同济版高数课后习题答案上册1-9

同济大学高数上习题答案同济大学高数上习题答案高等数学作为理工科学生必修的一门课程，对于大多数学生来说是一座难以逾越的高山。

而同济大学的高数上课程更是以其难度和复杂性而著称。

为了帮助同学们更好地理解和掌握高数上的知识，我整理了一些习题答案，希望能对同学们的学习有所帮助。

第一章：函数与极限1. 设函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(-1) 的值。

答案：将 x = -1 代入函数 f(x) 中，得到 f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 6。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 2x + 1 的极限lim(x→2) f(x)。

答案：将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到 f(2) = 2^3 - 2(2) + 1 = 5。

3. 求函数f(x) = √(x + 1) 的定义域。

答案：由于函数中有根号，要使函数有意义，需要满足x + 1 ≥ 0，即x ≥ -1。

所以定义域为 [-1, +∞)。

第二章：导数与微分1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x - 3。

2. 求函数 f(x) = e^x 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = e^x。

3. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x / (x^2 + 1)。

第三章：微分中值定理与泰勒展开1. 利用微分中值定理证明函数 f(x) = x^3 - x 在区间 [0, 1] 上存在一个点 c，使得 f'(c) = 2c - 1。

答案：由微分中值定理可知，存在一个点 c 属于 (0, 1)，使得 f'(c) = (f(1) - f(0)) / (1 - 0) = 2c - 1。

2. 求函数 f(x) = sin(x) 在x = π/4 处的泰勒展开式。

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。

习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →. 解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处,∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )}在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→. 可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0), 所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限:(1)52lim 20+-→x x x ;(2)3)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→(4)xx x 11lim 0-+→; (5)145lim1---→x x x x ; (6)a x a x a x --→sin sin lim ; (7))(lim 22x x x x x --++∞→. 解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x . (2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点x =4π有定义, 所以 1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x . (3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x =6π有定义, 所以 0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x . (4)211101111lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim 0000=++=++=++=++++-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . (5))45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim 111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x . (6)ax a x a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2lim sin sin lima a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sinlim 2cos lim =⋅+=--⋅+=→→. (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim 22=-++=-++=+∞→+∞→x x x x x x xx x .4. 求下列极限:(1)xx e 1lim ∞→;(2)xx x sin ln lim 0→; (3)2)11(lim x x x+∞→; (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→; (5)21)63(lim -∞→++xx x x ; (6)xx x x x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim . 解 (1) 1lim 01lim 1===∞→∞→e e e x x x x .(2) 01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x xx x x . (3) []e e x x xx x x ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim .(4) []33tan 3120cot 2022)tan 31(lim )tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→.(5)13621)631()63(--⋅+-+-+=++x x xxx x . 因为e x x x =+-+-+∞→36)631(lim , 232163lim -=-⋅+-∞→x x x , 所以2321)63(lim --∞→=++e xx xx . (6))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(lim sin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x x x x +++-++++-+=-++-+→→21)2(2lim sin 2sin 2tan lim )sin 1tan 1(sin )1sin 1)(sin (tan lim 320220220=⋅=⋅=+++++-=→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x .5. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0 0 )(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解 要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 00. 因为1lim )(lim 00==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a =1.。

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11. 设A=(-, -5)(5, +), B=[-10, 3), 写出A B, A B, A\B及A\(A\B)的表达式.解A B=(-, 3)(5, +),A B=[-10, -5),A\B=(-, -10)(5, +),A\(A\B)=[-10, -5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A B)C=A C B C.证明因为x(A B)C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C,所以(A B)C=A C B C.3. 设映射f : X Y, A X, B X . 证明(1)f(A B)=f(A)f(B);(2)f(A B)f(A)f(B).证明因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y(因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B )y f (A )f (B ), 所以 f (AB )=f (A )f (B ). (2)因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A )f (B ), 所以 f (A B )f (A )f (B ).4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的yY , 有x =g (y )X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)g [ f (x 1)]=g [f (x 2)]x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y X , 因为对每个y Y , 有g (y )=x X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X Y , A X . 证明:(1)f -1(f (A ))A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x A f (x )=y f (A ) f -1(y )=x f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))A . (2)由(1)知f -1(f (A ))A .另一方面, 对于任意的xf -1(f (A ))存在y f (A ), 使f -1(y )=x f (x )=y . 因为y f (A )且f 是单射, 所以x A . 这就证明了f -1(f (A ))A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ; 解 由3x +20得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 20得x 1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3)211x xy --=; 解 由x0且1-x 20得函数的定义域D =[-1, 0)(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 20得 |x | 2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x 0得函数的定义D =[0, +¥).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, 1, 2, )得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, 1, 2, ). (7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x 0且x 0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +10得函数的定义域D =(-1, +¥). (10)x e y 1=.解 由x0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x 0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, j (-2), 并作出函数y =j (x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-, 1); (2)y =x +ln x , (0, +).证明 (1)对于任意的x 1, x 2(-, 1), 有1-x 10, 1-x 20. 因为当x 1x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2(0, +), 当x 1x 2时, 有0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于"x 1, x 2Î(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2Î(0, l )且-x 1-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以 f (-x 2)f (-x 1), -f (x 2)-f (x 1), f (x 2)f (x 1),这就证明了对于"x1, x2Î(-l, 0), 有f(x1)f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2p .(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin px ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =p .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

