西藏拉萨市拉萨中学2019-2020学年高二下学期第六次月考测试卷带答案解析(理)

理科数学试卷（满分：150分，考试时间：120分钟.请将答案填写在答题卡上）一、单选题（每小题5分，共计60分）1.设全集,{|22},{|1}U R M x x N x x ==-≤≤=<,则()U C M N 等于（ ）A. {}|1x x <B. {}|21x x -<<C. {}|2x x <-D. {|21}x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先进行补集运算，然后进行交集运算即可. 【详解】由题意可得：{}|22U C M x x x =><-或， 结合交集的定义可得：(){}|2U C M N x x =<-故选C.【点睛】本题主要考查集合的交并补混合运算，属于基础题. 2.设12i1iz +=-，则z 的虚部是（） A. 3 B.3iC.32D.32i 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，即可得到其虚部. 【详解】12(12)(1)13131(1)(1)222i i i i z i i i i +++-+====-+--+， 故复数z 的虚部是32， 故选：C【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的概念，属于容易题.3.抛物线24y x =的焦点到双曲线2221y x b -=则双曲线的虚轴长是（ ）A.B. C. 3 D. 6【答案】B 【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为y bx =，因此2=，b =，虚轴为2b =B ．4.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得12x =，类似上述过程，则231111333++++⋅⋅⋅=( ) A. 2 B.32C. 3D.53【答案】B 【解析】 【分析】 由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，类比已知中的求法，可构造方程求得结果. 【详解】232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴可设23111333x =+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x =23111131133322++++⋅⋅⋅=+=∴故选：B【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.5.甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数,a b 满足：,,,x a b y 成等比数列，则2a b +的最小值为（ ）A. 6B. 8C. 2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由中位数、平均数可得x ，y 的值，再由,,,x a b y 成等比数列得到4ab xy ==，最后利用基本不等式可得2a b +的最小值.【详解】甲班成绩的中位数是81，故1x =，乙班成绩的平均数是86，则768082(80)919396867y +++++++=，解得4y =，又,,,x a b y 成等比数列，故4ab xy ==，所以，22242a b ab +≥=2,22a b ==时，等号成立.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到茎叶图、中位数、平均数等知识，是一道容易题.6.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24【答案】C 【解析】利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有36C ，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，这两种选法均有33C ，因此考生共有多少种选考方法有3363C 2C 18-=种．7.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，S 为ABC 的面积，222sin()SA C b c +=-，且A 、B 、C 成等差数列，则C 的大小为（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】由等差中项的性质和三角形的内角和定理可求得B ，由余弦定理和三角形面积公式，可得2,a c b ==，再由余弦定理求得cos C ，可求得角C 的大小．【详解】在ABC 中，由A C B π+=-，∴()sin()sin sin A C B B π-+== ∴sin()sin A C B +=，又由222sin()SA C b c +=-，则有2212sin 2sin ac BB b c ⨯=-， 变形可得：22ac b c =-——①A 、B 、C 成等差数列，根据等差数列中项公式可得： 2B A C =+——② 根据三角形内角和性质可得：A B C π++=——③ 由②③可得：3B π=，根据余弦定理可得：222cos 2a c b B ac+-=∴222cos 32a c b ac π+-=，即：222122a c b ac+-= 变形可得： 222a c b ac +-=——④ 联立①④可得：22a ac =， 即2a c =， 又由22ac b c =-，则2223b ac c c =+=，即b =，∴222222cos22a b c C ab +-===0C π<∠<故6C π∠=；故选：A ．【点睛】本题主要考查等差中项的性质和三角形的内角和定理、余弦定理和三角形面积公式，解题关键是掌握余弦定理，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．8.已知二项式2(*)nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A. 14 B. 14-C. 240D. 240-【答案】C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解．【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr nT Cx -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =.解得：6n =.所以()()366216221rr n rr rr r r n T C x C x---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．9.