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谐振动问 为何值时, x1+ x2 的振幅为最大? 为何值时 x2+ x3 的振幅为最小?(各量皆用SI单位.)
解:(1) A 0 .02 5 0 .02 6 2 0 .0 0 5 .0c6o 3 s )( 0 .08 (m )9
55
0.05sin30.06sin
arct0 a.0n5co5 3s0.06co5 s
(3 ) E 1K 2 A 1m 2 A 2 8 1 6 0 2 (J ) 22
( 4 ) E k E p 1 4 K 2 1 4 A m 2 A 2 4 1 6 0 2 ( J )
6-8在阻尼振动中,量=1/叫做弛豫时间(1)证明的量纲是时间; (2)经过时间后,这振子的振幅变为多少？能量最大值变为多少？ (3)把振幅减到初值的一半所需的时间(用表示); (4)当经过的时间为(3)的2倍,3倍···时,求振幅的值.
g
6-2一质量为1.0x10-3 千克的质点,作简谐振动,其振幅为2.0x10-4 米,质点在离平衡位置最远处的加速度为8.0 x103米/秒.(1) 试计 算质点的振动频率;(2) 质点通过平衡位置的速度;(3) 质点位移 为1.2 0x10-4 米时的速度;(4)写出作用在这质点上的力作为位置 的函数合作为时间的函数.
开始计时,并令m向下运动为x的正坐标,试写出m振动表达式。
解：(1)设弹簧原长l0平衡时伸长x0 kx0= mg以x0伸长时m所在点 为坐标原点，运动中，有:
T k x x 0 R I
对于m，有 m T gm x 又 x R
I
联立可得： k
2 k
(m
I R2
)
x(mRI2)x f
(m
m’开始时处于静止平衡状态,有一发质量为m的子弹以速度v0沿弹 簧方向飞来,击中振子并卡在其中,试以击中为时间零点,写出此
系统的振动表达式.
解:碰撞时动量守恒,碰后机械能守恒可列方程:
ห้องสมุดไป่ตู้
m0 v(m m )v
vm0v m m
1kA2 1(mm)v2
2
2
A mv0 k(mm)
k
mm
k 2
m’ m
k
m
fR kxc(12fmm R2x)c12mR2 xRc
f12mxc
kxc12mxc mxc
xc
2k (3m)xc
22k, 3m
1(2k)1 2 23m
6-6 如图弹簧的倔强系数为k,定滑轮的质量为m’,半径为R,转动 惯量为k，物体的质量为m。轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不
计,绳与滑轮间无相对滑动,(1)试求这一振动系统的振动频率,(2) 如果在弹簧处于原长时由静止释放物体m, m向下具有最大速度时
少？为了进一步唯一确定其值，可以在待测测音叉上滴上一点
石蜡，重做上述实验,若此时拍频变低,则说明待测音叉的频率
是多少？ 解：以知T=0.5s，得拍频
f 1 2 0.5
f2f12 f22f14( 4 H 0 )z
或
f2f1243 (H 8 )z
若在待测音叉上滴上一滴石蜡，其频率变低，如果再测，拍
频变低 f2f1 f 成立 f2 442Hz
v0
0
x
xAcos(t) mv0 cos( k t)
k(mm)
mm 2
补充6.4 图所示振动系统，振子是一个作纯滚动的圆柱体，以
知圆柱体的质量为m,半径为R，弹簧的倔强系数为k，并且弹簧
是系于圆柱体的中心旋转对称轴上.试求这一振动系统的频率。
解：设平衡点为弹簧原长时，又 弹簧质量不计，对圆柱体在运动 中受力有：
Fm2Aco st()8.0co6s.3(103t)
6-3如图所示,一重力作用下的弹簧振子,振子静止时弹簧伸长l=10 厘米;将振子向下拉一段距离d=2.0厘米,并在位移方向给它一个向 下的初始速度v0=10厘米/秒,任其运动,不计空气阻力,试求: (1) 振动频率; (2)振幅A; (3)初相位; (4)振动表达式.(g=10米/秒2)
t2ln 2
t
AA0e
A0e3ln2A 80
AA0,AA0, 16 32
t3ln2
6-9 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接轨处即受一次震动， 使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长12.5米，弹簧 平均负重5.5吨，而弹簧每受1.0吨力将压缩16毫米。试问，火 车速度多大时，振动特别强？
解: 固有振动周期等于强迫力周期时发生共振
v
y A c o ( t x s v x 0 ) A c o ( t x v s ) ( v x 0 )
其中
3
6-13一沿很长弦线行进的横波波函数为
y=6.0x10-2sin(0.02x+4.0 t)(m)
式中各量均为国际单位。试求振幅、波长、频率、波速、波的
A A12A222A1A2cos 1.29102(m)
atan A1sin 1A2sin 2 A1cos1A2cos2
1.25 rad
6-12 一待测频率的音叉与一频率为440赫兹的标准音叉并排放
置,并同时振动.声音响度有周期性起伏，每隔0.5秒听到一次
最大响度的音（即拍声),问拍频是多少？音叉的频率可能是多
30a 2b k r07 r03
k 8b(b)3/4 m 5a
6-7 质量 1.0x10-2 千克的小球与轻质弹簧组成的振动系统按 x51 03co(8st) 的规律振动，式中各量均为SI单位。 3
求(1)振动的圆频率、周期、振幅和初始相位；(2)振动的速度
和加速度(函数式)；(3)振动的总能量E(4)振动的平均动能和平
且 q2/2c+ Li2/2=常量,试求LC电路的固有振荡频率.
