（写出一个即可，并在图中连接相应线段，不必说明理由）9．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB．10．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．11．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，且BD=CE，连接BE、AD，相交于点F．（1）求证：△ABD≌△BCE；（2）图中共有对相似三角形（全等除外）．并请你任选其中一对加以证明．你选择的是．12．如图，△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．（2）请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．湖南省澧县张公庙镇中学2015-2016学年湘教版九年级数学上册第三章3.4《相似三角形的判定》解答题专项练习+解析参考答案与解析一．解答题（共12小题）1．解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．2．（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．3．解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN的长为3或．4．证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠FAD=∠CBE，∴△AFE∽△BCE．5．证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE．6．解：（1）如图，由勾股定理，得AC==2．AB==2故答案是：2，2；（2）如图所示，BC==2．又由（1）知，AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=40，∴∠ACB=90°．tan∠1==．综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是；（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：如图，DE=DF==，EF==．则===2，所以△CAB∽△DEF．7．解：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴，DE∥BC．∴∠AED=∠C．∵∠F=∠C，∴∠AED=∠F，∴FD==4；（2）∵AB=AC，DE∥BC．∴∠B=∠C=∠AED=∠ADE，∵∠AED=∠F，∴∠ADE=∠F，又∵∠AED=∠AED，∴△ADE∽△DFE．8．解：①△ABC和△DEF相似．理由如下：∴===，∴△ABC∽△DEF；②△ACB∽△DP3P2．理由如下：∵由①知，△ABC∽△DEF，∴∠D=∠A．连接DP2P3，DP3=，DP2=，P2P3=．∵==，∴△ACB∽△DP3P2．9．证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AEC=∠AFB=90°．∵∠A是公共角，∴△ABF∽△ACE．∴，∴，又∠A是公共角，∴△AEF∽△ACB．10．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．11．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BA，∠ABD=∠C=60°，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）4对，分别是△BDF∽△BEC，△DBF∽△DAB，△AFE∽△ACD，△AFE∽△BAE，选择证明△AEF∽△BEA，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BA，∠C=∠BAE=60°，AC=BC，∵BD=CE，∴AE=CD，∴△ACD≌△BAE（SAS），∴∠DAC=∠ABE，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA．12．（1）解：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）△ABD∽△ACE．证明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴=，∴AB×AE=AC×AD，∴=，∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．初中数学试卷桑水出品。

九年级数学上册 3.3相似三角形的性质和判定同步练习湘教版九年级数学上册3.3相似三角形的性质和判定同步练习湘教版3.3关于相似三角形的性质和判断的同步实践一、仔仔细细，记录自信1.如图1所示，△ 牛津英语词典≓△ OCB，OE=6，EC=21，则△ OCB和△ 《牛津英语词典》是一本37b．52c。

85d．352．如图2，点e，f分别在矩形abcd的边dc，bc上，∠aef=90°，∠afb=2∠dae=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（）a．只有甲与乙b、只有b和Cc．只有甲与丙d、 A、B和C3．如图3，d是ab的中点，e是ac的中点，则△ade与四边形bced的面积比是（）a．1c．13121d。

4b．4.在相同水压下，直径为4cm的水管出水量是直径为1cm的水管出水量的（）a.4倍b．8倍c、 12次d．16倍5.以下声明：（1）相似且有一边为公共边的两个三角形全等；（2）相似且面积相等的两个三角形全等；（3）相似且周长相等的两个三角形全等．其中说法正确的有（）a．0个b、一,c．2个d、三,6．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1∶1000万的地图上的面积约是（）a．960平方千米b、 960平方米c．960平方分米d、 960平方厘米二、认认真真，书写快乐7.已知△ 基础知识≓△ A.BCab呢？4，a？B6，b？C8那么BC=。