已知函数()()()22130xf x x e ax a x =-+->为增函数，则a 的取值范围是（ ）A. )⎡-+∞⎣ B. 3,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. (,-∞-D. 3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】函数2()(21)3(0)x f x x e ax a x =-+->为增函数，可得()0f x '≥，化为122xa e x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭，令1()2x g x e x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.【详解】∵函数2()(21)3(0)x f x x e ax a x =-+->为增函数， ∴()(2x 1)e 20x f x ax '=++≥，化为122xa e x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭， 令1()2x g x e x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()2211()x x x e g x x-+'=-， 当12x >时，()0g x '<，当102x <<时，()0g x '>，可得12x =时，函数()g x 取得极大值即最大值，12g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴a ≥-∴a 的取值范围是)⎡-+∞⎣. 故选：A.【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A.310B.25C.825D.35【答案】B 【解析】【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C AAA A A⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C CC A C C AA A⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C ApC C AA==.故选：B.【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.11.已知抛物线22(0)x py p=>的焦点F是椭圆22221(0)y xa ba b+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若FAB∆是正三角形，则椭圆的离心率为（）A. 12B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意画出几何图形,由椭圆和抛物线的对称性可知AB与y轴交于椭圆的另一焦点'F,则'2FF c=.根据正三角形性质可得1',2AF AF=结合椭圆定义'2AF AF a+=,可由勾股定理求得椭圆的离心率.【详解】由题意可知,画出几何图形如下图所示:由椭圆与抛物线的对称性可知, AB 与y 轴交于椭圆的另一焦点'F ,则'2FF c =. 由椭圆定义可知'2AF AF a +=,且FAB ∆为正三角形 所以1',2AF AF =则24',33a a AF AF == 由正三角形性质可知'AF F ∆为直角三角形 所以()()222''AF FF AF +=即()22224233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得223c a = 所以221333c e a ===故选:C【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的标准方程与几何性质的综合应用,椭圆离心率的求法,属于中档题. 12.已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ） A. ln 212-B. ln 212+C. 2D.2【答案】D 【解析】 【分析】易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+，且e 1x x ≥+恒成立，2C 在点()1,0B 处的切线方程为1y x =-，且()ln 10xx x x-≥>恒成立，由AB 等于平行线1y x =+与1y x =-间的距离，从知min PQ AB =.【详解】曲线1C ：e x y =，求导得e x y '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1x f x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==1y x =+与1y x =-=PQ 的最小值. 故选：D.【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共计20分）13.等差数列{}n a 中，271224a a a ++=，则13S =_______. 【答案】104 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得7a 的值，由等差数列的求和公式和等差数列的性质可得13713S a =，代入计算即可求出13S .【详解】因为等差数列{}n a 中，271224a a a ++=， 所以由等差数列的性质可得72712324a a a a =++=， 解得78a =， 所以113713713()1321310422a a a S a +⨯====， 故答案为：104.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，等差数列的性质，属于基础题. 14.1122011-+=⎰⎰x dx dx x________. 【答案】ln 24π+【解析】 【分析】由定积分的几何意义和定积分基本定理，即可求解. 【详解】由题意得，1021x dx -⎰表示21y x =-，01x <<与x 轴围成的区域的面积，表示一个半径为1的14个圆， 其面积为21144S ππ=⨯=， 又2121ln ln 2ln1ln 21dx x x ==-=⎰， 所以1220111x dx dx x -+⎰⎰ln 24π=+. 故答案为：ln 24π+.【点睛】本题考查定积分的计算，注意定积分几何意义的应用，属于基础题. 15.若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ． 【答案】1- 【解析】【详解】试题分析:设切点为,因1ln y x '=+,故切线的斜率,则,即.所以切点代入y x b =+可得,故应填答案.考点：导数的几何意义及运用．【易错点晴】本题以直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线为背景,考查的是导函数几何意义及导数语切线方程之间的关系的应用问题.