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拉普拉斯变换题库(共7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--六．拉普拉斯变换㈠选择㈡填空1.)(2)(t t f δ=的拉普拉斯变换是_______________2.)1()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________.3.)2()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________.4.t e t t f 22)(+=的拉普拉斯变换是_______________.5.)(5)(2t e t f t δ+=的拉普拉斯变换是_______________6.)2()(2-=t u e t f t 的拉普拉斯变换是________________.7.k e t t f kt n ()(=为实数)的拉普拉斯变换是__________________.8.t e t f t 3sin )(2-=的拉普拉斯变换是__________________.9.t e t f 2)(-=的拉普拉斯变换是_________________.10.t e t f 2)(=的拉普拉斯变换是__________________。
11.t t f =)(的拉普拉斯变换是________________12.t te t f -=)(的拉普拉斯变换是____________________.13.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是_____________.14.at t f sin )(=的拉普拉斯变换是_________________.15.t t t f cos sin )(=的拉普拉斯变换是___________________.16. ()()sin f t u t t =的拉普拉斯变换是________________.17. ()sin(2)f t t =-的拉普拉斯变换是________________.18.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是________________.19.t t f 2sin )(=的拉普拉斯变换是_______________.20.t e t f t sin )(-=的拉普拉斯变换是_________________.21.t e t f t cos )(=的拉普拉斯变换是______________.22.t e t t f 2)1()(-=的拉普拉斯变换是________________.23.t t t f cos 32sin 5)(-=的拉普拉斯变换是_________________.24.)(3sin 2)(t u t t f -=的拉普拉斯变换是_______________.25.)(3)(t t t f δ+=的拉普拉斯变换是___________________.26.t te t f -=1)(的拉普拉斯变换是__________________.27.)53()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_______________. 28.tt t f sin )(=的拉普拉斯变换是__________________. 29.t e t t f )()(δ=的拉普拉斯变换是_____________.30.t t t f sin )(=的拉普拉斯变换是______________. 31.932)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是___________________. 32.2)(+=s s s F 的拉普拉斯逆变换是_______________. 33.ss F 1)(=的拉普拉斯逆变换是_________________. 34.11)(-=s s F 的拉普拉斯逆变换是_________________. 35.11)(+=s s F 的拉普拉斯逆变换是___________________. 36.21)(ss F =的拉普拉斯逆变换是________________. 37.11)(2+=s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 38.2)1(1)(+=s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 39.11)(2-=s s F 的拉普拉斯逆变换是_________________. 40.se s F s2)(-=的拉普拉斯逆变换是____________________. 41.31)(ss F =的拉普拉斯逆变换是________________.42.91)(2+=s s F 的拉普拉斯逆变换是______________ 43.4)(2+=s s s F 的拉普拉斯逆变换是_______________. 44.41)(2+-=s s s F 的拉普拉斯逆变换是____________. 45.41)(2--=s s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 46.42)(s s F =的拉普拉斯逆变换是_______________. 47.51)(+=s s F 的拉普拉斯逆变换是______________. 48.2)(-=s s s F 的拉普拉斯逆变换是_______________. 49.)3)(1(2)(-+-=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 50.432)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是__________________. 51.61)(2-++=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是____________________. 