西南大学2015年《数学分析》考研真题

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A ）2dx x+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2x x dx e+∞⎰(2)函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12(6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰(7)．设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b=有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω(8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则 （10）函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =（11）设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f = （12）设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x =（13）若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。

一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分）1、C2、B3、A4、D5、B6、D二、计算题（本题共7小题，每小题10分，共70分）1、求极限⎪⎭⎫⎝⎛++--→11111lim 0x e x x x . 解：因为011lim 1x x x e →⎛⎫-= ⎪-⎝⎭000111lim lim lim (1)122x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e xe →→→---===--++， 6分 所以00011111113lim lim lim 111112 2.x x x x x x e x x e x →→→⎛⎫⎛⎫-+=-+=+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭10分 2、设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin cos ，求22dx y d . 解：sin cos ,cos sin t t t tdy e t e t dx e t e t +=- 5分 2223322(cos sin )(cos sin )t t t t d y e dx e t e t e t t ==-- 10分 3、设⎰=21sin )(x dt ttx f ，求⎰10)(dx x xf .解：11122120000111()()()()222xf x dx f x dx x f x x f x dx '==-⎰⎰⎰12221001111(1)sin (1)cos 22221[(1)cos11].2f x dx f x f =-=+=++⎰4、设22z u v uv =-，y x u cos =，y x v sin =，求x z ∂∂和yz ∂∂.解：22(2)cos (2)sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x ∂∂∂∂∂=+=---∂∂∂∂∂，22(2)sin (2)cos .z z u z v v uv x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=-+-∂∂∂∂∂ 5、将函数xx f 3)(=在00=x 点处展开成泰勒级数。

一、计算题（本题共8小题，每小题10分，共80分）1、求极限 xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→. 2、设函数)(x y y =由方程y x exy +=确定，求dx dy . 3、求⎰xdx 2ln . 4、计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积。

5、设2xy e z =，t t x cos =，t t y sin =，求2π=t dt dz . 6、求幂级数n n n x n 2111⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=的收敛域。

7、计算曲线积分ds y L ⎰2，其中L 为摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=)0(>a 在[]π,0∈t 间的一段。

8、计算二重积分σd xy x D⎰⎰sin ，其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=10,20|),(y x y x D π.二、证明题（本题共4小题，1—3小题各15分；第4小题25分，共70分）1、设0>c ，cx 101<<，)2(1n n n cx x x -=+，⋅⋅⋅=,2,1n .证明：数列{}n x 收敛，并求其极限。