解答本题的关键是搞清导函数值是函数在切点处的导函数的值就是切线的斜率,求解时先将切点的坐标设出来,然后再借助这些条件建立方程求出切点坐标为.再将其代入求出,从而使得问题最终获解.16.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2HP 的范围是_______.【答案】11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标.作'HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+.作'PN CC ⊥根据空间中两点间距离公式即可求得2HP 的范围.【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示:作'HM BB ⊥交'BB 于M,连接PM则HM PM ⊥作'PN CC ⊥交'CC 于N,则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离 设(),4,P x z ,则()()()1,4,3,4,4,3,0,4,F M N z ()04,04x z ≤≤≤≤ 由题意点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 所以PN PF =由两点间距离公式可得x =化简得()2213x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥ 综上可得142x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222443x z =+-+-()224421x x =+-+- ()2322x =-+142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以211322,4HP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为: 11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用,利用空间两点间距离公式及二次函数求最值,属于难题.三、解答题（其中17题10分，其余大题各12分，共计70分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，1cos 2a Bbc +=. （1）求A ；（2）若a =ABC ABC 的周长.【答案】（1）60A =︒；（2）5+. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦可求出角A ；(2)利用三角形面积公式可得到6bc =，再由余弦定理可求出ABC 的周长； 【详解】(1)由正弦定理知1sin cos sin sin 2A B B C +=， ∴1sin sin()sin cos sin cos 2B A B A B B A =+-=， ∴1cos 2A =，60A =︒.（或用余弦定理将cos B 换掉求解） (2)由(1)及已知可得12bc =，解得6bc =， 由余弦定理知22227()3a b c bc b c bc ==+-=+-，∴5b c +=， ∴ABC的周长为5.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于较易题.18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项．（1）求n a 与n S ； （2）若数列{}n b 满足1nn n n a b S S +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）123n n a -=⨯．31nn S =-．（2）n T 1111331n +⎛⎫=-⎪-⎝⎭【解析】 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项．可得()1114a q a +=，2131212a a a =++，即21111212a q a a q =++，联立解得1a ，q ，再利用通项公式与求和公式即可得出n a ，n S ．（2）()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，利用裂项求和方法即可得出数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，∵214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项．∴()1114a q a +=，2131212a a a =++，即21111212a q a a q =++，联立解得12a =，3q =，∴123n n a -=⨯．()()213231311331n n n n S --===---．（2）()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，∴数列{}n b 的前n 项和223111111113313131313131n n n T +⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- ⎪------⎝⎭1111331n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭． 【点睛】本题考查等差、等比数列的综合应用以及裂项相消法求和，难度一般.常见的几种可裂项相消的数列形式：()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，()()1121121212121n n n n n ++=-----. 19.已知函数21()ln 2f x x x =+. （1）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大、最小值；. （2）求证：在区间()1,+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方. 【答案】（1）2max 1()12f x e =+，min 1()2f x =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的导数可确定函数为增函数，即可求解（2）构造函数2312()ln 23F x x x x =+-，利用导数证明()F x 在区间()1,+∞上为减函数，故最大值1(1)06F =-<即可证明. 