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下面是同济高等数学第三版上册答案详解：第一章：实数和函数1.练习题：1、设x与y为实数，请计算：（1）（2x-3)/(x+2y) = 2x/ (x+2y) - 3/ (x+2y)（2）x+|y|-2y = x-y+2（|y|-|y|）=x-y2、如果a>0,b>0，那么：（1）1/a +1/b = 1/a + 1/b =(ab)/ab=1（2）(a-b)/ab = a/ab - b/ab = (a/b) -13、D=(a +b )2 /4，那么，D/(ab)= (a+b)2/4(ab) =(a+b)/2 2.定理：1、对任何实数x，均有：x-x=02、若a＞b，则a-b＞03、若a＞0，b＞0，则a/b＞1第二章：多项式、函数和系数1.练习题：1、如果a+b=3,且a*b=2，那么：（1）a2 +b2 = 9+4=13（2）a3 + b3 = 8+1=92、若多项式P(x)=2x3+7x2-3x+20，则：（1）P（1）= 2*1^3+7*1^2-3*1+20=26（2）P（-2）=2*(-2)^3+7*(-2)^2-3*(-2)+20=-182.定理：1、若系数a+b=3，则a*b=3-a2、若多项式P(x)=ax3 +bx2 +cx +d，则P(x+h)=a(x+h)3 +b(x+h)2 +c(x+h) +d第三章：极坐标与向量1.练习题：1、如果向量m=(-2,4)，则（1）|m|=根号(-2)^2+4^2=根号20=4.47213（2）m方向的极坐标r=4.47213，O=45°2、若向量m=(3,-3)，则（1）向量m的极坐标r=根号3^2 +(-3)^2 =根号18 =4.24264，\theta=135°（2）向量m在极坐标中的表示法为(4.24264,135°)2.定理：1、若向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)，则向量a+b=(a1+b1,a2+b2)2、若向量a=(a1,a2)，则|a|=根号a1^2 +a2^2。