8.两个相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为40°和30°，则另一个三角形的最大内角为用心爱心专心一9．如图4，∠abc=∠cdb=90°，ac=a，bc=b，当bd与a、b满足关系时，△abc∽△cdb．10.如图5所示，P是等腰梯形ABCD上下ad上的一个点。

如果∠ a=∠ BPC，有一个类似于△ ABP11．相似三角形对应、、的比都等于相似比．12．相似多边形的周长比等于，面积比等于．13.如果三角形的三条边同时扩大四倍，则周长扩大几倍，面积扩大几倍。

3.4相似三角形的判定与性质一、选择题1.下列说法中正确的是（）A. 所有的等腰三角形都相似B. 所有的等腰三角形都相似C. 所有的矩形都相似D. 所有的等腰直角三角形都相似E. 所有的菱形都相似2.下列命题错误的是（）A. 两个全等的三角形一定相似B. 两个直角三角形一定相似C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D. 相似的两个三角形不一定全等3.如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD 的是（）A. ∠B=∠ACDB. ∠ADC=∠ACBC.D. AC2=AD•AB4.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（）A. 1：3B. 1：5C. 1：6D. 1：115.如图，能使△ACD∽△BCA全等的条件是（）A. B. AC2=CD CB C. D. CD2=AD BD6.下列各组中的两个图形，不一定相似的是（）A. 有一个角是120°的两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 两个直角三角形D. 两个等腰直角三角形7.设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB 的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则S n可表示为（）（用含n的代数式表示，其中n为正整数）A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A. =B. C. D.9.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A. 2：3B. 2：5C. 4：9D. ：10.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A. =B. =C. =D.=二、填空题11.若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF=________．12.如图所示，△ABC中，DE∥BC ，AE：EB=2：3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为________。

3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理11. 有一个含有30°的两个直角三角形,一定( )A.相似B.全等C.既全等也相D.无法确定2．如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对D．4对3. 如图,在Rt ABC∠=,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过E ∆中, C90作EF⊥AB于F,则AF=_______.4.如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有_____.5. 如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ABC相似的三角形的个数有____.6. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB 于E.求证：△ABD∽△CBE．初中生提高做题效率的方法厚薄读书法：复习课本要厚薄结合著名数学家华罗庚先生说:“书要能从薄读到厚,还要能从厚读到薄。

”这就是厚薄读书法。

我们在复习功课时,也可以用这种方法,具体来说分为“由薄到厚”和“由厚读薄”两个部分由薄到厚第一步要“由薄到厚”地复习课本。

这就是说,我们在复习过程中对书本中的某些原理、定律、公式,不仅应该记住它的结论,而且还应该思考一下,这个定律是怎样发现的,这个公式是怎样推导的。

在阅读过程中对书中的每个概念、原理和观点要有自己的理解,对自己不懂的地方,还要查阅参考资料,通过充实书本的有关内容,使自己获得比书本上内容更为丰富、更为深刻的认识和见解,也就是把书“越读越厚”。

由厚到薄第二步可采用“由厚读薄”的方法。

在深入理解课本内容的基础上,经过自己的思考,对书中的内容加以归纳、综合和概括,抓住书中的精要、纲领,提高记忆效率。

具体来说,可采用提纲法和图表法进行归纳。

1.提纲法。

我们在复习的时候,一定要抓住纲要。

所以,在学完一个章节后,立即进行小结,总结归纳出一个复习提纲。

九上基础提高五 1、已知线段a 、b 有32a b a b +=-,则a:b 为 2、如图，两个三角形相似，AD ＝2，AE ＝3，EC ＝1，则BD ＝ ．第2题图 第3题图 第4题图3、如图，□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:DA=2:5,EF=4，则CD 的长为 。

4、如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ,AB ∥CD,AB=2米，CD=5米，点P 到CD 的距离是3米，则P 到AB 的距离是 米。

5、如图，在河两岸分别有A 、B 两村，现测得A 、B 、D 在一条直线上，A 、C 、E 在一条直线上，BC//DE ，DE=90米，BC=70米，BD=20米。