【详解】（1）由21()ln 2f x x x =+有()1f x x x '=+，当[]1,x e ∈时，()0f x '>,()f x ∴在区间[]1,e 上为增函数，2max 1()()12f x f e e ∴==+，min 1()(1)2f x f ==，（2）设2312()ln 23F x x x x =+-， 则()22(1)121()2x x xF x x x x x-++'=+-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F x '<， 且1(1)06F =-<故(1,)x ∈+∞时，()0F x < 2312ln 23x x x ∴+<，得证. 【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性，求函数最值，属于中档题.20.在平行四边形EABC 中，4EA =，22EC =，45E ∠=︒，D 是EA 的中点（如图1），将ECD 沿CD 折起到图2中PCD 的位置，得到四棱锥是P ABCD -．（1）求证：CD ⊥平面PDA ；（2）若PD 与平面ABCD 所成的角为60︒．且PDA 为锐角三角形，求平面PAD 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析； （2）217【解析】 【分析】（1）证明CD DA ⊥，CD PD ⊥，即可证明线面垂直；（2）由线面角求得DP ，以AD 中点O 为坐标原点建立直角坐标系，由向量法求得二面角的余弦值.【详解】（1）将ECD 沿CD 折起过程中，CD ⊥平面PDA 成立．证明如下：D 是EA 的中点，4EA =，2DE DA ∴==， EDC △中，由余弦定理得，22222cos 4584222242CD EC ED EC =+-=+-⨯⨯⨯︒=⋅， 2CD ED ∴==，2228D DE EC C +==，EDC ∴△为等腰直角三角形且CD EA ⊥，CD DA ∴⊥，CD PD ⊥，PD AD D ⋂=，CD 平面PDA ．（2）由（1）知CD ⊥平面PDA ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面PDA ⊥平面ABCD ，PDA 为锐角三角形，P ∴在平面ABCD 内的射影必在棱AD 上，记为O ，连接PO ，PO ∴⊥平面ABCD ，则PDA ∠是PD 与平面ABCD 所成的角，60PDA ∴∠=︒， 2DP DA ==，PDA ∴为等边三角形，O 为AD 的中点，故以O 为坐标原点，过点O 且与CD 平行的直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设x 轴与BC 交于点M ，2DA PA ==，3OP ∴易知1OD OA CM ===3BM ∴=，则(3P ，()0,1,0D -，()2,1,0C -，()2,3,0B ，()2,0,0DC =，()0,4,0BC =-，()2,1,3PC =--，CD⊥平面PDA ，∴可取平面PDA 的一个法向量()11,0,0n =，设平面PBC 的法向量()2222,,n x y z =，则00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222240,230y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩，令21z =，则23,0,12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为平面PBC 的一个法向量，设平面PAD 和平面PBC 所成的角为θ， 由图易知θ为锐角，1212123212cos cos ,771n n n n n n θ⋅∴====⋅⨯． ∴平面PAD 和平面PBC 所成角的余弦值为217．【点睛】本题考查线面垂直的证明，以及由线面角求线段长，以及利用向量法求二面角，属综合中档题.21.已知点()0,2D -，过点D 作抛物线212(0)C x py p =>：的切线l ，切点A 在第二象限．()1求切点A 的纵坐标；()2有一离心率为32的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>恰好经过切点A ，设切线l 与椭圆的另一交点为点B ，记切线,,l OA OB 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若124k k k +=，求椭圆的方程．【答案】（1）02y =（2）221328x y +=【解析】 【分析】()1设切点()00,A x y 则有2002x y p=，利用导数求出切线斜率，可得求出切线方程，将()0,2D -代入切线方程即可得结果；()2 由()1得(),2A -，切线斜率k=2y kx =-，利用222214x y b b +=，切线与椭圆方程联立，由124k k k +=，利用韦达定理及斜率公式可得23224164kk k b-=-，从而可求得结论． 【详解】()1设切点()00,A x y 则有2002x y p=，由切线l 的斜率为0x k p=， 得l 的方程为2002x x y x p p=-， 又点()0,2D -在l 上所以222x p=，即02y =，所以点A 的纵坐标02y =．()2由()1得(),2A -，切线斜率k= 设()11,B x y ，切线方程为2y kx =-，由e =2234c a =又222c a b =-，所以224a b =．所以椭圆方程为222214x y b b+=且过()2A -，所以24b p =+．由222244y kx x y b =-⎧+=⎨⎩得()22214161640k x kx b +-+-=，所以0122012161416414k x x k b x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 又因为124k k k +=，即()()()210011001220101012322223214222416416414kx x x kx x x y y k k k k k k b x x x x x x b k -+-+++==-=-=-=--+， 解得28b =，所以22432a b == ,所以椭圆方程为221328x y += .【点睛】本题主要考查抛物线的切线方程以及求椭圆方程，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 22.已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.【答案】（1）a=1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）通过分析可知f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，进而利用h ′（x ）＝a 1x-可得h （x ）min ＝h （1a），从而可得结论； （2）通过（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，记t （x ）＝f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，解不等式可知t （x ）min ＝t （12）＝ln2﹣1＜0，从而可知f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，利用f （x ）必存在唯一极大值点x 0及x 012＜可知f （x 0）14＜，另一方面可知f （x 0）＞f （1e ）21e=． 