52.61)(2--+=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 53.161)(4-=s s F 的拉普拉斯逆变换是____________________. 54.23)(se s F s-=的拉普拉斯逆变换是__________________. 55.)1(1)(22+=s s s F 的拉普拉斯逆变换是__________________. 56.)2)(1(3)(+-=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是_________________ 57.651)(2++-=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是__________________。
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
第4章拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.6本章习题全解4.1 求下列函数的拉普拉斯变换（注意：为变量，其它参数为常量）。
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）解：（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）(15)(16)(17)(18) ()(19)(20)(21)（22）（23）（24）4.2 已知，求下列信号的拉普拉斯变换。
（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）所以4.3 已知信号的拉普拉斯变换如下，求其逆变换的初值和终值。
（1）（2）（3）（4）解（1）初值：终值：（2）初值：终值：（3）初值：终值：（4）初值：终值：4.4 求题图4.4所示信号的单边拉普拉斯变换。
题图4.4解（1）所以根据微分性质所以注：该小题也可根据定义求解，可查看（5）小题（2）根据定义（3）根据（1）小题的结果再根据时移性质所以根据微分性质得（4）根据定义注：也可根据分部积分直接求取（5）根据单边拉氏变换的定义，本小题与（1）小题的结果一致。
（6）根据单边拉氏变换的定义，在是，对比（3）小题，可得4.5 已知为因果信号，，求下列信号的拉普拉斯变换。
（1）（2）（3）（4）解：（1）根据尺度性质再根据s域平移性质（2）根据尺度性质根据s域微分性质根据时移性质（3）根据尺度性质再根据s域平移性质（4）根据时移性质再根据尺度性质本小题也可先尺度变化得到，再时移单位，得到结果4.6 求下列函数的拉普拉斯逆变换。
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）{} =（15）{} =（16）{}=（17）{}=（18）{}=（19）{}=（20）{}=（21）{}=（22）{}=(23) {}=(24) ()=4.7 求如题图4.7所示的单边周期信号的拉普拉斯变换。
第四章拉普拉斯变换第一题选择题1．系统函数H（ s）与激励信号X（ s）之间B。
A、是反比关系；B、无关系； C 、线性关系；D、不确定。
2．如果一连续时间系统的系统函数H(s) 只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t) 应是 B。
A、指数增长信号 B 、指数衰减振荡信号 C 、常数 D 、等幅振荡信号3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的A。
A、左半平面B、右半平面C、虚轴上D、虚轴或左半平面4．如果一连续时间系统的系统函数H(s) 只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是B。
A、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数 D 、等幅振荡信号5．一个因果稳定的连续系统，其H( s) 的全部极点须分布在复平面的A。
A 左半平面B右半平面C虚轴上D虚轴或左半平面6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是 D 。
A 指数增长信号B指数衰减信号C常数D等幅振荡信号7．如果一连续时间系统的系统函数H(s) 只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是DA、指数增长信号 B 、指数衰减振荡信号C、常数 D 、等幅振荡信号8．如果系统函数 H(s) 有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统B 。
A 稳定B 不稳定C 临界稳定D 无法判断稳定性9．系统函数 H( s) 是由 D决定的。
A 激励信号E(s) B响应信号R(s) C激励信号E(s) 和响应信号R(s) D系统。
10．若连续时间系统的系统函数H(s) 只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是B。
A 指数增长信号B指数衰减信号C常数D等幅振荡信号11、系统函数H（s）与激励信号X（s）之间BA、是反比关系； B 、无关系； C 、线性关系；D、不确定。
12．关于系统函数 H(s) 的说法，错误的是C。
A 是冲激响应 h(t)的拉氏变换 B决定冲激响应 h(t) 的模式 C 与激励成反比 D 决定自由响应模式13．若某连续时间系统的系统函数H(s) 只有一个在原点的极点，则它的h(t) 应是 C 。
第八章 拉普拉斯变换一、 判断题1．Laplace 变换本质是傅立叶变换。
（ ） 2．任意函数的拉普拉斯变换都存在。
（ ）3． )3sin(π-t 和)3()3sin(ππ--t u t 的拉普拉斯变换结果相同。
4．可以通过计算1+s s 在1-=s 处留数得到1+s s的拉普拉斯逆变换。
（ ） 5．可以通过计算st s e s e 1+ 在1-=s 处留数得到1+s e s的拉普拉斯逆变换。
