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三、解答题（共74分,其中第22小题14分,其余小题各12分）
17.（本题满分12分）已知方程24410x ax a +++=有两根为tan tan αβ和。
（1）求正实数a 的取值范围； （2）若(,)22
ππαβ∈-、，求αβ+的值。
18.（本题满分12分）袋子里装有大小相同的3个红球和4个黑球，现从中随机取出4个球。
（1）求取出的红球个数为2的概率；
（2）若取出一个红球得2分，取出一个黑球得1分，求得分η的数学期望E η。
20.（本题满分12分） 在数列{}n a 中，118,26n n a a a +=+=且。
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设{}n a 的前n 项的和为n S ，求满足不等式1242008n S n --<的最小正整数n 的值。
21.（本题满分12分）已知函数21()ln 2
f x x x =+。
（1）当[1,]x e ∈时，求f （x ）的最大值和最小值；
（2）当[1,)x ∈+∞时，比较f （x ）与32()3
g x x =的大小。
南充市高2020届第二次高考适应性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1i i +=（ ）A. 2i -B. 12iC. 0D. 2i 2.已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A 0 B. 0或3 C. 1D. 1或33.已知1tan 2α=-，2παπ<<，则sin α=（ ）B.C.4.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.85.已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A. 0B. 5C. 7D. 136.过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． .A. 440x y --=B. 440x y +-=C. 440x y ++=D. 440x y -+= 7.定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A. (11,53) B. 1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C. (1,53) D. (,3)-∞8.一个空间几何体的正视图是长为4的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3B.C. 3D. 9.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π 10.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A. 4πB. 16πC. 163πD. 323π 11.设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A. 3215 B.6415 C. 5 D. 6 12.已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A. ln21--B. 1ln2-+C. ln 2-D. ln 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b r r 满足(2)()6a b a b +⋅-=-r r r r ，且||1,||2a b ==r r ，则cos ,a b <>=r r _________．14.函数()cos f x x =[0,)+∞的零点个数为_________.15.已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，则a b +=_______．16.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B D 为C 上互相不重合的三点，且||AF uuu r 、||BF uuu r 、||DF uuu r 成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.等差数列{}n a 中，1631,2a a a ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，记n S 为数列{}n b 前n 项和，若62m S =，求m ．18.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． 的（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m ；（2）根据茎叶图数据，完成下面的列联表： （3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点. 的..（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值.20.设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12•PF PF u u u v u u u u v 的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．21.已知函数21()ln 2f x x mx x =++. （1）若函数()f x 不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围；（2）若函数()y f x =的两个极值点为()1212x x x x <，2m ≤-，求()()12f x f x -的最小值. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρθ=.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P坐标为，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．23.设函数()()1f x x x a a R =-+-∈.（1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B3.D4.B5.D6.A7.C8.B9.C10.D11.A12.A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 1214. 115. 316. (1,2)或(1,2)-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题设得1(1)n a n d =+-因为632a a =，所以1(61)2[1(31)]d d +-=+-解得1d =，故n a n =．（2）由（1）得2nn b =．所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以11222212n n n S ++-==--， 由62m S =得12262m +-=，解得5m =．18.解：（1）1901901902m +==． （2）（3）由于2245(1516410)7.287 6.63519262520k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．19.（1）证明：取BC 中点M ，连接,PM AM ，因为四边形ABCD 为菱形且120BAD ∠=︒.所以AM BC ⊥，因为PB PC =，所以PM BC ⊥，又AM PM M =I ，所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ，所以PA BC ⊥.同理可证PA DC ⊥，因为DC BC C =I ，所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ⋂平面ABCD AF =.所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离.过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为2AB =，此时AF 必过DC 的中点， 因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1. 以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,1,1),(0,2,0)A C E B所以(0,1,1),(0,2,0)AC AE AB ===u u u r u u u r u u u r平面PAF 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r ，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r， 则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r即0,0,y y z +=+=⎪⎩取1y =，则(1)3n =--r ，cos ,7||||n AB n AB n AB ⋅<>==⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，所以sin ,n AB <>==u u u r r ， 所以面PAF 与面EAC. 20. （1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+u u u v ，()2,F P x c y =-u u u u v ，2222221221•1a PF PF x y c x c au u u v u u u u v -∴=+-=+-，[],x a a ∈-，由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，∴椭圆C 的方程为22x y 12+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2222x y +=中，得()222214220k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()222216421220k m k m ∆=-+-=， 化简得：2221m k =+．设11d F M ==，22d F M ==，当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，121=MN d d k∴⋅-， ()12122211=21m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+， 2221m k =+Q ，22244=111mmS k m m m ∴==+++∴当0k ≠时，1m >，12m m+>， 2S <∴．当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =．所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2．21.（1）由函数()21ln 2f x x mx x =++有意义，则()0,0+x ∞>即定义域为， 由()1,f x x m x=++'且()f x 不存在单调递减区间，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立， ()1x m 0,x∞∴+≥-+在上恒成立1x 0,x 2,x 12x>+≥==Q 当且仅当时取到最小值 m 2m 2∴-≤≥-恒成立，解得[)m 2+∞∴-的取值范围为，（2）由()1知()()()1f x 0,,f x x m x∞+='++定义域为， 令()2110x mx f x x m x x++=++=='，即210x mx ++= 由()f x 有两个极值点1212,(0)x x x x <<故12,x x 为方程210x mx ++=的两根，1212,1x x m x x ∴+=-=，∴ ()12m x x =-+，22121221,x x x x x x == 则()()221211122211ln ln 22f x f x x mx x x mx x ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭ ()()221121221ln 2x x x m x x x =-+-+ ()()22221121221ln 2x x x x x x =---+ ()2211221ln 2x x x x =--1122211ln 2x x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由()1122110,,ln ,01,2x x x t g t t t t x t ⎛⎫<<==--<< ⎪⎝⎭令则 由()211122g x t t =-+' ()22102t t -=-<，则()()0,1g t 在上单调递减2m ≤-Q 又，即()122x x -+≤-122x x ∴+≥ ()2221212121221192222x x x x x x x x t x x t ∴+=++=++=++≥ 15 2t t ∴+≥ 122t t ∴≥≤或 由01t <<知102t <≤ ()11113 ln 2ln222224g x g ⎛⎫⎛⎫∴≥=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 综上所述，()()12f x f x -的最小值为3ln24-. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3又直线l 过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3． 23.（1）145x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{|0x x ≤或5}x ≥.（2）因为：()()()111f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以()min 1f x a =-，由题意得：14a -≥，解得3a ≤-或5a ≥.。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数1−i1+2i=()A. −15−35i B. 25−i C. −1+i D. 15+35i2.设集合A={1,3，4}，B={2,3，6}，则A∪B等于()A. {3}B. {1,2，3，4}C. {1,2，3，6}D. {1,2，3，4，6}3.已知α∈[π,3π2]，sinα=−35，则tanα=()A. −43B. 43C. −34D. 344.在ΔABC中，AB=3，BC=√13，AC=4，则边AC上的高为()A. 3√22B. 32C. 3√32D. 3√35.设(3x−1)8=a0+a1x+⋯+a7x7+a8x8，则a1+a2+⋯+a7+a8等于()A. 122B. 144C. 255D. 3366.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是()A. x=1B. y=1C. x+y=1D. x−y=17.已知定义在R上的函数f(x)满足f(−3)=f(5)=1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y=f′(x)的图象如图所示．则不等式f(x)<1的解集是()A. (−3,0)B. (−3,5)C. (0,5)D. (−∞,−3)∪(5,+∞)8. 如图，某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且其体积为π4，则该几何体的俯视图可以是 ( )A.B.C.D.9. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2,A =30∘,C =105∘，则a =( )A. 1B. √2C. 2D. √310. 已知正三棱柱ABC −A 1B1C1(底面是正三角形，且侧棱垂直于底面)的底面边长为4，侧棱长为2√3，则该正三棱柱外接球的表面积为( )A.253πB.1003π C. 25π D. 100π11. 双曲线x 29−y 216=1的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线l ，则点A 到直线l 的距离为( )A. 815B. 325C. 3215D. 8512. 已知函数f(x)=xe x ，g(x)=e 2x−4a −2e x−2a ，若存在实数x 0使f(x 0)+g(x 0)=−1e −1成立，则实数a 的值为( )A. −1B. −12C. 12D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =2，则向量(2a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =______．14. 设函数f(x)={x 2, x ≤0f(x −1), x >0，则函数g(x)=f(x)−x 的零点的个数为______ ．15. 已知函数f(x)=lnx +x ，则函数y =f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为______． 16. 已知抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−1，焦点为F ，A 、B 、C 为该抛物线上不同的三点，|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且点B 在x 轴下方，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则直线AC 的方程为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }中，a 2+a 3=7，a 4+a 5+a 6=18．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求1S 3+1S 6+⋯+1S 3n．18.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；(2)由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．P(K2≥k0)0.4000.2500.1500.1000.0500.025k00.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024(n=a+b+c+d)参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=4，PC=PD=AD=2√2，E为PB中点．(1)求证：CE⊥平面PBD；(2)求平面PAC和平面PCD所成二面角的大小．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若点P是椭圆C上异于A，B的一点，直线AP和BP分别与y轴交于M，N两点，求△AOM 与△BON面积之和的最小值．21.已知函数．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)⩾0在内恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x−2a|．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)≤3的解集；(Ⅱ)当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：【试题解析】本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题．分子和分母同时乘以分母的共轭复数，利用复数的乘法法则计算即可．解：因为1−i1+2i =(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−3i5=−15−35i故选A．2.答案：D解析：解：由已知集合A={1,3，4}，B={2,3，6}，则A∪B={1,2，3，4，6}；故选D．找出两个集合的公共元素组成的集合．本题考查了集合的并集运算；属于基础题．3.答案：D解析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．解：∵已知α∈[π,3π2]，sinα=−35，∴cosα=√1−sin2α=−45，则tanα=sinαcosα=34，故选：D．4.答案：C解析：本题考查了解三角形的应用.由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4−x，利用勾股定理可知BD=√AB2−AD2=√BC2−CD2，进而解得x的值，再利用勾股定理求得BD．解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4−x，∴BD=√9−x2=√13−(4−x)2，解得x=3，2√3．因此BD=2=32故选C．5.答案：C解析：解：令x=0可得a0=1，令x=1可得a0+a1+a2+⋯+a8=28=256，所以a1+a2+⋯+a8=255．故选：C．利用赋值法，分别令x=0，x=1，的到所求结果．本题考查二项式定理，利用特殊值法求解，属于一般基础题．6.答案：A解析：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后求出经过圆上一点M(1,0)的切线方程．此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时所满足的关系，是一道基础题．解：由圆x2+y2=1，得到圆心A的坐标为(0,0)，圆的半径r=1，则圆上一点M(1,0)与(0,0)连线的方程为y=0，∴经过圆上一点M(1,0)的切线方程是x=1，故选：A．7.答案：B解析：本题考查导函数图象与函数单调性的关系，属于基础题．由图象可以判断出f(x)的单调性情况，由f(−3)与f(5)的取值，即可得出答案． 解：由f′(x)的图象可得，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 又由题意可得，f(−3)=f(5)=1， ∴f(x)<1的解集是(−3,5)， 故选B ．8.答案：D解析：本题考查三视图及空间几何体的体积的计算，属基础题． 结合选项逐一分析求解即可．解：当俯视图是A 时，该几何体是正方体，体积为1，所以A 错误;当俯视图是B 时，该几何体是半圆柱，体积V =12×π×(12)2×1=π8，所以B 错误； 当俯视是C 时，该几何体是直三棱柱，体积V =12×1×1×1=12，所以 C 错误; 当俯视图是D 时，该几何体是14圆柱，体积是V =14×π×12×1=π4，所以D 正确． 故选D ．9.答案：C解析：本题考查正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用正弦定理即可得出． 解：∵A =30∘,C =105∘， ∴B =45°，∵asinA =bsinB ，∴a =bsinA sinB =2√2sin30∘sin45∘=2，故选C ．10.答案：B解析：如图，取ΔABC 的重心E ，ΔA 1B1C1的重心E 1，取AC 中点D ， 则EE 1的中点O 是该正三棱柱外接球的球心，OA 为球半径， ∵正三棱柱ABC −A 1B1C1的底面边长为4，侧棱长为2√3， ∴OE =√3,AE =BE =23BD =23√42−22=4√33， ∴R =OA =√(√3)2+(4√33)2=√253，∴该正三棱柱外接球的表面积： S =4πR 2=4π×(√253)2=100π3．故选：B ．11.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．求得双曲线的a ，b ，c ，求得A ，F 的坐标和渐近线方程，设出过F 于渐近线平行的直线，运用点到直线的距离公式，可得所求值． 解：双曲线x 29−y 216=1的a =3，b =4，c =√9+16=5，可得A(−3,0)，F(5,0)，双曲线的渐近线方程为y=±43x，可设过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l为y=43(x−5)，即4x−3y−20=0，则A到直线l的距离为d=√16+9=325．故选：B．12.答案：B解析：解：由题意可得：f′(x)=e x(x+1)，则函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，当x=−1时，函数f(x)取得最小值f(−1)=−1e，令t=e x−2a(t>0)，可知g(x)=e2x−4a−2e x−2a=t2−2t=(t−1)2−1，所以当t=1时取得最小值−1，要满足存在实数x0使f(x0)+g(x0)=−1e−1成立，则当x=−1时，t=e−1−2a=1，即−1−2a=0,解得a=−12，故选B．由题意首先确定函数f(x)，g(x)的最小值，然后结合题意求解实数a的值即可．本题主要考查导函数研究函数的最值，复合函数求最值的方法等知识，属于中等题．13.答案：3解析：本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用属于容易试题．直接利用向量数量积的性质进行求解即可．解：∵|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=4−1=3．故答案为3．14.答案：2解析：解：函数g(x)=f(x)−x的零点的个数即函数y=f(x)的图象与直线y=x的交点个数，如图所示：由于函数y=f(x)的图象与直线y=x只有2个交点，故答案为2．函数g(x)=f(x)−x的零点的个数即函数y=f(x)的图象与直线y=x的交点个数，数形结合可得答案．本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，抽象函数的应用，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．15.答案：y=2x−1解析：本题考查利用导数计算函数的切线方程，注意导数的几何意义，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出其导数，计算可得f(1)与f′(1)的值，由直线的点斜式方程可得切线的方程，变形即可得答案．