下载文档原格式
2020中考数学应用题专项训练（含答案）例题1.（1）某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为_______元，最大利润为______元．（2）根据统计经验，若某工厂以x千克/小时的效率生产某种产品（由于生产条件限制，110x≤≤），则每小时可获得的利润是310051xx⎛⎫+-⎪⎝⎭元．如果接到一笔900千克的订单，要使得此笔订单获得的利润最大，则应该以______________千克/小时的效率生产．（3）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（0a>）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为______________．【答案】（1）40，6000；（2）6；（3）06a<<．例题2. 为推进节能减排，发展低碳经济，深化“宜居成都”的建设，我市某“用电大户”用480万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，以提高用电效率达到节约用电的目的．已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x元，年销售量为y万件，年获利为w万元．（年获利=年销售额-生产成本-节电投资）（1）直接写出y与x间的函数关系式；（2）求第一年的年获利w与x函数关系式，并说明投资的第一年，该“用电大户”是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（3）若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过100元，但不超过200元的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？【答案】（1）当100200x <≤，100200.810x y -=-⨯，∴22825y x =-+， 当200300x <≤，把200x =代入22825y x =-+，得：12y =，∴20012110x y -=-⨯，13210y x =-+；（2）当100200x <≤时，(40)(1520480)w x y =--+2(40)28200025x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭221563120255x x =-+-22(195)7825x =---当195x =，=78w -最大当200300x <≤时，(40)(1520480)w x y =--+1(40)32200010x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭2136328010x x =-+-21(180)4010x =---， ∵2025-<，∴当在200300x <≤时，y 随x 的增大而减小，∴80w <-，∴是亏损的，最少亏损为78万元． （3）依题意可知，当100200x <≤时，第二年w 与x 关系为2(40)287825w x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭当总利润刚好为1842万元时，依题意可得2(40)2878184225x x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭整理，得2390380000x x -+=，解得，1190x =，2200x =∴要使两年的总盈利为1842万元，销售单价可定为190元或200元．∵对22825y x =-+，y 随x 增大而减小∴使销售量最大的销售单价应定为190元．例题3. 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （190x ≤≤）天的售已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果． 【答案】（1）当150x ≤＜时，2(2002)(4030)21802000y x x x x =-+-=-++， 当5090x ≤≤时，(2002)(9030)12012000y x x =--=-+，综上所述：221802000(150)12012000(5090)x x x y x x ⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；（2）当150x ≤<时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为45x =，当45x =时，22451804520006050y =-⨯+⨯+=最大， 当5090x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， 当50x =时，6000y =最大，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； （3）当150x ≤<时，2218020004800y x x =-++≥，解得2070x ≤≤， 因此利润不低于4800元的天数是2050x ≤＜，共30天； 当5090x ≤≤时，120120004800y x =-+≥，解得60x ≤， 因此利润不低于4800元的天数是5060x ≤≤，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．例题4. 某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）． （1）求日销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数； （3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？ 【答案】 （1）当4058x ≤≤时，设y 与x 的函数解析式为11y k x b =+，由图象可得 111140605824k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得112140k b =-⎧⎨=⎩．)件∴2140y x =-+．当5871x <≤时，设y 与x 的函数解析式为22y k x b =+，由图象得 222258247111k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得22182k b =-⎧⎨=⎩，∴82y x =-+，综上所述：2140(4058)82(5871)x x y x x -+≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）设人数为a ，当48x =时，24814044y =-⨯+=， ∴(4840)4410682a -⨯=+，解得3a =；（3）设需要b 天，该店还清所有债务， 则：[(40)822106]68400b x y -⋅-⨯-≥，∴68400(40)822106b x y ≥-⋅-⨯-，当4058x ≤≤时，∴26840068400(40)(2140)27022205870b x x x x ≥=--+--+-， 220552(2)x =-=⨯-时，222205870x x -+-的最大值为180，∴68400180b ≥，即380b ≥；当5871x <≤时，26840068400(40)(82)2701223550b x x x x ≥=--+--+-， 当122611(1)x =-=⨯-时，21223550x x -+-的最大值为171，∴68400171b ≥，即400b ≥．综合两种情形得380b ≥，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．例题5. 某服装经销商甲库存有进价每套400元的A 品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年刚好卖完，现市场上流行B 品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出每套500元，每月可卖出120套（两种服装的市场行情相互不受影响），目前有一可进B 品牌服装的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是经销商手头无流动资金可用，只有折价转让A 品牌服装，经与销售商乙协商，达成协议，方案一：不转让A 品牌服装，也不经销B 品牌服装； 方案二：全部转让A 品牌服装，用转让得来的资金一次性购入B 品牌服装，经销B 品牌服装； 方案三：为谋求更高利润，部分转让A 品牌服装，用转让来的资金一次性购入B 品牌服装后，经销B 品牌服装，同时也经销A 品牌服装．（1）如经锁商甲选择方案一，则他在一年内能获得多少利润？ （2）如经销商甲选择方案二，则他在一年内能获得多少利润？（3）经锁商甲选择哪种方案可以使自己在一年内获得最大利润？并求出此时他转让经销商乙的A 品牌服装的数量是多少？此时他在这一年内共得利润多少元？ 【答案】（1）方案一得1200(600200)240000⨯-=（元）；（2）方案二得12002401200(240400)(500200)240000200⨯⨯-+⨯-=（元）； （3）设转让数量为x 件，转让价格为y ，有表格关系得：136010y x =-+，则总利润(400)(500200)(1200)(600400)200xyz x y x =-+⨯-+-⨯-2211300240000(600)33000044x x x =-++=--+则转让600件时，利润最大为330000元.例题6. 某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A 、B 两类，A类杨梅包装后直接销售；B 类杨梅深加工后再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量(2)x x ≥之间的函数关系如图；B 类杨梅深加工总费用s （单位：万元）与加工数量t （单位：吨）之间的函数关系是123s t =+，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A 类杨梅有x 吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w 万元（毛利润=销售总收入-经营总成本）． ①求w 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A 类杨梅有多少吨？ （3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【答案】 （1）①当28x ≤<时，如图， 设直线AB 解析式为：y kx b =+，将(2,12)A 、(8,6)B 代入得：21286k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得114k b =-⎧⎨=⎩， ∴14y x =-+；②当8x ≥时，6y =．所以A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式为： 14(28)6(8)x x y x -+≤<⎧=⎨≥⎩；（2）设销售A 类杨梅x 吨，则销售B 类杨梅(20)x -吨．①当28x ≤<时，2(14)13A w x x x x x =-+-=-+； 9(20)[123(20)]1086B w x x x =--+-=-∴320A B w w w =+-⨯2(13)(1086)60x x x =-++--2748x x =-++； 当8x ≥时，65A w x x x =-=；9(20)[123(20)]1086B w x x x =--+-=- ∴320A B w w w =+-⨯(5)(1086)60x x =+--48x =-+．∴w 关于x 的函数关系式为：2748(28)48(8)x x x w x x ⎧-++≤<=⎨-+≥⎩．②当28x ≤<时，274830x x -++=，解得19x =，22x =-，均不合题意；当8x ≥时，4830x -+=，解得x =18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m 吨杨梅，其中A 类杨梅为x 吨，B 类杨梅为()m x -吨，则购买费用为3m 万元，A 类杨梅加工成本为x 万元，B 类杨梅加工成本为[123()]m x +-万元， ∴39[123()]132m x m x +++-=，化简得：360x m =-． ①当28x ≤<时，2(14)13A w x x x x x =-+-=-+； 9()[123()]6612B w m x m x m x =--+-=--∴3A B w w w m =+-⨯2(13)(6612)3m x x m x =-++---27312x x m =-++-．将360m x =+代入得：22848(4)64w x x x =-++=--+∴当4x =时，有最大毛利润64万元，此时643m =，523m x -=；②当8x ≥时，65A w x x x =-=；9()[123()]6612B w m x m x m x =--+-=-- ∴3A B w w w m =+-⨯(5)(6612)3m x m x =+---312x m =-+-．将360m x =+代入得：48w =，∴当8x >时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共643吨，其中A 类杨梅4吨，B 类523吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．例题7.（1）如图7-1，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______米．（2）如图7-2，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m 时，拱顶离水面2m ．当水面下降1m 时，此时水面的宽度增加了______________（结果保留根号）．（3）如图7-3，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ，有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知4AB =米，3AC =米，网球飞行最大高度5OM =米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少______________个时，网球可以落入桶内．图7-1 图7-2 图7-3【答案】（1）0.5；（2）4)m ；（3）8．例题8. 某物体从P 点运动到Q 点所用时间为7秒，其运动速度v （米每秒）关于时间t （秒）的函数关系如图所示. 某学习小组经过探究发现：该物体前进3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积.由物理学知识还可知：该物体前(37)t t <≤秒运动的路程在数值上等于矩形AODB 的面积与梯形BDNM 的面积之和. 根据以上信息，完成下列问题： （1）当37t <≤时，用含t 的式子表示v ； （2）分别求该物体在03t ≤≤和37t <≤时，运动的路程S (米)关于时间t (秒)的函数关系式；并求该物体从P 点运动到Q 总路程的710时所用的时间． 【答案】（1）由题意得，当37t ≤≤时，v ，t 为一次函数设为v kt b =+； 代入点(3,2) (7,10)得到24v t =-， （2）当03t ≤≤时，12S t =，当37t <≤时，2123[2(24)](3)2S t t =⨯++--，即22,40379,3t S t t t t ⎧=⎨-+≤≤<≤⎩，总路程为总面积为62430+=米，7302110⨯=米6>米，令221S =，得24921t t -+=，解得6t =，或2t =-舍，故从P 点运动到Q 总路程的710时所用的时间为6秒．)例题9. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围． 【答案】（1）根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1k =-，120b =．所求一次函数的表达式为120y x =-+．（2）22(60)(120)1807200(90)900W x x x x x =-⋅-+=-+-=--+， 抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大，而6087x ≤≤， ∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． （3）由500W =，得25001807200x x =-+-，整理得，218077000x x -+=，解得，170x =，2110x =．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤．例题10. 某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？（2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式．