（ ） 6．用拉普拉斯变换求微分方程时可直接求出满足初始条件的解。
（ ）二、 选择题（2）=-)]4[cos(πt L （ ）（A ）11222++s s （B ）11222+-s s （C ）s e s s 421122π-++ （D ）s e s s 421122π-+- (3) =⎰-]d sin [03ttt t eL （ ）（A ）1)3(112+-s s （B ）1)3(112++s s （C ）1)3(112++-s s （D ）1)3(112+--s s (4) =⎰-]d sin [L 03tt t t e t（ ）（A ）1)3(101231222+-++-s s s s （B ）1)3(101231222+-++s s s s )()]([),()()1(0=-=t f t t t f L 则设δπ2)()()(1)(00D eC e B A st st -（C ）1)3(101231222++++-s s s s （D ）1)3(101231222++++s s s s (5) 函数1)1(22++s s 的拉普拉斯逆变换为（ ） （A ）t e t t cos 2)(--δ （B ）t t t sin 2cos 2)(--δ （C ）t e t t sin 2)(--δ (D)ite i 21- (6) 函数s e s s-+1的拉普拉斯逆变换为（ ） （A ）t e t ---)1(δ （B ）t e t u t ----)1()1(δ（C ）)1()1(---t u e t （D ）)1()1()1()1(------t u e t u t t δ (7)积分⎰+∞-02cos tdt te t 的值为（ ）（A ） 0 (B)253 (C) 253- (D) 254 (8) 积分⎰⎰+∞-0]cos [dt e d e t ττττ的值为（ ）（A ） 0 (B) 1 (C) 1- (D) 不存在 (9) a t <时)()(t f a t u *-的值为（ ）（A ） 0 (B) 1 (C) 1- (D) 不存在三、 填空题 （1）设L ),()]([s F t f = ,0>a 则L =-)]([atf eat（2）L =--)]1([2te u t（3）L =+-]cos [)(t e t βα （4）L =--)]2()2[sin(t u t（5）L=+--][151se s（6）L=--])(1[31a s s （7）L=++-])1(1[ln 21s s s（8）=⎰∞+dt ttsin （9）=*-)()(t f a t δ 四、 计算下列函数的拉普拉斯变换.（1）⎪⎩⎪⎨⎧><≤-<≤=4,042,100,3)(t t t t f （2）282cos 32sin )(2+--=-te t t t f（3）at t t f cos )(= （4）)2(sin )(-⋅=t u t t f （5）dt tte tt ⎰-02cos 五、 计算下列函数的拉普拉斯逆变换。
拉普拉斯逆变换习题拉普拉斯变换是数学和信号处理中常见的技术。
它有利于解决特定的数学问题，特别是在处理复杂的函数和图形时更加有效。
在这里，将要探讨的是拉普拉斯逆变换的科学和技术，以及与其有关的习题。
首先，让我们来看看拉普拉斯变换是什么意思。
它指将函数从时间域转换到频率域，以获得更直观的分析结果。
这就是拉普拉斯变换的概念，也就是说，它是一种计算时域函数的频率响应的方法。
它于1826年由拉普拉斯在他的文章中首次被提出，并成为一种重要的代数技术，为数学和物理的研究不断提供新的分析工具。
拉普拉斯变换的优点是，它可以用来解决许多复杂的数学问题，可以让我们轻松地解决无限维函数的微分方程，可以用来计算单变量函数的傅里叶级数，并且可以用来处理多变量函数的变换和解决积分方程。
此外，拉普拉斯变换也可以用来画出函数的离散图，便于比较函数的幅值和相位响应，而无需做实际的绘图。
然而，使用拉普拉斯变换势必遇到一些挑战。
由于其特性，拉普拉斯变换往往是比一般傅里叶变换更复杂的，而且往往需要熟练的数学技能来完成各种计算，因此这需要更多的时间去理解和编程。
因此，在使用拉普拉斯变换时，需要仔细考虑实际应用中面临的挑战，以期达到最佳结果。
由于拉普拉斯变换的概念复杂和应用范围广泛，数学家和工程师正在不断提出拉普拉斯逆变换的习题，以更好地理解其理论和实际应用。
下面就是一些典型的拉普拉斯逆变换习题：（1）对某些仅具有实部的函数，求出其调和频率分量。
（2）计算单变量函数的拉普拉斯变换，并求出其傅里叶级数表达式。
（3）计算多变量函数的拉普拉斯变换，并求出其傅里叶级数表达式。
（4）求函数的反拉普拉斯变换，并画出函数的离散图。
（5）对某些仅具有实部的函数，求出其实部和虚部的频率响应。
（6）计算某些函数的拉普拉斯变换，求出其波形及其数学表达式。
（7）用拉普拉斯变换求解积分方程，并比较其结果与其他常规方法的结果。
上述习题都是典型的拉普拉斯变换问题，可以通过系统地学习和练习来加深理解。
第9章拉普拉斯变换习题9.1 对下列每个积分，给出保证积分收敛的实参数σ的值：解：（a）因可见，要使积分收敛，当t→∞时，需满足5＋σ＞0，即σ＞－5，此时积分为。
（b）此题中的被积函数与（a）相同，只是积分区间不同。
利用（a）中的积分过程可见，要使积分收敛，当t→∞时，需满足5＋σ＜0，即σ＜－5。
σ＜－5即为实数σ的取值范围。
（c）与（b）相似。
由于积分是在一个有限的区间[－5，5]上进行的，所以无论σ取何实值，积分均收敛，即实数盯的取值范围为－∞＜1＜∞。
（d）与（b）相似。
要使积分收敛，当t→∞时，应有5＋σ＞0，即t＞－5；且当t→－∞时，又应有5＋σ＜0，即σ＜－5。
综合以上分析可知，无论σ取何值，该积分都不收敛。
（e）此积分可化为以上第一个积分要收敛，需满足σ＞－5。
对于第二个积分，由于可见要使其收敛，需满足σ＜5。
综上所述，当－5＜σ＜5时，积分收敛。
（f）此积分可化为由（e）中分析可知，当实数σ＜5时，积分收敛。
9.2 考虑信号x（t）＝e-5t u（t－1）其拉普拉斯变换记为X（s），（a）利用式（9.3）求X（s），并给出它的收敛域。
（b）确定有限数A和t0，以使g（t）＝Ae-5t u（-t－t0）的拉普拉斯变换G（s）与X （s）有相同的代数式。