+1，解：根据题意，f(x)=lnx+x，则f′(x)=1x+1=2，则f(1)=ln1+1=1，f′(1)=11则切线的方程为y−1=2(x−1)，即y=2x−1；故答案为：y=2x−1．16.答案：2x −y −1=0解析：本题主要考查抛物线的性质与几何意义，根据条件求出直线AC 的斜率和AC 的中点坐标是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．根据抛物线的准线方程求出p ，设A ，B ，C 的坐标，根据|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且点B 在x 轴下方，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求出x 1+x 3=2，x 2=1，然后求出直线AC 的斜率和A ，C 的中点坐标，进行求解即可．解：抛物线的准线方程是x =−p2=−1，∴p =2， 即抛物线方程为y 2=4x ，焦点F(1,0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)， ∵|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列， ∴|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 即x 1+1+x 3+1=2(x 2+1)， 即x 1+x 3=2x 2， ∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴x 1+x 2+x 3=3，y 1+y 2+y 3=0， 则x 1+x 3=2，x 2=1，由y 22=4x 2=4，则y 2=−2或2(舍)，则y 1+y 3=2， 则AC 的中点坐标为(x 1+x 32,y 1+y 32)，即(1,1)，AC 的斜率k =y 1−y3x 1−x 3=y 1−y 3y 124−y 324=4y1+y 3=42=2，则直线AC 的方程为y −1=2(x −1)， 即2x −y −1=0， 故答案为：2x −y −1=0．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，{a 1+d +a 1+2d =7a 1+3d +a 1+4d +a 1+5d =18，解得a 1=2，d =1， ∴a n =2+(n −1)×1=n +1(2)S 3n =3n(a 1+a 3n )2=3n(2+3n+1)2=9n(n+1)2，∴1S 3n =29n(n +1)=29(1n −1n +1) ∴1S 3+1S 6+⋯+1S 3n =29[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)]=2n 9(n +1)解析：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式，考查裂项法，考查转化与分析运算的能力，属于中档题．(1)由等差数列{a n }中的a 2+a 3=7，a 4+a 5+a 6=18，即可求得其首项与公差，从而可得数列{a n }的通项公式；(2)可先求得S 3n ，再用裂项法即可求得答案．18.答案：解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，记该事件为A ，根据等可能事件的概率得到P(A)=C 52C 62=1015=23；-----------------(4分)(2)由已知数据，填写列联表得----------------------(6分)根据列联表中的数据，计算得随机变量K 2的观测值为 k =40×(1×15−5×19)220×20×6×34≈3.137，-----------------------(9分)由于3.137>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩优秀”与教学方式有关．-----------------------(10分)解析：(1)由题意根据等可能事件的概率计算即可； (2)由已知数据填写列联表，计算得K 2的观测值， 对照临界值得出结论．本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：证明：(1)因为PC =BC ，所以CE ⊥PB ，又因为平面ABCD ⊥平面PCD ，平面ABCD ∩平面PCD =CD ，BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面PCD ，即BC ⊥PD ，PD ⊥PC ，PC ∩BC =C ，所以PD ⊥平面PBC ，即PD ⊥CE 又因为PD ∩PB =P ， 即证CE ⊥平面PBD ．(2)取CD 中点O ，连结PO.因为△PCD 是等腰三角形， O 为CD 的中点，所以PO ⊥CD.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD.取AB 中点G ，连结OG ，由题设知四边形ABCD 所以PO ⊥OG ，OG ⊥DC ，如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(2√2,−2,0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，D(0,−2√2,0)，O(0,0，0)， G(2√2,0，0)．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,4,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面PAC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2x +4y =0n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0，令z =1，得n ⃗ =(√2,1,1).平面PCD 的法向量为OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0,0)， 设n ⃗ ，OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，所以cosα=|n ⃗⃗ ⋅OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， 由图可知二面角A −PC −D 为锐角，所以平面PAC 与平面PCD 所成二面角的大小为45°．解析：本题主要考查线面垂直的判断二面角的求法，属中档题．(1)由面面垂直的性质易得BC ⊥平面PCD ，进一步可证PD ⊥平面PBC ，即可证得； (2)先证PO ⊥平面ABCD ，再建立空间直角坐标系利用空间向量求二面角．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得{a =2ca =√32a 2=b 2+c 2.解得b =1．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，则k AP =yx 0+2，所以直线AP的方程为y=y0x0+2(x+2)．令x=0，可得y=2y0x0+2．同理可解得直线BP与y轴的交点N的纵坐标y N=−2y0x0−2．因为P(x0,y0)在椭圆上，所以x024+y02=1，即4y024−x02=1，所以S△AOM+S△BON=12|AO|⋅|OM|+12|BO|⋅|ON|=|OM|+|ON|≥2√|OM|⋅|ON|=2√|y M⋅y N|=2√2y0x0+2×−2y0x0−2=2√4y024−x02=2，当且仅当x0=0时等号成立．所以，当且仅当点P在短轴端点时，△AOM与△BOM面积之和的最小值为2．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(Ⅰ)利用已知条件列出方程组，求出短轴长，然后求解椭圆C的方程．(Ⅱ)设点P(x0,y0)，求出直线AP的方程为y=y0x0+2(x+2).求解M，N的坐标，表示出三角形的面积，利用基本不等式求解面积的最小值即可．21.答案：解：(Ⅰ)∵f′(x)=ax +x−(1+a)=x2−(1+a)x+ax=(x−1)(x−a)x，①当a≤0时，由x>0，若f′(x)<0，则0<x<1，故函数f(x)的单调减区间是(0,1)，函数f(x)的增区间是(1,+∞)．②当0<a<1时，若f′(x)<0，则a<x<1，故函数f(x)的单调减区间是(a,1)；单调增区间是(0,a)，(1,+∞)．③当a=1时，则f′(x)=(x−1)2x≥0，故函数f(x)的单调增区间是(0,+∞)；④当a>1时，若f′(x)<0，则1<x<a，函数f(x)的单调递减区间是(1,a)；函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，(a,+∞)．(Ⅱ)由于f(1)=−12−a ， 当a >0时，f(1)<0，此时f(x)≥0对定义域内的任意x 不是恒成立的．当a ≤0时，由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上的极小值，也是最小值为f(1)=−12−a ， 此时，f(1)≥0，解得a ≤−12， 故实数a 的取值范围是(−∞,−12]. 解析：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题． (Ⅰ)先求出函数f(x)的导数，通过讨论a 的范围，从而求出函数的单调区间；(Ⅱ)先求出f(1)=−12−a ，通过讨论a 的范围，结合函数的单调性，从而求出a 的范围．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0， 联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0， 解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)．(2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0，得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0， 设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4． 易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外，所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题． (1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，由f(x)≤3，可得|2x −1|+|x −2|≤3，∴①{x <121−2x +2−x ≤3，或②{12≤x <22x −1+2−x ≤3，或③{x ≥22x −1+x −2≤3．解①求得0≤x <12；解②求得12≤x <2；解③求得x =2． 综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0,2]． (Ⅱ)∵当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立， 即|x −2a|≤3−|2x −1|=4−2x ，故2x −4≤2a −x ≤4−2x ，即3x −4≤2a ≤4−x ．再根据3x −4的最大值为6−4=2，4−x 的最小值为4−2=2， ∴2a =2，∴a =1， 即a 的范围为{1}．解析：(Ⅰ)当a =1时，由f(x)≤3，可得①{x <121−2x +2−x ≤3，或②{12≤x <22x −1+2−x ≤3，或③{x ≥22x −1+x −2≤3.分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，即|x −2a|≤3−|2x −1|=4−2x ，化简得3x −4≤2a ≤4−x.再根据3x −4的最大值为2，4−x 的最小值2，可得2a =2，从而得到a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
南充市高2020届第二次高考适应性考试
数学试题(理科)参考答案及评分意见
一㊁选择题:
1.C
2.B
3.D
4.A
5.D
6.A
7.C
8.B
9.C 10.D 11.A 12.B 二㊁填空题:
13.12 14.1 15.3 16.(1,2)或(1,-2)
三㊁解答题:
17.解:(1)设{a n}的公差为d,由题设得
a n=1+(n-1)d 2分
因为a6=2a3,
所以1+(6-1)d=2[1+(3-1)d] 4分
解得d=1,
故a n=n. 6分
(2)由(1)得b n=2n.
所以数列{b n}是以2为首项,2为公比的等比数列, 8分
所以S n=2-2n+11-2=2n+1-2, 10分
由S m=62得2m+1-2=62,
解得m=5. 12分18.解:(1)m=190+1902=190. 4分
(2)抗倒伏易倒伏
8分矮茎154
高茎1016
(3)由于k2=45×(15×16-4×10)2
19×26×25×20≐7.287>6.635,因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关. 12分19.(1)证明:取BC中点M,连接PM,AM,
因为四边形ABCD为菱形且∠BAD=120°.