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1?11? 设A ?(??? ?5)?(5? ??)? B ?[?10? 3)? 写出A ?B ? A ?B ? A \B 及A \(A \B )的表达式? 解 A ?B ?(??? 3)?(5? ??)? A ?B ?[?10? ?5)?A \B ?(??? ?10)?(5? ??)? A \(A \B )?[?10? ?5)?2? 设A 、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A ?B )C ?A C ?B C ? 证明 因为x ?(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ?A C 或x ?B C ? x ?A C ?B C ? 所以 (A ?B )C ?A C ?B C ?3? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? B ?X ? 证明 (1)f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)f (A ?B )?f (A )?f (B )? 证明 因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y?(因为x ?A 或x ?B ) y ?f (A )或y ?f (B )? y ?f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 且x ?B ) y ?f (A )且y ?f (B )? y ? f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )?4? 设映射f ? X ?Y ? 若存在一个映射g ? Y ?X ? 使X I f g = ? Y I g f = ? 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射? 即对于每一个x ?X ? 有I X x ?x ? 对于每一个y ?Y ? 有I Y y ?y ? 证明? f 是双射? 且g 是f 的逆映射? g ?f ?1?证明 因为对于任意的y ?Y ? 有x ?g (y )?X ? 且f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像? 所以f 为X 到Y 的满射?又因为对于任意的x 1?x 2? 必有f (x 1)?f (x 2)? 否则若f (x 1)?f (x 2)?g [ f (x 1)]?g [f (x 2)] ? x 1?x 2?因此f 既是单射? 又是满射? 即f 是双射?对于映射g ? Y ?X ? 因为对每个y ?Y ? 有g (y )?x ?X ? 且满足f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 按逆映射的定义? g 是f 的逆映射?5? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? 证明? (1)f ?1(f (A ))?A ?(2)当f 是单射时? 有f ?1(f (A ))?A ?证明 (1)因为x ?A ? f (x )?y ?f (A ) ? f ?1(y )?x ?f ?1(f (A ))?所以 f ?1(f (A ))?A ?(2)由(1)知f ?1(f (A ))?A ?另一方面? 对于任意的x ?f ?1(f (A ))?存在y ?f (A )? 使f ?1(y )?x ?f (x )?y ? 因为y ?f (A )且f 是单射? 所以x ?A ? 这就证明了f ?1(f (A ))?A ? 因此f ?1(f (A ))?A ?6? 求下列函数的自然定义域? (1)23+=x y ?解 由3x ?2?0得32->x ? 函数的定义域为) ,32[∞+-?(2)211xy -=?解 由1?x 2?0得x ??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)211x x y --=?解 由x ?0且1?x 2?0得函数的定义域D ?[?1? 0)?(0? 1]? (4)241x y -=? 解 由4?x 2?0得 |x |?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)x y sin =?解 由x ?0得函数的定义D ?[0? ??)? (6) y ?tan(x ?1)?解 由21π≠+x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)?(7) y ?arcsin(x ?3)?解 由|x ?3|?1得函数的定义域D ?[2? 4]? (8)xx y 1arctan 3+-=?解 由3?x ?0且x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? 3)? (9) y ?ln(x ?1)?解 由x ?1?0得函数的定义域D ?(?1? ??)? (10)x e y 1=?解 由x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? ??)?7? 下列各题中? 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )?lg x 2? g (x )?2lg x ? (2) f (x )?x ? g (x )?2x ? (3)334)(x x x f -=?31)(-=x x x g ? (4)f (x )?1? g (x )?sec 2x ?tan 2x ?解 (1)不同? 因为定义域不同?(2)不同? 因为对应法则不同? x ?0时? g (x )??x ? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?8? 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x ? 求)6(πϕ? )4(πϕ? )4(πϕ-? ?(?2)? 并作出函数y ??(x )的图形?解 21|6sin |)6(==ππϕ? 22|4sin |)4(==ππϕ? 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ? 0)2(=-ϕ? 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)x x y -=1? (??? 1)?(2)y ?x ?ln x ? (0? ??)?证明 (1)对于任意的x 1? x 2?(??? 1)? 有1?x 1?0? 1?x 2?0? 因为当x 1?x 2时? 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ? 所以函数x x y -=1在区间(??? 1)内是单调增加的?(2)对于任意的x 1? x 2?(0? ??)? 当x 1?x 2时? 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y ? 所以函数y ?x ?ln x 在区间(0? ??)内是单调增加的?10? 设 f (x )为定义在(?l ? l )内的奇函数? 若f (x )在(0? l )内单调增加? 证明f (x )在(?l ? 0)内也单调增加?证明 对于?x 1? x 2?(?l ? 0)且x 1?x 2? 有?x 1? ?x 2?(0? l )且?x 1??x 2? 因为f (x )在(0? l )内单调增加且为奇函数? 所以f (?x 2)?f (?x 1)? ?f (x 2)??f (x 1)? f (x 2)?f (x 1)?这就证明了对于?x 1? x 2?(?l ? 0)? 有f (x 1)? f (x 2)? 所以f (x )在(?l ? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l ? l )上的? 证明?(1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?证明 (1)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则 F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数? 如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )??f (x )?g (x )??F (x )? 所以F (x )为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?(2)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数? 如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?[?f (x )][?g (x )]?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数? 如果f (x )是偶函数? 而g (x )是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )[?g (x )]??f (x )?g (x )??F (x )? 