则A 、B 两村间的距离为 。

第5题图 第6题图 第8题图6、如图，要使△ADB∽△ABC，还需要增添的条件是 _____ ____7、若△ABC ∽△'''C B A ，相似比为3∶2，则面积比为 ，若它们的周长差为40厘米，则△'''C B A 的周长为 厘米。

8、如图，在△ABC 中，CD ，AE 是三角形的两条高，写出图中所有 相似的三角形为 9、已知△ABC∽△A'B'C'，S △ABC ∶S △A'B''C '=16∶9，AB=2，则A'B'= ___ 10、已知△ABC ∽△A′B′C′,AD 和A′D′是对应角平分线，且AD=8 A′D′=3 ，则△ABC 与△A′B′C′对应高的比为11、如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BE 、CD 交于点O ， 则△ADE ∽△ ，相似比K 1＝ ； △ODE ∽△ ，相似比K 2＝ ．12、如图，△ADE ∽△ABC ，21=BD AD ，△ABC 的面积为18， 则四边形BCED 的面积为 ．13、已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，（1）求AEF ∆与CDF ∆ 的周长的比，（2）如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．14、如图，已知ΔABC 中，AD 为BC 边中线，E 为AD 上一点，且CE=CD,∠EAC=∠B,求证：(1)ΔAEC ∽ΔBDA, (2) DC 2=AD •AE15、如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论．16、如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6 ，AD=2．问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似．17、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？18、如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，AC=12,BC=9， 求AB 及BD 的长19、如图梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于O 点，过点B 作BE CD ∥交CA 的延长线于点E ． 求证：OE OA OC ⋅=220.如图，平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC 于为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.（1）求证：△ADF ∽△DEC (2)若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.21、如图、在等边⊿ABC 中，P 为BC 边的一点，D 为AC 上的一点，且∠APD= ︒06，（1）求证：ΔABP ∽ΔPCD; (2)若BP=1，CD=32，求⊿ABC 的边长.22、如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，4），在坐标轴上找到点C （1，0）和点D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标。

第4课时 相似三角形的判定定理301 基础题知识点 三边成比例的两个三角形相似1．将一个三角形的各边都缩小12后，得到的三角形与原三角形(A) A ．一定相似 B ．一定不相似C ．不一定相似D ．不能判断是否相似2．甲三角形的三边分别为1，2，5，乙三角形的三边分别为5，10，5，则甲乙两个三角形(A)A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法判断是否相似3．已知△ABC 的三边长分别为6 cm 、7.5 cm 、9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，要使这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长可以是(C)A ．2 cm ，3 cmB ．4 cm ，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm4．如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是三边成比例的两个三角形相似．5．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝3cm 时，△ABC ∽△DEF.6．△ABC 和△A′B′C′符合下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似．BC ＝2，AC ＝3，AB ＝4；B′C′＝2，A′C′＝3，A′B′＝2.解：在△ABC 中，AB>AC>BC ，在△A′B′C′中，A′B′>A′C′>B′C′，BC B′C′＝22＝2，AC A′C′＝33＝3，AB A′B′＝42＝2. ∴BC B′C′≠AB A′B′≠AC A′C′. ∴△ABC 与△A′B′C′不相似．7．如图所示，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由．解：△ABC ∽△DBE.理由如下：∵AC DE ＝36＝12，BC BE ＝48＝12，AB DB ＝510＝12， ∴AC DE ＝BC BE ＝AB DB. ∴△ABC ∽△DBE.02 中档题8．下列能使△ABC 和△DEF 相似的条件是(C)A ．AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝ cB ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝1C ．AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝6D ．AB ＝2，AC ＝3，BC ＝5，DE ＝6，EF ＝3，DF ＝39．如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的(C)A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．(东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三条边长分别是3、4及x ，那么x 的值(B)A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个11．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求证：△ABC ∽△EFD.证明：∵DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE AC ＝EF AB ＝DF BC ＝12. ∴△ABC ∽△EFD.12．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△EDF 的顶点都在网格的格点上．(1)求证：△ABC ∽△EDF ；(2)求∠BAC 的度数．解：(1)证明：∵DE ＝2，DF ＝12＋32＝10，EF ＝2，AB ＝12＋22＝5，AC ＝12＋32＝10，BC ＝5，∴AB DE ＝AC EF ＝BC DF ＝102. ∴△ABC ∽△EDF.(2)∵△ABC ∽△EDF ，∴∠BAC ＝∠DEF.∵∠DEF ＝90°＋45°＝135°，∴∠BAC ＝135°.13．已知一个三角形框架的三边长分别为3米、4米、5米，现要做一个与其相似的三角形框架，已有一根长为2米的木条，问其他两根木条可选多长？共有多少种不同选法？解：(1)若2米的木条为最短边，设其他两根木条的长分别为x m 和y m ，则32＝4x ＝5y ，解得x ＝83，y ＝103. (2)若2米的木条为第二长的边，设其他两根木条的长分别为x m 和y m ，则3 x＝42＝5y，解得x＝32，y＝52.(3)若2米的木条为最长边，设其他两根木条长分别为x m和y m，则3 x＝4y＝52，解得x＝65，y＝85.03综合题14．(菏泽中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明△ABC是直角三角形；(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点，并且与△ABC相似．解：(1)证明：根据勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为直角三角形．(2)△ABC和△DEF相似．理由：根据勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，DE＝42，DF＝22，EF＝210.∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝104，∴△ABC∽△DEF.(3)如图，△P2P4P5即为所求．。

