探求正四面体外接球、内切球半径求法

正四面体内切圆半径公式正四面体是一种具有四个面的多面体，每个面都是一个等边三角形。

内切圆是指一个圆与多边形的每一边都相切，且圆心与多边形的中心重合。

在正四面体内切圆中，内切圆的圆心与正四面体的重心重合，即内切圆的圆心位于正四面体的中心点上。

我们来推导正四面体内切圆的半径公式。

我们需要知道正四面体的一些基本性质。

正四面体的高是等边三角形的高，等于边长的根号3除以2。

正四面体的底面边长为a，高为h，则正四面体的体积V等于1/3乘以底面积S乘以高。

正四面体的底面是一个等边三角形，其面积S等于边长a的平方乘以根号3除以4。

将S带入体积公式，得到正四面体的体积公式为V等于1/12乘以a的三次方乘以根号2。

我们知道，正四面体的体积V等于1/3乘以底面积S乘以高，即V=1/3×S×h。

将S和h代入，得到V=1/3×（a的平方乘以根号3除以4）×（a的平方乘以根号3除以2）。

化简得到V=1/12×a的三次方乘以根号2。

将V带入球的体积公式V=4/3×π×r的立方，我们可以得到内切圆半径r的公式。

1/12×a的三次方乘以根号2=4/3×π×r的立方。

化简得到r=1/6×a的平方乘以根号6除以π。

所以，正四面体内切圆的半径r等于1/6×a的平方乘以根号6除以π。

通过上述推导，我们得到了正四面体内切圆半径的公式。

这个公式可以帮助我们计算正四面体内切圆的半径，从而更好地理解和研究正四面体的性质。

正四面体内切圆半径公式的推导过程虽然简单，但是其中蕴含着丰富的几何知识和数学思维。

通过掌握这个公式，我们可以更深入地研究正四面体的几何特征，也可以应用到实际问题中，如建筑设计、机械制造等领域。

正四面体内切圆半径公式的推导不仅是数学知识的运用，更是思维的展示和思考的结果。

在学习过程中，我们需要灵活运用数学知识，善于思考和分析，才能更好地理解和应用这个公式。

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC +=所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解 【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D (C设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y xACCy所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x222222)3()1(z y x z y x +-+-=++ 解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

探求正四面体外接球、内切球半径求法探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h a a 即34R h =；内切球a 即14r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH V 中，222BO BH OH =+，即222()()33R a a R =+-，,.R a r h R a a a ∴==-=-= 方法二：（三角正切倍角公式）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO = ,2.AO BO ABO BAO BOH θθ=∴∠=∠∠=Q在Rt ABHV中，tan,23aBHAHθ===在Rt OBHV中，3tan2,3aBHOH r rθ===23r⨯∴==,.r a R h r a a a∴==-=-=方法三：（分割等体积）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V高3h AH a==，设O为球心，则.O AH∈连结,,,BO CO DO得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S，则4,O BCD A BCDV V--=即114,33S r S AH⨯=g g11,4412.3124r AH h aR h r a a a∴====-=-=方法四：（侧棱、高相似或三角）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V22tantan2,1tanθθθ=-Q高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BHAO BO OM AB =∴⊥QAMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠，AMO AHB ∴V :V ， AM AO AH AB∴=， 即,aR a =,.R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设BAH MAO θ∠=∠=，则在Rt ABH V中，3cos a AH AB aθ==， 在Rt AMO V 中，2cos .aAM AO Rθ==32a aa R∴= ， 以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,AE EH ，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC V 中心，N 是AE 的三等分点，平面，ON 是内切圆半径r,ON ABC ⊥且 ,Rt ANO Rt AEH V :VAN AO AH AE ∴=，32a R = ，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设EAH NAO θ∠=∠=，则在Rt AEH V中，cos 2a AH AEθ==， 在Rt ANO V中，3cos .a AN AO Rθ==3aa R∴=， 以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,,AE DE DO ，延长DO 交AE 于N ，则N 是AE 的三等分点，.H DE ∈ 且DN ⊥平面.ABC则,Rt ODH Rt DNE V :V OH OD NE DE∴= 即 OH OD = NE DE 13=， 13r R ∴=， 3.R r ∴=又,R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 或：在Rt DNE V 中，1sin ,3NE NDE DE ∠== 在Rt DOH V 中，sin sin ,OH NDE ODH OD∠=∠= 13OH OD ∴=， 即13r R =， 3.R r ∴=又,3R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a的棱长为.2a 正方体的体对角线等于外接球直径，有22a R ⨯=，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 方法八：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD V 于H ，则H 为BCD V 的外心，求得,,33AH a BH a == 由相交弦定理得2(2)).333a R a a -=g解得.4R a =.r h R a a a ∴=-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。

简单几何体的外接球和内切球半径的求法1、正方体若正方体的棱长为a ，则其外接球半径为 ，内切球半径为 ，棱切球半径为 球心全是正方体的体对角线的交点32a 12a 22a例：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，求球的体积．解：该球是正方体的外接球，球心到正方体各顶点的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的体对角线长设球的半径为R ，a R a R 2332==得则)(23)23(34343333cm a a R πππ==∴球的体积为若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

外接球的球心到多面体各顶点的距离均相等。

例：将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积。

解：这个最大的球体是正方体的内切球，球心到正方体各个面的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的棱长设球的半径为R ，则2R =6，得R =3)(3633434333cm R πππ=⨯=∴最大零件的体积为若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

内切球的球心到多面体各面的距离均相等。

⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a ，则a3a2a右图，红色球是正方体的棱切球棱切球的球心到正方体各条棱的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的面对角线的长2、长方体若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其外接球半径为球心是长方体的体对角线的交点222 1+2a b c例：有一个球与长方体的面相切，这个球的最大直径是多少？长方体的长、宽、高中的最小者例：一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为____________若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

A CDBEOABCP三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C由平面知识得设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在PAC Rt ∆中OC OB OP ==AC所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

四面体外接球的球心、半径求法之宇文皓月创作在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的概况积。

解：所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R球的概况积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB=ACCy式知222222)2(z y x z y x ++-=++222222)2(-++=++z y x z y x 解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。

四面体的内切球半径公式
设四面体的体积为V，表面积为S，内切球的半径为r。

根据欧
拉公式，四面体的体积V、表面积S和内切球的半径r之间存在着
以下关系：
V = (S r) / 3。

而四面体的体积V可以用行列式表示：
V = (1/6) |x1(y2z3 y3z2) + x2(y3z1 y1z3) + x3(y1z2
y2z1) (x1y2z4 x1y4z2 x2y1z4 + x2y4z1 + x4y1z2 x4y2z1)|。

其中，(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), (x4, y4, z4) 分别是四面体的四个顶点的坐标。

四面体的表面积S可以用以下公式表示：
S = 1/2 (|A1| + |A2| + |A3| + |A4|)。

其中，|A1|, |A2|, |A3|, |A4| 分别是四面体的四个面的面积。

综合上述公式，我们可以得到四面体内切球半径r的公式： r = 3V / S.
这就是四面体内切球半径的公式，它可以通过四面体的体积V 和表面积S来计算。

当我们已知四面体的顶点坐标和面积时，就可以利用这个公式来求得内切球的半径。