【详解】（1）解：因为f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ＝x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0），则f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知h ′（x ）＝a 1x-． 则当a ≤0时h ′（x ）＜0，即y ＝h （x ）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x 0＞1时，h （x 0）＜h （1）＝0，矛盾，故a ＞0． 因为当0＜x 1a ＜时h ′（x ）＜0、当x 1a＞时h ′（x ）＞0， 所以h （x ）min ＝h （1a）， 又因为h （1）＝a ﹣a ﹣ln1＝0， 所以1a=1，解得a ＝1； 另解：因为f （1）＝0，所以f （x ）≥0等价于f （x ）在x ＞0时的最小值为f （1）， 所以等价于f （x ）在x ＝1处是极小值， 所以解得a ＝1；（2）证明：由（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，令f ′（x ）＝0，可得2x ﹣2﹣lnx ＝0，记t （x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，则t ′（x ）＝21x-， 令t ′（x ）＝0，解得：x 12=， 所以t （x ）在区间（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增， 所以t （x ）min ＝t （12）＝ln2﹣1＜0，从而t （x ）＝0有解，即f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2， 且不妨设f ′（x ）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+∞）上为正， 所以f （x ）必存在唯一极大值点x 0，且2x 0﹣2﹣lnx 0＝0，所以f （x 0）20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 020x -，由x 012＜可知f （x 0）＜（x 020x -）max 2111224=-+=； 由f ′（1e ）＜0可知x 0112e ＜＜， 所以f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1e）上单调递减， 所以f （x 0）＞f （1e ）21e=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．21。

拉萨市2019-2020学年数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在空间中，设α，β表示平面，m ，n 表示直线.则下列命题正确的是（ ）A ．若m∥n，n⊥α，则m⊥αB ．若m 上有无数个点不在α内，则m∥αC ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若m∥α，那么m 与α内的任何直线平行 【答案】A【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理与性质定理，逐一判定，即可求解，得到答案.【详解】对于A 中，若//,m n n α⊥，则m α⊥，根据线面垂直的判定定理，可知是正确的；对于B 中，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，所以不正确； 对于C 中，若,m αβα⊥⊂，则m β⊥或//m β或m 与β相交，所以不正确；对于D 中，若//m α，则m 与平面α内的直线平行或异面，所以不正确，故选A.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．利用数学归纳法证明“1111212233n n n ++⋯+>++ (2n ≥且)*n N ∈”的过程中，由假设“n k =”成立，推导“1n k =+”也成立时，该不等式左边的变化是（ ）A ．增加133k + B ．增加111313233k k k +++++ C ．增加133k +并减少112122k k +++ D ．增加111313233k k k +++++并减少112122k k +++ 【答案】D【解析】【分析】由题写出n k =时的表达式和1n k =+的递推式，通过对比，选出答案【详解】n k =时，不等式为111112+1222333k k k k +++⋯+>++1n k =+时，不等式为1111111232433132333k k k k k k ++⋯++++>+++++，增加111313233k k k +++++并减少112122k k +++. 故选D.【点睛】用数学归纳法写递推式时，要注意从n k =到1n k =+时系数k 对表达式的影响，防止出错的方法是依次写出n k =和1n k =+的表达式，对比增项是什么，减项是什么即可3．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ）A ．8种B ．15种C ．53种D ．35种 【答案】C【解析】由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把5封电子邮件投入3个不同的邮箱，共有5333333⨯⨯⨯⨯=种不同的方法，故选C.4．即将毕业，4名同学与数学老师共5人站成一排照相，要求数学老师站中间，则不同的站法种数是 A ．120B ．96C ．36D ．24【答案】D【解析】分析：数学老师位置固定，只需要排学生的位置即可.详解：根据题意得到数学老师位置固定，其他4个学生位置任意，故方法种数有44A 种，即24种. 故答案为：D.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 5．已知随机变量Z 服从正态分布N （0，2σ ）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977 【答案】C【解析】因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,所以0.954,故选C.【命题意图】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P(X <2)等于A ．715B ．815C ．