2018年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 11.2 与三角形有关的角度求和(无答案) 新人教版

第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用 【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE的位置关系并证明你的结论.FED C BAMEDBAFNME DCBA EDC BA例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC. （1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.FMEDC BANME D C BN M PE D C B A N MF ED C BA NM F EDCB AA DCMBA DB EC BD A ECDB AC E F【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48° 2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 . 6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业1.如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°，上，测得6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n α∠=120°，则β∠的度数是( ).(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为 ．11．如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B=70°，∠A=60°. （1）求∠EDC 的度数； （2）求∠BDC 度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数； (2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.。

三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。

3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

三角形的三条高相交于一点。

．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。

（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。

例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。

2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；CB A16.第十六讲：等边三角形（一）； 17.第十七讲：等边三角形（二）; 18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一） 19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二） 20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中. ①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cmAE D E A BC FG（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a、b、c均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是 . 发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x的取值范围是 .②已知三角形的三边长分别为2，5，243x，则x的取值范围是 .③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长的取值范围是 .(A)3b＜＜3a (B)2a＜＜2a+2b (C)a+2b＜＜2a+b (D)a+2b＜＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x，3x-1.（1）则x的取值范围是；（2）则它的周长的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x，x-1，则x的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ).(A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜75．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ).（A ）6＜＜15 （B ）6＜＜16 （C ）11＜＜13 （D ）10＜＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或277．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 .DAB C DA B CI I I C B D AC BDA A DBC I I CB ACB DA EA D 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 .10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长. 15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长. 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交ABC D EII I I C B D A C B A E A ED B F DE F F C12C B A H A EED CB A 于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第 二 讲 与三角形有关的角 【知识要点】 一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、 三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.DA BEF C D A C B 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF. 例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF. 【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数. 4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业 1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠1M EDC B AMED C B AAB CDE IAB O 3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α=( ).(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70o ，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2=( ).(A)360o (B)250o (C)180o (D)140o8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45?(B)一定有一个内角为60? (C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ).CB D AF E(A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数． 第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形： ；蝶形： ；四边形： .I II C B D A C B DA A DBC II I C B AC BD AE A E D BE C I I I A C B A A E D BF DE F C A E D OD Q P C B A请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD I ，探求∠与∠A 的关系； 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC （1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为的度数为 ； （2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63ABC 三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；AB C IA B C D IA B CD ED BC EADAF E【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.第三讲作业1．如图，B岛在A岛的南偏西30°，A岛在C岛的北偏西35°，B岛在C岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE平分∠CAF交DF于E点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若∠ADF=100°，则∠BMD为．11．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______.A BC 图1C B A 图2图3OO 1O 212．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ． 13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠ (C)118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11180n A n n-⨯︒+∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的FE D C B A M E DCB A NDBA外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC. （1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数； （2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数； （2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数； （2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.【题型训练】 1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完E DC BA FM ED CB A N MEDCBA N M P E D CBAN M FE D CB A N FE DC B A全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48°2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，DE⊥BC交AC于点E，DF⊥AB，垂足为F，若∠AED=160°，则∠EDF等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED，则∠CDE= . 4．已知△ABC中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于E，∠BAC的外角的平分线交BC的延长线于F，则△AEF的形状是 .5．如图，AB∥CD，∠A=∠C，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B的度数为 .6．如图：点D、E、F为△ABC三边上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60+的值为，x的值 .c=︒，∠P=110°，则d e8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业1.如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n，上，测得α∠=120°，则β∠的度数是( ).(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数；(2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数. 第五讲知识点 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC 可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。

3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

三角形的三条高相交于一点。

．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。

（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在．．．．．．．．．．．三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。

例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。

2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；CB A15.第十五讲：等腰直角三角形； 16.第十六讲：等边三角形（一）； 17.第十七讲：等边三角形（二）; 18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一） 19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二） 20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中. ①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ). AE DE A BC FG(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm，5cm，12cm (B)6cm，8cm，15cm(C)4cm，6cm，5cm (D)8cm，4cm，3cm（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a、b、c均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是 . 发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x的取值范围是 .②已知三角形的三边长分别为2，5，243x，则x的取值范围是 .③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值范围是 .(A)3b＜l＜3a (B)2a＜l＜2a+2b (C)a+2b＜l＜2a+b (D)a+2b ＜l＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ；（2）则它的周长l 的取值范围是 ；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长l 的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a(D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组DABC DA B C3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7(D)1＜x ＜75．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 .10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长. 15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长. 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系I I I C B D AC B DA A DBC I I I C BD ACB DA EA E DB EC I I I C BD ACB AEA EDB F D EF F C 12CB A 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第 二 讲 与三角形有关的角 【知识要点】 一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、 三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余； ABC D EDA BE F C D A CB H D A BC E HED C BA ②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数. 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.A B C D E I【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数. 4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业 1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°M EDC B AMED C B AAB O 5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α=( ).(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240°(D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45︒(B)一定有一个内角为60︒ (C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).C BD AF E(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形： ；蝶形： ；四边形： .请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：I II C B D AC B DA A DBC I I I C BAC BD AE A E D BE C I I A C B A E DE F D QP CB A 例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 与∠A 的关系； 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平与∠A 、∠D 之间的数量关系. BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP °，直接写出：∠BPC 的度数（2）连接PQ 并延长交BC 于点D BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，AB C IA B C D IA B CD EIBAMECDOD BC EA求证：∠BOE=∠COD；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.第三讲作业1．如图，B岛在A岛的南偏西30°，A岛在C岛的北偏西35°，B岛在C岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°C BD AF E3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65°(D)55° 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角O 2O 1A B C图1C B A图2图3OO 1O 2O n-1板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠ 1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ). (A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠ (C)118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11180n A n n -⨯︒+∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论. 例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC. （1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数； （2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.FE D CB A M E D CB A FNM E D CB AE D C BA FM ED CB A N ME DCBN M P E D CBA（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数； （2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D)48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 .5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6= ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相N M FE D CB AN M F E D CB A应的度数，若60+的值为，x的c=︒，∠P=110°，则d e值 .8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业1.如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80°(D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60°(B)75°(C)90°(D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90°(C)80°(D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n，上，测得α∠=120°，则β∠的度数是( ).(A)45°(B)55°(C)65°(D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；(2)求∠FEA的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数. 第五讲 专题一：三角形题型训练（二） 知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