（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当120x ≤≤时，令130352x +=，得10x =．当2140x ≤≤时，令5252035x+=，得35x =．即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．（2）当120x ≤≤时，2113020(50)1550022y x x x x ⎛⎫=+--=-++ ⎪⎝⎭，当2140x ≤≤时，525262502020(50)525y x x x ⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭．∴2115500(120)226250525(2140)x x x y x x⎧-++⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤（3）当120x ≤≤时，221115500(15)612.522y x x x =-++=--+∵102-<，∴当15x =时，y 有最大值1y ，且1612.5y =．当2140x ≤≤时，∵262500>，∴26250x 随着x 的增大而减小，∴21x =时，26250x 最大．于是，21x =时，26250525y x =-有最大值2y ，且22625052572521y =-=．∵12y y <．∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．例题11. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于．．．40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）如图可知两点坐标为(60, 5)，(80, 4)代入y kx b =+得1820y x =-+ （2）由题意可得1188401202020z x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得21(100)6020z x =--+，故当销售单价100x =时，最大利润为60万元 （3）由题意22140(100)6040(100)40020z x x ≥⇒--+≥⇒-≤ 201002080120x x ∴-≤-≤⇒≤≤要求y 尽可能大，所以x 尽可能小，故当80x =，保证销售最大又达到指标.)例题12. 如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O恰在水面中心， 1.25m OA =，由柱子顶端A 处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m ．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？【答案】（1）以O 为原点，顶点为(1, 2.25)，设解析式为2(1) 2.25y a x =-+过点(0, 1.25)，解得1a =-，所以解析式为：2(1) 2.25y x =--+，令0y =，则2(1) 2.250x --+=，解得 2.5x =或0.5x =-（舍去），所以花坛半径至少为2.5m ．（2）根据题意得出：设2y x bx c =-++，把点(0, 1.25) (3.5, 0) ∴ 1.25497042c b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得：22754b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴2222511729747196y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达729196米．A例题13. “城市发展交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V （单位：千米/时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，且当028x <≤时，80V =；当28188x <≤时，V 是x 的一次函数. 函数关系如图所示.（1）求当28188x <≤时，V 关于x 的函数表达式；（2）若车流速度V 不低于50千米/时，求当车流密度x 为多少时，车流量P （单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）【答案】 （1）设函数解析式为V kx b =+， 则28801880k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1294k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 故V 关于x 的函数表达式为：1942V x =-+； （2）由题意得，194502V x =-+≥， 解得：88x ≤，又211949422P Vx x x x x ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭，当088x <≤时，函数为增函数，即当88x =时，P 取得最大，故2max 188948844002P =-⨯+⨯=． 即当车流密度达到88辆/千米时，车流量P 达到最大，最大值为4400辆/时．千米）。
实际应用题----有关增长率及购物问题一、增长率是初中数学应用题中常出现的考题之一，这种题型是很多学生的弱点，整理了跟增长率有关的数学应用题，希望能帮助大家提供应用题的能力。
此类题的基本量之间的关系：现产量=原产量×（1+增长率）n1.某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设两次降价的百分率为x，可列方程________。
解：根据题意可得289（1-x）2=2562.某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为_______解：设平均每月的增长率为x。
根据题意可得：60（1+x）2=100.3.某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价为127元，设平均降价率为x，则可列方程为_________解：173（1-X）2=1274.某汽车销售公司2018年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售型号汽车达45辆，求11月份和12月份销量的平均增长率。
解：设11月份和12月份销量的平均增长率为x。
根据题意，得20（1+x）2=45，解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(舍去)。
答：11 月份和12月份销量的平均增长率为50%。
5.为进一步发展基础教育，自2016年以来，某县加大了教育经费的投入，2016年该县投入教育经费6000万元。
2018年投入教育经费8640万元。
假设该县这两年投入教育经费的处平均增长率相同。
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还保持相同的处平均增长率，请你预算2019年该县投入教育经费多少万元。
解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得;6000(1+x)2=8640解得x=0.2=20%。
答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；（2）因为2018年该县投入教育经费为8540万元，且增长率为20%，所以2019年该县投入教育经费为：Y=8640×（1+20%）=10368（万元）答：预算2019年县投入教育经费10368万元。
1、某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣h）2+0.4刻画．（1）求h的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．2、某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林。
离入口处的路程y（米）与时间x（分)的函数关系如图2所示.（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间。
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）3、甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地，甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．⑴m=________，n=________；⑵求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；⑶当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程4、某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？5、某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．（1）第40天，该厂生产该产品的利润是元；（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？6、快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．请解答下列问题：（1）求快车和慢车的速度；（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．7、当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．8、襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：（1）该超市购进甲种蔬菜10kg和乙种蔬菜5kg需要170元；购进甲种蔬菜6kg和乙种蔬菜10kg 需要200元．求m，n的值；（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg，且不大于70kg．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量x（kg）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值．9、某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）(1)①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值10、在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．（π取3.14）．（1）求400米跑道中一段直道的长度；（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：若设x表示跑道宽度（单位：米），y表示该跑道周长（单位：米），试写出y与x的函数关系式：（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？11、某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？12、某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．13、为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？14、某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？15、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A 运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．16、甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（h）之间的函数图象为折线OA﹣AB﹣BC，如图所示．（1）这批零件一共有个，甲机器每小时加工个零件，乙机器排除故障后每小时加工个零件；（2）当3≤x≤6时，求y与x之间的函数解析式；（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？17、为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？18、小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．（1）求函数图象中a的值；（2）求小强的速度；（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．19、已知A.B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以每小时60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止。
2020年中考数学题型04 二次函数的实际应用题一、单选题1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y =﹣x 2+bx +c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面16的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是( )A ．2mB ．4m C．D ．【答案】D 【分析】根据长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ，可得顶点的横坐标和点C 的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y ＝8代入解析式即可得结论．【详解】根据题意，得OA =12，OC =4．所以抛物线的顶点横坐标为6，即﹣==6，∴b =2．2b a 13b∵C （0，4），∴c =4，所以抛物线解析式为：y =﹣x 2+2x +416=﹣（x ﹣6）2+10168=﹣（x ﹣6）2+10，16解得：x 1x 2则x 1﹣x 2．所以两排灯的水平距离最小是．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：m 3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x ≤90°）近似满足函数关系y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（ ）A ．33°B ．36°C ．42°D ．49°【答案】C 【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x 的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x ＞且x ＜54，18542 ∴36＜x ＜54，即对称轴位于直线x ＝36与直线x ＝54之间且靠近直线x ＝36，【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD 如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x 米，在五边形EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y 与x的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】S △AEF =AE×AF=，S △DEG =DG×DE=×1×（3﹣x）=，S 五边形EFBCG =S 正方形ABCD ﹣S △12212x121232x -AEF ﹣S △DEG ==，则y=4×（）213922x x ---21115222x x -++21115222x x -++=，∵AE＜AD ，∴x＜3，综上可得：（0＜x ＜3）．故选A ．22230x x -++22230y x x =-++考点：动点问题的函数图象；动点型．4．某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ）403A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m【答案】B 【分析】以OB 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，A 点坐标为（0，10），M 点的坐标为（1，），403设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．