2、证明：方程043235=-++x x x 有且仅有一个正根。

3、证明：若n n a∑∞=1绝对收敛，则)(211n n n a a a a +⋅⋅⋅++∑∞=也必绝对收敛。

4、（i ）试举例说明：即使二元函数在某一点存在对所有变量的偏导数，也不能保证函数在该点连续。

（ii ）设),,(z y x f 在{}1),,(222<++=z y x z y x D 内有定义。

若),,(z y x f 关于变量z 是连续的，并且对D z y x ∈∀),,(，满足1),,(≤z y x f x ，1),,(≤z y x f y ，证明：函数),,(z y x f 在区域D 内连续。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰()(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D) ()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为 ( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim _________.x xx →=(10) 22sin ()d ________.1cos xx x x ππ-+=+⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(13)n 阶行列式2002122___________.0022012-=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()00,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.(18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I)求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数.(I)求Y 的概率分布; (II)求EY(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量.(II)求θ的最大似然估计量.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()f x ''的图形如图所示，则曲线()y f x =的拐点的个数为 ( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211e ()e 23x x y x =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程e x y ay by c '''++=的一个特解，则 ( )(A) 3,2, 1.a b c =-==- (B) 3,2, 1.a b c ===- (C) 3,2, 1.a b c =-== (D) 3,2, 1.a b c === 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，21e 2x、1e 3x -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32e x y y y c '''-+=，再将特解e xy x =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1nn a∞=∑条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的 ( )(A) 收敛点，收敛点. (B) 收敛点，发散点.(C) 发散点，收敛点. (D) 发散点，发散点. 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1n n a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)π13sin 2π142sin 2d (cos ,sin )d .f r r r r θθθθθ⎰⎰(B)π3π4d (cos ,sin )d .f r r r r θθθ⎰(C)π13sin 2π142sin 2d (cos ,sin )d .f r r r θθθθθ⎰⎰(D)π3π4d (cos ,sin )d .f r r r θθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以π3π4(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r θθθ=⎰⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵22111112,.14a d a d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b =若集合{}12,,Ω=则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )x(A) a ,d .∉Ω∉Ω (B) a ,d .∉Ω∈Ω (C) a ,d .∈Ω∉Ω (D) a ,d .∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】()()()()()221111111112011114001212,a d a d ,ad a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A b由()()r r 3,,=<A A b 故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232.y y y -+ (B) 2221232.y y y +- (C) 2221232.y y y -- (D) 2221232.y y y ++【答案】(A)【解析】由=x Py ，故()T T T 2221232f y y y .===+-x Ax y P AP y且T 200010001.⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦P AP由已知可得:100001010⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Q P PC,故有()T T T 200010001,⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q AQ C P AP C所以()T T T 2221232f y y y .===-+x Ax y Q AQ y .选（A ）(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()().P AB P A P B ≤ (B) ()()().P AB P A P B ≥ (C) ()()().2P A P B P AB ≤ (D) ()()().2P A P B P AB ≥【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D) 【解析】()()()()()()()()()()222222223221225E X X Y E X XY X E X E XY E X D X E X E X E Y E X .⎡⎤+-=+-=+-⎣⎦=++⋅-=++⨯-⨯=选(D) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)π2π2sin ()d ________.1cos x x x x-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】ππ222π02sin πd 2d 1cos 4x x x x x .x -⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰ (11)若函数(,)=z z x y 由方程e cos 2x xyz x x +++=确定，则(0,1)d ________.z =【答案】d x -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令e cos 2z F(x,y,z )xyz x x =+++-，则1sin e z x y z F (x,y,z )yz x,F xz,F (x,y,z )xy.'''=+-==+又当0,1x y ==时1ze =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而()d d x,y zx.=-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则()23d d d x y z x y z __________.Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得123d d d 6d d d 6d d d zD (x y z )x y z z x y z z z x y,ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 ()()11232001123d d d 6d d d 61d 32d 24(x y z )x y z z x y z z z z z z z z .ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13)n 阶行列式2002122___________.0022012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得()()111122122120021202212122002212222222222222n n n n n n n n n n D D D (D )D .+------+-==+--=+-=++=++=+++=-(14)设二维随机变量()x,y 服从正态分布()10;110N ,,,，则{}0P XY Y ______.-<= 【答案】12【解析】由题设知，()()1101X ~N ,,Y ~N ,，而且X ,Y 相互独立，从而{}(){}{}{}{}{}{}{}01010010010101111122222P XY Y P X Y P X ,Y P X ,Y P X P Y P X P Y .-<=-<=-><+-<>=><+<>=⨯+⨯= 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数()()()3ln 1sin f x x a x bx x,g x kx ,=+++=若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：由等价无穷小的定义得()()()()()302333330234330ln 1sin 1lim236lim 1236lim x x x x a x bx xkx x x x x a x o x bx x o x kx a a b a x b x x x o x .kx→→→+++=⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭=则1110,0,11,,.2323a a ab a b k k +=-==⇒=-=-=- 法二：由等价无穷小的定义得()()320ln 1sin 1lim1sin cos 1lim 3x x x a x bx xkx ab x bx x x kx→→+++=++++=洛必法达则 因为分子的极限为0，则1a =-，继续使用洛必达法则得()212cos sin 1lim16x b x bx x x ,kx→--+-+=分子的极限为0，12b =-，再次使用洛必达法则得 ()322sin sin cos 111lim1633x b x b x bx xx k .kk →----+=-=⇒=- 故111,,.23a b k =-=-=- (16)(本题满分10分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】()84f x x=-. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数()f x,y x y xy =++，曲线C ：223x y xy ++=，求()f x,y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为()f x,y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()11x y f x,y y,f x,y x ''=+=+，故(){}11f x,y y,x =++grad此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-，得方程组()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩， 解得()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----.()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M====3=. (18)(本题满分 10 分)()I 设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明()()()()()();u x v x u x v x u x v x '''⎡⎤=+⎣⎦()II 设函数12()()()n u x ,u x ,,u x 可导，12()()()n f (x )u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.【解析】()I()()()()()()()()()()()()()()()()()()000lim limlim lim h h h h u(x h )v(x h )u x v x u x v x hu x h v x h u x h v x u x h v x u x v x hv x h v x u x h u x u x h v x h h→→→→++-'⎡⎤=⎣⎦++-+++-=+-+-=++()()()()u x v x u x v x .''=+()II 由题意得()[]()()()()()()()()()12121212()()()n n n n f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x .''='''=+++(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为z z x,⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()00A，终点为()00B ,，计算曲线积分()()()2222d d d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.π【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:.22θ→-)()()π22π2π222π2π220cos sin 2sin cos 1sin sin d sin cos 1sin sin d sin d I .θθθθθθθθθθθθθθθθ--⎡⎤=-++++⎣⎦=+++==⎰⎰(20) (本题满11分)设向量组123,,ααα内3R 的一个基，()11322313=2+2=2=++1k ,,k .βααβαβαα()I 证明向量组123,,βββ为3R 的一个基;()II 当k 为何值时，存在非0向量ξ在基123,,ααα与基123,,βββ下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】【解析】()I 证明：()()()()123132131232+22+121020201,,k ,,k ,,,kk =+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦βββαααααααα2012102024021201.kk kk ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基.()II 由题意知112233112233k k k k k k ,,=++=++≠0ξβββαααξ整理得()()()()()()()()()()111222333113122231331132231301232+22++1+2+i k k k ,k ,i ,,k k k k k k k k k k -+-+-=≠=⇒-+-+-=⇒++=000βαβαβαααααααααααααα有非零解.则13213+2+0k ,,k ,=ααααα即1010100020k .kk=⇒= 则11223121300k k k k ,k k ,++=⇒=+=0ααα故111310k k ,k .=-≠ξαα(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 相似于矩阵12000031b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B =. ()I 求,a b 的值；()II 求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】()I ()()tr tr 311~a b ,⇒=⇒+=++A B A B0231201330012031b,a --=⇒--=-A B 则有14235a b ,a ,a b ,b .-=-=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ ()II 思路一：由()I 知023133.124-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A由于矩阵A 相似于矩阵B ，所以()()215,λλλλ-=-=--E A E B故A 的特征值为1231, 5.λλλ===当121λλ==时，由方程组()-=0E A x ，得线性无关的特征向量T T 12(2,1,0);(3,0,1),==-ξξ当35λ=时，由方程组(5)-=0E A x ，得线性无关的特征向量T 3(1,1,1).=--ξ令123231(,,)101,011--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ξξξ则 111.5-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P APP 为所求可逆矩阵.思路二：023100123133010123124001123---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=+--=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E C,[]12311231123.1231---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)-=0E C x 的基础解系为T T 12(2,1,0);(3,0,1),==-ξξ 5λ=时(4)-=0E C x 的基础解系为T 3(1,1,1).=--ξA 的特征值1:1,1,5.A C λλ=+令123231(,,)101,011--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ξξξ则 111.5-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P APP 为所求可逆矩阵.(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln2000x ,x ,f x ,x .-⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则()3132ln2d 8x p P X x .+∞-=>==⎰从而Y 的概率分布为{}()()2221117112388n n n P Y n C p p p n ,n ,,---⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以()()()()11221618E Y E M N E M E N .p p p =+=+=+===法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记()()212111n n S x n n x,x ∞-==⋅--<<∑，则()()()()()()()()()()()()()2113222122132222223132221121112111n n n n n n n n n n nn n n S x n n xn x x ,x xS x n n xx n n x xS x ,x x S x n n x xn n xx S x .x ∞∞∞--===∞∞--==∞∞-=='''⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=⋅-=⋅-==-=⋅-=⋅-==-∑∑∑∑∑∑∑ 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而()7168E Y S .⎛⎫==⎪⎝⎭(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：()1110,x ,f x,,θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)()()111;d d 12E X xf x x x x ,θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰ 令()E X X =，即12X θ+=，解得21X ,θ=-为θ的矩估计量，其中11ni i X X n ==∑. (II) 依题得似然函数()()111;10nni i i ,x ,L f x ,.θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他 当1i x θ≤≤时，()11111nni L ,θθθ=⎛⎫== ⎪--⎝⎭∏则()()ln ln 1L n θθ=--.从而()()dln d 1L nL θθθθ=⇒-关于θ单调增加，所以{}12min n X ,X ,,X θ=为θ的最大似然估计量.。