For personal use only in study and research; not for commercial use三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。

3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

三角形的三条高相交于一点。

．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。

（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。

第十一讲：专题三：全等三角形知识点扩大训练；1. 如图，A, F ,E, B四点共线， AC CE，BD DF，AE BF ，AC BD。

求证：ACFBDE 。

2. 如图，在ABC 中，BE是∠ ABC的均分线，AD BE ，垂足为 D 。

求证：21 C 。

3. 如图，在ABC 中， AB BC ，ABC 90o。

F为AB延伸线上一点，点 E 在BC上，BE BF ，连结 AE, EF 和CF。

求证：AE CF 。

4. 如图，AB // CD ，AD // BC ，求证：AB CD 。

5.如图，AP,CP分别是ABC 外角MAC 和NCA 的均分线，它们交于点P 。

求证： BP 为 MBN 的均分线。

6. 如图， D 是 ABC 的边 BC 上的点，且 CD AB ， ADB BAD ， AE 是 ABD 的中线。

求证： AC 2 AE 。

7. 如图，在 ABC 中， AB AC ， 1 2 ，P 为 AD 上随意一点。

求证： AB AC PB PC 。

8. 直线CD 经过 BCA 的极点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线 CD 上两点，且BEC CFA．（1）若直线 CD 经过 BCA 的内部，且 E 、F 在射线 CD 上，请解决下边两个问题：①如图 1，若BCA 90o ,90o ，则 EFBE AF （填“”，“ ”或“ ”号）；②如图 2，若 0o BCA 180o ，若使①中的结论仍旧建立， 则与BCA 应知足的关系是；BCABCAEFBE 、AF（2）如图 3，若直线CD经过 的外面，，请研究三条、与线段的数目关系，并赐予证明．BBBFDF DEAEECCFCA AD图 1图 2图 39. 已知：如图，△ ABC 中，∠ ABC =45°， CD ⊥ AB 于 D ，BE 均分∠ ABC ，且 BE ⊥ AC 于 E ，与 CD订交于点 F ， H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 订交于点 G 。