【详解】解：设抛物线的解析式为y ＝a (x ﹣1)2+，403把点A （0，10）代入a (x ﹣1)2+，得a (0﹣1)2+＝10，403403解得a ＝﹣，103因此抛物线解析式为y ＝﹣(x ﹣1)2+，103403当y ＝0时，解得x 1＝3，x 2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB ＝3米．故选B ．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．5．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm ，底面是个直径为6cm 的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长不计重合部AD(分，两个果冻之间没有挤压至少为 )()A ．B ．C ．D．(6cm+(6cm+(6cm+(6cm+【答案】A【分析】设：左侧抛物线的方程为：，点A 的坐标为，将点A 坐标代入上式并解得：2y ax =()3,4-，由题意得：点MG 是矩形HFEO 的中线，则点N 的纵坐标为2，将代入抛物线表达式，即可求4a 9=y 2=解．【详解】解：设左侧抛物线的方程为：，2y ax =点A 的坐标为，将点A 坐标代入上式并解得：，()3,4-4a 9=则抛物线的表达式为：，24y x 9=由题意得：点MG 是矩形HFEO 的中线，则点N 的纵坐标为2，将代入抛物线表达式得：，解得：(负值已舍去)，y 2=242x 9=x =则AD 2AH 2x 6=+=+故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，.然后求解．6．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ）x （分）…13.514.716.0…y （米）…156.25159.85158.33…A ．32分B ．30分C ．15分D ．13分【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案．【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟．故选：B ．【点睛】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．7．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x﹣k）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定【答案】C 【分析】（1）将点A (0,2)代入求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别2(6) 2.6y a x =-+与2.43、0比较大小可得．【详解】根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a +2.6=2，解得：160a ，=-∴y 与x 的关系式为 21(6) 2.660y x =--+；当x =9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>，∴球能过球网，当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界.故选C.【点睛】考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.8．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物x 线钢拱的函数表达式为( )A ．B ．C ．D ．226675y x =226675y x =-2131350y x =2131350y x =-【答案】B【分析】设抛物线解析式为y=ax 2，由已知可得点B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.【详解】∵拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系，x ∴设抛物线解析式为y=ax 2，点B(45，-78)，∴-78=452a ，解得：a=，26675-∴此抛物线钢拱的函数表达式为，226675y x =-故选B.【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.9．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m ，水流在离喷出口的水平距离1.25m 处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m 的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ）A ．0.55米B ．米C ．米D ．0.4米11301330【答案】B 【分析】如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x ＝1.25＝，A （0，0.8），54C （3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x ＝1.25＝，A （0，0.8），C （3，0），54设解析式为y ＝ax 2+bx +c ，∴，9305240.8a b c b a c ++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩解得：，8154345a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以解析式为：y ＝x 2+x +，815-4345当x ＝2.75时，y ＝，1330∴使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣＝，13301130故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】D 【详解】解：A 、假设这个位置在点M ，则从A 至B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B 、假设这个位置在点N ，则从A 至C 这段时间，A 点与C 点对应y 的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C 、，假设这个位置在点P ，则由函数图象可得，从A 到C 的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P 不符合这个条件，故本选项错误；D 、经判断点Q 符合函数图象，故本选项正确；故选D ．二、填空题11．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米．21251233y x x =-++【答案】10【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】当y=0时，212501233x x -++=解得，x=-2（舍去），x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．12．汽车刹车后行驶的距离(单位：)关于行驶的时间(单位：)的函数解析式是．汽车s m t s 2126s t t =-刹车后到停下来前进了______．m 【答案】6【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s 的值.【详解】解：根据二次函数解析式=-6(t²-2t+1-1)=-6(t-1) ²+62126s t t =-可知，汽车的刹车时间为t=1s ，当t=1时，=12×1-6×1²=6(m)2126s t t =-故选：6【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，理解透题意是解题的关键．13．如图，一款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为______米．【答案】1.95【分析】以点B为原点建立直角坐标系，则点C为抛物线的顶点，即可设顶点式y＝a（x−0.8）2＋2.4，点A的坐标为（0，1.6），代入可得a的值，从而求得抛物线的解析式，将点D的横坐标代入，即可求点D的纵坐标就是点D距地面的高度【详解】解：如图，以点B为原点，建立直角坐标系．由题意，点A（0，1.6），点C（0.8，2.4），则设顶点式为y＝a（x−0.8）2＋2.4将点A代入得，1.6＝a（0−0.8）2＋2.4，解得a＝−1.25∴该抛物线的函数关系为y＝−1.25（x−0.8）2＋2.4∵点D的横坐标为1.4∴代入得，y＝−1.25×（1.4−0.8）2＋2.4＝1.95故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米故答案为1.95.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．【答案】150【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，利用函数的性质即可解答本题．【详解】解：设AB=xm ，则BC=（900﹣3x），12由题意可得，S=AB×BC= （900﹣3x）x=﹣（x 2﹣300x）=﹣（x﹣150）2+33750，123232∴当x=150时，S 取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150m，故答案为150．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值．15．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝﹣5x 2+20x ，在飞行过程中，当小球的行高度为15m 时，则飞行时间是_____．【答案】1s 或3s【分析】根据题意可以得到15=﹣5x 2+20x ，然后求出x 的值，即可解答本题．【详解】∵y=﹣5x 2+20x ，∴当y=15时，15=﹣5x 2+20x ，得x 1=1，x 2=3，故答案为1s 或3s ．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．16．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．【答案】25试题分析：设最大利润为w 元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案为25．考点：1．二次函数的应用；2．销售问题．17．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为.，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，y =-140x 2+10则这两盏灯的水平距离EF 是______米精确到1米.()【答案】85由于两盏E 、F 距离水面都是8m ，因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．故有，-140x 2+10=8即，，．x 2=80x 1=45x 2=-45所以两盏警示灯之间的水平距离为：|x 1-x 2|=|45-（-45）|=85≈18（m ）18．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为，长为，左侧图片的长比宽多. 若xcm 40cm 4cm ，则右侧留言部分的最大面积为_________.1416x ……2cm【答案】320【分析】先求出右侧留言部分的长，再根据矩形的面积公式得出面积与x 的函数解析式，利用二次函数的图像与性质判断即可得出答案.【详解】根据题意可得，右侧留言部分的长为(36-x)cm∴右侧留言部分的面积()()()22363632432418324x x x x x =-=--++=--+又14≤x≤16∴当x=16时，面积最大(()21618324320=--+=2)cm 故答案为320.【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，比较简单，解题关键是根据题意写出面积的函数表达式.19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为，羽毛球飞行的水平距离（米）P s 与其距地面高度（米）之间的关系式为，如图，已知球网距原点米，乙（用h 21231232h s s =-++AB 5线段表示）扣球的最大高度为米，设乙的起跳点的横坐标为，若乙原地起跳，因球的高度高CD 94C m 于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则的取值范围是__________．m【答案】54m <<当时，，解得；94h =2123912324S S -++=4S =±∵扣球点必须在球网右边，即，5m >∴．54m <<点睛：本题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以选取h 等于最大高度，求自变量的值，再根据题意确定范围．20．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A 、B 两点之间有障碍物，现将A 、B 两点放置于平面直角坐标系xOy 中（如图），已知点A ，B 的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y ＝ax 2﹣4ax﹣5a 运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a 的取值范围是_____．【答案】﹣＜a ＜4547【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB 有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y 轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：∵点A 、B 坐标分别为（0，4），（6，4），∴线段AB 的解析式为y ＝4．机器人沿抛物线y ＝ax 2﹣4ax﹣5a 运动．抛物线对称轴方程为：x ＝2，机器人在运动过程中只触发一次报警，所以抛物线与线段y ＝4只有一个交点．所以抛物线经过点A 下方．∴﹣5a＜4解得a ＞﹣．454＝ax 2﹣4ax﹣5a，△＝0即36a 2+16a ＝0，解得a 1＝0（不符合题意，舍去），a 2＝．49当抛物线恰好经过点B 时，即当x ＝6，y ＝4时，36a﹣24a﹣5a＝4，解得a ＝47综上：a 的取值范围是﹣＜a ＜4547【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用.三、解答题21．在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元.（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？【答案】（1）钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；（2）当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元.【分析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设钢笔的单价为a 元，购买数量为b 元，支付钢笔和笔记本的总金额w 元，①当30≤b≤50时，求得w=-0.1（b-35）2+722.5，于是得到700≤w≤722.5；②当50＜b≤60时，求得w=8b+6（100-b ）=2b+600，700＜w≤720，于是得到当30≤b≤60时，w 的最小值为700元，于是得到结论．【详解】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为、元.根据题意可得x y 23384570x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：.106x y =⎧⎨=⎩答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元.（2）设钢笔单价为元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元.a ①当30≤b≤50时，100.1(30)0.113a b b =--=-+w=b （-0.1b+13）+6（100-b ）20.17600b b =-++20.1(35)722.5b =--+∵当时，W=720，当b=50时，W=70030b =∴当30≤b≤50时，700≤W≤722.5②当50＜b≤60时，a=8，86(100)2600,W b b b =+-=+∵700720W <≤∴当30≤b≤60时，W 的最小值为700元∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元.【点睛】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意求出二次函数的解析式是解题的关键．