所以AM⊥BC,
因为PB=PC,所以PM⊥BC, 2分又AM∩PM=M,
所以BC⊥平面PAM,因为PA⊂平面PAM,
所以PA⊥BC. 4分同理可证PA⊥DC,
因为DC∩BC=C,
高三数学(理科)二诊答案 第1 页(共4页)。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数i+1i=()A. −2iB. 0C. 12i D. 2i2.已知集合A={1,3，√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=()A. 0或√3B. 0或3C. 1或√3D. 1或33.已知tanα=−12,π2<α<π，则sinα=()A. 2√55B. −√55C. −2√55D. √554.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？()A. 4.55尺B. 5.45尺C. 4.2尺D. 5.8尺5.已知等式(1−x+x2)3⋅(1−2x2)4=a0+a1x+a2x2+⋯+a14x14成立，则a2+a4+⋯+a14=()A. 0B. 5C. 7D. 146.过圆x2+y2=4外一点M(4,−1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是()A. 4x−y−4=0B. 4x+y−4=0C. 4x+y+4=0D. 4x−y+4=07.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y=f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a+b)<1,则b+1a+1的取值范围是()A. (15,13) B. (−∞,13)∪(5,+∞)C. (13,5) D. (−∞,3)8.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为√3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 4√33B. 4√3 C. 2√33D.2√39.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2a−b)cosC=ccosB，则内角C=()A. π6B. π4C. π3D. π210.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为()A. 4πB. 16πC.16π3D.32π311. 设双曲线C ：x 29−y 216=1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C交于点B ，则△AFB 的面积为( )A. 15B. 3215C. 1532 D. 641512. 已知函数f(x)=x +e x−a ，g(x)=ln(x +2)−4e a−x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使f(x 0)−g(x 0)=3成立，则实数a 的值为( ) A. −ln2−1 B. −1+ln2 C. −ln2 D. ln2 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−6，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则cos <a ⃗ ，b ⃗ >=______．14. 函数f(x)=cosx −√x 在[0,+∞)的零点个数为______．15. 已知函数f(x)=alnx −bx 2图象上一点(2,f(2))处的切线方程为y =−3x +2ln2+2，则a +b =______．16. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，A ，B ，D 为C 上互相不重合的三点，且|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|DF⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于E(3,0)，则B 的坐标为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 等差数列{a n }中，a 1=1，a 6=2a 3．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n ，记S n 为数列{b n }前n 项的和，若S m =62，求m ．18. 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． (1)求出易倒伏玉米茎高的中位数m ；的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，19. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =120°，PA =2，PB =PC =PD ，E 是PB 的中点． (1)证明：PA ⊥平面ABCD ； (2)设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值．20. 设点F 1(−c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为0．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y =kx +m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l ，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．21. 已知函数f(x)=12x 2+mx +lnx ．(1)若函数f(x)不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围； (2)若y =f(x)的两个极值点为x 1，x 2(x 1<x 2)，m ≤−3√22，求f(x 1)−f(x 2)的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =√5+√22t(t 为参数).在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为ρ=2√5sinθ． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P 坐标为(3,√5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 设函数f(x)=|x −1|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =4时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：i +1i =i +ii⋅i =i −i =0故选：B ．直接对复数的分母、分子同乘i ，然后化简即可求出所求．本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解题的关键i 2=−1，属于容易题． 2.答案：B解析：解：A ∪B =A ⇔B ⊆A ． ∴{1,m}⊆{1,3，√m}，∴m =3或m =√m ，解得m =0或m =1(与集合中元素的互异性矛盾，舍去)． 综上所述，m =0或m =3． 故选：B ．由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基础题． 3.答案：D解析：解：已知tanα=−12，∴cos 2α=11+tan 2α=45，∴sin 2α=15．又π2<α<π，∴sinα=√55，故选：D ．利用同角三角函数的基本关系，求出cos 2α 和sin 2α的值，再由π2<α<π，求出sinα的值． 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是一道基础题． 4.答案：A解析：解：如图，已知AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，AB 2−AC 2=BC 2=9，所以(AB +AC)(AB −AC)=9，解得AB −AC =0.9， 因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺， 故选：A ．由题意可得AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，运用勾股定理和解方程可得AB ，AC ，即可得到所求值．本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5.答案：D解析：解：由(1−x+x2)3⋅(1−2x2)4=a0+a1x+a2x2+⋯+a14x14成立，令x=1，代入得1=a0+a1+a2+⋯+a14，令x=−1，代入得27=a0−a1+a2−⋯+a14，相加得28=2(a2+a4+⋯+a14)，则a2+a4+⋯+a14=14故选：D．先令x=1，x=−1，联立可得．本题考查二项式赋值及其系数之间的关系，属于基础题．6.答案：A解析：解：设切点是P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则以P为切点的切线方程是：x1x+y1y=4，以Q为切点的切线方程是：x2x+y2y=4，∵点M(4,−1)在两条切线上，则4x1−y1=4，4x2−y2=4∴点P、Q的坐标满足方程：4x−y=4∴过两切点P、Q的直线方程是：4x−y−4=0．故选：A．设切点是P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则以P为切点的切线方程是：x1x+y1y=4，以Q为切点的切线方程是：x2x+y2y=4，由此能求出过两切点P、Q的直线方程．本题考查经过两个切点的直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的切线方程的性质的合理运用．7.答案：C解析：解：由图可知，当x>0时，导函数f′(x)>0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f(2a+b)<1，∴0<2a+b<4，∴b<4−2a，由0<b<4−2a，可得0<a<2，画出可行域如图．k=b+1表示点Q(−1,−1)与点P(x,y)连线的斜率，a+1；当P点在A(2,0)时，k最小，最小值为：13当P点在B(0,4)时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选C．先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．8.答案：B解析：解：由题意可知，三视图复原的几何体是放倒的正三棱柱，如图所示：，正三角形的边长为2，高为√3，正三棱柱的高为4，所以正三棱柱的体积为：12×2×√3×4=4√3，故选：B．通过三视图复原的几何体的特征，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可．本题主要考查了根据三视图还原实物图，考查了几何体体积的求法，是基础题．9.答案：C解析：解：由正弦定理得：2sinAcosC−sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosC=sin(B+C)=sinA，由于sinA≠0，故cosC=12，又0<C<π，所以C=π3．故选：C．由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2sinAcosC=sinA，结合sinA≠0，可求cos C，根据范围0<C<π，可求C的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：如图所示，过A作AE⊥平面BCD，垂足为E，则E为三角形BCD的外心，由题意可知，BE=√3，因为侧棱与底面成60°角，即∠ABE=60°，所以AE=3，Rt△OBE中，R2=3+(3−R)2，解可得R=2，则正三棱锥的外接球的体积V=4πR33=32π3．故选：D．由已知及线面角可求BE，AE，然后结合球的性质可求R，结合球体积公式可求．本题主要考查了三棱锥的外接球的体积的求解，解题的关键是球心的确定，属于中档试题．11.答案：B解析：解：a2=9，b2=16，故c=5，∴A(3,0)，F(5,0)，渐近线方程为y=±43x，不妨设BF的方程为y=43(x−5)，代入双曲线x29−y216=1，解得：B(175,−3215).∴S△AFB=12|AF|⋅|y B|=12×2×3215=3215．故选：B．根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=43(x−5)，代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．本题考查双曲线方程的运用，注意关键在求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．12.答案：A解析：解：令f(x)−g(x)=x+e x−a−1n(x+2)+4e a−x，令y=x−ln(x+2)，y′=1−1x+2=x+1x+2，故y=x−ln(x+2)在(−2,−1)上是减函数，(−1,+∞)上是增函数，故当x=−1时，y有最小值−1−0=−1，而e x−a+4e a−x≥4，(当且仅当e x−a=4e a−x，即x=a+ln2时，等号成立)；故f(x)−g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)；故x=a+ln2=−1，即a=−1−ln2．故选：A．令f(x)−g(x)=x+e x−a−1n(x+2)+4e a−x，运用导数求出y=x−ln(x+2)的最小值；运用基本不等式可得e x−a+4e a−x≥4，从而可证明f(x)−g(x)≥3，由等号成立的条件，从而解得a．本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．13.答案：12解析：解：根据题意，向量a⃗,b⃗ 满足(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=−6，且|a⃗|=1，|b⃗ |=2，则有(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=−7+2cos<a⃗，b⃗ >=−6，解可得：cos<a⃗，b⃗ >=12；故答案为：12根据题意，由数量积的计算公式可得(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−7+2cos <a ⃗ ，b ⃗>=−6，变形分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 14.答案：1解析：解：函数f(x)=cosx −√x 在[0,+∞)的零点的个数，即函数y =cosx 的图象(红线部分)和函数y =√x 的图象(蓝线部分)的交点个数， 如图所示：显然，函数y =cosx 的图象(红线部分)和函数y =√x 的图象(蓝线部分)在[0,+∞)的交点个数为1， 故答案为：1．方程转化为2个函数的图象的交点个数，数形结合可得结论．本题主要考查函数的两点个数的判断方法，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题． 15.答案：3解析：解：将x =2代入切线得f(2)=2ln2−4． 