所以F (x )为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y ?x 2(1?x 2)?(2)y ?3x 2?x 3?(3)2211x x y +-=? (4)y ?x (x ?1)(x ?1)? (5)y ?sin x ?cos x ?1?(6)2xx a a y -+=?解 (1)因为f (?x )?(?x )2[1?(?x )2]?x 2(1?x 2)?f (x )? 所以f (x )是偶函数? (2)由f (?x )?3(?x )2?(?x )3?3x 2?x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-? 所以f (x )是偶函数? (4)因为f (?x )?(?x )(?x ?1)(?x ?1)??x (x ?1)(x ?1)??f (x )? 所以f (x )是奇函数?(5)由f (?x )?sin(?x )?cos(?x )?1??sin x ?cos x ?1可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----? 所以f (x )是偶函数?13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期? (1)y ?cos(x ?2)?解 是周期函数? 周期为l ?2?? (2)y ?cos 4x ?解 是周期函数? 周期为2π=l ?(3)y ?1?sin ?x ?解 是周期函数? 周期为l ?2? (4)y ?x cos x ?解 不是周期函数? (5)y ?sin 2x ?解 是周期函数? 周期为l ??? 14? 求下列函数的反函数? (1)31+=x y ?解 由31+=x y 得x ?y 3?1? 所以31+=x y 的反函数为y ?x 3?1? (2)xx y +-=11?解 由x x y +-=11得y yx +-=11? 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11?(3)dcx b ax y ++=(ad ?bc ?0)?解 由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=? 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=?(4) y ?2sin3x ?解 由y ?2sin 3x 得2arcsin 31yx =? 所以y ?2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =?(5) y ?1?ln(x ?2)?解 由y ?1?ln(x ?2)得x ?e y ?1?2? 所以y ?1?ln(x ?2)的反函数为y ?e x ?1?2?(6)122+=xxy ? 解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2? 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2? 15? 设函数f (x )在数集X 上有定义? 试证? 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界?证明 先证必要性? 设函数f (x )在X 上有界? 则存在正数M ? 使|f (x )|?M ? 即?M ?f (x )?M ? 这就证明了f (x )在X 上有下界?M 和上界M ?再证充分性? 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2? 即K 1?f (x )? K 2 ? 取M ?max{|K 1|? |K 2|}? 则 ?M ? K 1?f (x )? K 2?M ? 即 |f (x )|?M ?这就证明了f (x )在X 上有界?16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值?(1) y ?u 2? u ?sin x ? 61π=x ? 32π=x ?解 y ?sin 2x ? 41)21(6sin 221===πy ?43)23(3sin 222===πy ?(2) y ?sin u ? u ?2x ? 81π=x ?42π=x ?解 y ?sin2x ? 224sin )82sin(1==⋅=ππy ?12sin )42sin(2==⋅=ππy ? (3)u y =? u ?1?x 2? x 1?1? x 2? 2?解 21x y +=? 21121=+=y ? 52122=+=y ? (4) y ?e u ? u ?x 2? x 1 ?0? x 2?1?解 2x e y =? 1201==e y ? e e y ==212?(5) y ?u 2 ? u ?e x ? x 1?1? x 2??1? 解 y ?e 2x ? y 1?e 2?1?e 2? y 2?e 2?(?1)?e ?2?17? 设f (x )的定义域D ?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f (x 2)?解 由0?x 2?1得|x |?1? 所以函数f (x 2)的定义域为[?1? 1]? (2) f (sin x )?解 由0?sin x ?1得2n ??x ?(2n ?1)? (n ?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n ?? (2n ?1)?] (n ?0? ?1? ?2? ? ?) ? (3) f (x ?a )(a >0)?解 由0?x ?a ?1得?a ?x ?1?a ? 所以函数f (x ?a )的定义域为[?a ? 1?a ]? (4) f (x ?a )?f (x ?a )(a ?0)?解 由0?x ?a ?1且0?x ?a ?1得? 当210≤<a 时? a ?x ?1?a ? 当21>a 时? 无解? 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ? 1?a ]? 当21>a 时函数无意义?18? 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f ? g (x )?e x ? 求f [g (x )]和g [f (x )]? 并作出这两个函数的图形? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10001)]([x x x x g f ? ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1||e 1|| )]([101)(x e x x e e xfg x f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g ? 19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角??40?(图1?37)? 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时? 求湿周L (L ?AB ?BC ?CD )与水深h 之间的函数关系式? 并指明其定义域? 图1?37解 40sin h DC AB ==? 又从)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0? 所以h h S L 40sin 40cos 20-+=? 自变量h 的取值范围应由不等式组h ?0?040cot 0>⋅-h hS确定? 定义域为40cot 00S h <<?20? 收敛音机每台售价为90元? 成本为60元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购量超过100台以上的? 每多订购1台? 售价就降低1分? 但最低价为每台75元? (1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数? (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数? (3)某一商行订购了1000台? 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0?x ?100时? p ?90?令0?01(x 0?100)?90?75? 得x 0?1600? 因此当x ?1600时? p ?75? 当100?x ?1600时?p ?90?(x ?100)?0?01?91?0? 01x ? 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p ? (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P ?(3) P ?31?1000?0?01?10002?21000(元)?习题1?21? 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势? 写出它们的极限? (1)nn x 21=?解 当n ??时? nn x 21=?0? 021lim =∞→n n ? (2)nx n n 1)1(-=?解 当n ??时? n x n n 1)1(-=?0? 01)1(lim =-∞→nn n ?(3)212nx n +=?解 当n ??时? 212n x n +=?2? 2)12(lim 2=+∞→n n ? (4)11+-=n n x n ?解 当n ??时? 12111+-=+-=n n n x n ?0? 