1415D ．1【答案】C【解析】【分析】 根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果【详解】由题意，知X 取0，1，2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X ＝0)＝27210715C C =，P(X ＝1)＝1173210715C C C =⋅，P(X ＝2)＝23210115C C =， 于是P(X<2)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝7714151515+= 故选C【点睛】 本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．7．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>经过点3,2)，且离心率为3，则它的虚轴长是（） A ．45B ．25C ．2 D ．4【答案】A【解析】【分析】根据双曲线经过的点和离心率，结合222c a b =+列方程组，解方程组求得b 的值，进而求得虚轴长2b .【详解】 将点)3,2代入双曲线方程及离心率为3得222223413a b c a c a b ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得25b =245b =小题选A.本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.解题过程中要注意：虚轴长是2b 而不是b .8．已知函数 ()(1)e ln x f x x a x =--在1[,3]2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．)39,e ⎡+∞⎣B ．(3,9e ⎤-∞⎦C ．)24,e ⎡+∞⎣D ．(2,4e ⎤-∞⎦ 【答案】A【解析】【分析】等价于'()e 0x a f x x x=-在1[,3]2上恒成立，即2e x a x 在1[,3]2上恒成立，再构造函数 2()e x g x x =并求g(x)的最大值得解.【详解】'()e 0x a f x x x=-在1[,3]2上恒成立， 则2e x a x 在1[,3]2上恒成立， 令2()e x g x x =，()2'()2e 0xg x x x =+>， 所以()g x 在1[,3]2单调递增，故g(x)的最大值为g(3)=39e .故39a e ≥.故选A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，属于基础题. 9．如图是一个算法的程序框图，当输入的x 的值为7时，输出的y 值恰好是1-，则“？”处应填的关系式可能是（）A ．21y x =+B ．3x y -=C ．y x =D ．13log y x = 【答案】A试题分析：依题意，输入的x 的值为7，执行4次循环体，x 的值变为1-，这时，如果输出的y 值恰好是1-，则函数关系式可能为21y x =+,故应填A.考点：程序框图中的循环结构.10．若过点()1,P m 可作两条不同直线与曲线段C ：22y x x =+ (12)x -≤≤相切，则m 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．[]1,2-C ．[]2,3D ．[)2,3【答案】D【解析】【分析】设切点为()00,x y ，写出切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，把(1,)m 代入，关于0x 的方程在[1,2]-上有两个不等实根，由方程根的分布知识可求解.【详解】设切点为()00,x y ，22y x '=+,则切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，(1,)P m 在切线上，可得()()220000221312m x x x x +--≤≤=-+=-+，函数2()(1)3h x x =--+(12)x -≤≤在[1,1]-上递增，在[1,2]上递减，max ()3h x =，又(1)1h -=-，(22)h =，∴如果0x 有两解，则23m ≤<.故选：D .【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题。

西藏 2020 版高二下学期数学 6 月月考试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高二下·吉林月考) 设复数 满足 A. B. C. D.，则 （ ）2. （2 分） (2018 高一上·天门月考) 设全集 （），集合，，则A.B.C.D.3. （2 分） (2017 高二上·黄山期末) “m＜0”是“ ﹣=1 表示的曲线是双曲线”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2 分） (2020 高三上·哈尔滨月考) 设 ， 是 的两个非空子集，如果存在一个从 到 的第 1 页 共 12 页函数同时 满足 ：（ ⅰ）；（ ⅱ）对 任意，当时，恒有，那么称这两个集合为“TF”集合，以下集合对不是“TF”集合的个数为.（ ）（1），；（ 2 ），；（4），.；（ 3 ），A.0 B.1 C.2 D.3 5. （2 分） 给出下列命题，其中错误命题的个数为（ ） （1）直线 a 与平面 α 不平行，则 a 与平面 α 内的所有直线都不平行； （2）直线 a 与平面 α 不垂直，则 a 与平面 α 内的所有直线都不垂直； （3）异面直线 a、b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直； （4）若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则 a 和 c 共面． A.1 B.2 C.3 D.4 6. （2 分） (2019·上饶模拟) 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）第 2 页 共 12 页A. B.C. D.7. （2 分） (2019 高二上·辰溪月考) 设函数的定义域为 R，若存在常数，使一切实数 x 均成立，则称为 “ 倍 约 束 函 数 ”. 现 给 出 下 列 函 数 ： ①；②；④ 是“倍约束函数”的有（是定义在实数集 R 上的奇函数，且对一切 ）均有对 ；③ .其中A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2 分） (2016 高二下·海南期末) 如表是一个 2×2 列联表：则表中 a，b 的值分别为（ ）y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 22 25 47第 3 页 共 12 页合计 b 46 120 A . 94，72 B . 