2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；CB A15.第十五讲：等腰直角三角形； 16.第十六讲：等边三角形（一）； 17.第十七讲：等边三角形（二）; 18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一） 19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二） 20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中. ①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ). AE DE A BC FG(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm，5cm，12cm (B)6cm，8cm，15cm(C)4cm，6cm，5cm (D)8cm，4cm，3cm（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a、b、c均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是 . 发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x的取值范围是 .②已知三角形的三边长分别为2，5，243x，则x的取值范围是 .③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长的取值范围是 .(A)3b＜＜3a (B)2a＜＜2a+2b (C)a+2b＜＜2a+b (D)a+2b＜＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ；（2）则它的周长的取值范围是 ；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ).(A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c - ⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组DABC DA B C3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7(D)1＜x ＜75．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长的取值范围是( ).（A ）6＜＜15 （B ）6＜＜16 （C ）11＜＜13 （D ）10＜＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为.10．三角形的两边长分别为6，8，则周长的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长. 15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长. 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系I I I C B D AC B DA A DBC I I I C BD ACB DA EA E DB EC I I I C BD ACB AEA EDB F D EF F C 12CB A 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第 二 讲 与三角形有关的角 【知识要点】 一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、 三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余； ABC D EDA BE F C D A CB H D A BC E HED C BA ②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数. 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.A B C D E I【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数. 4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲 作 业 1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°M EDC B AMED C B AAB O 5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠ =( ).(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240°(D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70o ，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2=( ).(A)360o (B)250o (C)180o (D)140o8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45(B)一定有一个内角为60 (C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).C BD AF E(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形： ；蝶形： ；四边形： .请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：I II C B D AC B DA A DBC I I I C BAC BD AE A E D BE C I I A C B A E DE F D QP CB A 例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 与∠A 的关系； 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平与∠A 、∠D 之间的数量关系. BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP °，直接写出：∠BPC 的度数（2）连接PQ 并延长交BC 于点D BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，AB C IA B C D IA B CD EIBAMECDOD BC EA求证：∠BOE=∠COD；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.第三讲作业1．如图，B岛在A岛的南偏西30°，A岛在C岛的北偏西35°，B岛在C岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°C BD AF E3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65°(D)55° 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角O 2O 1A B C 图1C B A 图2图3O O 1O 2O n-1板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠ 1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C-∠=( ).(A)21180A n n⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠ (C)118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11180n A n n -⨯︒+∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论. 例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC. （1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数； （2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.FE D CB A M E D CB A FNM E D CB AE D C BA FM ED CB A N ME DCBN M P E D CBA（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数； （2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D)48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 .5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6= ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相N M FE D CB AN M F E D CB A应的度数，若60+的值为，x的c=︒，∠P=110°，则d e值 .8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业1.如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80°(D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60°(B)75°(C)90°(D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90°(C)80°(D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n，上，测得α∠=120°，则β∠的度数是( ).(A)45°(B)55°(C)65°(D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；(2)求∠FEA的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数. 第五讲 专题一：三角形题型训练（二） 知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；C B A 第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21 ； ②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ；③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°； ④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角. AB C D E F例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ， 则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm (C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数）①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 . 发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形的三边长分别为2，5，243x ，则x 的取值范围是 .③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3(C)5 (D)13 ④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长l 的取值范围是 .(A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ；（2）则它的周长l 的取值范围是 ；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长l 的取值范围是 . DE A B CF GDAB CDA ④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ).(A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜75．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 .10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 . 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长. 15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系I I I C B D A C B D A A D B C I I I C B D A C B D A E A E D B E C I I I C B D A C B A E A E D B F D E F F C 12C B AD E FCD A C B H D A B CE H E D C B A 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系. 例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第 二 讲 与三角形有关的角 【知识要点】 一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、 三角形的内角和定理的推论： ①直角三角形两锐角互余； ②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数. 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°. 例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF. 例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF. 【题型训练】 A B CD E I A BC D E IA B O 1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数. 第 二 讲 作 业 1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠ =( ).(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70o ，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2=( ).(A)360o (B)250o (C)180o (D)140o8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45? (B)一定有一个内角为60?(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).M E DC B AM ED C B AC BD A FE I I I C B D A C B D A A D B C I I I C B D A C B D A E A E D B E C I I I C B D A C B A E A E D BF D E F F C B AM E CD OD Q P C B A D CE A (A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数. 17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数． 第三讲：与三角形有关的角度求和 【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形： ；蝶形： ；四边形： .请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB. （1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ； （2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ， 求证：∠BOE=∠COD ； 【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和. 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和. 发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； ②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=； B C I A B C D I A B C D E IC BD A F EA A ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个 5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠ 1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C-∠=( ). (A)21180A n n⨯︒+∠ (B)12180A n n⨯︒+∠ (C)118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11180n A n n -⨯︒+∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例三、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数； （2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明. 例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数； （2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF＝∠DFC. （1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数； （2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 【题型训练】 1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ). (A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48° F E D C B A M ED C B A F N ME D CB A E DC B A F M ED C B A N ME D C B A N M PE D CB A N M F E DC BA N M FE D C B A2．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，DE⊥BC交AC于点E，DF⊥AB，垂足为F，若∠AED=160°，则∠EDF等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED，则∠CDE= . 4．已知△ABC中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于E，∠BAC的外角的平分线交BC的延长线于F，则△AEF的形状是 .5．如图，AB∥CD，∠A=∠C，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B的度数为 . 6．如图：点D、E、F为△ABC三边上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c=︒，∠P=110°，则d e+的值为，x的值 .8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业1.如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80°(D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n，上，测得α∠=120°，则β∠的度数是( ).(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为 ．11．如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC 的度数；（2）求∠BDC 度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数；(2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B处的北偏东82°方向，求∠C 的度数. 第五讲 专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

七升八暑假数学辅导 第二讲 与三角形有关的角知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800。

【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

想一想，还可以怎样拼？①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

图2②把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？证明：已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=1800。

、【例1】如图，C 岛在A 岛的北偏东30°方向，B 岛在A 岛的北偏东100°方向，C 岛在B 岛的北偏西55°方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？【讨论】直角三角形的两锐角之和是多少度?1、判断图中∠1是不是△ABC 的外角：_______________2、如图，(1)∠1、∠2都是△ABC 的外角吗？________________(2)△ABC 共有多少个外角？___________________ 请在图中标出△ABC 的其它外角.3、探究题：如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD 与∠A 、∠B 的关系吗？∵C E ∥AB ， ∴∠A=_____，_____=∠2 又∠ACD=_______+________ ∴∠ACD=_______+________结论1___三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；结论2__三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就(1)1BACD(3)1ABCD(4)AB D1(5)E AB CD 1(6)EAB C D12ABC1(2)1ABC D是三个外角的和。