111lim =+-∞→n n n ?(5) x n ?n (?1)n ?解 当n ??时? x n ?n (?1)n 没有极限?2? 设数列{x n }的一般项n n x n 2cos π=? 问n n x ∞→lim ?? 求出N ? 使当n ?N 时? x n 与其极限之差的绝对值小于正数? ? 当? ?0?001时? 求出数N ? 解 0lim =∞→n n x ?n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π? ?? ?0? 要使|x n ?0|?? ? 只要ε<n 1? 也就是ε1>n ? 取]1[ε=N ? 则?n ?N ? 有|x n ?0|?? ?当? ?0?001时? ]1[ε=N ?1000?3? 根据数列极限的定义证明?(1)01lim 2=∞→n n ?分析 要使ε<=-221|01|n n ? 只须ε12>n ? 即ε1>n ? 证明 因为???0? ?]1[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-|01|2n ? 所以01lim 2=∞→n n ? (2)231213lim =++∞→n n n ?分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|? 只须ε<n41? 即ε41>n ? 证明 因为???0? ?]41[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-++|231213|n n ? 所以231213lim =++∞→n n n ?(3)1lim22=+∞→na n n ?分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|? 只须ε2a n >?证明 因为???0? ?][2εa N =? 当?n ?N 时? 有ε<-+|1|22n a n ? 所以1lim 22=+∞→n a n n ?(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n ? 分析 要使|0?99 ? ? ? 9?1|ε<=-1101n ? 只须1101-n ?? ? 即ε1lg 1+>n ? 证明 因为???0? ?]1lg 1[ε+=N ? 当?n ?N 时? 有|0?99 ? ? ? 9?1|?? ? 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n ? 4? a u n n =∞→lim ? 证明||||lim a u n n =∞→? 并举例说明? 如果数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限?证明 因为a u n n =∞→lim ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有ε<-||a u n ? 从而||u n |?|a ||?|u n ?a |?? ?这就证明了||||lim a u n n =∞→?数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限? 例如1|)1(|lim =-∞→n n ? 但n n )1(lim -∞→不存在?5? 设数列{x n }有界? 又0lim =∞→n n y ? 证明? 0lim =∞→n n n y x ?证明 因为数列{x n }有界? 所以存在M ? 使?n ?Z ? 有|x n |?M ?又0lim =∞→n n y ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有M y n ε<||? 从而当n ?N 时? 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|?所以0lim =∞→n n n y x ?6? 对于数列{x n }? 若x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 证明? x n ?a (n ??)?证明 因为x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 所以???0? ?K 1? 当2k ?1?2K 1?1时? 有| x 2k ?1?a |?? ? ?K 2? 当2k ?2K 2时? 有|x 2k ?a |?? ?取N ?max{2K 1?1? 2K 2}? 只要n ?N ? 就有|x n ?a |?? ? 因此x n ?a (n ??)? 习题1?31? 根据函数极限的定义证明? (1)8)13(lim 3=-→x x ?分析 因为|(3x ?1)?8|?|3x ?9|?3|x ?3|? 所以要使|(3x ?1)?8|?? ? 只须ε31|3|<-x ?证明 因为???0? ?εδ31=? 当0?|x ?3|??时? 有|(3x ?1)?8|?? ? 所以8)13(lim 3=-→x x ?(2)12)25(lim 2=+→x x ?分析 因为|(5x ?2)?12|?|5x ?10|?5|x ?2|? 所以要使|(5x ?2)?12|?? ? 只须ε51|2|<-x ?证明 因为?? ?0? ?εδ51=? 当0?|x ?2|??时? 有 |(5x ?2)?12|?? ? 所以12)25(lim 2=+→x x ?(3)424lim22-=+--→x x x ? 分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ?所以要使ε<--+-)4(242x x ? 只须ε<--|)2(|x ? 证明 因为?? ?0? ?εδ=? 当0?|x ?(?2)|??时? 有ε<--+-)4(242x x ? 所以424lim 22-=+--→x x x ?(4)21241lim 321=+--→x x x ? 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ?所以要使ε<-+-212413x x ? 只须ε21|)21(|<--x ? 证明 因为?? ?0? ?εδ21=? 当δ<--<|)21(|0x 时? 有ε<-+-212413x x ? 所以21241lim 321=+--→x x x ? 2? 根据函数极限的定义证明?(1)2121lim 33=+∞→x x x ? 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+? 所以要使ε<-+212133x x ? 只须ε<3||21x ? 即321||ε>x ? 证明 因为?? ?0? ?321ε=X ? 当|x |?X 时? 有ε<-+212133x x ? 所以2121lim 33=+∞→x x x ? (2)0sin lim =+∞→xx x ?分析 因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-?所以要使ε<-0sin x x ? 只须ε<x1? 即21ε>x ?证明 因为???0? ?21ε=X ? 当x ?X 时? 有ε<-0sin xx ?所以0sin lim =+∞→xx x ?3? 当x ?2时? y ?x 2?4? 问?等于多少? 使当|x ?2|<?时? |y ?4|<0?001？ 解 由于当x ?2时? |x ?2|?0? 故可设|x ?2|?1? 即1?x ?3? 要使|x 2?4|?|x ?2||x ?2|?5|x ?2|?0?001? 只要0002.05001.0|2|=<-x ?取??0?0002? 则当0?|x ?2|??时? 就有|x 2?4|?0? 001?4? 当x ??时? 13122→+-=x x y ? 问X 等于多少? 使当|x |?X 时? |y ?1|?0?01? 解 要使01.034131222<+=-+-x x x ? 只要397301.04||=->x ? 故397=X ?5? 证明函数f (x )?|x |当x ?0时极限为零?证明 因为|f (x )?0|?||x |?0|?|x |?|x ?0|? 所以要使|f (x )?0|??? 只须|x |???因为对???0? ????? 使当0?|x ?0|??? 时有 |f (x )?0|?||x |?0|??? 所以0||lim 0=→x x ?6? 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x ?0时的左﹑右极限? 并说明它们在x ?0时的极限是否存在?证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ?11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ?)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-?所以极限)(lim 0x f x →存在?因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ?1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ?)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-?所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在?7? 证明? 若x ???及x ???时? 函数f (x )的极限都存在且都等于A ? 则A x f x =∞→)(lim ?