所以2ln2−4=aln2−4b①， 又f′(x)=ax −2bx ， ∴f′(2)=a 2−4b =−3②，联立①②解得a =2，b =1． 所以a +b =3． 故答案为：3．将(2,f(2))代入切线求出f(2)，再将切点坐标代入f(x)得方程①，再对原函数求导，进一步求出切点处导数并令其为−3，得方程②，联立①②求出a ，b 即可解决问题．本题考查了导数的几何意义，本题的关键在于利用切点满足曲线与切线方程，切点处的导数等于切线斜率列方程求解，注意计算要准确．属于基础题． 16.答案：(1,2)或(1,−2)解析：解：由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，准线方程为：x =−1设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 3)，|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，|DF|=x 3+1， 由|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列可得2(x 2+1)=x 1+x 3+2，所以x 2=x 1+x 32，所以线段AD 的中点的坐标(x 1+x 32,y 1+y 32)，因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于E(3,0)， 所以线段AD 的垂直平分线的斜率为k =y 1+y 32x 1+x 22−3=y 1+y 3x 1+x 3−6，又k AD =y 3−y1x 3−x 1， 所以y 3−y 1x 3−x 1⋅y 1+y 3x 1+x 3−6=−1，即4x 3−4x 1(x3−x 1)2−6(x 3−x 1)=−1，因为x 1≠x 3，所以可得x 1+x 3=2，所以x 2=x 1+x 32=1，B 在抛物线上，代入抛物线的方程可得y 22=4×1，焦点y 2=±2，所以B 的坐标为：(1,2)或(1,−2)． 故答案为：(1,−2)或(1,2)．设A ，B ，D 的坐标，由|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |、|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列可得三者的坐标之间的关系，进而可得线段AD 的中点坐标，由题意求出线段AD 的中垂线的斜率即AD 的斜率，由斜率之积为−1可得B 的横坐标代入抛物线的方程可得B 的纵坐标．本题考查等差数列的性质及抛物线的性质，属于中档题． 17.答案：解：(1)由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n =1+(n −1)d ， ∵a 6=2a 3，∴1+5d =2(1+2d)， 解得d =1，∴a n =n ，n ∈N ∗．(2)由(1)知，b n =2n =2⋅2n−1，∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴S n =2−2n+11−2=2n+1−2，由S m =62，可得2m+1−2=62， 解得m =5．解析：本题第(1)题先设等差数列{a n }的公差为d ，然后根据等差数列的通项公式代入a 6=2a 3，可得关于公差d 的方程，解出d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n }的通项公式，可发现数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式可得S n 的表达式，代入S m =62进行计算可得m 的值．本题主要考查等差数列和等比数列基本量的计算．考查了转化思想，方程思想，指数的运算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：(1)m =190+1902=190；(3)由于k 2=45×(15×16−4×10)219×26×25×20=7.287>6.635，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．解析：(1)根据茎叶图可求易倒伏玉米茎高的中位数； (2)根据茎叶图的数据，即可完成列联表：(3)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了中位数的求法，考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：(1)证明：取BC 中点M ，连接PM ，AM ， 因为四边形ABCD 为菱形且∠BAD =120°． 所以AM ⊥BC ，因为PB =PC ，所以PM ⊥BC ， 又AM ∩PM =M ，所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ， 所以PA ⊥BC ．同理可证PA ⊥DC ， 因为DC ∩BC =C ， 所以PA ⊥平面ABCD ．(2)解：由(1)得PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ∩平面ABCD =AF ． 所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离．过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为AB =2，此时AF 必过DC 的中点， 因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1．以A 为坐标原点，直线AF ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则A(0,0,0),C(√3,1,0),E(0,1,1),B(0,2,0)，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)， 平面PAF 的一个法向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，设平面AEC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3x +y =0AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =y +z =0， 取y =1，则n ⃗ =(−√33,1,−1)，cos <n ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√217， 所以sin <n ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√77，所以面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值为2√77．解析：(1)先证明BC ⊥平面PAM ，可得PA ⊥BC ，同理可证PA ⊥DC ，进而可证PA ⊥平面ABCD ； (2)依题意，以A 为坐标原点，直线AF ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式即可得解．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查推理能力及计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，则F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +c,y)，F 2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −c,y)，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−c 2=a 2−1a 2x 2+1−c 2，x ∈[−a,a]，由题意得，1−c 2=0⇒c =1⇒a 2=2， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)将直线l 的方程y =kx +m 代入椭圆C 的方程x 2+2y 2=2中，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0. 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=16k 2m 2−4(2k 2+1)(2m 2−2)=0，化简得：m 2=2k 2+1. 设d 1=|F 1M|=√k 2+1，d 2=|F 2N|=√k 2+1， 当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1−d 2|=|MN|×|tanθ|， ∴|MN|=1|k|⋅|d 1−d 2|， ∴S =12⋅1|k|⋅d 1−d 2|⋅(d 1+d 2)=2|m|k 2+1=4|m|m 2+1=4|m|+1|m|，∵m 2=2k 2+1，∴当k ≠0时，|m|>1，|m|+1|m|>2， ∴S <2．当k =0时，四边形F 1MNF 2是矩形，S =2. 所以四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2．解析：(1)利用PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为0，可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−c 2=a 2−1a 2x 2+1−c 2，x ∈[−a,a]，即可求椭圆C 的方程；(2)将直线l 的方程y =kx +m 代入椭圆C 的方程中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d 1=|F 1M|，d 2=|F 2N|.当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1−d 2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F 1MNF 2面积S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当k =0时，四边形F 1MNF 2是矩形，即可得出S 的最大值．本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21.答案：解：(1)依题意，x >0，且f′(x)=x +m +1x =x 2+mx+1x，记g(x)=x 2+mx +1，①若△=m 2−4≤0，即−2≤m ≤2，则g(x)≥0恒成立，f′(x)≥0恒成立，符合题意； ②若△=m 2−4>0，即m >2或m <−2，当m >2时，x 2+mx +1=0有两个不等的负根，符合题意， 当m <−2时，x 2+mx +1=0有两个不等的正根， 则在两根之间函数f(x)单调递减，不符合题意． 综上可得m ≥−2．(2)由题意得x 1，x 2为g(x)=x 2+mx +1的两个零点，由(1)得x 1+x 2=−m ，x 1x 2=1，则f(x 1)−f(x 2)=12x 12+mx 1+ln x 1−(12x 22+mx 2+ln x 2) =12(x 12−x 22)+m(x 1−x 2)+ln x 1−ln x 2 =12(x 12−x 22)−(x 1+x 2)(x 1−x 2)+ln x 1−ln x 2 =lnx 1x 2−12(x 12−x 22) =ln x 1x 2−12⋅x 12⋅x 22x 1x 2 =ln x 1x 2−12(x 1x 2−x 2x 1).记x 1x 2=t ，由x 1<x 2且m ≤−3√22，知0<t <1，且f(x 1)−f(x 2)=ln t −12(t −1t )， 记φ(t)=ln t −12(t −1t )， 则φ′(t)=2t−t 2−12t 2=−(t−1)22t 2<0，故φ(t)在(0,1)上单调递减． 由m ≤−3√22，知(x 1+x 2)2≥92，从而x 12+x 22≥52，即x 12+x 22x1x 2≥52，故t +1t ≥52，结合0<t <1，解得0<t ≤12，从而φ(t)的最小值为φ(12)=34−ln2，即f(x 1)−f(x 2)的最小值为34−ln 2．解析：(1)先求出导数，再利用导数性质对m 分情况讨论来求解；(2)可先对f(x 1)−f(x 2)进行变形，再将问题转化为单变量函数问题来解决．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值，导数在研究函数性质中的应用，正确求导，确定函数的最值是关键，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 22.答案：解：(Ⅰ)由{x =3−√22ty =√5+√22t 得直线l 的普通方程为x +y −3−√5=0--------2分 又由ρ=2√5sinθ得ρ2=2√5ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+(y −√5)2=5；---------5分 (Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−√22t)2+(√22t)2=5，即t 2−3√2t +4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3√2又直线l 过点P(3,√5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2.------------------10分．解析：(Ⅰ)先利用两方程相加，消去参数t 即可得到l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程．(Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值． 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 23.答案：解：(1)当a =4时，不等式f(x)≥5，即|x −1|+|x −4|≥5， 等价于{x <1−2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或 {x >42x −5≥5，解得：x ≤0或x ≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x ≤0，或x ≥5 }. …(5分)(2)因为f(x)=|x −1|+|x −a|≥|(x −1)−(x −a)|=|a −1|.(当x =1时等号成立) 所以：f(x)min =|a −1|.…(8分) 由题意得：|a −1|≥4，解得 a ≤−3，或a ≥5. …(10分)解析：(1)不等式即|x −1|+|x −4|≥5，等价于{x <1−2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或 {x >42x −5≥5，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．(2)因为f(x)=|x −1|+|x −a|≥|a −1|，由题意可得|a −1|≥4，与偶此解得 a 的值． 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题。