初中数学湘教版九年级上册第三章3.4相似三角形的判定与性质练习题一、选择题1.如图，在△ABC中，DE//BC，ADAB =23，则S△ADES四边形DBCE的值是()A. 45B. 1 C. 23D. 492.如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角()A. 都扩大为原来的5倍B. 都扩大为原来的10倍C. 都扩大为原来的25倍D. 都与原来相等3.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为()A. √5B. √6C. √10D. 64.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为()A. 14B. 15C. 8√3D. 6√55.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：26.如图，在△ABC中，AB=AC=6，D为AC上一点，连接BD，且BD=BC=4，则DC为()A. 2B. 52C. 83D. 57.下列判断中正确的个数有()①全等三角形是相似三角形②顶角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形都相似④所有的菱形都相似⑤两个位似三角形一定是相似三角形．A. 2B. 3C. 4D. 58.如图，△ABC中，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式正确的是()A. ADDB =DEBCB. EFAD=BFBCC. EFAB=DEBCD. AEEC=BFFC9.如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，交BC于点D，若AFDF =32，则下列结论正确的是()A. AEBE =35B. EFCD=35C. EFFG=23D. EGBC=2310.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的一点，且DE//BC，若S△ADE：S△ABC=4：9，则DE：BC等于()A. 4：9B. 2：3C. 4：5D. 1：2二、填空题11.已知两个相似三角形△ABC与△DEF的相似比为3.则△ABC与△DEF的面积之比为______．12.如图，已知反比例函数y=−1x的图象与直线y=kx(k<0)相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为______．13.如图所示，n+1个边长为1的等边三角形，其中点A，C1，C2，C3，…C n在同一条直线上，若记△B1C1D1的面积为S1，△B2C2D2的面积为S2，△B3C3D3的面积为S3，…，△B n C n D n的面积为S n，则S n=______．14.如图，D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，AD、CE相交于点F，AE=15EB，BD=13BC，则CF：EF=______．15.如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM=______．三、解答题16.从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，当∠BCD=______时，CD为△ABC的完美分割线；(2)如图2，△ABC中，AC=2，BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．17.如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC(三个顶点都在方格顶点上的三角形)(1)请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似(不全等)，且相似比为有理数；(2)请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．18.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB=∠ABE．(1)求证：AE2=EF⋅BE；(2)若AE=2，EF=1，CF=4，求AB的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2=49，∴S△ADES四边形DBCE =45，故选：A．利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2.【答案】D【解析】解：∵所得的三角形与原三角形相似∴三角形的每个角都与原来相等故选：D．三角形的每条边都扩大为原来的5倍，所得的三角形与原三角形相似，相似比是1：5，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等．本题主要考查相似三角形的性质，对应角相等．3.【答案】C【解析】【分析】由∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC可得出△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出AC AB =ADAC，将AB=AD+BD=5，AD=2代入即可求出AC的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边的比成比例是解题的关键．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，即AC2+3=2AC，∴AC=√10或AC=−√10(舍去)．故选C．4.【答案】A【解析】解：如图，连接EC，CH.设AB交CR于J．∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE=∠BCH=45°，∵∠ACB=90°，∠BCI=90°，∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°，∠ACB+∠BCI=90°∴B，C，H共线，A，C，I共线，∵DE//AI//BH，∴∠CEP=∠CHQ，∵∠ECP=∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，∴PCCQ =CECH=EPHQ=12，∵PQ=15，∴PC=5，CQ=10，∵EC：CH=1：2，∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，∵PQ⊥CR，CR⊥AB，∴CQ//AB，∵AC//BQ，CQ//AB，∴四边形ABQC是平行四边形，∴AB=CQ=10，∵AC2+BC2=AB2，∴5a 2=100，∴a =2√5(负根已经舍弃)，∴AC =2√5，BC =4√5，∵12⋅AC ⋅BC =12⋅AB ⋅CJ ， ∴CJ =2√5×4√510=4，∵JR =AF =AB =10，∴CR =CJ +JR =14，故选：A ．如图，连接EC ，CH.设AB 交CR 于J.证明△ECP∽△HCQ ，推出PC CQ =CE CH =EP HQ =12，由PQ =15，可得PC =5，CQ =10，由EC ：CH =1：2，推出AC ：BC =1：2，设AC =a ，BC =2a ，证明四边形ABQC 是平行四边形，推出AB =CQ =10，根据AC 2+BC 2=AB 2，构建方程求出a 即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会踢脚线有辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 5.【答案】A【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，AD =2，A′D′=3，∴AB A′B′=AD A′D′=23，∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比=(23)2=49，故选：A ．根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 6.【答案】C【解析】解：如图，作BE⊥AC于E．∵BD=BC，BE⊥CD，∴EC=DE，设EC=DE=x，则有：BE2=AB2−AE2=BC2−EC2，∴62−(6−x)2=42−x2，，解得x=43∴CD=2EC=8，3故选：C．如图，作BE⊥AC于E.设EC=DE=x，则有：BE2=AB2−AE2=BC2−EC2，由此构建方程求出x即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．7.【答案】B【解析】解：①全等三角形是相似三角形，正确；②顶角相等的两个等腰三角形相似，正确；③所有的等腰三角形不一定相似故此选项错误；④所有的菱形都相似，错误；⑤两个位似三角形一定是相似三角形，正确．故选：B．直接利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质分别判断得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定方法以及位似图形的性质、相似多边形的判定方法，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．8.【答案】D【解析】解：∵DE//BC，EF//AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BDEF为平行四边形，∴△ADE∽△EFC，DE=BF，∴AEEC =DEFC=BFFC．故选：D．由DE//BC，EF//AB可得出△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BDEF为平行四边形，再利用相似三角形的性质及平行四边形的性质可得出AEEC =BFFC，此题得解．本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，利用相似三角形的性质及平行四边形的性质找出AEEC =BFFC是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵∠EAG=∠CAB，∠AEG=∠C，∴△AEG∽△ACB，∴AEAB =EGBC=AFAD=32+3=35，∵AD平分∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠AEG=∠C，∴△AEF∽△ACD，∴EFCD =AFAD=35．故选：B．先证明△AEG∽△ACB，利用相似比得到AEAB =EGBC=35，再证明△AEF∽△ACD，利用相似比得到EFCD =AFAD=35，从而得到正确答案．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．10.【答案】B【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵S△ADE：S△ABC=4：9，∴DE：BC=2：3．故选：B．由DE//BC，即可证得△ADE∽△ABC，又由S△ADE：S△ABC=4：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．11.【答案】9【解析】解：∵△ABC与△DEF的相似比为3，∴△ABC与△DEF的面积之比为9．故答案为9．直接根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．12.【答案】y=13x【解析】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵反比例函数y=−1x的图象与直线y=kx(k<0)相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，∴CO⊥AB，∠CAB=30°，则∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE，又∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD∽△OCE，∴ADEO =ODCE=OAOC=tan60°=√3，∴S△AODS△OCE=(√3)2=3，∵点A是双曲线y=−1x在第二象限分支上的一个动点，∴S △AOD =12×|xy|=12， ∴S △OCE =16，即12×OE ×CE =16， ∴OE ×CE =13， ∴这个图象所对应的函数解析式为y =13x ．