理论力学周衍柏第三版第二章知识题目解析

理论力学课后习题第二章思考题解答2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。

对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。

2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。

2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以n3预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。

但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。

若质点组不受外力作用，由于每一质点都受到组内其它各质点的作用力，每一质点的合内力不一定等于零，故不能保持静止或匀速直线运动状态。

这表明，内力不改变质点组整体的运动，但可改变组内质点间的运动。

2.4.答：把碰撞的二球看作质点组，由于碰撞内力远大于外力，故可以认为外力为零，碰撞前后系统的动量守恒。

如果只考虑任一球，碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用，动量发生改变。

2.5.答：不矛盾。

因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。

当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。

2.6.答：碰撞过程中不计外力，碰撞内力不改变系统的总动量，但碰撞内力很大，使物体发生形变，内力做功使系统的动能转化为相碰物体的形变能（分子间的结合能），故动量守恒能量不一定守恒。

只有完全弹性碰撞或碰撞物体是刚体时，即相撞物体的形变可以完全恢复或不发生形变时，能量也守恒，但这只是理想情况。

2.7.答：设质心的速度，第个质点相对质心的速度，则，代入质点组动量定理可得这里用到了质心运动定理。

第一章 质点力学第一章习题解答1.1 由题可知示意图如题 1.1.1 图:St 1St 2题1.1.1图设开始计时的时刻速度为v 0 ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有:⎧ 1 ⎪s = v 0t 1 − at 1 2⎪ 2 ⎨1 ⎪2s = v 0 (t 1 + t2 ) − a (t 1 + t 2 ) 2⎪⎩ 2由以上两式得v = s + 1 at 01t 2 1再由此式得2s (t 2 −t 1 ) t 1t 2 (t 1 + t 2 )a =证明完毕.1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题 1.2.1 图.A题1.2.1图⎛t + 11 ⎞ 设 A 船经过 0 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过⎜ t 2 ⎟小时经过灯塔 0⎝⎠ 任意时刻 A 船的坐标x A = −(15t 0 − 15t )， y A = 0B 船坐标x B = 0 ，y = −⎡ ⎤ ⎛ + 11 ⎞ − 15t ⎥⎢15⎜t 0 2 ⎟ B ⎝ ⎠ ⎣ ⎦则 AB 船间距离的平方= (x − x ) + (y − y )22d 2 A B AB即⎤ 2 ⎡ ⎛ 1 ⎞ = (15t −15t )2+ d 2 + 1 ⎟ − 15t 15⎜t ⎢ ⎥ 0 0 ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎦1 ⎞2⎛ = 450t − ( ) 2900t 0 + 675 t +225t 0 2+ 225 t + 1⎜ ⎟ 0 ⎝2 ⎠ d 2 对时间t 求导( d )2d = 900t − ( 900t 0 + 675) dtd (d 2 )= 0 ，所以 AB船相距最近，即 dt3 h4t − t = 0即午后 45 分钟时两船相距最近最近距离⎛ 3 ⎞2 3 ⎞2 ⎛ 3 = ⎜15 × ⎟ + ⎜15 × −15 × ⎟ 4 4 2 km s min⎝⎠ ⎝ ⎠ 1.3 解 (1) 如题 1.3.2 图yAaψrϕ CaBxO第 1 . 3 题 图y ωϕ题1.3.2图由题分析可知，点C 的坐标为⎧x = r cos ϕ+ a cos ψ ⎨y= a sin ψ ⎩ r 2a= 又由于在 ∆ A O B 中，有（正弦定理）所以 sin ψ sin ϕsin ϕ = 2a sin ψ =2y r r联立以上各式运用sin 2 ϕ+ cos 2 ϕ = 1由此可得x − a 2 − y 2x − a cos ψ cos ϕ = =r r得x 2 + a 2 − y 2 − 2x a 2 − y 2 4y 2+ = 1r 2r 2得3y 2 + x 2 + a 2 − r 2 = 2x a 2 − y 2化简整理可得4x 2 (a 2 − y 2 )= (x 2 + 3y 2 + a 2 − r 2)2此即为C 点的轨道方程. （2）要求C 点的速度，分别求导⎧ r ωcos ϕ x = −r ωsin ϕ− sin ψ ⎪ ⎨2 cos ψ r ωcos ϕ ⎪y = ⎪⎩ 2其中ω = ϕ又因为r sin ϕ = 2a sin ψ对两边分别求导 故有= r ωcos ϕψ2a cos ψ所以⎞2r 2ω2 cos 2ϕ⎛ r ωcos ϕ V = x2 + y 2 = ⎜⎜ − r ωsin ϕ− sin ψ⎟⎟ + 2 cos ψ 4 ⎝ ⎠r ω cos 2 ϕ+ 4 sin ϕcos ψsin (ϕ+ψ) = 2 cos ψ1.4 解 如题 1.4.1 图所示，第1.4题 图O L 绕O 点以匀角速度转动，C 在 AB 上滑动，因此C 点有一个垂直杆的速度分 量v ⊥ = ω× OC = ω d 2 + x 2C 点速度d 2 + x 2v⊥v == v ⊥ sec θ = ωd sec θ =ω cos θ2 d又因为θ = ω所以C 点加速度θ = 2ω2x (d 2 + x 2 )a = d v = ωd ⋅ 2 sec θ⋅ sec θ⋅ tan ⋅θ = ω22θ 2dsec tan dtd 21.5 解 由题可知，变加速度表示为a = c ⎛1 − sin πt ⎞⎜ 2T ⎟⎝ ⎠由加速度的微分形式我们可知a = dvdt代入得dv = c ⎛1 − sin πt ⎞dt⎜ 2T ⎟ ⎝⎠对等式两边同时积分πt ⎞dt⎛ vt ∫ ∫ dv = c 1 − sin ⎜ ⎟ 0 ⎝ 2T ⎠ 0 可得 ：v = ct + 2T c cos πt+ D （ D 为常数）π代入初始条件：t = 0 时，v = 0 ，故2T D = − 2T cπ即⎡ πt ⎞⎤ 2T ⎛ v = c ⎢t + π ⎜cos 2T− 1⎟⎥⎝ ⎠⎦⎣ 又因为v = ds dt所以⎡ πt⎞2T ⎛ ds = c ⎢t + π ⎜cos 2T− 1⎟⎥dt⎝ ⎠⎦⎣ 对等式两边同时积分 ，可得：s = c ⎡ 1 t 2πt 2T − t ⎞ ⎤⎛ 2T 2T +⎜sin ⎟ ⎥⎢ 2 π π ⎝ ⎠⎦⎣1.6 解 由题可知质点的位矢速度= λr ①v // 沿垂直于位矢速度v ⊥ = µθ= r = λr v // 又因为 ， 即r = λrv = θr = µθ 即 θ= µθ ⊥ r=(r i ) + (r θj j j j )（取位矢方向i i i i ，垂直位矢方向 j j ） d v dd a =dt dt dt所以ddt(r θj j j )= d r d i = (r i ) =i + r i + r θj j jr dt dtd θ dtd j = r θj + r θj − r θ2i dtddtdr dtθj j + rj j + r θ 故a = (r − r θ2 )i + (r θ+ 2r θ)j 即 沿位矢方向加速度a = (r − r θ2 ) 垂直位矢方向加速度a ⊥ = (r θ+ 2rθ)对③求导r = λr = λ2 r对④求导θ = − µθ r + µ = µθ⎛ µ + λ⎞θr ⎜ r⎟ r 2 ⎝ ⎠把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得µ2θ2= λ r −2a // ra = µθ⎛λ+ µ⎞ ⎜ r ⎟ ⊥⎝⎠ 1.7 解 由题可知⎧x = r cosθ⎨y =r sinθ①②⎩对①求导x= r cosθ−r sinθθ③对③求导x=r c osθ−2rθsinθ−rθsinθ−rθ2cosθ④对②求导y=r sinθ+rθcosθ⑤对⑤求导y=r s inθ+2rθcosθ+rθcosθ−rθ2sinθ⑥对于加速度a，我们有如下关系见题 1.7.1 图aθθ题1.7.1图即⎧x= a r cosθ+ aθsinθ⎨y= a sinθ+ a cosθ⑦--⑧⎩θr对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦× cosθ，⑧× sinθ即得⎧x c osθ = a r cosθ−aθsinθcosθ⎨y s inθ = a sinθ+ a sinθcosθ⑨--⑩⎩r θ⑨+⑩得ar= x c osθ+ y s inθ⑾把④⑥代入⑾得a =r−rθ2r同理可得aθ=rθ+2rθ1.8 解以焦点F 为坐标原点，运动如题1.8.1 图所示]题1.8.1图则M 点坐标⎧x = r cos θ⎨y= r sin θ ⎩ 对x , y 两式分别求导⎧⎪x= r cos θ− r θsin θ ⎨ ⎪⎩y= r sin θ+ r θcos θ 故= x 2 + y 2 = (r cos θ − r θsin θ)2 + (r sin θ+ r θcos θ)2 = r2 + r 2ω2 v 2 如图所示的椭圆的极坐标表示法为a(1 − e 2)r =1 + e cos θ对r 求导可得（利用θ = ω）又因为e cos θ1 =r 1 +a (1 − e 2) a (1 − e 2)即a (1 − e 2)− r cos θ =re所以a 2 (1 − e 2 )2+ r 2 − 2a r (1 − e 2 ) sin 2 θ = 1 − cos 2θ = 1 −r 2e 2故有e 2ω2r 4a2 (1 − e 2 )2 v = 2sin θ+ r ω2 2 2e 2ω2r 4=( ) + ( e ) + r 2ω2a 2(1 − e 2 ) 221 −2 2− 1 − 22a e r 2ar [1 − ]r 2e 2e r − r + 2a r (1 − e 2 )⎤ r 2ω2 ⎡ ⎢ 2 2 2 ω2r 2 ( ) = ⋅ a 2 (1 − e 2 ) ⎥ = 2a − rr 1 − e 2 ⎣ ⎦ b2即v = r ωr (2a − r )b（其中b 2 = (1 − e 2 )a 2 ,b 为椭圆的半短轴）1.9 证 质点作平面运动，设速度表达式为v = v x i + v y j令为位矢与轴正向的夹角，所以⎛ dv y ⎞ dv y dt ⎛ dv x ⎞ d v dv x d i i d j j = ⎜ − v y θ⎟i + ⎜⎜+ v x θ⎟⎟j a = = dt i + v x + dt dt j j j j + v y dt ⎝ dt ⎠ dt ⎝ ⎠所以⎛ dv ⎞j j j j ] ⋅ ( ⎛ dv ⎞ a = [ v i i+ v j j ) ⎜⎜ y v θ⎟ − v θ i i + + ⎜ ⎝ x ⎟⎟ x y y x dt⎠ dt ⎝ ⎠dv dv y dt dv dv = v − v v θ + v y + v v θ = v + v x x x x y y x y x ydt dt dt又因为速率保持为常数，即v 2 x + v 2 y = C ,C 为常数对等式两边求导dv y dt dv + 2v = 0x2v xy dt所以a ⋅ v = 0即速度矢量与加速度矢量正交.1.10 解 由题可知运动轨迹如题 1.10.1 图所示，题1.1 0 .1图则质点切向加速度= dv a t dtv 2 = 法向加速度a n ρ，而且有关系式v 2ρ dv = − dt2k ①又因为1 ρ= ②(1 + y ′ )3 22 = 2pxy 2 所以py y ′ = ③2y ′ = − p④y3 联立①②③④p 2dv dt = −2kv 2⑤ 3 ⎛ p 2 ⎞ 2⎜1 + ⎟ ⎜ 2 ⎟ y ⎝ ⎠又dv = dv ⋅ dy = ydv dt dy dt dy把y 2 = 2px 两边对时间求导得y 3 y ′y ypx= 又因为= x 2 + y 2v 2 所以v 2 y = 2y 2p2⑥1 + 把⑥代入⑤p 2 y 3v· dv = −2kv 2 ⋅ 1 3dy ⎛ y 2 ⎞ 2 ⎛ p 2 ⎞ 2⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ p y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠既可化为dv = −2kp vdy y 2 + p 2对等式两边积分dv = −2kp − pdyv∫∫ y 2 + p 2v up 所以v = ue −k π1.11 解 由题可知速度和加速度有关系如图 1.11.1 所示题1.1 1 .1图⎧ v 2⎪a n = = a sin α r dv ⎨⎪a = = a cos α dt⎪⎩ t 两式相比得v 2 1 · dv= r sin α cos α dt即1 cot αdt = dv v2 r 对等式两边分别积分1 cot αdt = dv tv ∫∫ 2rv 0v 0 即1 = 1 − t cot α v v 0 r此即质点的速度随时间而变化的规律.1.12 证 由题 1.11 可知质点运动有关系式⎧v 2= a sin α⎪ r ⎨dv ①② ⎪ = a cos α ⎪⎩ dtdv ，联立①②，有 dv = dv ⋅ d θ = 所以dt d θ d t d θdv ω = v 2 cos α d θ r sin α又因为v = ωr所以dv = cot αd θ，对等式两边分别积分，利用初始条件t = 0 时，θ = θv( θ −θ )cot α v = v e 0= v 相 + v 牵 .式中v 绝 1.13 证（a ）当v 0 = 0 ，即空气相对地面上静止的，有 v 绝 质点相对静止参考系的绝对速度， v 相 指向点运动参考系的速度， v 牵 指运动参考系相对静止参考系的速度.可知飞机相对地面参考系速度： v 绝 = v ′ ，即飞机在舰作匀速直线运动.所以 飞机来回飞行的总时间= 2l .t 0 v ′（b ）假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度v 1 = v′ + v 0 飞行时间l t = 1v ′ + v 0当飞机向西飞行时速度v = v 相 + v 牵 = v ′ − v 0飞行时间l t = 2v ′ − v 0故来回飞行时间2v ′l l lt = t + t = + = 1 2v ′ + v v ′ − v v ′2 − v 20 0 0即2l t = v ′ = t 0 v 2 v 21 − 0 1 − 0 v ′2 v ′2同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间t 0t = v 2 1 − 0 v ′2（c ）假定空气速度向北.由速度矢量关系如题 1.13.1 图v题1.1 3 .1图v 绝 = v 0 + v ′′ v = v −v 2 2所以来回飞行的总时间2l v ′2l t 0 t == = v ′2 − v 2 v 2 v 2 1 − 1 − 0′2′2v v 同理可证空气速度向南时，来回飞行总时间仍为t 0 t =v 2 1 − 0v ′21.14 解 正方形如题 1.14.1 图。