南充市高2022届高考适应性考试（二诊）理科数学参考答案及评分细则一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112CBACCDBBDCAD二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.614.15.202216.π三.解答题17.（1）选择①：条件即sin cos b C B =，由正弦定理可知，sin sin cos B C C B =，........................................................................2分在ABC 中，(),0,B C π∈，所以sin 0,sin 0B C ≠≠，所以sin cos B B =，且cos 0B ≠，即tan B =3B π=；..........................................5分选择②：条件即12sin cos 2ac B B ⨯=，即sin cos B B =，.....................................................................................................................2分在ABC 中，()0,B π∈，所以sin 0B ≠，则cos 0B ≠，所以tan B =所以3B π=.......................................................................................................5分（2）由（1）知，3B π=，b =由余弦定理知：2222cos3b ac ac π=+-.....................................................................................7分所以22212()3a c ac=a c ac =+-+-得22()1233()2a c a c ac ++-=≤.....................................................................................................10分所以()a c +≤a=c 时，等号成立 (11)所以求ABC 周长的最大值为.........................................................................................12分18.（1）设应聘者甲未能参与面试为事件A ，则03012133222220()1(1)()(1)(333327P A C C =----=..................................................................4分（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4.()3110327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，......................................................................................................6分()2131221C 339P X ⎛⎫==⋅⨯= ⎪⎝⎭，............................................................................................7分()22321312C (1)3349P X ⎛⎫==⋅⨯⨯-= ⎪⎝⎭，..............................................................................8分()322323213113(1)C 3433427P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.........................................................9分()333234C 3429P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，.........................................................................................10分则X 的分布列为X01234P1272919112729.................................................................................11分故()121112230123427992799E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.........................................................12分19.（Ⅰ）如图所示，设点F 是棱AD 的中点，连接,,PF EF BD ，由PA PD =及点F 是棱AD 的中点，可得PF AD ⊥，又二面角P AD C --为直二面角，故PF ⊥平面ABCD ，............................................2分又因为AC ⊂平面ABCD ，所以PF AC ⊥，又因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，而EF 是ABD △的中位线，所以//EF BD ，可得EF AC ⊥，又由PF EF F = ，且PF ⊂平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，所以AC ⊥平面PEF ，..............................................................................................................4分又因为PE ⊂平面PEF ，所以PE AC ⊥．...................................................................................................................6分（Ⅱ）解法一：设点G 是AC 与EF 的交点，由（Ⅰ）可知AC ⊥平面PEF ，又,PG EG 均在平面PEF 内，从而有,PG AC EG AC ⊥⊥，故PGE ∠为二面角P AC B --的平面角，因为PA AB =，所以PAD △为等边三角形．不妨设菱形ABCD 的边长为2,a GE b =．则在Rt PFG 中，3,PF a FG b ==，于是22(3)PG a b =+在Rt PFE 中，22(3)(2)PE a b =+故225cos cos 3b PGE PGF a b ∠=-∠==+............................................................9分整理得2234a b =，32b a =．因为PF ⊥平面ABCD ，所以PEF ∠为直线PE 与平面ABCD 所成的角．则3tan 12PF PEF EF b∠==，.........................................................................................11分所以直线PE 与平面ABCD 所成的角为45︒......................................................................12分解法二：设点O 是AC 与BD 的交点，以OA 所在直线为x 轴OB 所在直线为y 轴，过点O 垂直平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设2,2OA OB b ==，则(2,0,0),(2,0,0)A C -，2(1,33)P b b -+，则2(4,0,0),(1,,33)CA AP b b ==--+，设平面PAC 的法向量为(,,)m x y z =，则00m AP m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即233040x by b z x ⎧⎪--++=⎨=⎪⎩，取1z =，2330,b m b ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，..............................................................................................8分又因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，由二面角的P AC B --正切值为2-，则5|cos ,|5||||m nm n m n ⋅〈〉==解得b =，......................................................................................................................9分则(1,P E，PE =-，则2|cos ,|2||||PE n PE n PE n ⋅〈〉===，.....................................................................11分所以直线PE 与平面ABCD 所成的角为45︒．......................................................................12分20.（1）由题意可得：1122a c ab ⎧⎪⎪⎨=⎪=⎪⎩，所以2a =，b =故椭圆的标准方程为22143x y +=．................................................................................3分（2）证明：①由题意知，(1,0)F -，设直线MN 方程：1x my =-.1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(4,)E y -，联立方程221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my +--=，所以1221220634934m y y m y y m ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，................................................................................................5分所以121223()my y y y -=+，又2124EN y y k x -=+，所以直线EN 方程为：2112(4)4y y y y x x --=++，令0y =，则12121212121213()(4)3352444422y y y x my y y x y y y y y y ++=--=--=-+=+---=---．综上：直线EN 过定点5(,0)2P -．...............................................................................7分②由（1）中()214410m ∆=+>，所以m R ∈，又12||y y -所以1215||||24OENS OP y y ∆=-==.................................................8分令t =1t ，则15()13f t t t=+，令2221131()3,()3t g t t g t t t t -'=+=-=，..........................................................................9分当1t ≥时，()0g t '≥，故1()3g t t t=+在[1，)∞+上单调递增，则15()13f t t t=+在[1，)∞+上单调递减，...............................................................................10分即215151313OEN t S t t t==++ 在[1，)∞+上单调递减，所以1t =时，()154OEN max S =．.............................................................................................12分21.解：(1)当0a >时，()=ln 1(0)af x x x x¢-->得(1)=1f a ¢-，又(1)=0f .所以()f x 在(1,(1))f 的切线方程为：(1)(1)y a x =-×-.即(1)10a x y a --+-=；.............................................................................................3分（2）()=ln 1(0)af x x x x¢-->令()=ln 1=()af x x p x x¢--，由于0a >，得21()=0a p x x x¢--<.所以()f x ¢于()0,+∞单调递减........................................................................................5分又11()ln 10f ae ae e e ⎛⎫'=-+=> ⎪⎝⎭，[](1)ln(1)101a f a a a '+=-++<+，所以存在唯一01(,1)x a e∈+，使得0()0f x '=.所以()f x 于()00,x 单调递增，()0,+x ∞单调递减.0()=()f x f x 极大值，无极小值.所以()f x 仅有一个极值......................................................7分（3）任意(0,)x Î+¥，()f x a b £+，则[]max ()a b f x +³.由（2）知[]0000max ()=()ln ln f x f x a x x x =-×.又000()=ln 10af x x x ¢--=，则000ln +a x x x =×................................................8分得0000000000000ln ln (ln )ln ln (ln )=h()b a x x x a x x x x x x x x x x ³-×-=+×--+转化为0min h()b x ³...................................................................................................9分()2000000h()=ln ln x x x x x x --0(0)x >()200000h ()=ln +ln 2=(ln 2)(ln 1)x x x x x ¢-+×-当()00h x '<时，02ln 1x -<<，021(,)x e eÎ；所以0()h x 于210,e⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，21(,)e e单调递减，(,)e +¥单调递增...............10分当021(0,)x e Î时，()()220000000000h()=ln ln =ln (ln 1)x x x x x x x x x x ---+由于0(ln 1)1x +<-，则00(ln 1)0x x -×+>，又()200ln 0x x >.