22．某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按x 6x ≥x 0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元．y （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；y x （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利80%润．【答案】（1）；（2）当天销售单价所在的范围为；（3）每件文具售210210800=-+-y x x 813≤≤x 价为9元时，最大利润为280元.【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，（2）由（1）的关系式，即，结合二次函数的性质即可求的取值范围240y ≥x （3）由题意可知，利润不超过即为利润率＝（售价－进价）÷售价，即可求得售价的范围．再结合80%二次函数的性质，即可求．【详解】解：由题意（1）26(5)1005102108000.5x y x x x -⎛⎫=--⨯=-+- ⎪⎝⎭故与的函数关系式为：y x 210210800=-+-y x x （2）要使当天利润不低于240元，则，240y ≥∴()22102108001010.5302.5240y x x x =-+-=--+=解得，128,13x x ==∵，抛物线的开口向下，100-<∴当天销售单价所在的范围为813≤≤x （3）∵每件文具利润不超过80%∴，得50.8x x -≤9x ≤∴文具的销售单价为，69x ≤≤由（1）得()22102108001010.5302.5y x x x =-+-=--+∵对称轴为10.5x =∴在对称轴的左侧，且随着的增大而增大69x ≤≤y x ∴当时，取得最大值，此时9x =()210910.5302.5280y =--+=即每件文具售价为9元时，最大利润为280元【点睛】考核知识点：二次函数的应用.把实际问题转化为函数问题解决是关键.23．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【答案】(1)y 与x 的函数解析式为；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩值为1250元.【分析】(1)当6x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，利用待定系数法求得k 、b 的值即可；当≤10＜x≤12时，由图象可知y ＝200，由此即可得答案；(2))设利润为w 元，当6≦x≤10时，w ＝－200＋1250，根据二次函数的性质可求得最大值为2172x -（）1250；当10＜x≤12时，w ＝200x －1200，由一次函数的性质结合x 的取值范围可求得w 的最大值为1200，两者比较即可得答案.【详解】(1)当6x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)，≤∴ ，1000620010k b k b =+⎧⎨=+⎩解得 ，2002200k b =-⎧⎨=⎩∴当6x≤10时， y ＝-200x+2200，≤当10＜x≤12时，y ＝200，综上，y 与x 的函数解析式为；()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩(2)设利润为w 元，当6x≤10时，y ＝－200x ＋2200，≤w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－200＋1250，2172x -（）∵－200＜0，6≦x≤10，当x ＝时，w 有最大值，此时w=1250；172当10＜x≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200，∴200＞0，∴w＝200x －1200随x 增大而增大，又∵10＜x≤12，∴当x ＝12时，w 最大，此时w=1200，1250＞1200，∴w 的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质等，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键.24．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x （元）与该士特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：x （元）152030…y （袋）252010…若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求：（1）日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【答案】（1）y ＝﹣x +40；（2）要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.【分析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可(2)利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可.【详解】(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y ＝kx+b 得，解得，25152020k b k b =+⎧⎨=+⎩140k b =-⎧⎨=⎩故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y ＝﹣x+40；(2)依题意，设利润为w 元，得w ＝(x﹣10)(﹣x+40)＝﹣x 2+50x+400，整理得w ＝﹣(x﹣25)2+225，∵﹣1＜0，∴当x ＝2时，w 取得最大值，最大值为225，故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.25．某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B ,A B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A B 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？A 【答案】（1）该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒；（2）当种湘莲礼盒降价9元/盒时，AB A 这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，列二元一次方程组即可解题A xB y （2）根据题意，可设种礼盒降价元/盒，则种礼盒的销售量为：（）盒，再列出关系式即A m A 103m +可．【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，A xB y 则有，解得(12072)(8040)1280120802800x y x y -+-=⎧⎨+=⎩1020x y =⎧⎨=⎩故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒．A B （2）设A 种湘莲礼盒降价元/盒，利润为元，依题意m W 总利润(12072)108003m W m ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭化简得221161280(9)130733W m m m =-++=--+∵103a =-<∴当时，取得最大值为1307，9m =故当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．A【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．26．随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款产品，5G 5G 5G 根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第（为正整数）个销售周期x x 每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系.y y x （1）求与之间的关系式；y x （2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可用来描述．根据x p p x 1122p x =+以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【答案】（1）与之间的关系式为；（2）第个销售周期的销售收入最大，此时该y x 5007500y x =-+7产品每台的销售价格是元.4000【分析】（1）根据两点坐标即可求出一次函数的解析式；（2）根据题意令销售收入W=py ，再根据二次函数的性质即可求解.【详解】（1）设与之间的关系式为y=kx+b ，y x 把（1，7000），（5,5000）代入y=kx+b ，得，解得700050005k b k b =+⎧⎨=+⎩5007500k b =-⎧⎨=⎩∴与之间的关系式为；y x 5007500y x =-+（2）令销售收入W=py==11()(5007500)22x x +-+2250(7)16000x --+∴当x=7时，W 有最大值为16000，此时y=-500×7+7500=4000故第个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是元.74000【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与二次函数的图像与性质.27．某超市拟于中秋节前天里销售某品牌月饼，其进价为元/．设第天的销售价格为（元/5018kg x y ），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当kg ()m kg 130x ……y=40时，与满足一次函数关系，且当时，；时，．②与的关3150x ……y x 36x =37y =44x =33y =m x 系为．550m x =+（1）当时，与的关系式为 ；3150x ……y x （2）为多少时，当天的销售利润（元）最大？最大利润为多少？x W （3）若超市希望第天到第天的日销售利润（元）随的增大而增大，则需要在当天销售价格的基3135W x 础上涨元/，求的最小值．a kg a 【答案】（1）；（2）为时，当天的销售利润（元）最大，最大利润为元；1552y x =+x 32W 4410（3）3【分析】（1）依据题意利用待定系数法，易得出当时，与的关系式为：，3150x ……y x 1552y x =+（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间w x 的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．（3）要使第天到第天的日销售利润（元）随的增大而增大，则对称轴，求得即可3135W x 352b a =…a 【详解】（1）依题意，当时，时，，x=3637;44y x ==y=33当时，设，3150x ……y kx b =+。
2020年全国中考数学试题精选50题:方程的解法和应用一、单选题1.（2020·朝阳)某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于，则这种品牌衬衫最多可以打几折?（)A。
8 B。
6 C。
7 D. 92。
（2020·雅安）如果关于x的一元二次方程有两个实数根,那么的取值范围是（）A. B。
且 C. 且D。
3.(2020·绵阳)《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三,问人数、羊价各几何？”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱，还差45钱;若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（）A。
160钱 B。
155钱 C。
150钱 D。
145钱4.(2020·东营）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“ 三百七十八里关,初健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（)A。
96里 B。
48里 C。
24里 D. 12里5。
（2020·滨州）对于任意实数k,关于x的方程的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根 B。
没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D。
无法判定6.（2020·南县）同时满足二元一次方程和的x,y 的值为（）A。
B。
C。
D。
7.（2020·内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索,索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．"其大意为：现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则正确的方程是（）A。
B。
C. D 。
8.(2020·呼和浩特)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载,“三百七十八里关;初日健步不为难，次日脚痛减一半,六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口,路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口,则此人第一和第六这两天共走了（）A。
2020湖南省中考数学专题复习实际应⽤题实际应⽤题(郴州必考；衡阳必考；岳阳5考；益阳必考)类型⼀分配问题(郴州2018、2015.21，2014.24；岳阳2019.20，2017、2014.20；益阳2018.24，2014～2016.19)1. (2019资阳)为了参加西部博览会，资阳市计划印制⼀批宣传册，该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成．已知A种彩页制版费300元/张，B种彩页制版费200元/张，共计2400元．(注：彩页制版费与印数⽆关)(1)每本宣传册A、B两种彩页各有多少张？(2)据了解，A种彩页印刷费2.5元/张，B种彩页印刷费1.5元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不超过30900元．如果按到资阳展台处的参观者⼈⼿⼀册发放宣传册，预计最多能发给多少位参观者？2. (2020原创)某青春党⽀部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、⼄两种树苗让其栽种，已知⼄种树苗价格⽐甲种树苗贵10元，⽤480元购买⼄种树苗的棵数恰好与⽤360元购买甲种树苗的棵数相同．(1)求甲、⼄两种树苗每棵的价格各是多少元？(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、⼄两种树苗共50棵．此时，甲种树苗的售价⽐第⼀次购买时降低了10%，⼄种树苗的售价保持不变．如果此次购买两种树苗的总费⽤不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵⼄种树苗？3. (2019桂林)为响应国家“⾜球进校园”的号召，某校购买了50个A类⾜球和25个B类⾜球共花费7500元，已知购买⼀个B类⾜球⽐购买⼀个A类⾜球多花30元．(1)求购买⼀个A类⾜球和⼀个B类⾜球各需多少元？(2)通过全校师⽣的共同努⼒，今年该校被评为“⾜球特⾊学校”，学校计划⽤不超过4800元的经费再次购买A类⾜球和B类⾜球共50个，若单价不变，则本次⾄少可以购买多少个A类⾜球？4.(2019烟台)亚洲⽂明对话⼤会召开期间，⼤批的⼤学⽣志愿者参与服务⼯作．某⼤学计划组织本校全体志愿者统⼀乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若⼲辆，则有2⼈没有座位；若只调配22座新能源客车，则⽤车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该⼤学共有多少名志愿者？(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每⼈有座，⼜保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？5. (2019聊城)某商场的运动服装专柜对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进⾏销售，已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：(1)问A ，B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元？