对应于G（s）的收敛域是什么？解：（a）由拉普拉斯变换的定义得（b）由拉普拉斯变换的定义得要使G（s）收敛，当t→∞时，需满足，即，此时对比G（s）与X（s）的代数表达式可发现，要使两者相同，应有A＝－1，t0＝－1,G （s）的ROC为9.3 考虑信号x（t）＝e-5t u（t）＋e-βt u（t）其拉普拉斯变换记为X（s）。
若X（s）的收敛域是Re{s}＞-3，应在β的实部和虚部上施加什么限制？解：利用常用信号的拉普拉斯变换对可直接写出这里的β可为复数，也可为实数。
若β为复数，那么只有它的实部对X（s）的ROC有影响。
X（s）的ROC为Re{S}大于－5和Re{－β}中的大者。
第14 章 Laplace 变换1． 求下列函数的拉氏变换 （1）1cos wtw- （2）chwt 解 （1）{}{}220sin 1cos sin ()tL wt wt wL Lwzdz w p p p w -⎧⎫===⎨⎬+⎩⎭⎰（2）{}{}22111122wt wt pL chwt L e e p w p w p w-⎧⎫=+=+=⎨⎬-+-⎩⎭ 2．求下列函数的逆拉氏变换 （1）2845p p p +++； （2）222()p p a + 其中a ＞0。
解 （1）111222821645(2)1(2)1p p L L L p p p p ---⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=+⎨⎬⎨⎬⎨⎬++++++⎩⎭⎩⎭⎩⎭22cos 6sin tt et e t --=+（2）1222sin ()2pt at L p a a -⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭3. 设11()sin f t wt w=，2()f t chwt =，其中w ≠0,求12()()f t f t *。
解法1 由于{}{}{}1212L f f L f L f *=⋅ {}12211()sin L f t L wt w p w⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭ {}{}222()pL f t L chwt p w ==-所以 {}1222221pL f f p w p w*=⋅+- 2222222()2()p pw p w w p w =--+2211cos 22L chwt L wt w w ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭2211cos 22L chwt wt w w ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭1221(cos )2f f chwt wt w *=- 解法2 由卷积定义求1201()()sin ()tf t f t w chw t d wτττ*=-⎰()()01sin 2w t w t te e w d w ττττ---+=⎰ ()()0011sin sin 22t t w t w t e w d e w d w w ττττττ---=+⎰⎰ 22221111sin cos sin 4444wt wt wt e wt w w w w =--++-2211cos 44wtt e w w -+ 2211cos 222wt wt e e wt w w -+=-21(cos )2chwt wt w =- 4．求解'1(0)0x x x +=⎧⎨=⎩解 对方程施行Laplace 变换，并注意初始条件：x(0)=0,我们有 [][][]'1L x L x L +=[][]1pL x L x p+=[]11111(1)1(1)L x p p p p p p ==-=-++--[]11111(1)tx L L x L e p p ---⎡⎤==-=-⎢⎥--⎣⎦5. 求解2'3(0)2tx x e x -⎧-=-⎨=⎩解 对方程两边施以Laplace 变换，并注意初始条件x(0)=0,则有[][]2'3tL x L x L e -⎡⎤-=-⎣⎦[][]3(0)2pL x x L x p ---=+ []311(1)(2)21L x p p p p -==--++-11211()()21t tx t L x L e e p p ---⎡⎤==-=-⎢⎥+-⎣⎦6. 求解01"(0),'(0)tx x e x x x x ⎧+=⎨==⎩解 对方程两边施以Laplace 变换得[][]"tL x L x L e ⎡⎤+=⎣⎦[][]20111p L x px x L x p --+=- 解得 []0122221111121212111x p x p L x p p p p p =--++-++++ 所以 101222211111()21212111x p x p x t L p p p p p -⎡⎤=--++⎢⎥-++++⎣⎦01111()cos ()sin 222t e x t x t =+-+- 7. 求解01"(0),'(0)tx x e x x x x ⎧-=⎨==⎩解 对方程两边施以Laplace 变换得 [][]"t L x L x L e ⎡⎤-=⎣⎦[][]201'(0)1p L x p xx L x p ---=- []201111p L x px x p ⎡⎤-=++⎣⎦- 解得 []2111()2(1)4(1)4(1)L x t p p p =-+--+ 012211x p x p p ++-- []101111()(())244t t t x t L L x t te e e x cht x sht --==-+++8. 求解"'2"'4(0)1,'(0)2,"(0)2x x x x x x --=⎧⎨===-⎩解 对方程两边施行Laplace 变换，并注三个初始条件，则有[][][][]"'2"'4L x L x L x L -+=[][]322(0)'()"(0)2(0)'(0)p x p x px x x p L x px x ⎡⎤------+⎣⎦[]4(0)L x x p-=[][][]3224222241p L x p p p L x p pL x p--+-+++-=[]224(1)5p p L x p p-=+- 解得 []222254()(1)(1)(1)p L x t p p p p p =-+--- 23421p p p =+-- 所以 []1()()342tx t L L x t t e -==+-9. 