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第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
大连理工大学本科实验报告课程名称：自动控制原理实验A 学部：电子信息与电气工程专业：自动化辅修班级：学号：学生姓名：2017年 3 月9 日实验项目列表大连理工大学实验预习报告学院（系）：专业：班级：姓名：学号：组：___ 实验时间：实验室：实验台：指导教师签字：成绩：典型线性环节的模拟一、实验目的和要求二、实验原理和内容三、实验步骤1．比例环节模拟电路图及参数计算方法2．积分环节模拟电路图及参数计算方法3．比例积分环节模拟电路图及参数计算方法4．比例微分环节模拟电路图及参数计算方法5．微分环节的模拟电路图及参数计算方法6．比例积分微分环节模拟电路图及参数计算方法7．一阶惯性环节模拟电路图及参数计算方法四、实验数据记录表格1．比例环节2．积分环节3．比例积分环节4．比例微分环节5．比例微分积分环节6．一阶惯性环节大连理工大学实验报告学院（系）：专业：班级：姓名：学号：组：___ 实验时间：实验室：实验台：指导教师签字：成绩：典型线性环节的模拟一、实验目的和要求见预习报告二、实验原理和内容见预习报告三、主要仪器设备四、实验步骤与操作方法五、实验数据记录和处理1．比例环节的阶跃响应曲线2．积分环节的阶跃响应曲线3．比例积分环节的阶跃响应曲线4．比例微分环节的阶跃响应曲线5．微分环节的阶跃响应曲线6．比例积分微分环节的阶跃响应曲线7．惯性环节的阶跃响应曲线六、实验结果与分析七．思考题八、讨论、建议、质疑大连理工大学实验预习报告学院（系）：专业：班级：姓名：学号：组：___实验时间：实验室：实验台：指导教师签字：成绩：二阶系统的阶跃响应一、实验目的和要求二、实验原理和内容画出二阶系统的模拟电路图，如何通过改变电路中的阻、容值来改变二阶系统的参数？三、实验步骤1．在学习机上模拟二阶系统，仔细连线，不要发生错误2．取二阶系统的阻尼比ζ=0.2，时间常数T=0.47秒，求二阶系统的单位阶跃响应3．取二阶系统的阻尼比ζ=0.2，时间常数T=1.47秒，求二阶系统的单位阶跃响应4．取二阶系统的阻尼比ζ=0.2，时间常数T=1.0秒，求二阶系统的单位阶跃响应5．取二阶系统的阻尼比ζ=0.4，时间常数T=1.0秒，求二阶系统的单位阶跃响应6．取二阶系统的阻尼比ζ=0.7，时间常数T=1.0，求二阶系统的单位阶跃响应7．取二阶系统的阻尼比ζ=1，时间常数T=1.0，求二阶系统的单位阶跃响应四、实验数据记录大连理工大学实验报告学院（系）：专业：班级：姓名：学号：组：___ 实验时间：实验室：实验台：指导教师签字：成绩：二阶系统的阶跃响应一、实验目的和要求见预习报告二、实验原理和内容见预习报告三、主要仪器设备四、实验步骤与操作方法五、实验数据记录和处理标示出每条曲线的峰值、峰值时间、调整时间，计算最大超调量。
非线性环节实验报告引言非线性系统在现实生活中的广泛应用引起了研究者们的极大关注。
非线性环节作为其中的重要组成部分，对系统的稳定性和性能起着至关重要的作用。
本实验通过建立一个非线性环节的模型，探究其对系统行为的影响，并分析非线性环节的性能和稳定性特性。
实验目的1. 建立一个非线性环节的数学模型；2. 分析非线性环节对系统行为的影响；3. 考察非线性环节的性能和稳定性特性。
实验原理非线性环节是指输入与输出之间不满足线性关系的部分。
在控制系统中，非线性环节可能会导致系统产生不确定性和非稳定的行为。
为了研究非线性环节的特性，本实验使用了一个常见的非线性函数作为实验模型，即sigmoid函数。
Sigmoid函数定义如下：f(x) = \frac{1}{{1+e^{-ax}}}其中，x代表输入，a代表一个可调节的参数，f(x)代表经过非线性环节后的输出。
实验步骤1. 首先，我们需要选择合适的参数a值来控制sigmoid函数的形状。
较小的a 值将导致sigmoid函数的输出变化更缓慢，而较大的a值则会使函数的曲线更陡峭。
本次实验选择a=2作为sigmoid函数的参数。
2. 在Matlab或Python等工具中编写代码，根据sigmoid函数的表达式计算输入x对应的输出f(x)。
3. 绘制x与f(x)之间的关系曲线，观察并分析非线性环节对系统行为的影响。
实验结果根据实验步骤所给出的sigmoid函数表达式和参数，我们得到了如下结果：import numpy as npdef sigmoid(x, a):return 1 / (1 + np.exp(-a * x))x = np.linspace(-10, 10, 100)a = 2y = sigmoid(x, a)import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(x, y)plt.xlabel('Input (x)')plt.ylabel('Output (f(x))')plt.title('Nonlinear Link Function')plt.grid(True)plt.show()如上所示的代码及其运行结果，绘制了sigmoid函数的输入和输出之间的关系曲线。