(2)由于B 品牌运动服的销量明显好于A 品牌，商家决定采购B 品牌的件数⽐A 品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B 品牌运动服？6. (2019孝感)为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购⼀批A 、B 两种型号的⼀体机．经市场调查发现，今年每套B 型⼀体机的价格⽐每套A 型⼀体机的价格多0.6万元，且⽤960万元恰好能购买500套A 型⼀体机和200套B 型⼀体机．(1)求今年每套A 型、B 型⼀体机的价格各是多少万元？(2)该市明年计划采购A 型、B 型⼀体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A 型⼀体机的价格⽐今年上涨25%，每套B 型⼀体机的价格不变．若购买B 型⼀体机的总费⽤不低于购买A 型⼀体机的总费⽤，那么该市明年⾄少需要投⼊多少万元才能完成采购计划？类型⼆利润问题(郴州2017、2016.21；衡阳2018.24；益阳2019.24，2017.19)1. 夏威夷果果仁营养丰富，不仅含有⼈体必需的8种氨基酸，还富含矿物质和维⽣素．⼝感⾹酥滑嫩可⼝，有独特的奶油⾹味，是世界上品质最佳的⾷⽤⽤果，有“⼲果皇后”，“世界坚果之王”之美称．超市以每千克40元的价格购进夏威夷果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更⼤的优惠，现决定降价销售，已知这种夏威夷果销售量y (千克)与每千克降价x (元) (0＜x ＜20)之间满⾜⼀次函数关系，其图象如图所⽰：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价多少元？第1题图2. (2020原创)平衡车越来越受到中学⽣的喜爱，某公司今年从⼚家以3000元/辆的批发价购进某品牌平衡车300辆进⾏销售，零售价格为4200元/辆．暑期将⾄，公司决定拿出⼀部分该品牌平衡车以4000元/辆的价格进⾏促销．设全部售出获得的总利润为y 元，今年暑假期间拿出促销的该品牌平衡车数量为x 辆，根据上述信息，解答下列问题：(1)求y 与x 之间的函数解析式(也称关系式)，并直接写出x 的取值范围；(2)若以促销价进⾏销售的数量不低于零售价销售数量的14，该公司应拿出多少辆该品牌平衡车促销才能使这批车的销售利润最⼤？并求出最⼤利润．3. (2019绵阳)⾠星旅游度假村有甲种风格客房15间，⼄种风格客房20间．按现有定价：若全部⼊住，⼀天营业额为8500元；若甲、⼄两种风格客房均有10间⼊住，⼀天营业额为5000元．(1)求甲、⼄两种客房每间现有定价分别是多少元？(2)度假村以⼄种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天⽀出80元的各种费⽤．当每间房间定价为多少元时，⼄种风格客房每天的利润w最⼤，最⼤利润是多少元？4.由于雾霾天⽓频发，市场上防护⼝罩出现热销．某医药公司每⽉固定⽣产甲、⼄两种型号的防雾霾⼝罩共20万只，且所有产品当⽉全部售出．原料成本、销售单价及⼯⼈⽣产提成如下表：(1)若该公司五⽉份的销售收⼊为300万元，求甲、⼄两种型号的产量分别是多少万只？(2)公司实⾏计件⼯资制，即⼯⼈每⽣产⼀只⼝罩获得⼀定⾦额的提成．如果公司六⽉份投⼊总成本(原料总成本＋⽣产提成总额)不超过239万元，应怎样安排甲、⼄两种型号的产量，可使该⽉公司所获利润最⼤？并求出最⼤利润(利润＝销售收⼊－投⼊总成本)．5. (2018陕西)经过⼀年多的精准帮扶，⼩明家的⽹络商店(简称⽹店)将红枣、⼩⽶等优质⼟特产迅速销往全国．⼩明家⽹店中红枣和⼩⽶这两种商品的相关信息如下表：根据上表提供的信息，解答下列问题：(1)已知今年前五个⽉，⼩明家⽹店销售上表中规格的红枣和⼩⽶共3000 kg，获得利润4.2万元，求这前五个⽉⼩明家⽹店销售这种规格的红枣多少袋；(2)根据之前的销售情况，估计今年6⽉到10⽉这后五个⽉，⼩明家⽹店还能销售上表中规格的红枣和⼩⽶共2000 kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600 kg，假设这后五个⽉，销售这种规格的红枣为x(kg)，销售这种规格的红枣和⼩⽶获得的总利润为y(元)，求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个⽉，⼩明家⽹店销售这种规格的红枣和⼩⽶⾄少获得总利润多少元．类型三⽅案问题(郴州2017.21，2019.22；衡阳2019、2017.24，2016.23)1.(2019荆州节选)为拓展学⽣视野，促进书本知识与⽣活实践的深度融合，荆州市某中学组织⼋年级全体学⽣前往松滋洈⽔研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位⽼师带队14名学⽣，则还剩10名学⽣没⽼师带；若每位⽼师带队15名学⽣，就有⼀位⽼师少带6名学⽣．现有甲、⼄两种⼤型客车，它们的载客量和租⾦如下表所⽰：学校计划此次研学活动的租⾦总费⽤不超过3000元，为安全起见，每辆客车上⾄少要有2名⽼师．(1)参加此次研学活动的⽼师和学⽣各有多少⼈？(2)既要保证所有师⽣都有车坐，⼜要保证每辆车上⾄少要有2名⽼师，可知租车总辆数为______辆；(3)学校共有⼏种租车⽅案？2.张⽼师计划组织朋友暑假去旅游．经了解，现有甲、⼄两家旅⾏社⽐较合适，报价均为每⼈640元，且提供的服务完全相同．针对组团旅游的游客，甲旅⾏社表⽰，每⼈按⼋五折收费；⼄旅⾏社表⽰，若⼈数不超过20⼈，每⼈都按九折收费，超过20⼈，则超出部分每⼈按七五折收费．假设组团参加甲、⼄两家旅⾏社的⼈数均为x⼈．(1)请分别写出甲、⼄两家旅⾏社收取组团旅游的总费⽤y(元)与x(⼈)之间的函数关系式；(2)若你是张⽼师，在甲、⼄两家旅⾏社中，你怎样选择？说明理由．3.某⼯艺品店准备购进甲、⼄两种⼯艺品．经了解，购进5件甲种⼯艺品和4件⼄种⼯艺品需要2000元，购进10件甲种⼯艺品和3件⼄种⼯艺品需要3000元．(1)甲种⼯艺品和⼄种⼯艺品每件各多少元？(2)实际购买时，发现⼚家有两种优惠⽅案．⽅案⼀：购买甲种⼯艺品超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，⼄种⼯艺品没有优惠；⽅案⼆：两种⼯艺品都按原价的9折付款．该⼯艺品店决定购买x(x>20)件甲种⼯艺品和30件⼄种⼯艺品．①求两种⽅案的费⽤y与件数x的函数解析式；②请你帮该⼯艺品店决定选择哪种⽅案更合算．4.(2019温州)某旅⾏团32⼈在景区A游玩，他们由成⼈、少年和⼉童组成．已知⼉童10⼈，成⼈⽐少年多12⼈．(1)求该旅⾏团中成⼈与少年分别是多少⼈？(2)因时间充裕，该团准备让成⼈和少年(⾄少各1名)带领10名⼉童去另⼀景区B游玩，景区B的门票价格为100元/张，成⼈全票，少年8折，⼉童6折，⼀名成⼈可以免费携带⼀名⼉童．①若由成⼈8⼈和少年5⼈带队，则所需门票的总费⽤是多少元？②若剩余经费只有1200元可⽤于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成⼈和少年共多少⼈带队？求所有满⾜条件的⽅案，并指出哪种⽅案购票费⽤最少．类型四⼯程、⾏程问题(岳阳2018.21，2016.20)1. (2019岳阳模拟)2019年5⽉，某地迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相⽐，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“甲城——⼄城”全程⼤约500千⽶，“复兴号”G 92次列车平均每⼩时⽐某列“和谐号”列车多⾏驶40千⽶，其⾏驶时间是该列“和谐号”列车⾏驶时间的45(两列车中途停留时间均除外)．经查询，“复兴号”G 92次列车从甲城到⼄城，中途只有丙⼀站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G 92次列车从甲城到⼄城需要多长时间．2. 某市政府计划对城区道路进⾏改造，现安排甲、⼄两个⼯程队完成．已知甲队的⼯作效率是⼄队⼯作效率的32倍，甲队改造720⽶的道路⽐⼄队改造同样长的道路少⽤4天．(1)甲、⼄两⼯程队每天能改造道路的长度分别是多少⽶？(2)若甲队⼯作⼀天需付费⽤7万元，⼄队⼯作⼀天需付费⽤5万元，如需改造的道路全长2400⽶，改造总费⽤不超过195万元，⾄少安排甲队⼯作多少天？参考答案类型⼀分配问题1. 解：(1)设每本宣传册A 、B 两种彩页分别有x 张和y 张，根据题意有：x ＋y ＝10300x ＋200y ＝2400，解得?x ＝4y ＝6，答：每本宣传册A 、B 两种彩页分别有4张和6张； (2)设预计最多能发m 位参观者，根据题意有： 4m ×2.5＋6m ×1.5≤30900－2400，解得m ≤1500，答：预计最多能发1500位参观者．2. 解：(1)设甲种树苗每棵的价格是x 元，则⼄种树苗每棵的价格是(x ＋10)元，由题意得， 360x ＝480x ＋10，解得x ＝30，经检验，x ＝30是原分式⽅程的解，且符合题意，∴x ＋10＝40.答：甲种树苗每棵的价格是30元，⼄种树苗每棵的价格是40元；(2)设他们可购买y 棵⼄种树苗；依题意有30×(1－10%)(50－y )＋40y ≤1500，解得y ≤11713，∵y 是整数，∴y 的最⼤值为11，答：他们最多可购买11棵⼄种树苗．3. 解：(1)设购买⼀个A 类⾜球和⼀个B 类⾜球分别需x 元和y 元，依题意得：x ＋30＝y ，50x ＋25y ＝7500，解得?x ＝90，y ＝120. 答：购买⼀个A 类⾜球和⼀个B 类⾜球分别需90元和120元；(2)设购买a 个A 类⾜球，则购买B 类⾜球为(50－a )个(a 为整数)，依题意得： 90a ＋120(50－a )≤4800，解得a ≥40.答：本次⾄少可以购买40个A 类⾜球．4. 解：(1)设计划调配36座新能源客车x 辆，则该⼤学志愿者有(36x ＋2)名，根据题意，得 36x ＋2＝22(x ＋4)－2，解得 x ＝6.∴36x ＋2＝36×6＋2＝218.答：计划调配36座新能源客车6辆，该⼤学共有218名志愿者； (2)设调配⽤36座新能源客车m 辆，22座新能源客车n 辆，依题意得36m ＋22n ＝218，即18m ＋11n ＝109，⼜∵m 、n 为正整数，∴m ＝3, n ＝5.答：调配36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆，既保证每⼈有座，⼜保证每车不空座． 5. 解：(1)设A ，B 两种品牌运动服的进货单价分别是x 元、y 元，根据表格数据可列⽅程组：20x ＋30y ＝10200，30x ＋40y ＝14400，解得?x ＝240，y ＝180.答：A ，B 两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元； (2)设购进A 品牌运动服m 件，则购进B 品牌运动服(32m ＋5)件，根据题意得：240m ＋180(32m ＋5)≤21300，解得m ≤40，∴32m ＋5≤32×40＋5＝65. 答：最多能购进65件B 品牌运动服．6. 解：(1)设今年每套A 型⼀体机的价格为x 万元，每套B 型⼀体机的价格为y 万元，由题意可得y －x ＝0.6，500x ＋200y ＝960，解得?x ＝1.2，y ＝1.8，答：今年每套A 型⼀体机的价格是1.2万元，每套B 型⼀体机的价格是1.8万元；(2)设该市明年购买A 型⼀体机m 套，则购买B 型⼀体机(1100－m )套，需投⼊W 万元，由题意可得 W ＝1.2×(1＋25%)m ＋1.8(1100－m )＝－0.3m ＋1980，∵－0.3＜0，∴W 随m 的增⼤⽽减⼩，由题意可得：1．8(1100－m )≥1.2(1＋25%)m ，解得m ≤600，∴当m ＝600时，W 有最⼩值，最⼩值为－0.3×600＋1980＝1800. 答：该市明年⾄少需投⼊1800万元才能完成采购计划．类型⼆利润问题1. 解：(1)设⼀次函数解析式为y ＝kx ＋b ，∵当x ＝2时，y ＝120；当x ＝4时，y ＝140；∴2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140，解得k ＝10，b ＝100.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100(0(60－40－x )(10x ＋100)＝2090，整理得x 2－10x ＋9＝0，解得x 1＝1，x 2＝9.∵为了让顾客得到更⼤的优惠，∴x ＝9.答：超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价9元． 2. 解：(1)根据题意得：y ＝(4000－3000)x ＋(4200－3000)(300－x )＝－200x ＋360000(0≤x ≤300)； (2)根据题意得： x ≥14(300－x )，解得x ≥60，由(1)可知，y ＝－200x ＋360000，∵－200<0，∴y 随x 的增⼤⽽减⼩，∴当x ＝60时，y 的值最⼤，最⼤值为－200×60＋360000＝348000(元)．答：公司应拿出60辆该品牌平衡车促销才能使这批车的销售利润最⼤，最⼤利润为348000元． 3. 解：(1)设甲、⼄两种客房每间现有定价分别是x 元、y 元，根据题意，得：15x ＋20y ＝850010x ＋10y ＝5000，解得?x ＝300y ＝200，答：甲、⼄两种客房每间现有定价分别是300元、200元； (2)设每个房间每天的定价增加了m 个20元，则有2m 个房间空闲，根据题意得：w ＝(20－2m )·(200＋20m －80)＝－40m 2＋160m ＋2400 ＝－40(m －2)2＋2560，∵－40＜0，∴当m ＝2时，w 取得最⼤值，最⼤值为2560，此时房间的定价为200＋2×20＝240元．答：当每间房间定价为240元时，⼄种风格客房每天的利润w 最⼤，最⼤利润是2560元． 4. 解：(1)设甲种型号的产量为x 万只，则⼄种型号的产量为(20－x )万只，由题意可得18x ＋12(20－x )＝300，解得x ＝10，∴20－x ＝10.答：甲种型号的产量为10万只，⼄种型号的产量为10万只； (2)设甲种型号的产量为a 万只，则⼄种型号的产量为(20－a )万只，由题意可得(12＋1)a ＋(8＋0.8)(20－a )≤239，解得a ≤15,设该⽉公司所获利润为y 万元，由题意可得y ＝(18－12－1)a ＋(12－8－0.8)(20－a )＝1.8a ＋64，∵1.8＞0，∴y 随a 的增⼤⽽增⼤，∴当a ＝15时，y 有最⼤值91.答：甲种型号的产量为15万只，⼄种型号的产量为5万只，可使该⽉公司所获利润最⼤，最⼤利润为91万元．5. 解：(1)设前五个⽉⼩明家⽹店销售这种规格的红枣a 袋，销售⼩⽶b 袋，根据题意，得：a ＋2b ＝3000（60－40）a ＋（54－38）b ＝42000，解得a ＝1500b ＝750，答：这前五个⽉⼩明家⽹店销售这种规格的红枣1500袋；(2)设后五个⽉⼩明家⽹店销售这种规格的红枣x kg ，则销售这种规格的⼩⽶(2000－x )kg ，获得的总利润为y 元，由题意得：y ＝(60－40)x ＋（54－38）（2000－x ）2＝20x ＋16000－8x ＝12x ＋16000(600≤x ≤2000)，在y ＝12x ＋16000中，∵12＞0，∴y 随x 的增⼤⽽增⼤，∴当x 取最⼩值时，y 取最⼩值，∵600≤x ≤2000，∴当x ＝600时，y 有最⼩值， y 最⼩＝12×600＋16000＝23200，答：这后五个⽉，⼩明家⽹店销售这种规格的红枣和⼩⽶⾄少获得总利润23200元．类型三⽅案问题1. 解：(1)设参加此次研学活动的⽼师有x ⼈，学⽣有y ⼈，依题意，得14x ＋10＝y 15x －6＝y ，解得?x ＝16y ＝234.答：参加此次研学活动的⽼师有16⼈，学⽣有234⼈； (2)8；【解法提⽰】∵(234＋16)÷35＝7(辆)……5(⼈)，∴最少租8辆车，最多租16÷2＝8(辆) ∴租车总辆数为8辆．(3)设租35座客车m 辆，则需租30座的客车(8－m )辆，依题意，得：35m ＋30（8－m ）≥234＋16，400m ＋320（8－m ）≤3000 解得2≤m ≤112.∵m 为正整数，∴m ＝2，3，4，5，∴共有4种租车⽅案．答：学校共有4种租车⽅案．2. 解：(1)甲旅⾏社的总费⽤y 甲＝640×0.85x ＝544x ；当020时，y ⼄＝640×0.9×20＋640×0.75(x －20)＝480x ＋1920，∴y ⼄＝?576x （0480x ＋1920（x >20）；(2)若0若x ＞20，由于y 甲＝544x ，y ⼄＝480x ＋1920，①当y 甲＜y ⼄时，即544x ＜480x ＋1920，解得x ＜30；故当20＜x ＜30时，选择甲旅⾏社；②当y 甲＝y ⼄时，即544x ＝480x ＋1920，解得x ＝30；故当x ＝30时，两家旅⾏社⼀样；③当y 甲＞y ⼄时，即544x ＞480x ＋1920，解得x ＞30；故当x ＞30时，选择⼄旅⾏社．综上所述，当参加旅游的⼈数少于30⼈时，选择甲旅⾏社；当参加旅⾏的⼈数正好30⼈时，两家都⼀样；当参加旅⾏社的⼈数多于30⼈时，选择⼄旅⾏社．