证明 因为A x f x =-∞→)(lim ? A x f x =+∞→)(lim ? 所以??>0??X 1?0? 使当x ??X 1时? 有|f (x )?A |?? ? ?X 2?0? 使当x ?X 2时? 有|f (x )?A |?? ?取X ?max{X 1? X 2}? 则当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ? 即A x f x =∞→)(lim ?8? 根据极限的定义证明? 函数f (x )当x ?x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等?证明 先证明必要性? 设f (x )?A (x ?x 0)? 则??>0? ???0? 使当0<|x ?x 0|<? 时? 有 |f (x )?A |<? ?因此当x 0??<x <x 0和x 0<x <x 0?? 时都有 |f (x )?A |<? ?这说明f (x )当x ?x 0时左右极限都存在并且都等于A ? 再证明充分性? 设f (x 0?0)?f (x 0?0)?A ? 则??>0? ??1>0? 使当x 0??1<x <x 0时? 有| f (x )?A <? ? ??2>0? 使当x 0<x <x 0+?2时? 有| f (x )?A |<? ?取??min{?1? ?2}? 则当0<|x ?x 0|<? 时? 有x 0??1<x <x 0及x 0<x <x 0+?2 ? 从而有 | f (x )?A |<? ? 即f (x )?A (x ?x 0)?9? 试给出x ??时函数极限的局部有界性的定理? 并加以证明?解 x ??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f (x )当x ??时的极限存在? 则存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ?证明 设f (x )?A (x ??)? 则对于? ?1? ?X ?0? 当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ?1? 所以 |f (x )|?|f (x )?A ?A |?|f (x )?A |?|A |?1?|A |?这就是说存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ? 其中M ?1?|A |? 习题1?41? 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之? 解 不一定?例如? 当x ?0时? ?(x )?2x ? ?(x )?3x 都是无穷小? 但32)()(lim 0=→x x x βα? )()(x x βα不是无穷小?2? 根据定义证明?(1)392+-=x x y 当x ?3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x ?0时为无穷小?证明 (1)当x ?3时|3|39||2-=+-=x x x y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?3|??时? 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ? 所以当x ?3时392+-=x x y 为无穷小? (2)当x ?0时|0||1sin |||||-≤=x xx y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?0|??时? 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ?所以当x ?0时xx y 1sin =为无穷小?3? 根据定义证明? 函数xx y 21+=为当x ?0时的无穷大? 问x 应满足什么条件? 能使|y |?104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y ? 要使|y |?M ? 只须M x >-2||1? 即21||+<M x ?证明 因为?M ?0? ?21+=M δ? 使当0?|x ?0|??时? 有M xx >+21?所以当x ?0时? 函数xx y 21+=是无穷大?取M ?104? 则21014+=δ? 当2101|0|04+<-<x 时? |y |?104? 4? 求下列极限并说明理由? (1)x x x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20? 解 (1)因为xx x 1212+=+? 而当x ?? 时x 1是无穷小? 所以212lim =+∞→x x x ?(2)因为x xx +=--1112(x ?1)? 而当x ?0时x 为无穷小? 所以111lim 20=--→x x x ?5? 根据函数极限或无穷大定义? 填写下表?f (x )?A f (x )?? f (x )??? f (x )???x ?x 0???0? ???0? 使当0?|x ?x 0|??时? 有恒|f (x )?A |???x ?x 0? x ?x 0?x ?? ???0? ?X ?0? 使当|x |?X 时?有恒|f (x )|?M ?x ??? x ??? 解 f (x )?A f (x )?? f (x )??? f (x )???x ?x 0 ???0? ???0? 使当0?|x ?x 0|??时? 有恒?M ?0? ???0? 使当0?|x ?x 0|??时? 有恒|f (x )|?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?|x ?x 0|??时? 有恒f (x )?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?|x ?x 0|??时?有恒f (x )??M ?|f (x )?A |??? x ?x 0????0? ???0? 使当0?x ?x 0??时? 有恒|f (x )?A |??? ?M ?0? ???0? 使当0?x ?x 0??时? 有恒|f (x )|?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?x ?x 0??时? 有恒f (x )?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?x ?x 0??时?有恒f (x )??M ? x ?x 0????0? ???0? 使当0?x 0?x ??时? 有恒|f (x )?A |??? ?M ?0? ???0? 使当0?x 0?x ??时? 有恒|f (x )|?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?x 0?x ??时? 有恒f (x )?M ? ?M ?0? ???0? 使当0?x 0?x ??时?有恒f (x )??M ? x ?? ???0? ?X ?0? 使当|x |?X 时? 有恒|f (x )?A |??? ???0? ?X ?0? 使当|x |?X 时? 有恒|f (x )|?M ? ???0? ?X ?0? 使当|x |?X 时? 有恒f (x )?M ? ???0? ?X ?0? 使当|x |?X 时? 有恒f (x )??M ? x ??? ???0? ?X ?0? 使当x ?X 时? 有恒|f (x )?A |??? ???0? ?X ?0? 使当x ?X 时? 有恒|f (x )|?M ? ???0? ?X ?0? 使当x ?X 时? 有恒f (x )?M ? ???0? ?X ?0? 使当x ?X 时? 有恒f (x )??M ? x ??? ???0? ?X ?0? 使当x ??X 时? 有恒|f (x )?A |??? ???0? ?X ?0? 使当x ??X 时? 有恒|f (x )|?M ? ???0? ?X ?0? 使当x ??X 时? 有恒f (x )?M ? ???0? ?X ?0? 使当x ??X 时? 有恒f (x )??M ?6? 函数y ?x cos x 在(??? ??)内是否有界？这个函数是否为当x ??? 时的无穷大？为什么？解 函数y ?x cos x 在(??? ??)内无界?这是因为?M ?0? 在(??? ??)内总能找到这样的x ? 使得|y (x )|?M ? 例如y (2k ?)?2k ? cos2k ??2k ? (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? 就有| y (2k ?)|?M ?当x ??? 时? 函数y ?x cos x 不是无穷大?这是因为?M ?0? 找不到这样一个时刻N ? 使对一切大于N 的x ? 都有|y (x )|?M ? 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?对任何大的N ? 当k 充分大时? 总有N k x >+=22ππ? 但|y (x )|?0?M ?7? 证明? 函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 但这函数不是当x ?0+时的无穷大?证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 这是因为?M ?0? 在(0? 1]中总可以找到点x k ? 使y (x k )?M ? 例如当221ππ+=k x k (k ?0? 1? 2? ? ? ?)时? 有22)(ππ+=k x y k ?当k 充分大时? y (x k )?M ?