求解21"'2(0)'(0)"(0)0t x x t e x x x ⎧+=⎪⎨⎪===⎩ 解 对方程两边施以Laplace 变换并利用初始条件有 [][]21"'2tL x L x L t e ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦[][]3221(0)'(0)"(0)(1)p L x p x px x L x p ---+=-解得 []331()(1)(1)L x t p p =-+- 当331231,,ii p p e p e ππ-=-==是一阶极点，p=1是三阶极点，由留数计算公式：22331111Re ()lim 2(1)(1)ptpt p p d s F p e e dp p p →=⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦!+-⎣⎦2133448t t tt e te e =-+31311(1)Re ()|(1)24ptptt p p e p s F p e e p -=-=--⎡⎤==-⎣⎦+3332(1)Re ()|3i i pt ptp e p e e p s F p e p ππ==-⎡⎤==⎣⎦3Re ()iptp es F p e π-=⎡⎤=⎣⎦所以221331()44824t t t t t x t t e te e e -=-+--21cos 32te10. 求解3''21'4'30(0)(0)0x y x x y y x y ++=⎧⎪++=⎨⎪==⎩解 对方程组两边施行Laplace 变换，并设[][](),(),X L x t Y L y t ==得 1(32)(43)0p X pY p pX p Y ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩解得 221111111765(116)5(1)431133(11176)25(1)10(116)Y p p p p p X p p p p p p --⎧==+⎪++++⎪⎨+⎪==--⎪++++⎩所以 [][]61116111113()251011()55t t t tx t L X e e y t L Y e e ------⎧==--⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩11. 求解0sin ()sin()()ta t G t t z G z dz =--⎰，a 为常数。
拉普拉斯逆变换习题填空题：1. t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是________________。
2. t t f 2sin )(=的拉普拉斯变换是_______________。
3. t e t f t sin )(-=的拉普拉斯变换是_________________。
4. t e t f t cos )(=的拉普拉斯变换是______________。
5. t e t t f 2)1()(-=的拉普拉斯变换是________________。
6. t t t f cos 32sin 5)(-=的拉普拉斯变换是_________________。
7. )(3sin 2)(t u t t f -=的拉普拉斯变换是_______________。
8. )(3)(t t t f δ+=的拉普拉斯变换是___________________。
9. t te t f -=1)(的拉普拉斯变换是__________________。
10.t e t f 2)(-=的拉普拉斯变换是_________________。
11.t e t f 2)(=的拉普拉斯变换是__________________。
12.t t f =)(的拉普拉斯变换是________________ 13.t te t f -=)(的拉普拉斯变换是____________________。
14.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是_____________。
15.at t f sin )(=的拉普拉斯变换是_________________。
16.t t t f cos sin )(=的拉普拉斯变换是___________________。
17.)(2)(t t f δ=的拉普拉斯变换是_______________ 18.)1()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________。
何子述信号与系统习题解答第5章拉普拉斯变换(2012新)何子述老师2012年最新高等教育出版社出版《信号与系统习题解答》发布,对考研同学帮助极大!第5章拉普拉斯变换习题解答一、基本概念与基本运算习题题5.1 解：当f t u t 时，0能使信号g t 的傅里叶变换存在。
当f t u t 时，0能使信号g t 的傅里叶变换存在。
当f t 1时，找不到一个实数使信号g t f t e t绝对可积。
题5.2 解：（a）由拉普拉斯变换的定义式F(s) e 2tu t 1 e1j tdte 2te te j tdt1 s 2e, 2s 2（b）由拉普拉斯变换的定义式j ttδt12δt1eut1edt利用积分的分配律及单位冲激信号的筛选性，可得F s es 2e s ete te j tdt- 1e1 se 2e , 11 sss（c）由拉普拉斯变换的定义式F s e 2tsin 3t u t e-j tdte2tej3t e j3t t j teedt2j239, 2157何子述老师2012年最新高等教育出版社出版《信号与系统习题解答》发布,对考研同学帮助极大!（d）由拉普拉斯变换的定义式F sf t ej tdtete te j tdt 20e 2te te j t 2dts 12s 2e2 11 es 1 s 2,（e）由拉普拉斯变换的定义式e 2t j tedt不存在使上式积分收敛，故信号f(t) e 2t的拉普拉斯变换不存在。
