技巧方法专题2 数列求通项问题 解析版一、数列求通项常用方法知识框架二、数列求通项方法【一】归纳法求通项1.例题【例1】由数列的前n 项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，… (2)12，23，34，45，56，… (3)2，52，134，338，8116，…(4)12，16，112，120，130，…【例2】已知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的（ ） ()12,,,11k k N k k *⋅⋅⋅∈-k {}n a 1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则{}n a 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找a n 与n ，a n 与a n ＋1的联系.2. 巩固提升综合练习【练习1】由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，－7，13，－19，25，… (2)14，37，12，713，916，… (3)1，－85，157，－249，…【练习2】如图是一个三角形数阵，满足第n 行首尾两数均为n ，(),A i j 表示第()2i i ≥行第j 个数，则()100,2A 的值为__________．【二】公式法求通项1.例题【例1】 数列满足，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【例2】已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2． 求证：数列{b n }是等差数列，并求n a ． {}n a 112a =()*1111n 11n n N a a +=-∈--10a =91010910111110等差数列：d n a a n )1(1-+=等差数列：等比数列：11-=n n qa a 等比数列：2.巩固提升综合练习【练习1】已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0． (1)求a 2，a 3；(2)证明数列{a n }为等比数列,并求n a ．【练习2】已知数列{}n a 和{}n b 满足111112,341,341n n n n a b a b n b a n ++=+==+-=-+()1求证：{}n n a b +是等比数列,{}n n a b -是等差数列； ()2求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．【三】累加法求通项1.例题【例1】在数列中，，，则（ ） A ． B ． C ．D ．{}n a 12a =11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭10a =2ln10+29ln10+210ln10+11ln10+型如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成a n ＋1－a n ＝f (n )；第二步 依次写出a n －a n －1，…，a 2－a 1，并将它们累加起来； 第三步 得到a n －a 1的值，解出a n ；第四步 检验a 1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.累乘法类似.【例2】对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =_______，数列(2)n nn a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S =_______.2.巩固提升综合练习【练习1】在数列中，，则数列的通项 ________.【练习2】已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足（），且，则数列的最大值为__________．【练习3】两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得数列{}n a ，则1_______(2)n n a a n --=≥；对*n N ∈，_____n a =．【四】累积法求通项1.例题【例1】已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .{}n a 111,21n n a a a n +=-=+n a ={}n b 34-{}n a 12nn n a a +-=*n N ∈137a b =n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11a =25a =312a =422a =型如)(1n f a a nn =+的递推公式求通项可以使用累积法2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A.a n ＝2n －1 B.a n ＝2n C.(1)22n n n a -=D.222n n a =【五】Sn 法（项与和互化求通项）1.例题【例1】已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23-=nn S ，则=n a .【例2】设数列的前项和，若，，则的通项公式为_____． 【例3】设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________. 2.巩固提升综合练习【练习1】在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n .【练习2】记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______. {}n a n n S 11a =-()*1102n n S a n N +-=∈{}n a {}n a n n S 323n n S a n =+-{}n a n a =11,(1)n n n s a s s n -⎧=⎨->⎩,（n=1)已知S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )解题步骤：第一步 利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式；第二步 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式；第三步 若求出n ≥2时的{a n }的通项公式，则根据a 1＝S 1求出a 1，并代入{a n }的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{a n }的递推公式，则问题化归为类型二.【练习3】已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【练习4】设数列{}n a 满足12323...2(n N*)n na a a na ⋅⋅⋅⋅=∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列122n n a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【练习5】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，20(2)n n n n S a S a n -+=≥． （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若1,32,nn n S n C n n -⎧⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，设数列{}n C 的前n 项和为n T ，求2n T .【六】构造法求通项1.例题【例1】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .【例2】已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋n ，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式.【例3】已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，a 1＝6，求数列{a n }的通项公式. 1.型如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步 假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )； 第二步 由待定系数法，解得t ＝qp －1；第三步 写出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 的通项公式； 第四步 写出数列{a n }通项公式. 2.a n ＋1＝pa n ＋f (n )型【参考思考思路】确定()f n →设数列{}1()n a f n λ+→列关系式)]([)1(1211n f a n f a n n λλλ+=+++→比较系数求1λ，2λ→解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式→解得数列{}n a 的通项公式【例4】 已知数列满足：，，则 （ ）A ．B ．C ．D ．2.巩固提升综合练习【练习1】已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，则a n ＝________.【练习2】已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( )A.2nB.n (n ＋1)C.n2n －1D.n (n ＋1)2n【练习3】已知非零数列{}n a 的递推公式为11a =,()112n n n n a a a a n N *++=+∈.