当x ?0+ 时? 函数xx y 1sin 1=不是无穷大? 这是因为?M ?0? 对所有的??0? 总可以找到这样的点x k ? 使0?x k ??? 但y (x k )?M ? 例如可取πk x k 21=(k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? x k ??? 但y (x k )?2k ?sin2k ??0?M ? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ?解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ? (3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim2230++-→? 解 2123124lim 2324lim202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→?(6))112(lim 2xx x +-∞→? 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)?或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ?解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ? (10))12)(11(lim 2xx x -+∞→? 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→?解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ? (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→? 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同? 极限为 最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x ?(2)12lim 2+∞→x x x ? 解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ? 解 9325235lim222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ? (3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)x x x x x x 2324lim 2230++-→? 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→?解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ?解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ?(10))12)(11(lim 2xx x -+∞→? 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→?解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ? (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→? 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞→? 解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同? 极限为 最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ? 解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题 1?71? 当x ?0时? 2x ?x 2 与x 2?x 3相比? 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ? 所以当x ?0时? x 2?x 3是高阶无穷小? 即x 2?x 3?o (2x ?x 2)?2? 当x ?1时? 无穷小1?x 和(1)1?x 3? (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和1?x 3是同阶的无穷小? 但不是等价无穷小?(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x ?所以当x ?1时? 1?x 和)1(212x -是同阶的无穷小? 而且是等价无穷小?3? 证明? 当x ?0时? 有? (1) arctan x ~x ?(2)2~1sec 2x x -?证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示? 令y ?arctan x ? 则当x ?0时? y ?0)? 所以当x ?0时? arctan x ~x ?(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x x x x x x x ? 所以当x ?0时? 2~1sec 2x x -? 4? 利用等价无穷小的性质? 求下列极限? (1)xx x 23tan lim 0→?(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n ? m 为正整数)?(3)x x x x 30sin sin tan lim -→? (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x ? 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x ?(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00? (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x ? (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x ?0)?23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x ?0)? x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x ?0)?所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x ?5? 证明无穷小的等价关系具有下列性质? (1) ? ~? (自反性)?(2) 若? ~?? 则?~?(对称性)? (3)若? ~?? ?~?? 则?~?(传递性)? 证明 (1)1lim =αα? 所以? ~? ?(2) 若? ~?? 则1lim =βα? 从而1lim=αβ? 因此?~? ? (3) 若? ~?? ?~?? 1lim lim lim =⋅=βαγβγα? 因此?~??习题1?81? 研究下列函数的连续性? 并画出函数的图形?(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ?解 已知多项式函数是连续函数? 所以函数f (x )在[0? 1)和(1? 2]内是连续的? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x ? 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ?所以1)(lim 1=→x f x ? 从而函数f (x )在x ?1处是连续的?综上所述，函数f (x )在[0? 2]上是连续函数?(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f ?解 只需考察函数在x ??1和x ?1处的连续性?在x ??1处? 因为f (?1)??1? 并且 )1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ?)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ?所以函数在x ??1处间断? 但右连续? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x ?f (1)? 11lim )(lim 11==++→→x x x f ?f (1)?所以函数在x ?1处连续?综合上述讨论? 函数在(??? ?1)和(?1? ??)内连续? 在x ??1处间断? 但右连续? 2? 下列函数在指出的点处间断? 说明这些间断点属于哪一类? 如果是可去间断点? 则补充或改变函数的定义使它连续?(1)23122+--=x x x y ? x ?1? x ?2? 解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y ? 因为函数在x ?2和x ?1处无定义? 所以x ?2和x ?1是函数的间断点?因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x ? 所以x ?2是函数的第二类间断点?因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x ? 