（f）由拉普拉斯变换的定义式F s2δ j tt δ t 2 e dt2 s2 se 2s,题5.3 解：（a）有拉普拉斯变换对e 2tu t L 1s 2, 2 e 4tu t L1s 4, 4由拉普拉斯变换的线性，信号f t 的拉普拉斯变换为f t L11s 2s 4, 4 2 零极点图如图J5.3.1所示。
（b）有拉普拉斯变换对e2tsin 5t u t Ls 2 225, 2δ t L1,由拉普拉斯变换的线性，信号f t 的拉普拉斯变换为f t L15s s2 4s 34s 2 s 2 2225s2 4s 29 s 2 j5s 2 j5,1582何子述老师2012年最新高等教育出版社出版《信号与系统习题解答》发布,对考研同学帮助极大!零极点图如图J5.3.2所示。
第十五章 拉普拉斯变换典型习题解答与提示习 题 15-11．（1）提示：2()f t t =， ￡20[()]()ptpt f t f t edt t e dt +∞+∞--==⎰⎰，求广义积分后可得￡32[()]f t p =，(0)p >； （2）提示：4()tf t e -=，￡40[()]()pt t pt f t f t e dt e e dt +∞+∞---==⎰⎰，￡1[()](4)4f t p p =>-+； （3）因302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，则￡242[()]()3(1)ptptpt f t f t edt edt e dt +∞---==+-⎰⎰⎰24024,(0)31,(0)pt pt p e e p p p --=⎧⎪=⎨-+≠⎪⎩4234,(0)4,(0)p pe e p pp --⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩； （4）因()tf t te -=， 则￡2(1)(1)0001[()]()1ptp tp t f t f t edt tedt td e p +∞+∞--+-+⎛⎫===- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰ (1)(1)0111p t p t te e dt p p +∞+∞-+-+=-+++⎰ (1)21(1)(1)p tep p +∞-+=->-+21(1)(1)p p =>-+。
2．（1）￡231[()](263)(0)f t p p p p=+->； （2）￡2262[()](0)41pf t p p p =->++； （3）因()1tf t te =+，则￡[()]f t =￡(1)+￡()tte1(1)[p=+-￡()]t e ' （微分性） 222111(1)(1)(1)p p p p p p p -+=+=>--； （4）因3()sin 4tf t e t =，又因￡24(sin 4)()16t F p p ==+，则由位移性知￡24[()](3)(3)(3)16f t F p p p =-=>-+； （5）方法一 因22()tf t t e-=，又￡232[]()(0)t F p p p ==>，则由位移性知 ￡32[()](2)(2)(2)f t F p p p =+=>-+； 方法二 因￡21(),(2)2tep p -=>-+，则由微分性知 ￡2312[()](1)(2)2(2)f t p p p ''⎛⎫=-=>- ⎪++⎝⎭； （6）因21()sin (1cos 2)2f t t t ==-，则￡1[()][2f t =￡(1)-￡22112(cos 2)](0)24(4)p t p p p p p ⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭； （7）因1()sin 2cos 2sin 42f t t t t ==， 则￡1[()]2f t =￡22142(sin 4)(0)21616t p p p =⨯=>++；（8）因()sin()sin cos cos sin f t t t t ωϕωϕωϕ=+=+， 则￡[()]cos f t ϕ=￡(sin )sin t ωϕ+￡2222cos sin (cos )p t p p ωϕϕωωω=+++22cos sin (0)p p p ωϕϕω+=>+； （9）因11()(21)222f t t t t μμμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则由延滞性知￡121[()](0)p f t ep p-=>； （10）因3()sin 2tf t tet -=，又￡22(sin 2)(0)4t p p =>+， 则由位移性知￡322(sin 2)(3)(3)4t e t p p -=>-++，故再由微分性知 ￡22224(3)[()](3)(3)4[(3)4]p f t p p p '⎡⎤+=-=>-⎢⎥++++⎣⎦； （11）因4()cos 24tf t et π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因￡cos 242t π⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦￡222(cos 2sin 2)244p t t p p ⎫-=-⎪++⎝⎭2224p p -=+，则由位移性知￡22[()](4)2(4)4p f t p p +=⨯>-++。
第五章 拉普拉氏变换习题参考答案5.1 求下列信号的单边拉普拉斯变换，并注明收敛域。
（1）(1)u t + （2）22(e e )()t t u t -+ （3）(1)()t u t - （4）(1e )()t t u t -+ 解：（1）1(1):Re[]0S u t e ROC S S+↔> （2）2211(e e)():Re[]222ttu t ROC S S S -+↔+>-+（3）()()()()22R 1111 :e[]0St u t tu t u t ROC S S S S↔--=--=> (4)()()()()2111R 1(1) :e[]tt teu t u t te u t S S ROC S --+=+↔+-+>5.2求下列函数的单边拉普拉斯变换。