(1)求证数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)若关于n 的不等式2221211152111log 1log 1log 1n m n n n a a a ++⋅⋅⋅+<-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解,求整数m 的最小值；(3)在数列()111n n a ⎧⎫+--⎨⎬⎩⎭中,是否一定存在首项、第r 项、第s 项()1r s <<,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出r s 、所满足的条件；若不存在,请说明理由. {}n a 11a =1122(2,)n n n a a n n N --=+≥∈n a =2n n a n =⋅12n n a n -=⋅(21)2n n a n =-⋅1(21)2n n a n -=-⋅【七】其他求通项方法 1.例题【例1】 已知数列满足,,则（ ） A ．B ．C ．D ．【例2】若数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，则它的通项公式a n 为________________. 【例3】已知数列满足递推关系：，，则＝（ ） A ．B ．C ．D ．2.巩固提升综合练习【练习1】 已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且满足a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，211=a ，则S 2 017＝（ ） 【练习2】 在数列中，已知，，则_______，归纳可知_______．【八】特征根和不动点法求通项（自我提升）1.例题【例1】已知数列满足，求数列的通项．{}n a 113a =111nn n a a a ++=-*()n N ∈2012391a a a a ⋯⋯⋅⋅=3-2-12-13-{}n a 11n n n a a a +=+112a =2018a 12016120171201812019{}n a 12a =()*131nn n a a n N a +=∈+2a =n a ={}n a *12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈{}n a n a 一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数） 若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得．21(,n n n a pa qa p q ++=+112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+n a 2x px q =+,αβ1212(,n nn a c c c c αβ=+αβ=1212()(,nn a c nc c c α=+1122,,a m a m ==12,c c n a【例2】已知数列满足，求数列的通项．2.巩固提升综合练习【练习1】设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ．{}n a *12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈{}n a n a1.例题【例3】已知数列满足，求数列的通项．【例4】已知数列满足，求数列的通项．{}n a 11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+{}n a n a {}n a *11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+{}n a n a 二、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为…②若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得． 若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得． 此方法又称不动点法． 2n n n Aa Ba Ca D++=+2n n n Aa B a Ca D++=+*1,(,,,a m n N A B C D =∈0,0C AD BC ≠-≠Ax B x Cx D+=+2()0Cx D A x B +--=,αβ11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--c 12,a a c n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭11a a αβ--c n a αβ=111n n c a a αα+=+--c 12,a a c 1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭1na α-c n a2.巩固提升综合练习【练习2】已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a （1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？【练习3】).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n(1)求b 1、b 2、b 3、b 4的值；(2)求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S【练习4】各项均为正数的数列{}n a 中，,,11b b a a ==且对满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,都有=+++)1)(1(m n m n a a a a )1)(1(q p q p a a a a +++，当时，求通项54,21==b a n a ．三、课后自我检测1．已知正项数列，则数列的通项公式为（ ） A ． B ．C ．D ．2．在数列－1，0，211298n n -，，，，…中，0.08是它的第________项． 3．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.4．已知数列{}n a 中，1512a =-，1(1)3n n n na n a n +=+++，则该数列的通项n a =_______. 5．已知数列{}n a 中，()10a b b =>，()111n n a n N a ++=-∈+则能使n a b =的n 的数值是（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 6．已知数列{}n a 满足112a =且131n n a a +=+． （1）证明数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设数列{}n b 满足11b =，112n n n b b a +-=+，求数列{}n b 的通项公式． {}n a *12(1)()2n n n a a a n N ++=∈{}n a n a n =2n a n =2n na =22n n a =7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1(2)3n n S n a =+． （1）求n a ； （2）求证:121111na a a ++⋯+<．8．已知f (x )＝log m x (m ＞0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )，…是首项为4，公差为2的等差数列， 求证：数列{a n }是等比数列，并求n a ．9．已知数列{}n a 满足：10a =，144n na a +=-，*n N ∈. （1）若存在常数x ，使得数列1n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，求x 的值；（2）设2311n n b a a a +=，证明：123n b b b +++<.10．已知数列{}n a 满足：()1231312nn a a a a +++⋅⋅⋅+=-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足31log n n b a +=，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．11．数列{}n a ，*n N ∈各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.12．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<．13．已知数列{}n a 满足：11a =，()*121n n a a n +=+∈N（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()()n12ˆ111*4441N n b b b b n a n ---⋅⋯⋯=+∈，证明：{}nb 是等差数列.（3）证明：()*122311232n n a a a n nn a a a +-<++⋯+<∈N .14．在平面直角坐标系中，点(,)n n A n a 、(1,0)n B n -和(,)n C n t （*,n N t ∈为非零常数），满足1//n n A A +n n B C ，数列｛n a ｝的首项为1a =1，其前n 项和用n S 表示. （1）分别写出向量1n n A A +和n n B C 的坐标； （2）求数列｛n a ｝的通项公式；（3）请重新设计的n A 、n C 坐标（点n B 的坐标不变），使得在1//n n A A +n n B C 的条件下得到数列｛n b ｝，其中n b =nS n．15．已知点11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S 满足()112n n n n S S S S n -+-=+≥．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,问使得10002015n T >成立的最小正整数n 是多少？。