解: 1q21L2 iC
1q21L(d)q2C
qdq dq d2q L 0
2c 2
2c 2 dt
cdt dtd2t
d2q 1
1
1
d2tLq C0
LC 2LC
补充6.6假定有两个质量均为m离子,它们之间的势能为:Ep
a r5
b r
求:(1)用a和b表示平衡位置;(2)证明其振动圆频率 8b( b )3/4
解:(1)振动频率
1 g1.6(H)z 2 2 l
(2)振幅 (3)初相位
A x0 2(v 0)20.0(2m)
k m
co 1x s0co 10s.90.4(r 6a)d
A
(v0>0取正号, v0 <0取负号)
(4)振动表达式. X=0.02cos(10t-0.46) (m)
补充6.3 不计质量,自然长度为l的弹簧,两端分别系上质量为m1 和m2的质点,放在光滑的水平桌面上,开始时两手持m1和m2把弹簧 拉长至l’,停止不动,然后两手同时放开,试问这系统如何运动？
解：（1） 波源 ,初相为0,是恰好在正的最大位移处开始计时 ，若x与 v 同向，波函数为：
yAco st yAco s(tx)
(2)如右图
3
又∵
y 0
v
3
y0
A 2
∴ yAco s(tx v) 3
y
（ x点3）t 若时波刻源的在振x动0点是，x0若点在v 与tx同x向0，任意时x刻的的振振动动要比x0点落后
均势能；(5) t =1.0秒、10秒等时刻的相位。
解：(1)x0.5co(8st) 与振动表达式 xAc( ot s) 3
比较便直接可得:
2 1 A 0 .5 (c)m , 8 T (s)
(2) x . 4 si(8 n t)(cm s4 1) 3 3
x .. 3 2 2 c( o 8 ts )(cm s 2) 3
(2) A最大时 2k(取 0) 即 53
5
5
A最小时 (或 ) 5
6(或4)
5
5
6-11 一质点同时受两个同频率和同方向简谐振动的作用，它们的
运动方程分别为x1=1.0×10-2cos(2t+π/4) 和
x2=0.6×10-2cos(2t+2π/3),试写出质点的运动方程。
解：仍是谐振动 X A co t s )( , 2
补充6.7 （1）波源的振动频率表达式为 y=Acost ，我们的计
时零点是怎样选择的？如果以波源所在处为坐标原点，波沿x正方 向传播，那么对应的波函数应该怎样写？（设波速为v）。 （2）如果选取波源为y方向振动，且位移为A/2的时刻为计时 零点，波源处为坐标原点，波速仍为v，波函数该怎样写？ （3）如果在上题中把波源的位置定为x0点，波函数又该怎样写？
第六章 振动和波
第六章
振动和波
6-1 用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来,悬线OC通过圆盘质心, 圆盘呈水平状态,这个装置称扭摆,使圆盘转过一个角度时,金属 线受到扭转,从而产生一个扭转的回复力矩.若扭转角度很小,扭 转力矩与扭转角度成正比:M=k.求扭摆的振动周期.
解:由转动方程
M k I , k 0 , 2k,
I R2
2
)
1 2
x0 T
l0
mg x
(2)以弹簧原长时释放m ,
mg mg
x0 k ,
A k
又：x0A, v00
∴振动表达式为
2
1
x
mkgcos
k
m
I R2
2 t
2
补充6.5 在LC电路中,电容极板上的电量若为q,此时电容器储有 电能q2/2c,通过电感电流为i,此时电感储有磁能Li2/2,i=dq/dt,
2 k
m1m2
此系统作振幅为A,圆频率为的简振动.
Al-l
6-4一只鸟落在树枝上每4秒摆动6次,鸟飞走后,用一千克砝码系在
鸟呆过地方树枝弯下12厘米,问这只鸟的质量是多少？