2015考研真题数学在备战考研数学科目中，过去的真题一直是考生们的重要参考资料。

本文将针对2015年的考研数学真题进行分析和讨论，帮助考生更好地准备数学科目。

第一部分：选择题2015年考研数学真题中的选择题部分包括选择题（A、B、C、D四个选项）和选择题（1、2、3、4四个选项）。

这一部分的题目主要考察考生对基本概念、定理和公式的了解和掌握程度。

建议考生在备考过程中要系统地复习各个数学分支的基础知识，掌握各种常用的计算方法和解题技巧。

第二部分：计算题真题中的计算题部分主要考察考生的运算能力和解题技巧。

其中，涉及到代数、几何、概率与统计等不同领域的计算题目，需要考生们熟练掌握各种计算方法和定理。

备考过程中，考生要注重练习，通过大量的计算题练习来提高自己的解题速度和准确性。

第三部分：证明题真题中的证明题是考察考生对数学定理和推理能力的重要环节。

这种类型的题目通常需要考生对基本定理有深入的理解，并能够巧妙运用相关的证明方法。

备考时，考生应当加强对各个定理的理解和记忆，并通过解析真题中的证明题来提高自己的证明能力。

第四部分：简答题真题中的简答题要求考生对数学概念和方法进行简洁而准确的叙述。

这要求考生在备考过程中，要针对各个数学分支的重要概念进行深入理解，理清各个概念之间的联系，掌握相关的定义和定理。

备考时，考生可以通过解析真题中的简答题来加深自己对各个概念的理解。

第五部分：应用题真题中的应用题通常是较难的部分，要求考生将数学知识应用于实际问题的解决过程中。

在备考过程中，考生要注重对应用题的练习，通过解析真题中的应用题来提高自己的应用能力。

同时，考生还要注重对各个数学分支的相关知识进行整合和融会贯通，提高解决实际问题的能力。

总结：通过对2015年考研数学真题的分析和讨论，可以看出备战考研数学科目不仅需要对基本概念和定理进行深入理解，还需要具备良好的计算、推理和应用能力。

在备考过程中，考生要注重对各个数学分支的全面复习和系统练习，通过解析真题来提高自己的解题能力。