故答案为：y =13x ．连接CO ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，证明△AOD∽△OCE ，根据相似三角形的性质求出△AOD 和△OCE 面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S △AOD ，得到S △EOC ，根据反比例函数比例系数k 的几何意义求解．此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE 是解题关键．13.【答案】√3n 4(n+1)【解析】解：由题意可知，S 1=S △B 2D 1C 1=12S △AC 1B 2=12S △AC 1B 1，S 2=S △B 3D 2C 2=13S △AC 2B 3=23S △AC 1B 1，S 3=S △B 4D 3C 3=14S △AC 3B 4=34S △AC 1B 1，…，所以S n =n n+1S △AC 1B 1，∵S △AC 1B 1=12×1×√32=√34， ∴S n =√3n 4(n+1)， 故答案为：√3n 4(n+1) 首先求出S 1，S 2，S 3，…，探究规律后即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型． 14.【答案】12【解析】解：作EH//BC 交AD 于H ，则△AEH∽△ABD ，∴HEBD =AEAB=16，∵BD=13BC，∴CD=2BD，∴HECD =112，∵EH//BC，∴△CFD∽△EFH，∴CFEF =CDHE=12，即CF：EF=12，故答案为：12．作EH//BC，根据△AEH∽△ABD，得到HEBD =AEAB=16，证明△CFD∽△EFH，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握作辅助线构造相似三角形的一般方法是解题的关键．15.【答案】2或252【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，BA=BC，∵PB⊥BF，∴∠PBM=90°，∵∠ABP+∠CBP=90°，∠CBP+∠CBM=90°，∴∠ABP=∠CBM，∴当BABC =BPBM时，△BAP∽△BCM，即55=2BM，解得BM=2；当BABM =BPBA时，△BAP∽△BMC，即5BM=25，解得BM=252，综上所述，当BM为2或252时，以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似．故答案为2或252．先利用等角的余角相等得到∠ABP=∠CBM，利用相似三角形的判定方法得到当BABC =BPBM时，△BAP∽△BCM，即55=2BM；当BABM=BPBA时，△BAP∽△BMC，即5BM=25，然后分别利用比例的性质求BM的长．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质．16.【答案】40°【解析】解：(1)当∠BCD=40°时，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；故答案为：40°；(2)①∵△BCD∽△BAC，∴BCBA =BDBC，∵AC=AD=2，BC=√2，设BD=x，则AB=2+x，∴√2x+2=x√2，解得x=−1±√3，∵x>0，∴BD=x=−1+√3，∵△BCD∽△BAC，∴CDAC =BDBC，∵AC=2，BC=√2，BD=−1+√3∴CD=2×√3−1√2=√6−√2，如图3，②∵△ADC∽△ACB，∴ACAB =ADAC，∴AD+√2=AD2，∴AD=√2，∴AB=2√2，∵△ADC∽△ACB，∴ACAB =CDBC，∴22√2=CD√2，∴CD=1，如图4，③∵△CDB∽△ACB，∴CDAC =BCAB，∴CD2=√2AD+DB=√2，即CD2=√2CD+DB=DB√2，CD=√2DB，CD2+DB⋅CD=2√2，CD⋅BD+DB2=2，∴CD2−DB2=2√2−2，∴DB=√2√2−2，∴CD=2√√2−1；如图5，④∵△ACD∽△ABC，∴ADAC =CDBC=ACAB，∴AD2=CD√2=ACAB，∴CD=AD√2，同理解得：CD=√4−2√2，如图6，⑤△ADC∽△ACB，CD=BC=√2综上所述，CD的长为√6−√2或1或√2或√4−2√2或2√√2−1．(1)根据已知条件得到△ABC不是等腰三角形，求得∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，得到∠ACD=∠A=40°，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17.【答案】解：(1)如图2所示：它与△ABC相似(不全等)，且相似比为2；(2)如图3所示：它与△ABC相似(不全等)，且相似比为√5．【解析】(1)直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案；(2)直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案．此题主要考查了相似变换，正确应用网格分析是解题关键．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ABE，∴∠DAC=∠ABE，∵∠EAF=∠EBA，∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA，∴EA：EB=EF：EA，∴AE2=EF⋅BE；(2)∵AE2=EF⋅BE，∴BE=221=4，∴BF=BE−EF=4−1=3，∵AE//BC，∴AFFC =EFBF，即AF4=13，解得AF=43，∵△EAF∽△EBA，∴AFAB =EFAE，即43AB=12，∴AB=83．【解析】(1)利用平行四边形的性质得到AD//BC，则∠DAC=∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论；(2)先利用AE2=EF⋅BE计算出BE=4，则BF=3，再由AE//BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF=43，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．。