()200000h()=ln (ln 1)0x x x x x -+>当021(,)x eÎ+¥时，[]0min h()=h()=x e e -综上：当0(0,)x Î+¥时，[]0min h()=h()=x e e -得b e ³-.故[),b e Î-+¥.........................................................................................................12分22.（1）由2cos 2x y sin θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2cos 2x y sin θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式平方后相加得(224x y +=，..................................................................................3分∴曲线C是以)为圆心，半径等于2圆，令cos ,x y sin ρθθ==，代入并整理得2cos 10ρθ--=，即曲线C的极坐标方程是2cos 10ρθ--=...................................................................5分（2）直线的参数方程是12(2x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数）,....................................................................6分因为点,A B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为1t 和2t ，圆化为直角坐标系的方程(224x y -+=，以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到210t -=①，...................................8分因为1t 和2t是方程①的解，从而12121t t t t ∆>⎧⎪+⎨⎪=-⎩,........................................................................9分1211OA OB t t ∴==-=........................................................................................................10分23.（1）若关于x 的不等式()f x a ≤的解集不是空集，只需()min a f x ≥即可..............................................................................................................2分其中1717()=24444f x x x x x ⎛⎫=-++≥--+ ⎪⎝⎭，当且仅当7144x -≤≤时，等号成立.......................................................................................4分所以实数a 的取值范围为[)2,+∞..........................................................................................5分（2）由（1）知[]min ()2f x t ==.由柯西不等式得：()()2222211222m n ⎡⎤≤++=++⎢⎥⎣⎦................................7分0，即1m =，12n =时等号成立....................................................................................................8分因为0m >，0n >，且22m n +=所以28≤......................................................................................................9分≤................................................................................................10分。
2020届四川省南充市高三第二次高考适应性考试数学（理）试题一、单选题1．复数1i i+=（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i【答案】C 【解析】略2．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3【答案】B 【解析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.3．已知1tan 2α=-，2παπ<<，则sin α=（ ）A ．B ．5-C ．D 【答案】D【解析】根据同角三角函数基本关系，得到cos 2sin αα=-，再由22sin cos 1αα+=，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】 由sin 1tan cos 2ααα==-，得cos 2sin .αα=- 又因为22sin cos 1αα+=， 所以22sin 4sin 1αα+=，即21sin .5α=因为2παπ<<，所以5sin α=. 故选D. 【点睛】本题主要考查由正切求正弦的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8【答案】B【解析】如图，已知10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -== ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ， ∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩. ∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.5．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A ．0B ．5C ．7D ．13【答案】D【解析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】由2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 可知：令0x =，得0011a a ⇒==；令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =++++++++⇒=L L ； 令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+L L ，(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=L L ，而01a =，所以241413a a a +++=L .故选：D 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力. 6．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --= B ．440x y +-= C ．440x y ++= D ．440x y -+=【答案】A【解析】过圆222x y r +=外一点(,)m n ，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为20mx ny r +-=，故选A ．7．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53) B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C ．(1,53)D ．(,3)-∞【答案】C【解析】先从函数单调性判断2a b +的取值范围，再通过题中所给的,a b 是正数这一条件和常用不等式方法来确定11b a ++的取值范围.【详解】由()y f x '=的图象知函数()f x 在区间()0,∞+单调递增，而20a b +>，故由()(2)14f a b f +<=可知24a b +<.故1421725111ba a a a +-+<=-+<+++， 又有11712133322b b b b a ++>=-+>+--，综上得11b a ++的取值范围是(1,53). 故选：C 【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.8．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．3C 23D ．3【答案】B【解析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．9．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得． 【详解】∵(2)cos cos a b C c B -=，由正弦定理可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=， 三角形中sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．10．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π【答案】D【解析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得23333BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ， 则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．11．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ） A ．3215B ．6415C ．5D ．6【答案】A【解析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A 、右焦点F 的坐标，再求出过点F 与C 的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程可知中：3,45a b c ==∴==，因此右顶点A 的坐标为(3,0)，右焦点F 的坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为：43y x =±，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F 作平行C 的一条渐近线43y x =的直线与C 交于点B ，所以直线FB 的斜率为43，因此直线FB 方程为：4(5)3y x =-，因此点B 的坐标是方程组：224(5)31916y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解，解得方程组的解为：1753215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1732(,)515B -，所以AFB △的面积为：13232(53)21515⨯-⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.12．已知函数()x af x x e-=+，()()ln 24a xg x x e-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ） A ．ln21-- B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 2【答案】A【解析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+2）+4e a ﹣x ， 令y=x ﹣ln （x+2），y′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln2时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：A ．二、填空题13．已知向量,a b rr 满足(2)()6a b a b +⋅-=-rrrr，且||1,||2a b ==r r，则cos ,a b <>=r r_________． 【答案】12【解析】由数量积的运算律求得a b ⋅r r，再由数量积的定义可得结论．【详解】由题意222(2)()21226a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=-r r r r r rrr rr，∴1a b ⋅=r r ，即cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=r r r r r r ，∴1cos ,2a b <>=r r ．故答案为：12．【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．14．函数()cos f x x =[0,)+∞的零点个数为_________.【答案】1【解析】本问题转化为曲线cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】问题函数()cos f x x =在[0,)+∞的零点个数，可以转化为曲线cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞交点个数问题.在同一直角坐标系内，画出函数cos ,y x y ==([0,))x ∈+∞的图象，如下图所示：由图象可知：当[0,)x ∈+∞时，两个函数只有一个交点. 故答案为：1 【点睛】本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想. 15．已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，则a b +=_______．【答案】3【解析】求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得,a b ． 【详解】 由题意()2af x bx x'=-， ∵函数图象在点(2,(2)f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，∴432ln 2462ln 22ab a b ⎧-=-⎪⎨⎪-=-++⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，∴3a b +=． 故答案为：3． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，16．