大连理工大学二O O五年硕士生入学考试《自动控制原理<含20%现代）》试卷一、<15分）试求图1所示电路的传递函数U c(s> / U r(s> 。
二、<20分）给定系统结构如图2所示。
1．设r(t>=n1(t>=n2(t>=1(t>, 试求系统的稳态误差e ss。
2．在r(t>=n1(t>=n2(t>=1(t>情况下，如何使稳态误差e ss=0。
三、<25分）已知负反馈系统的开环传递函数为1．试绘制以K为参量的根轨迹图；2．试求系统处于临界稳定状态时的闭环极点。
四、<15分）已知负反馈系统的开环传递函数为G(s>H(s>=,试绘制开环幅相特性曲线，并应用奈奎斯特判据判断系统的稳定性。
五、<15分）已知负反馈系统的开环传递函数为G(s>H(s>=，并绘制开环频率特性对数坐标曲线，并计算相角裕度。
六、<15分）给定系统微分方程为,试确定奇点位置及类型，并绘制相平面草图。
七、<15分）设系统结构如图3所示。
试求C(z>，并判断K=1时系统的稳定性。
八、<10分）已知离散系统的状态方程为a>0，试用李雅普诺夫第二方法确定使平衡点渐进稳定的a取值范围。
九、<20分）给定系统结构如图4所示。
1．试建立系统的状态空间描述；2．试设计状态反馈阵，使系统闭环极点位于-2，-2处；3．K是否可以取为0.5，为什么？大连理工大学二O O四年硕士生入学考试《自动控制原理<含30%现代）》试卷一、<15分）试求图1所示电路的结构图和传递函数。
二、<10分）已知系统的特征方程为：s4+2.5s3+2.5s2+10s -6 = 0试求特征根在S平面上的分布。
三、<10分）试求系统的单位脉冲响应。
四、<20分）设系统的开环传递函数为：1.试绘制根轨迹图<可能的分离点为：-1.2、-1.6、-2.6、-2.9、-3.5）；2.试求出分离点处的K值。
-03cos 2lnlim 0=+=®xx （10分）四、解：(1)0)cos )((lim 00sin )(lim 00=-¢=÷øöçèæ-=®®x x g x x x g a x x （4分）(2)200sin )(lim )0()(lim )0(x xx g x f x f f x x-=-=¢®® =12)0(2sin )(lim 2cos )(lim 00=¢¢=+¢¢=-¢®®g x x g x x x g x x∴ ïîïíì=¹---¢=¢时时010,)sin )(()cos )(()(2x x x x x g x x g x x f （8分） （3）200)sin )(()cos )((lim )(lim x x x g x x g x x f x x ---¢=¢®® =xx x g x x g x x x g x 2)cos )(()sin )((cos )(lim 0-¢-+¢¢+-¢® =)0(12)0(f g ¢==¢¢，因此)(x f ¢在(-∞，+∞+∞))连续。
连续。
（10分）五、解五、解:: 设x x x f ln)(=，由2ln 1)('xxx f -=，可知,当e x >时)(x f 单调减少单调减少 （5分）若e a b >>，则有b b a a ln ln >，推出a b b a ln ln >，即有a b b a > 2011201220122011> （10分）分）所以六、解：2)()()(x x f x f x x x f -¢=¢÷øöçèæ（4分）分） 令)()()(x f x f x x g -¢=，)()(x f x x g ¢¢=¢，令0)(=¢x g ，得0=x （唯一驻点），当0<x 时，0)(<¢x g ，当0>x 时，0)(>¢x g ，故)0(g 为最小值，故0)0()0()(>-=³f g x g ，∴0)(>¢÷øöçèæx x f ，即x x f )(单调增加。
非线性实验报告非线性实验报告摘要：本实验旨在研究非线性系统的特性，并通过实验验证非线性系统的存在和影响。
实验过程中，我们采用了不同的实验方法和工具，包括数学模型、实验仪器和数据分析软件。
通过实验结果的分析和对比，我们得出了一些关于非线性系统的结论，并对实验中可能存在的误差和限制进行了讨论。
引言：非线性系统是指其输入与输出之间的关系不符合线性关系的系统。
在现实世界中，非线性系统无处不在，如生物系统、电子电路、经济系统等。
了解和研究非线性系统的特性对于我们理解和应用这些系统具有重要意义。
本实验旨在通过实际操作和数据分析，探索非线性系统的行为和特性。
实验方法：我们选择了一种简单的非线性系统作为研究对象，即二次函数。
通过调整二次函数的系数和参数，我们可以观察到不同的非线性行为。
在实验中，我们使用了一台计算机和数据采集卡作为实验仪器，利用数学建模和数据分析软件进行数据处理。