3.4 相似三角形的判定与性质一、选择题1.下列命题中，是真命题的为( )A. 锐角三角形都相似B. 直角三角形都相似C. 等腰三角形都相似D. 等边三角形都相似2.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）3.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE 于G，BG=，则△EFC的周长为（）A. 11B. 10C. 9D. 84.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A. 1∶6B. 1∶5C. 1∶4D. 1∶25.如图，l1∥l2∥l3，其中l1与l2、l2与l3间的距离相等，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③．其中正确的有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个6.如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，且∠APD=45°，则CD的长为( )A. B. C. D.7.如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是（）①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP2=AM•AC；④若BP=PC，则PQ⊥AC．A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④8.如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC交于N、M，则下列式子中错误的是（）A. =B. =C. =D. =9.如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于（）A. B. C. D.二、填空题10.两个相似三角形的周长的比为，它们的面积的比为________．11.如图，在△ABC中，E为AB边上的一点，要使△ABC∽△ADE成立，还需要添加一个条件为________12.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S1=________，S2019=________．13.如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，则k=________，直线y=kx+k的图象必经过________象限．14.如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为________ ．15.如图，E是□A BCD的边AD上一点，AE= ED，CE与BD相交于点F，BD=10，那么DF=________ ．16.如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形的一边AB=xm，矩形的面积为ym2，则y的最大值为________．17.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________．三、解答题18.在△ABC中，AB=18cm，AC=15cm，点D是AB边上一点，且AD=6cm，点E是AC上一点，当AE为何值时，△ABC与△ADE相似？19.如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，DE交AC于点G．若BC＝2，△GEC的面积是△ABC的面积的一半，求△ABC平移的距离．20.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=DF=AD，联结DE，联结AF、BF分别与DE交于点G、P．（1）求证：AB=BF；（2）如果BE=2EC，求证：DG=GE．21.如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD 沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）当t=5时，请直接写出点D，点P的坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．。