（1）0sin (1)(1)t U t ω-- （2）212e ett---+（3）2()e t t δ-- （4）3sin 2cos t t + （5）2e tt -（6）e sin(2)t t -解：（1）[]0022sin (1)(1)st U t e S ωωω---↔+ （2）()()()212112e e12t tSS S ---+↔-+++ （3）12()e21tt S δ--↔-+ （4）22232323sin 2cos 111S St t S S S ++↔+=+++ （5）221e(2)tt S -↔+（6）22e sin(2)(2)4tt S -↔++ 5.3 利用常用函数（如(),e (),sin()(),cos()()at u t u t t u t t u t ββ-等）的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换。
（1）[]e ()(2)t u t u t --- （2）[]sin()()sin (1)(1)t u t t u t ππ--- （3）(42)t δ- （4）sin(2)(2)44t u t ππ-- （5）0sin()tx dx π⎰ （6）22sin()()d t u t dtπ （7）22e ()t t u t - （8）e cos()()t t t u t αβ- 解：（1）[]222211e ()(2)(1e )111s ts e u t u t S S S -------↔-=-+++ （2）[]()()2221sin()()sin (1)(1)111SSt u t t u t e e SS ππππππ-----↔-=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）121(42)4S t e δ--↔（4）822sin(2)(2)444S t u t e S πππ---↔+ （5）()2222111sin()tS x dx S S S S ππππππ↔-+=++⎰（6）2223322222222sin()()d t S S u t S dt S S S ππππππππππ--↔-==-+++ （7）2232e ()(2)tt u t S -↔+（8）()()2222222()ecos()()(())tS dS S t t u t dsS αααβαββαβ-++++-↔-=++ 5.4一个冲激响应为()h t 的因果LTI 系统具有下列特性：（1）t -∞<<+∞时，系统的输出为21()()e 6ty t =。
21拉氏逆变换1、用留数方法求下列函数)(s F 的拉氏逆变换: (1) abs b a s ss F ++-=)()(2; 【解】 由于b s a s ==,是sts F e )(的一级极点, 且有ba a a sb a s s a s F atst st-==+-=e )(2e ],e )(Res[;ba b b s b a s s b s F btst st--==+-=e )(2e ],e )(Res[,故有)]([)(1s F t f -=L],e )(Res[],e )(Res[b s F a s F st st +=ab b a a b b b a a btat bt at --=---=e e e e . …………………………………………………………………………………………………………… (2) )9)(4()(22++=s s ss F ; 【解】 由于i s i s 3,2±=±=是sts F e )(的一级极点, 由Heaviside 展开式, 有)]([)(1s F t f -=Lis s s s i s s s s stst 2264e 2264e 33-=++=+=i s ss s i s s s s stst 3264e 3264e 33-=++=++)3cos 2(cos 51t t -=. ……………………………………………………………………………………………………………(3) 22)1(12)(+-+=s s s s s F ; 【解】 由于0=s 是st s F e )(的一级极点, 1-=s 是sts F e )(的二级极点, 且有1)1(12lim ]0,e )(Res[220-=+-+=→s s s s s s F s st; t t s st t s s s s s s F ---→+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=-e 2e 2)1(12)1(lim 1],e )(Res[2221, 故有)]([)(1s F t f -=L1e 2e 2-+=--t t t . (4)22)4(1)(s s s F -=.【解】 由于2±=s 是sts F e )(的一级极点, 0=s 是sts F e )(的二级极点, 且有16e )4(e )2(lim ]2,e )(Res[2222tst s sts s s s F =--=→; 16e )4(e )2(lim ]2,e )(Res[2222tst s sts s s s F --→-=-+=-; 4)4(e lim ]0,e )(Res[2220ts s s s F sts st -='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→, 故有)]([)(1s F t f -=L42sh 81tt -=.……………………………………………………………………………………………………………2、利用拉氏变换的性质求下列函数的拉氏逆变换: (1) 221)(a s s F -=;【解】 因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=a s a s a a s s F 11211)(22, 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==--a s a s a s F t f 1121)]([)(11LL⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--a s a a s a 1211211 1 L L ()at at a--=e e 21. ……………………………………………………………………………………………………………(2) 22e 1)(ss F s-+=; 【解】 由于sss s F 222e 11)(-+=, 且有2e 1 ,]1[22121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---t s t ss L L, 所以22)]([)(1-==-t s F t f L .