所以x ?1是函数的第一类间断点? 并且是可去间断点? 在x ?1处? 令y ??2? 则函数在x ?1处成为连续的?(2)x x y tan =? x ?k ? 2ππ+=k x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)?解 函数在点x ?k ?(k ?Z)和2ππ+=k x (k ?Z)处无定义? 因而这些点都是函数的间断点?因∞=→x x k x tan lim π(k ?0)? 故x ?k ?(k ?0)是第二类间断点?因为1tan lim0=→x x x ? 0tan lim2=+→xx k x ππ(k ?Z)? 所以x ?0和2 ππ+=k x (k ?Z) 是第一类间断点且是可去间断点?令y |x ?0?1? 则函数在x ?0处成为连续的?令2 ππ+=k x 时? y ?0? 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的?(3)xy 1cos 2=? x ?0?解 因为函数x y 1cos 2=在x ?0处无定义? 所以x ?0是函数xy 1cos 2=的间断点? 又因为xx 1cos lim 20→不存在? 所以x ?0是函数的第二类间断点? (4)⎩⎨⎧>-≤-=1 31 1x x x x y ? x ?1?解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x ?2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1是函数的第一类不可去间断点?3? 讨论函数x xx x f n nn 2211lim )(+-=∞→的连续性? 若有间断点? 判别其类型?解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n ? 在分段点x ??1处? 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x ? 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x ? 所以x ??1为函数的第一类不可去间断点?在分段点x ?1处? 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x ? 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1为函数的第一类不可去间断点?4? 证明? 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)?0? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0?证明 不妨设f (x 0)>0? 因为f (x )在x 0连续? 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ? 由极限的局部保号性定理? 存在x 0的某一去心邻域)(0x U ? 使当x ?)(0x U时f (x )>0? 从而当x ?U (x 0)时?f (x )>0? 这就是说? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0? 5? 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子?(1)x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n 1±? ? ? ?是f (x )的所有间断点? 且它们都是无穷间断点?解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?处是间断的?且这些点是函数的无穷间断点?(2)f (x )在R 上处处不连续? 但|f (x )|在R 上处处连续?解 函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续? 但|f (x )|?1在R 上处处连续?(3)f (x )在R 上处处有定义? 但仅在一点连续?解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义? 它只在x ?0处连续?习题1?91? 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间? 并求极限)(lim 0x f x →? )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →? 解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f ? 函数在(??? ??)内除点x ?2和x ??3外是连续的? 所以函数f (x )的连续区间为(??? ?3)、(?3? 2)、(2? ??)?在函数的连续点x ?0处? 21)0()(lim 0==→f x f x ?在函数的间断点x ?2和x ??3处? ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ? 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x ?2? 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续? 证明函数?(x )?max{f (x )? g (x )}? ?(x )?min{f (x )? g (x )} 在点x 0也连续?证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→? )()(lim 00x g x g x x =→?可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ?] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ?因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ?] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ?因为] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++=??(x 0)?所以?(x )在点x 0也连续?同理可证明?(x )在点x 0也连续? 3? 求下列极限? (1)52lim 20+-→x x x ?(2)34)2(sin lim x x π→?(3))2cos 2ln(lim 6x x π→?(4)xx x 11lim 0-+→?(5)145lim 1---→x x x x ?(6)a x a x a x --→sin sin lim ?(7))(lim 22x x x x x --++∞→?解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数? f (x )在点x ?0有定义? 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x ?(2)因为函数f (x )?(sin 2x )3是初等函数? f (x )在点4π=x 有定义? 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x ? (3)因为函数f (x )?ln(2cos2x )是初等函数? f (x )在点6π=x 有定义? 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x ?(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x211101111lim=++=++=→x x ? (5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x ? (6)ax ax a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2limsin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim2cos lim =⋅+=--⋅+=→→? (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim 22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x x x x ?4? 求下列极限? (1)xx e 1lim∞→?(2)x x x sin ln lim 0→?(3)2)11(lim xx x +∞→? (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→?(5)21)63(lim -∞→++x x xx ? (6)xx x xx x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim?解 (1) 1lim 01lim 1===∞→∞→e ee xxx x ?(2) 01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x x x x x ?(3) []e e xx x x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim ?。