3. 解：(1)设甲种⼯艺品每件x 元，⼄种⼯艺品每件y 元，根据题意可得5x ＋4y ＝200010x ＋3y ＝3000，解得?x ＝240y ＝200，答：甲种⼯艺品每件240元，⼄种⼯艺品每件200元； (2)①⽅案⼀：y 1＝240×20＋240×0.8×(x －20)＋200×30＝192x ＋6960；⽅案⼆：y 2＝(240x ＋200×30)×0.9＝216x ＋5400；②当y 1＝y 2时，即192x ＋6960＝216x ＋5400，解得x ＝65；当y 1即192x ＋6960<216x ＋5400，解得x >65；当y 1>y 2时，即192x ＋6960＞216x ＋5400，解得x <65，∴当购买甲种⼯艺品65件时，两种⽅案⼀样；当购买甲种⼯艺品的件数2065时，选择⽅案⼀更合算．4. 解：(1)设该旅⾏团中成⼈x ⼈，少年y ⼈，根据题意，得：x ＋y ＋10＝32，x ＝y ＋12，解得?x ＝17，y ＝5. 答：该旅⾏团中成⼈17⼈，少年5⼈； (2)①∵成⼈8⼈可免费带8名⼉童，∴所需门票的总费⽤为：100×8＋100×0.8×5＋100×0.6×(10－8)＝1320(元)；②设可以安排成⼈a ⼈、少年b ⼈带队，则1≤a ≤17，1≤b ≤5. 当10≤a ≤17时，(ⅰ)当a ＝10时，100×10＋80b ≤1200，∴b ≤52，∴b 最⼤值＝2，此时a ＋b ＝12，费⽤为1160元； (ⅱ)当a ＝11时，100×11＋80b ≤1200，∴b ≤54，∴b 最⼤值＝1，此时a ＋b ＝12，费⽤为1180元；(ⅲ)当a ≥12时，100a ≥1200，即成⼈门票⾄少需要1200元，不合题意，舍去．当1≤a ＜10时，(ⅰ)当a ＝9时，100×9＋80b ＋60≤1200，∴b ≤3，∴b 最⼤值＝3，此时a ＋b ＝12，费⽤为1200元； (ⅱ)当a ＝8时，100×8＋80b ＋2×60≤1200，∴b ≤72，∴b 最⼤值＝3，此时a ＋b ＝11＜12.不合题意，舍去； (ⅲ)同理，当a ＜8时，a ＋b ＜12，不合题意，舍去；综上所述，最多可以安排成⼈和少年共12⼈带队，有三个⽅案：成⼈9⼈，少年3⼈；成⼈10⼈，少年2⼈；成⼈11⼈，少年1⼈；其中当成⼈10⼈，少年2⼈时购票费⽤最少．类型四⼯程、⾏程问题1. 解：设“复兴号”G 92次列车从甲城到⼄城的⾏驶时间需要x ⼩时，则“和谐号”列车的⾏驶时间需要54x ⼩时，根据题意得：500x ＝50054x ＋40，解得x ＝52，经检验，x ＝52是原分式⽅程的解，且符合实际意义，∴x ＋16＝83.答：乘坐“复兴号”G 92次列车从甲城到⼄城需要83⼩时．2. 解：(1)设⼄⼯程队每天能改造道路的长度为x ⽶，则甲⼯程队每天能改造道路的长度为32x ⽶，根据题意得，720x －72032x ＝4，解得x ＝60，经检验，x ＝60是原分式⽅程的解，且符合题意，∴32x ＝32×60＝90. 答：甲⼯程队每天能改造道路的长度为90⽶，⼄⼯程队每天能改造道路的长度为60⽶； (2)设安排甲队⼯作m 天，则安排⼄队⼯作2400－90 m60天，根据题意得，7m ＋5×2400－90 m60≤195，解得m ≥10.答：⾄少安排甲队⼯作10天．。
例题1：一元二次方程的应用题题目：某工厂生产一批产品，若每天生产80件，则生产完这批产品需要10天；若每天生产100件，则生产完这批产品需要8天。
问：这批产品共有多少件？解析：设这批产品共有x件。
根据题意，我们可以列出以下方程：80 × 10 = x100 × 8 = x解这个方程组，我们可以得到：x = 800答案：这批产品共有800件。
例题2：几何证明题题目：已知：在三角形ABC中，AB=AC，点D是BC边上的一个点，AD⊥BC。
证明：∠B=∠C。
解析：证明：由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，我们有∠ABC=∠ACB。
又因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。
在直角三角形ADB和ADC中，∠BAD=∠CAD，所以三角形ADB和ADC是相似的。
根据相似三角形的性质，我们有：∠B/∠A = ∠C/∠A由于∠A是公共角，可以约去，得到：∠B = ∠C答案：证明完成，∠B=∠C。
例题3：函数问题题目：已知函数f(x) = 2x - 3，求函数f(x)在x=2时的函数值。
解析：要求函数f(x)在x=2时的函数值，我们只需将x=2代入函数f(x)中。
f(2) = 2 × 2 - 3f(2) = 4 - 3f(2) = 1答案：函数f(x)在x=2时的函数值为1。
例题4：代数式求值题目：已知a+b=5，ab=6，求(a+b)^2的值。
解析：首先，我们知道(a+b)^2可以展开为a^2 + 2ab + b^2。
由题意，a+b=5，ab=6，代入上式，得：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a+b)^2 = (a+b)^2 + 2ab(a+b)^2 = 5^2 + 2×6(a+b)^2 = 25 + 12(a+b)^2 = 37答案：(a+b)^2的值为37。
通过以上例题解析，我们可以看到中考数学试卷中的典型题目涉及了代数、几何、函数等多个知识点，考生需要掌握扎实的数学基础和解题技巧。
（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
分析：（1）设每件衬衫应降价x 元，则由盈利1200)220)(40(=+-x x 可解出x 但要注意“尽快减少库存”决定取舍。
（2）当x 取不同的值时，盈利随x 变化，可配方为：1250)15(22+--x 求最大值。
但若联系二次函数的最值求解，可设：
)220)(40(x x y +-=⇒800
6022++-=x x y 结合图象用顶点坐标公式解，思维能力就更上档次了。
所以在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的所有数学知识，灵活解决问题。
答案：（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最高。
探索与创新：
【问题一】现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元。
（1）设运送这批货物的总费用为y 万元，这列货车挂A 型车厢x 节，试写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B 型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
（3）在上述方案中，哪种方案运费最省，最少运费为多少元？
略解：（1）设用A 型车厢x 节，则用B 型车厢)40(x -节，总运费为y 万元，则： 32
2.0)40(8.06.0+-=-+=x x x y （2）依题意得：⎩⎨⎧≥-+≥-+880
)40(35151240
)40(2535x x x x 解得：24≤x ≤26。
数学中考应用题及答案1. 某工厂生产一种产品，原计划每天生产100件，实际每天生产120件。
若原计划生产时间为30天，实际生产时间为25天，求实际生产效率比原计划提高了百分之几？答案：解：首先计算原计划和实际的生产总量。
原计划生产总量 = 100件/天× 30天 = 3000件实际生产总量 = 120件/天× 25天 = 3000件接下来计算提高的百分比。
提高的百分比 = [(实际生产量 - 原计划生产量) / 原计划生产量] × 100%提高的百分比 = [(3000 - 3000) / 3000] × 100% = 0%答：实际生产效率与原计划相比没有提高。
2. 某商店购进一批商品，进价为每件20元，若按每件30元出售，可售出500件。
若每件商品提价1元，销售量将减少20件。
求该商店为获得最大利润，每件商品应定价多少元？答案：解：设每件商品提价x元，则每件商品的售价为(30+x)元，销售量为(500-20x)件。
利润函数为：y = (30+x-20)(500-20x) = -20x^2 + 300x + 5000这是一个开口向下的二次函数，对称轴为x = 7.5。
当x = 7.5时，y取得最大值，此时售价为30 + 7.5 = 37.5元。
答：每件商品应定价为37.5元，此时利润最大。
3. 某校组织学生去春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，其余车刚好坐满。
求该校共有多少名学生？答案：解：设租用45座客车x辆，则学生总数为45x + 15。
根据题意，租用60座客车时，有(x-1)辆坐满，一辆空着，所以学生总数为60(x-1)。
将两个表达式相等，得到方程：45x + 15 = 60(x-1)解方程得：45x + 15 = 60x - 6015 + 60 = 60x - 45x75 = 15xx = 5所以，学生总数为：45 × 5 + 15 = 240人。
一、代数应用题：1、农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和渝江Ⅱ号两种新型良种稻谷.在田间治理和土质相同的条件下,Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号到谷低20%,但Ⅱ号稻谷的米质好,价格比Ⅰ号高.Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.（1） 当Ⅱ号稻谷的国家收购价是多少时,在田间治理、图纸和面积相同的两块田丽分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同？（2） 去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷,且进行了相同的田间治理.收获后,小王把稻谷全部卖给国家.卖给国家时,Ⅱ号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克,Ⅰ号稻谷国家的收购价未变,这样小王卖Ⅱ号稻谷比卖Ⅰ号稻谷多收入1040元,那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？[解析] (1)由题意,得1.62120%=-〔元〕； 〔2〕设卖给国家的Ⅰ号稻谷x 千克,根据题意,得(120%) 2.2 1.61040x x -⨯=+. 解得,6500x =〔千克〕(120%) 1.811700x x x +-==〔千克〕答：〔1〕当Ⅱ号稻谷的国家收购价是2元时,种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同； 〔2〕小王去年卖给国家的稻谷共为11700千克.2、机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦,某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.（1） 甲车间通过技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克,用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后,加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2） 乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑用油量,同时也提升了用油的重复利用率,并且发现在技术革新的根底上,润滑用油量每减少1千克,用油量的重复利用率将增加1.6%. 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克. 问乙车间技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？[解析]〔1〕由题意,得70(160%)7040%28⨯-=⨯=〔千克〕 〔2〕设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克, 由题意,得[1(90) 1.6%60%]12x x ⨯--⨯-= 整理,得2657500x x --=部门经理小张这个经理的介绍能反映该公司员工的月工资实际水平吗？欢送你来我们公司应聘！我公司员工的月平均工资是2500元,薪水是较高的．解得：1275,10x x ==-〔舍去〕(9075) 1.6%60%84%-⨯+=答：(1)技术革新后,甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.(2)技术革新后,乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克?用油的重复利用率是84%.3、某高科技产品开发公司现有员工50名,所有员工的月工资情况如下表：员工 治理人员 普通工作人员人员结构 总经理 部门经理 科研人员销售人员 高级技工 中级技工勤杂工员工数(名) 1 3 2 3 24 1 每人月工资(元)21000 840020252200 1800 1600950请你根据上述内容,解答以下问题：〔1〕该公司“高级技工〞有 名；〔2〕所有员工月工资的平均数x 为2500元,中位数为 元,众数为 元； 〔3〕小张到这家公司应聘普通工作人员．请你答复右图中小张的问题,并指出用〔2〕中的哪个 数据向小张介绍员工的月工资 实际水平更合理些； 〔4〕去掉四个治理人员的工资后,请你计算出其他员工的月平均工资y 〔结果保存整数〕,并判断y 能否反映该公司员工的月工资实际水平．[解析] 〔1〕由表中数据知有16名；〔2〕由表中数据知中位数为1700；众数为1600；〔3〕这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．用1700元或1600元来介绍更合理些．〔说明：该问中只要写对其中一个数据或相应统计量〔中位数或众数〕也可以〕 〔4〕250050210008400346y ⨯--⨯=≈1713〔元〕．y 能反映．4、某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测,迎面山坡线ABC 由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB 所在的抛物线以A 为顶点、开口向下,BC 所在的抛物线以C 为顶点、开口向上．以过山脚〔点C 〕的水平线为x 轴、过山顶〔点A 〕的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系如图〔单位：百米〕．AB 所在抛物线的解析式为8412+-=x y ,BC 所在抛物线的解析式为2)8(41-=x y ,且)4,(m B ． 〔1〕设),(y x P 是山坡线AB 上任意一点,用y 表示x ,并求点B 的坐标；〔2〕从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上〔见图〕． ①分别求出前三级台阶的长度〔精确到厘米〕； ②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么？〔3〕在山坡上的700米高度〔点D 〕处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E 处,1600=OE 〔米〕．假设索道DE 可近似地看成一段以E 为顶点、开口向上的抛物线,解析式为2)16(281-=x y ．试求索道的最大悬空．．高度．[∴8412+-=x y ,0≥x ,〔…2分〕 ∴)8(42y x -=,y x -=82〔…3分〕∵)4,(m B ,∴482-=m ＝4,∴)4,4(B〔…4分〕〔2〕在山坡线AB 上,y x -=82,)8,0(A①令80=y ,得00=x ；令998.7002.081=-=y ,得08944.0002.021≈=x ∴第一级台阶的长度为08944.001=-x x 〔百米〕894≈〔厘米〕〔…6分〕同理,令002.0282⨯-=y 、002.0383⨯-=y ,可得12649.02≈x 、15492.03≈x ∴第二级台阶的长度为03705.012=-x x 〔百米〕371≈〔厘米〕 〔…7分〕 第三级台阶的长度为02843.023=-x x 〔百米〕284≈〔厘米〕〔…8分〕②取点)4,4(B ,又取002.04+=y ,那么99900.3998.32≈=x∵002.0001.099900.34<=-∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B ,从而就不能一直铺到山脚 〔…10分〕 〔注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度,共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性〕 ②另解：连接任意一段台阶的两端点P 、Q ,如图 ∵这种台阶的长度不小于它的高度 ∴︒≤∠45PQR当其中有一级台阶的长大于它的高时, ︒<∠45PQR〔…9分〕在题设图中,作OA BH ⊥于H那么︒=∠45ABH ,又第一级台阶的长大于它的高∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B ,从而就不能一直铺到山脚〔…10分〕〔3〕)7,2(D 、)0,16(E 、)4,4(B 、)0,8(C由图可知,只有当索道在BC 上方时,索道的悬空．．