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B D 为C 上互相不重合的三点，且||AF uuu r、||BF uuu r 、||DF uuu r成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为_______.【答案】(1,2)或(1,2)-【解析】设出,,A B D 三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线2:4C y x =的准线方程为：1x =-，设112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y ，由抛物线的定义可知：11||(1)1AF x x =--=+u u u r ，22||(1)1BF x x =--=+u u u r，33||(1)1DF x x =--=+u u u r ，因为||AF uuu r、||BF uuu r 、||DF uuu r 成等差数列，所以有2||BF =u u u r ||DF uuu r ||AF +u u u r ，所以1322x x x +=，因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，所以EA ED =，因此有22111333964964x x x x x x =⇒-++=-++，化简整理得：131313()(2)0x x x x x x -+-=⇒=或132x x +=.若13x x =，由1322x x x +=可知；123x x x ==，这与已知矛盾，故舍去； 若132x x +=，所以有13212x x x +==，因此2222442y x y ==⇒=±. 故答案为：(1,2)或(1,2)- 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.三、解答题17．等差数列{}n a 中，1631,2a a a ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n S 为数列{}n b 前n 项的和，若62m S =，求m ．【答案】（1）n a n =（2）5m =【解析】（1）由基本量法求出公差d 后可得通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求得n S ，可求得m ． 【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题设得1(1)n a n d =+-因为632a a =，所以1(61)2[1(31)]d d +-=+- 解得1d =， 故n a n =．（2）由（1）得2nn b =．所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222212n n n S ++-==--，由62m S =得12262m +-=， 解得5m =． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，解题方法是基本量法． 18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数m ； （2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）190（2）见解析（3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．【解析】（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；（2）由茎叶图可得列联表；（3）由列联表计算2K可得结论．【详解】解：（1）1901901902m+==．（2）（3）由于2245(1516410)7.287 6.63519262520k⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．【点睛】本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键． 19．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120,2,,BAD PA PB PC PD E ∠=︒===是PB 的中点.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求面PAF 与面EAC 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】（1）取BC 中点M ，连接,PM AM ，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，结合垂线段的性质可以确定点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1.以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）证明：取BC 中点M ，连接,PM AM ， 因为四边形ABCD 为菱形且120BAD ∠=︒. 所以AM BC ⊥，因为PB PC =，所以PM BC ⊥， 又AM PM M =I ，所以BC ⊥平面PAM ，因为PA ⊂平面PAM ， 所以PA BC ⊥. 同理可证PA DC ⊥，因为DC BC C =I ， 所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAF ⊥平面ABCD ，平面PAF ⋂平面ABCD AF =. 所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离.过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为2AB =，此时AF 必过DC 的中点，因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面PAF 的距离最大，最大值为1. 以A 为坐标原点，直线,,AF AB AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,1,1),(0,2,0)A C E B所以(0,1,1),(0,2,0)AC AE AB ===u u u r u u u r u u u r平面PAF 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u u v r即0,0,y y z +=+=⎪⎩ 取1y =，则(1)3n =--r，cos ,7||||n AB n AB n AB ⋅<>==⋅u u u r r u u u r ru u u r r ，所以sin ,n AB <>==u u u r r ，所以面PAF 与面EAC. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11xC y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12•PF PF u u u v u u u u v的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）2.【解析】（1）利用12•PF PF u u u v u u u u v的最小值为0，可得2222221221•1a PF PF x y c x c a-=+-=+-u u u v u u u u v ，[],x a a ∈-，即可求椭圆C 的方程；（2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，0∆=即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到11d F M =，22d F M =．当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，即可得到四边形12F MNF 面积S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，即可得出S 的最大值． 【详解】（1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+u u u v ，()2,F P x c y =-u u u u v，2222221221•1a PF PF x y c x c au u u v u u u u v -∴=+-=+-，[],x a a ∈-，由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，∴椭圆C 的方程为22x y 12+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2222x y +=中，得()222214220k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()222216421220k m k m ∆=-+-=， 化简得：2221m k =+．设1121k m d F M k -+==+，2221k m d F M k +==+，当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，121=MN d d k∴⋅-， ()12122211=21m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+，2221m k =+Q ，22244=111m m S k m m m∴==+++∴当0k ≠时，1m >，12m m+>， 2S <∴．当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =． 所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2． 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想． 21．已知函数21()ln 2f x x mx x =++.（1）若函数()f x 不存在单调递减区间，求实数m 的取值范围； （2）若函数()y f x =的两个极值点为()1212x x x x <，2m ≤-，求()()12f x f x -的最小值.【答案】（1）[)2+-∞，（2）3ln 24- 【解析】分析：（1）先求导，再令()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，得到()1x m 0,x∞+≥-+在上恒成立，利用基本不等式得到m 的取值范围.(2)先由()2110x mx f x x m x x++=++=='得到1212 ,1x x m x x +=-=，再求得()()112122211ln2x x x f x f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再构造函数()1211t,g t lnt t 0t 1,2t x x ⎛⎫==--<< ⎪⎝⎭令（）再利用导数求其最小值. 详解：（1）由函数()21ln 2f x x mx x =++有意义，则()0,0+x ∞>即定义域为，由()1,f x x m x=++'且()f x 不存在单调递减区间，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，()1x m 0,x∞∴+≥-+在上恒成立1x 0,x 2,x 12x>+≥==Q 当且仅当时取到最小值m 2m 2∴-≤≥-恒成立，解得[)m 2+∞∴-的取值范围为，（2）由()1知()()()1f x 0,,f x x m x∞+='++定义域为， 令()2110x mx f x x m x x++=++=='，即210x mx ++=由()f x 有两个极值点1212,(0)x x x x << 故12,x x 为方程210x mx ++=的两根， 1212,1x x m x x ∴+=-=，∴ ()12m x x =-+，22121221,x x x x x x ==则()()221211122211ln ln 22f x f x x mx x x mx x ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭()()221121221ln 2x x x m x x x =-+-+ ()()22221121221ln 2x x x x x x =---+ ()2211221ln2x x x x =-- 1122211ln 2x x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由()1122110,,ln ,01,2x x x t g t t t t x t ⎛⎫<<==--<< ⎪⎝⎭令则 由()211122g x t t =-+' ()22102t t -=-<，则()()0,1g t 在上单调递减m ≤Q 又，即()12x x -+≤12x x ∴+≥()2221212121221192222x x x x x x x x t x x t ∴+=++=++=++≥ 152t t ∴+≥122t t ∴≥≤或由01t <<知102t <≤()11113ln 2ln222224g x g ⎛⎫⎛⎫∴≥=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上所述，()()12f x f x -的最小值为3ln24-. 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出()()112122211ln2x x x f x f x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,其二是构造函数()1211t,g t lnt t 0t 1,2t x x ⎛⎫==--<< ⎪⎝⎭令（）再利用导数求其最小值. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3,5)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 【答案】（1）（2）32【解析】试题分析：（1）由加减消元得直线l 的普通方程,由222sin ,y x y ρθρ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2,再根据韦达定理可得结果试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1+t 2=3又直线l 过点P，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．23．设函数()()1f x x x a a R =-+-∈. （1）当4a =时，求不等式()5f x ³的解集； （2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或5}x ≥；（2）3a ≤-或5a ≥.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得()f x 最小值，再解含绝对值不等式可得a 的取值范围.试题解析：（1）145x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤或5x ≥.故不等式()5f x ≥的解集为{|0x x ≤或5}x ≥. （2）因为：()()()111f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以()min 1f x a =-，由题意得：14a -≥，解得3a ≤-或5a ≥.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