52，50 C . 52，74 D . 74，529. （2 分） 已知 测 a+b=（ ）A . 109 B . 1033 C . 199 D . 29则推10. （2 分） 函数 f（x）= A . （﹣∞，3） B . （3，+∞） C . （2，3） D . （0，3）（x＞0）的值域是（ ）11. （2 分） 关于函数有下列命题：①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 的整数倍；②f(x)的表达式可改写为；③f(x)的图象关于点对称；④f(x)的图象关于直线 对称；⑤f(x)在区间上是增函数；其中正确的是（ ）A . ②③⑤B . ①② ③第 4 页 共 12 页C . ②③ ④ D . ①③⑤12. （ 2 分 ） (2019 高 二 下 · 双 鸭 山 期 末 ) 已 知 函 数（）.若存在实数，使得( 为自然对数的底数)，，且，则实数 的最大值为A.B. C. D.1二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高一上·泰州月考) 设集合，则________．14. （1 分） (2018 高一上·河北月考) 已知则________15. （1 分） 如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=3．PB=2，PC=1．设 M 是底面 ABC 内一 点，定义 f（M）=（m，n，p），其中 m、n、p 分别是三棱锥 M﹣PAB、三棱锥 M﹣PBC、三棱锥 M﹣PCA 的体积．若 f（M）=（ ， x，y），且≥8 恒成立，则正实数 a 的最小值为________16. （1 分） (2019 高二下·无锡期中) 若函数 数，则 的取值范围为________.第 5 页 共 12 页存在两个零点，且一个为正数，另一个为负三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （5 分） (2019 高一上·河南月考) 已知全集为 R，集合（1） 求，；（2） 若，且，求实数 a 的取值范围．，．18. （10 分） (2019 高二下·萨尔图期末) 已知命题 ：.（Ⅰ）若 为真命题，求实数 的取值范围；（Ⅱ）设命题 ：；若“”为真命题且“”为假命题，求实数 的取值范围.19. （10 分） (2018·泸州模拟) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为，过点的直线 的参数方程为（ 为参数），直线 与曲线 相交于 ， 两点. （1） 写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（2） 若，求 的值.20. （10 分） (2019 高二下·仙桃期末) 已知函数（1） 求函数的单调区间；（2） 若函数恰有四个零点，求实数 的取值范围。

西藏拉萨市拉萨中学2019-2020学年 高二下学期第六次月考（文）一. 选择题（每小题有且仅有一个选项是正确的. 请将正确答案的选项填涂在答题卡上相应位置. 每小题5分）：1．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线⊄b 平面α，直线⊂a 平面α，直线//b 平面α，则直线a b //”. 则下列说法正确的是 A ．上述推理是正确的 B ．大前提是错误的C ．小前提是错误的D ．演绎推理的推理形式是错误的 2. 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A ．294e B ．22e C ．2eD ．22e3．观察两个变量(存在线性相关关系)得如下数据：A. yˆ＝21x ＋1 B. yˆ＝x C. y ˆ＝2x ＋31D. y ˆ＝x ＋1 4．设复数z 满足(1+i)z =2i （其中i 为虚数单位），则∣z ∣= A ．12 B ．2C D ．2 5.某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法？（ ）A ．6B ．12C ．18D ．246. 若复数z 满足()i 34i 43+=-z ，则z 的虚部为A ．i 54 B ．i 54-C ．54 D ．54-7. 在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 2sin C A =， 2232ba ac -=，则cos B 等于 A.21 B. 31 C. 41 D. 518．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是 A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞a D ．a ＞c ＞b9. 若向量)23,21(-=a ，32=b ，若2)(=-⋅a b a ，则向量a 与b 的夹角为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10. 函数||ln sin )(x e x x f x +=的大致图象为A ．B ．C ．D ．11. 正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为 A ．B ．C ．D ．12. 设函数a ax x e x f x +--=)12()(，其中1<a ，若存在唯一的整数0x 使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是220052200620052006+20052006⨯A ．)1,23[e -B ．)43,23[e -C ．)43,23[eD ．)1,23[e二. 填空题（请将正确答案填写在答题卡上相应位置.每小题5分）： 13. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为__ .14. 若复数z=（3–i ）(2+7i)，则复平面内z 的共轭复数表示的点位于第_象限.15. 对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”32=⎩⎨⎧53，33=⎪⎩⎪⎨⎧1197，34=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧19171513……仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为_ . 16．已知是双曲线的右焦点，P 是C 左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为__ .三. 解答题 （ 解答题要写出必要的演算步骤、推理过程、文字说明. 17小题10分，其余每小题12分 ）：17. ( 1 ) 用分析法证明：52276+>+； （2）用综合法证明 : ca bc ab c b a ++≥++222.。