……………………………………………………………………………………………………………(3) 222e )(as s s F s+=-; 【解】 由于at as scos ][221=+-L,故利用延迟性质, 有)2(cos )]([)(1-==-t a s F t f L.……………………………………………………………………………………………………………(4) 221ln )(ss s F -=. 【解】 由于)1(21ln )(222-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='s s s s s F , 故有2e e )]([1-+='--t t s F L.根据微分性质, 有=-)(t tf 2e e )]([1-+='--t t s F L,因此, 有tt t s F t f tt ----==e e 2)]([)(1L. ……………………………………………………………………………………………………………。
1. 求下列函数的拉式变换。
（1） t t cos 2sin +
（2）
()t e t 2sin - （3）
()[]t e t βα--cos 1 （4）
()t e t 732--δ （5）
()t Ω2cos （6）
()()t e t ωαcos +- （7） ()t
t αsin 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。
（1）
()()()t u e t f t 2--= （2）
()()()12sin -⋅=t u t t f （3） ()()()()[]211----=t u u u t t f
3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。
（1） ()
512+s s （2） ()()
243+++s s s （3） 11
12++s （4）
()RCs s RCs +-11 （5） ()()()
2133+++s s s （6）
22K s A + （7） ()(
)[]22βα+++s a s s （8） ()
142+-s s e s
（9） ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+9ln s s 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。
（1） ()()()
526+++s s s （2）
()()()2132+++s s s 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求
()t v r 并讨论R 对波形的影响。
6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从”
“1倒向”
“2，求电流()t i 的表示式。
7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示
式和波形。
8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得
表示式和波形。
9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求
（1） 系统函数()()()
s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。
10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到
()()()()()∑∞
=-==0
,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求：
（1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L
； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。
11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。
（1） 写出电压转移函数()()()
s E s V s H 2=； （2） 画出s 平面零、极点分布；
（3） 求冲激响应、阶跃响应。
12. 如图7所示电路，
（1） 若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ；
（2） 若初始状态以()01i ，()02v 表示（都不等于0），但()0=t i （开路），求()t i 1（零
输入响应）。
13. 已知网络函数的零、极点分布如图8所示，此外()5=∞H ，写出网络函数表示式()s H 。
14. 已知网络函数()s H 的极点位于3-=s 处，零点在α-=s ，且()1=∞H 。
此网络的阶
跃响应中，包含一项为t e K 31-。
若α从0变到5，讨论相应的1K 如何随之改变。
15. 如图9反馈系统，回答下列各问：
（1） 写出()()()s V s V s H 12=
； （2） K 满足什么条件时系统稳定？
（3） 在临界稳定条件下，求系统冲激响应()t h 。
16. 已知信号表示式为
()()()t u e t u e t f t t αα-+-=
式中0>α，试求()t f 的双边拉氏变换，给出收敛域。
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