高度才有可能取最大值〔…11分〕 索道在BC 上方时,悬空．．高度2)16(281-=x y 2)8(41--x )96403(1412-+-=x x 38)320(1432+--=x〔…13分〕当320=x 时,38max =y ∴索道的最大悬空．．高度为3800米． 5、有两段长度相等的河渠挖掘任务,分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．图11是反映所挖河渠长度y 〔米〕与挖掘时间x 〔时〕之间关系的局部图象．请解答以下问题： 〔1〕乙队开挖到30米时,用了_____小时．开挖6小时时, 甲队比乙队多挖了______米； 〔2〕请你求出：①甲队在0≤x ≤6的时段内,y 与x 之间的函数关系式； ②乙队在2≤x ≤6的时段内,y 与x 之间的函数关系式； ③开挖几小时后,甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？PQR时)〔3〕如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6小时后,施工速度增加到12米/时,结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？[解析] 〔1〕2；10；〔2〕①设甲队在0≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =k 1x ,由图可知,函数图象过点〔6,60〕, ∴6 k 1=60,解得k 1=10, ∴y =10x .②设乙队在2≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =k 2x +b ,由图可知,函数图象过点〔2,30〕、〔6,50〕,∴22230,650.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得25,20.k b =⎧⎨=⎩∴y =5x ＋20．③由题意,得10x ＞5x ＋20,解得x ＞4.所以,4小时后,甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队.〔说明：通过观察图象并用方程来解决问题,正确的也给分〕 〔3〕由图可知,甲队速度是：60÷6=10〔米/时〕．设甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为z 米,依题意,得6050.1012z z --=解得 z =110．答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米．6、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料〔这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理〕．当每吨售价为260元时,月销售量为45吨．该经销店为提升经营利润,准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x 〔元〕,该经销店的月利润为y 〔元〕． 〔1〕当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量；〔2〕求出y 与x 的二次函数关系式〔不要求写出x 的取值范围〕；〔3〕请把〔2〕中的二次函数配方成2()y a x h k =-+的形式,并据此说明,该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元；〔4〕小静说：“当月利润最大时,月销售额也最大．〞你认为对吗？请说明理由．[解析] 〔1〕5.71024026045⨯-+=60〔吨〕．〔2〕260(100)(457.5)10xy x -=-+⨯,化简得： 23315240004y x x =-+-．〔3〕24000315432-+-=x x y 23(210)90754x =--+．利达经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元．〔4〕我认为,小静说的不对．理由：方法一：当月利润最大时,x 为210元,而对于月销售额)5.71026045(⨯-+=xx W 23(160)192004x =--+来说, 当x 为160元时,月销售额W 最大．∴当x 为210元时,月销售额W 不是最大．∴小静说的不对．方法二：当月利润最大时,x 为210元,此时,月销售额为17325元；而当x 为200元时,月销售额为18000元．∵17325＜18000, ∴当月利润最大时,月销售额W 不是最大． ∴小静说的不对．〔说明：如果举出其它反例,说理正确,也相应给分〕二、几何应用题：8、图10—1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图〔尺寸如下图〕,车棚顶部是圆柱侧面的一局部,其展开图是矩形．图10—2是车棚顶部截面的示意图,AB 所在圆的圆心为O ． 车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积〔不考虑接缝等因素,计算结果保存π〕．[解析]连结OB ,过点O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,交AB 于F ,如图1．…………〔1分〕由垂径定理,可知： E 是AB 中点,F 是AB 中点,∴EF 是弓形高 ．∴AE ==AB 2123,EF =2． …………〔2分〕 设半径为R 米,那么OE =(R －2)米．O BA·图10—2图10—1 AB2米 43米·图1EF A在Rt △AOE 中,由勾股定理,得 R 2=22)32()2(+-R ．解得 R =4． ……………………………………………………………………〔5分〕 ∵sin ∠AOE =23=OA AE , ∴ ∠AOE =60°, ………………………………〔6分〕∴∠AOB =120°． ∴ AB 的长为1804120π⨯=38π． ………………………〔7分〕∴帆布的面积为38π×60=160π〔平方米〕． …………………………………〔8分〕 〔说明：此题也可以由相交弦定理求圆的半径的长．对于此种解法,请参照此评分标准相应给分〕9、图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD 都是20×20的等距网格〔每个小方格的边长均为1个单位长〕,其对称中央为点O ．如图14－1,有一个边长为6个单位长的正方形EFGH 的对称中央也是点O ,它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大〔即点O 不动,正方形EFGH 经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒,由8×8扩大为10×10；……〕,直到充满正方形ABCD ,再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小,然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ 从如图14－1所示的位置开始,以每秒1个单位长的速度,沿正方形ABCD 的内侧边缘按A →B →C →D →A 移动〔即正方形MNPQ 从点P 与点A 重合位置开始,先向左平移,当点Q 与点B 重合时,再向上平移,当点M 与点C 重合时,再向右平移,当点N 与点D 重合时,再向下平移,到达起始位置后仍继续按上述方式移动〕．正方形EFGH 和正方形MNPQ 从如图14－1的位置同时开始运动,设运动时间为x 秒,它们的重叠局部面积为y 个平方单位．〔1〕请你在图14－2和图14－3中分别画出x 为2秒、18秒时,正方形EFGH 和正方形MNPQ 的位置及重叠局部〔重叠局部用阴影表示〕,并分别写出重叠局部的面积；〔2〕①如图14－4,当1≤x ≤3.5时,求y 与x 的函数关系式；②如图14－5,当3.5≤x ≤7时,求y 与x 的函数关系式； ③如图14－6,当7≤x ≤10.5时,求y 与x 的函数关系式； ④如图14－7,当10.5≤x ≤13时,求y 与x 的函数关系式．〔3〕对于正方形MNPQ 在正方形ABCD 各边上移动一周的过程,请你根据重叠局部面积y 的变化情况,指出y 取得最大值和最小值时,相对应的x 的取值情况,并指出最大值和最小值分别是多少．〔说明：问题〔3〕是额外加分题,加分幅度为1～4分〕图14-6D 图14-2 图14-3 D D 图14-4D图14-1 (P ) D N 图14-5D图14-7E C BA DFG H M Q NOP[解析]〔1〕相应的图形如图2-1,2-2．当x =2时,y =3； 当x =18时,y =18．〔2〕①当1≤x ≤3.5时,如图2-3,延长MN 交AD 于K ,设MN 与HG 交于S ,MQ 与FG 交于T ,那么MK =6＋x ,SK =TQ =7－x ,从而MS =MK －SK =2x －1,MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕= x －1． ∴y=MT ·MS =〔x －1〕〔2x －1〕=2x 2－3x ＋1． ②当3.5≤x ≤7时,如图2-4,设FG 与MQ 交于T ,那么 TQ =7－x ,∴MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕=x －1． ∴y=MN ·MT =6〔x －1〕=6x －6．③当7≤x ≤10.5时,如图2-5,设FG 与MQ 交于T ,那么 TQ=x －7,∴MT =MQ －TQ =6－〔x －7〕=13－x ． ∴y = MN ·MT =6〔13－x 〕=78－6x ．④当10.5≤x ≤13时,如图2-6,设MN 与EF 交于S ,NP 交FG 于R ,延长NM 交BC 于K ,那么MK =14－x ,SK =RP =x －7,∴SM =SK －MK=2x －21,从而SN =MN －SM =27－2x ,NR =NP －RP =13－x ． ∴y=NR ·SN =〔13－x 〕〔27－2x 〕=2x 2－53x ＋351．〔说明：以上四种情形,所求得的y 与x 的函数关系式正确的,假设不化简不扣分〕 〔3〕对于正方形MNPQ ,①在AB 边上移动时,当0≤x ≤1及13≤x ≤14时,y 取得最小值0；当x =7时,y 取得最大值36．②在BC 边上移动时,当14≤x ≤15及27≤x ≤28时,y 取得最小值0；当x =21时,y 取得最大值36． ③在CD 边上移动时,当28≤x ≤29及41≤x ≤42时,y 取得最小值0；图2-4 E C B A D F G H Q N O P T 图2-5E C B A DF GH M N O PT 图2-6 E C B A DF G HK Q N OP R S 图2-3 E C B A D F G H M Q N OP S T 图2-2 E C B A D FG HMN O P 图2-1 E C B AD Q O P当x=35时,y取得最大值36．④在DA边上移动时,当42≤x≤43及55≤x≤56时,y取得最小值0；当x=49时,y取得最大值36．。
1.2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．2.为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？3.为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．4.小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x 支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B 型画笔？5.某中学为打造书香校园,计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书,调查发现,若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个,共需资金1020元；若购买甲种书柜4个,乙种书柜3个,共需资金1440元．甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？若该校计划购进这两种规格的书柜共20个,其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量,学校至多能够提供资金4320元,请设计几种购买方案供这个学校选择．6.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？7.为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？8.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？9.今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．10.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售为y本，销售单价为x元.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2) 当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？(3) 将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元.答案和解析1.【答案】解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，由题意可得：，解得：，答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是15万只和5万只；（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20-a）万只，利润为w万元，由题意可得：12a+4（20-a）≤216，∴a≤17，∵w=（18-12）a+（6-4）（20-a）=4a+40是一次函数，w随a的增大而增大，∴a=17时，w有最大利润=108（万元），答：安排生产甲种型号的防疫口罩17万只，乙种型号的防疫口罩3万只，最大利润为108万元．【解析】（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，由“某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只和该公司三月份的销售收入为300万元”列出方程组，可求解；（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20-a）万只，利润为w万元，由“四月份投入成本不超过216万元”列出不等式，可求a的取值范围，找出w与a的函数关系式，由一次函数的性质可求解．本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．2.【答案】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200-x）]个，依题意，得：（x-100）[300+5（200-x）]=32000，整理，得：x2-360x+32400=0，解得：x1=x2=180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200-x）]个，根据总利润=每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．3.【答案】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x 天，由题意得=解得：x=15，经检验，x=15是原分式方程的解，2x=30．答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天．（2）设甲工程队做a天，乙工程队做b天根据题意得a/15+b/30=1整理得b+2a=30，即b=30-2a所需费用w=4.5a+2.5b=4.5a+2.5（30-2a）=75-0.5a根据一次函数的性质可得，a 越大，所需费用越小，即a=15时，费用最小，最小费用为75-0.5×15=67.5（万元）所以选择甲工程队，既能按时完工，又能使工程费用最少．答：选择甲工程队，既能按时完工，又能使工程费用最少．【解析】（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．4.【答案】解：（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a-2）元．根据题意得，=，解得a=5．经检验，a=5是原方程的解．答：超市B型画笔单价为5元；（2）由题意知，当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y=0.9×5x=4.5x，当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y=0.9×5×20+0.8×5（x-20）=4x+10．