xyPTF22036O152-⋅图[习题2-3]动学家估计，食肉动物上颚的作用力P 可达800N ，如图2-15示。

试问此时肌肉作用于下巴的力T 、F 是多少？ 解：解：0=∑xF036cos 22cos 00=-F T22cos 36cos F T =0=∑yF036sin 22sin 00=-+P F T 80036sin 22sin 22cos 36cos 000=+F F )(651.87436sin 22tan 36cos 80000N F =+=)(179.76322cos 36cos 651.87422cos 36cos 000N F T ===182-⋅图B[习题2-6] 三铰拱受铅垂力P F 作用，如图2-18所示。

如拱的重量不计，求A 、B 处支座反力。

解：0=∑x F0cos 45cos 0=-θB A R RB A R l l l R 22)23()2(222+=B A R R 10121=B A R R 51=0=∑yF0sin 45sin 0=-+P B A F R R θP B A F R l l l R =++22)23()2(2321P B A F R R =+10321的受力图轮A P B B F R R =+⨯1035121P B F R =104P P B F F R 791.0410≈=31623.0101)23()2(2cos 22≈=+=l l l θ0565.71≈θ P P P A F P F R 354.04241051≈=⨯=方向如图所示。

[习题2-10] 如图2-22所示，一履带式起重机，起吊重量kN F P 100=，在图示位置平衡。

如不计吊臂AB 自重及滑轮半径和摩擦，求吊臂AB 及揽绳AC 所受的力。

解：轮A 的受力图如图所示。

0=∑x F030cos 20cos 45cos 000=--P AC AB F T R的受力图轮A 603.869397.07071.0=-AC AB T R AC AB T R 3289.1476.122+=0=∑yF030sin 20sin 45sin 000=---P P AC AB F F T R010*******.07071.0=---AC AB T R 1503420.07071.0=-AC AB T R1503420.0)3289.1476.122(7071.0=-+⨯AC AC T T 1503420.09397.06023.86=-+AC AC T T 3977.635977.0=AC T )(069.106kN T AC ≈)(432.263069.1063289.1476.1223289.1476.122kN T R AC AB =⨯+=+=解法二：用如图所示的坐标系。