实验步骤：1. 设计二次函数模型：我们首先根据实验要求设计了一个二次函数模型，包括系数和参数的选择。
这个模型可以模拟实际系统中的非线性行为。
2. 数据采集：我们通过计算机和数据采集卡采集了一系列输入和输出数据。
输入数据是实验中施加在系统上的不同信号，输出数据是系统对这些信号的响应。
3. 数据处理和分析：我们使用数据分析软件对采集到的数据进行处理和分析。
首先，我们绘制了输入-输出曲线，以观察系统的非线性特性。
然后，我们对数据进行了拟合和回归分析，以确定二次函数的系数和参数。
实验结果：通过实验和数据分析，我们得到了以下结果：1. 非线性特性的存在：我们观察到系统的输入-输出曲线不是一条直线，而是呈现出弯曲的形状。
这表明系统存在非线性特性。
2. 参数对系统行为的影响：我们发现，调整二次函数的系数和参数可以改变系统的响应。
例如，增加二次项的系数可以使曲线更加陡峭，而增加线性项的系数可以使曲线更加平缓。
3. 非线性现象的局限性：我们也观察到，在一定范围内，系统的响应是线性的。
大连理工大学22春“计算机科学与技术”《数据结构》作业考核题库高频考点版（参考答案）一.综合考核(共50题)1.n个结点的完全有向图含有边的数目()。
A.n*nB.n(n+1)C.n/2D.n*(n-l)参考答案：D2.队列是只允许在表的一端进行插入，而在另一端删除元素的线性表。
()A.正确B.错误参考答案：A3.从19个记录中查找其中的某个记录，最多进行4次关键字的比较，则采用的查找方法只可能是()。
A.顺序查找B.折半查找C.哈希查找D.二叉排序树查找参考答案：C4.查找效率最高的二叉排序树是()。
A.所有结点的左子树都为空的二叉排序树B.所有结点的右子树都为空的二叉排序树C.平衡二叉树D.没有左子树的二叉排序数参考答案：C算法中语句执行的频度就是算法的时间复杂度。
()A.正确B.错误参考答案：B6.归并排序是原地排序。
()A.正确B.错误参考答案：B7.下述哪一条是顺序存储结构的优点?()A.存储密度大B.插入运算方便C.删除运算方便D.可方便地用于各种逻辑结构的存储表示参考答案：A8.数据元素是数据的最小单位()。
A.正确B.错误参考答案：B9.算法的有穷性是指一个算法必须总是(对任何合法的输入)在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成。
()A.正确B.错误10.树的后根遍历序列等同于该树对应的二叉树的()。
A.先序序列B.中序序列C.后序序列D.以上都不对参考答案：B11.一个栈的输入序列为123...n，若输出序列的第一个元素是n，输出第i(1=i=n)个元素是()。
A.不确定B.n-i+1C.iD.n-i参考答案：B12.在下列存储形式中，哪一个不是树的存储形式?()A.双亲表示法B.孩子链表表示法C.孩子兄弟表示法D.顺序存储表示法参考答案：D13.下述文件中适合于磁带存储的是()。
A.顺序文件B.索引文件C.散列文件D.多关键字文件参考答案：A折半查找所对应的判定树是一棵理想平衡树。
1）分叉图为：
程序为：
muv=0:0.002:3; %%%分叉参数
m=length(muv);
for k=1:m
mu=muv(k);
n=1000;x=zeros(n,1);x(1)=0.1;
for kk=2:n
x(kk)=mu*x(kk-1)*(1-x(kk-1)*x(kk-1)); %%%映射end
figure(5)
plot(zeros(50,1)+mu,x(301:350),'r.'); hold on; xlabel('a');ylabel('x_n');title('分叉图')
grid on
end
Lyapunov 图
程序为：
n=400;
xn=zeros(1,n);
aa=2.4:0.01:4;
N=1;
hold on ;box on ;xlim([min(aa),max(aa)]);
XL(1)=ylabel('\itx');
for a=aa;
x=0.1;
for q=1:80;
x=a*x*(1-x);
end
s=0;
for q=1:n;
xn(q)=x;
df=a-2*a*x;
s=s+log(abs(df));
x=a*x*(1-x);
end
L(N)=s/n;
N=N+1; 2.4 2.6 2.83 3.2 3.4 3.6 3.84
a
a,pause(0.01)
end
plot(aa,L);
hold on ;box on ;
grid on;
xlim([min(aa),max(aa)]);
2
求解方程131n n n n n n
x y y bx dy y ++=⎧⎪⎨=-+-⎪⎩ 可得到固定点 ()()11,0,0x y = 当10d b -->时，
(
)22,y x =，(
)(33,y x =，
求得特征值表达式为
， 利用相图，观察strange attractor ：
当b=0.2，d=2.5或2.65时，不存在奇异吸引子；
当b=0.2，d=2.77时，存在奇异吸引子，奇异吸引子图为：
234)3(222d y b d y ----±=
λ
程序为：
clear all
N=1000;
b=0.2;
d=2.5;
q=1;
for k=1:N;
x=zeros(1,N);
y=zeros(1,N);
x(1)=rand;
y(1)=rand;
for L=1:N-1;
x(L+1)=y(L);
y(L+1)=2.77*y(L)-0.2*x(L)-y(L)*y(L)*y(L);
end
if abs(x(end))<2; % if abs(x(end))<2;
Xp(q)=x(end);
Yp(q)=y(end);
q=q+1;
end
end
% Draw figure for Henon maping:
figure(1); plot(Xp,Yp,'b.','markersize',3);
grid on;
xlabel('x_n');
ylabel('y_n');
title('Strange attractor')
2）当b=0.2，d=2.77时，对于平衡点(1.2530,1.2530)，调节参数d，
Jacobi矩阵为
01
-0.2-1.94
æ
èç
ö
ø÷，
其特征值为l s=-0.1092,l u=-1.8307，
其中g=
¶x
F
¶p
¶y
F
¶p
æ
è
ç
ö
ø
÷=
1.2530
æ
èç
ö
ø÷
，
f u =
l
u
-l s)
-l u-l s)ùûl s
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
=-1.2117
-0.1323
æ
èç
ö
ø÷
，
K=
l
u
l
u
-1
f
u
T
f
u
T g
= 4.72640.5161
()
，
控制律为d
n =2.77+4.7264(x
n
-1.2530)+0.5161(y
n
-1.2530)；
3）由于d=2.65,b=0.2时，系统为Period-4的周期轨道，由 Lyapunov exponent的性质可知，周期性对应的指数l
1
=0，
又l
1+l
2
=log(det J)=log(b)=-1.6094,所以l2=-1.6094。
3.
1）因为该系统的Lyapunov exponent有大于0和小于0的指数。
大于0的指数使系统进入混沌，小于0的指数使不同初始值的轨道相互吸引。
所以形成奇异吸引子。
固定a,b，变化c，得到相应的相图，观察吸引子：
C=1相迹图
程序为：
t0=[0,40];
[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);
subplot(1,2,1);
plot(t,x(:,1),'y',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b'); title('x 黄色 y 绿色 z 蓝色') ;
xlabel('t');
subplot(1,2,2);
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
title('c=1相图');
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
% pause
function r=rossler(t,x)
a=0.25;
b=1;
c=1;
r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)];
end
C=6相迹图
程序为：
t0=[0,40];
[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);
subplot(1,2,1);
plot(t,x(:,1),'y',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b'); title('x 黄色 y 绿色 z 蓝色') ;
xlabel('t');
subplot(1,2,2);
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
title('c=6相图');
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
% pause
function r=rossler(t,x)
a=0.25;
b=1;
c=6;
r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)]; end
2）分岔图：由方程组可以得到c 与x,y,z 间的表达式为，
分岔图为：
3）
当c=5.5时，解得l 1=0.064285,l 2=0.015416,l 3=-5.103405； lyapunov 指数谱图为：
414114z z x x y y c +=+=--=。