所以，y关于x的函数关系式为y=（其中x是正整数）；（3）当4.5x=270时，解得x=60，∵60＞20，∴x=60不合题意，舍去；当4x+10=270时，解得x=65，符合题意．答：若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买65支B型画笔．【解析】（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a-2）元．根据等量关系：第一次花60元买A型画笔的支数=第二次花100元买B型画笔的支数列出方程，求解即可；（2）根据超市给出的优惠方案，分x≤20与x＞20两种情况进行讨论，利用售价=单价×数量分别列出y关于x的函数关系式；（3）将y=270分别代入（2）中所求的函数解析式，根据x的范围确定答案．本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用等知识，解题的关键是：（1）理解题意找到等量关系列出方程；（2）理解超市给出的优惠方案，进行分类讨论，得出函数关系式；（3）根据函数关系式中自变量的取值范围对答案进行取舍．5.【答案】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：，解之得：，答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个；由题意得：，解之得：8≤m≤10，因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10，即：学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．【解析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．6.【答案】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2=2.88，解得x1 =0.2=20%，x2 =-2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2019年该企业年利润为：2.88（1+20%）=3.456，3.456＞3.4答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元．【解析】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2=2.88，解方程即可；（2）根据该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率来解答．7.【答案】解：（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元由题意得，解得，答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10-a）所，由题意得：，解得，∴3≤a≤5，∵a取整数，∴a=3，4，5．即共有3种方案：方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．【解析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．8.【答案】解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果=500-10×（55-50）=450千克；（2）设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750=（x-40）[500-10（x-50）]，解得：x1=65，x2=75，答：每千克水果售价为65元或75元；（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y=（m-40）[500-10（m-50）]=-10（m-70）2+9000，∴当m=70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．【解析】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．（1）由月销售量=500-（销售单价-50）×10，可求解；（2）设每千克水果售价为x元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．9.【答案】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列，得：，解这个方程，得x=20，经检验，x=20是原分式方程的解，并符合题意，答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9=18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2=24（元），设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：w=18t+24（5500-t）=-6t+132000，∵w是t的一次函数，k=-6＜0，∴w随t的增大而减小，又∵t≤3500，∴当t=3500棵时，w最小，此时，B种树苗每棵有：5500-3500=2000（棵），w=-6×3500+132000=111000，答：购进A种树苗3500棵，BA种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．【解析】【试题解析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；（2）分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．10.【答案】解：（1）y=300-10（x-44），即y=-10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得（x-40）（-10x+740）=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）w=（x-40）（-10x+740）=-10x2+1140x-29600=-10（x-57）2+2890，而a=-10＜0，且对称轴为直线x=57,当x＜57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为-10（52-57）2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【解析】（1）销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则销售单价每上涨（x-44）元，每天销售量减少10（x-44）本，所以y=300-10（x-44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x-40）（-10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x-40）（-10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．。
江西省2020届中考数学单元专题练之方程实际应用大题类型一购买分配类问题1. (6分)某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个，求跳绳的单价．2. (6分)某电脑公司有A、B两种型号的电脑，其中A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元．学校计划花费150000元从该公司购进这两种型号的电脑共35台，问购买A型、B型电脑各多少台？3. (8分)春节来临之际，某食品经销商店购进了A，B两种食用油，每箱A种食用油比每箱B种食用油贵20元．该商店用了3840元购进A种食用油，用了1720元购进B种食用油，所购进的A种食用油的箱数是所购进的B种食用油的箱数的2倍，问每箱A种食用油和每箱B种食用油的进价．4. (8分) 某中学准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买4个足球和3个篮球共需360元，购买2个足球和5个篮球共需390元．(1)求购买一个足球，一个篮球各需要多少元；(2)该中学根据实际情况，决定从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共80个，要求购买足球和篮球的总费用不超过3990元，这所中学最多可以购买多少个篮球？类型二行程、工程问题5. (8分)暑假的一天，小刚到离家1.2千米的万州体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有24分钟，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时5分钟，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小刚骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少10分钟．骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小刚步行的速度(单位：米/分钟)是多少？(2)小刚能否在球赛开始前赶到体育馆？请通过计算说明理由．6. (8分)甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？类型三实物模型问题7. (6分)如图，在铅笔盒中有一支圆珠笔和一把小刀，已知圆珠笔的长AB是小刀长CD(小刀不打开时的最大长度)的157倍，若把圆珠笔与小刀按平行于铅笔盒长的方向放置，则其重叠部分BC的长是2 cm，铅笔盒内部的长AD为20 cm，设小刀的长为x cm，求x的值．第7题图8. (6分)如图，有两堆碗，每个碗的大小完全相同，两堆碗的高度分别是20 cm和15 cm，设每个碗的高度为x cm，两个碗堆起来时上一个碗露出来的高度为y cm，求把这两堆碗堆在一起时的高度．第8题图9. (6分)如图①，是某单位的透空护栏，如图②是它的示意图，它是用外径为3 cm 的圆钢管与外圆直径为15 cm 的圆圈焊接而成的(圆圈由扁直钢筋做成，两圆钢管之间夹一个圆圈)，若要做高度统一为2 m ，长为7.41 m 的护栏．试问：需要展直扁钢筋和圆钢管的总长度各是多少m?第9题图10. (6分)如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条．已知铁环粗0.8厘米，每个铁环长5厘米．设铁环间处于最大限度的拉伸状态．(1)3个铁环组成的链条长有多少？(2)若要组成不少于2米长的链条，至少需要多少个铁环？第10题图11. (8分)如图，已知箭头的方向是水流的方向，一艘游艇从江心岛的右侧A 点逆流航行3小时到达B 点后，又继续顺流航行2小时15分钟到达C 点，总共行驶了198 km ，已知游艇的速度是38 km /h .(1)求水流的速度；(2)由于AC 段建桥，游艇用同样的速度沿原路返回共需要多少时间？第11题图12. (8分)小亮做了一个用于放试管的木架子，他在834 cm 长的木条上钻了7个孔，每个孔的直径都为a cm ，如图所示：第12题图(1)如果两端的空间与任何相邻两孔之间的距离相同，当a ＝54 cm 时，请计算相邻两孔之间的距离是多少cm?(2)如果两端的空间是32 cm ，其他相邻两孔之间的距离相同都为4324 cm ，请计算每个孔的直径为多少cm?13. (8分)小明家住闲林，每天骑公共自行车去距家12 km 的学校上学．自从开通了快速公交四号线(以下简称“B 4”)，他去学校又有了一个新选择(家和学校门口均有B 4站点)．某天小明6：30离开家，沿着与快速公交道平行的路骑行上学，他留意到每隔6分钟有一辆B 4从他后面驶向前面，每隔2分钟有一辆B 4从对面驶向后面．假设B 4和小明行驶的速度都不变，根据示意图回答下列问题(注意：忽略细节上的问题，如B 4车身长度及停靠站的时间，取书包的时间等等，排除超车的可能性)：(1)B 4每隔几分钟从车站开出一辆？(提示：设他们的速度分别为v 1，v 2，时间用t 表示，列方程求解．)(2)学校规定7：30到校，当小明骑行一半路程时发现忘带了书包，他连忙以速度v 3折返，再以相同的速度骑行至学校，你觉得他能按时到校吗？若不能，请你帮他设计一个理想条件下的方案．(已知B 4的平均行驶速度为30 km /h )第13题图14. (8分)(1)一种圆环甲(如图①)，它的外圆直径是8 cm ，环宽1 cm .①如果把这样的2个圆环扣在一起并拉紧(如图②)，长度为________ cm ； ②如果用n 个这样的圆环相扣并拉紧，长度为________ cm ； (2)另一种圆环乙，像(1)中圆环甲那样相扣并拉紧；①3个圆环乙的长度是28 cm ，5个圆环乙的长度是44 cm ，求出圆环乙的外圆直径和环宽；②现有n (n ＞2)个圆环甲和n (n ＞2)个圆环乙，将它们像(1)中那样相扣并拉紧，长度为多少厘米？第14题图类型四 销售利润问题15. (8分)某种商品A 的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%，(1)商品A的进价为多少元？(2)现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%，对商品A和B共进货100件，要使这100件商品共获纯利6670元，则商品A、B分别进货多少件？16. (8分)某经销单位将进货价每件为27.4元的商品按每件40元销售，经两次调价后调至每件32.4元．(1)若该商店两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，该商品每降价0.2元，其销量就增加10件，若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月销售该商品可获利多少元？江西省2020届中考数学单元专题练之方程实际应用大题答案全解全析1. 解：设跳绳的单价为x 元，则排球的单价为3x 元，依题意得：750x －9003x ＝30， 解得x ＝15.经检验：x ＝15是原分式方程的根，且符合题意． 答：跳绳的单价是15元．2. 解：设购买A 型电脑x 台，B 型电脑y 台，根据题意得： ⎩⎨⎧x ＋y ＝356000x ＋4000y ＝150000， 解得⎩⎨⎧x ＝5y ＝30.答：购买A 型电脑5台，B 型电脑30台．3. 解：设A 种食用油每箱的进价为x 元，则B 种食用油每箱的进价为(x －20)元．由题意得3840x ＝1720x －20×2，解得x ＝192，经检验，x ＝192是原分式方程的解且符合题意． x －20＝192－20＝172.答：A 、B 两种食用油每箱的进价分别为192元、172元．4. 解：(1)设购买一个足球需要x 元，购买一个篮球需要y 元． 根据题意得⎩⎨⎧4x ＋3y ＝3602x ＋5y ＝390，解得⎩⎨⎧x ＝45y ＝60.答：购买一个足球需要45元，购买一个篮球需要60元； (2)设购买a 个篮球，则购买(80－a )个足球．依题意得： 60a ＋45(80－a )≤3990， 解得a ≤26.答：这所中学最多可以购买26个篮球．5. 解：(1)设小刚步行的速度为x 米/分钟，则骑自行车的速度是3x 米/分钟，由题意得： 1200x －12003x ＝10，解得x ＝80，经检验，x ＝80是原分式方程的解且符合题意，则3x ＝240， 答：小刚步行的速度是80米/分钟；(2)不能；理由：回家取票的总时间为120080＋1200240＋5＝25分钟＞24分钟，故小刚不能在球赛开始前赶到体育馆．6. 解：(1)设甲工程队每天修路x 千米，乙工程队每天修路(x －0.5)千米， 根据题意，可列方程：1．5×15x ＝15x －0.5，解得x ＝1.5，经检验，x ＝1.5是原分式方程的解，且符合题意，则x －0.5＝1. 答：甲工程队每天修路1.5千米，则乙工程队每天修路1千米； (2)设甲工程队修路a 天，则乙工程队需要修(15－1.5a )千米，∴乙工程队需要修路15－1.5a1＝15－1.5a (天)，由题意可得0.5a ＋0.4(15－1.5a )≤5.2， 解得a ≥8.答：甲工程队至少修路8天．7. 解：设小刀的长为x cm ，则圆珠笔的长为157x cm ，依题意得： 157x －2＋x ＝20， 解得x ＝7.答：x 的值是7.8. 解：根据题意得：⎩⎨⎧x ＋4y ＝20x ＋2y ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝10y ＝2.5.两堆碗堆在一起时的高度是20＋3y ＝27.5 (cm )． 答：两堆碗堆在一起时的高度为27.5 cm . 9. 解：设需要圆圈x 个．由题意得：15x ＋3(x ＋1)＝741， ∴x ＝41，圆钢管总长度为：(x ＋1)×2＝42×2＝84(m )， 扁钢筋的展直总长度：41×0.15π＝6.15π(m )．答：需要展直扁钢筋和圆钢管的总长度各是6.15π m 、84 m . 10. 解：(1)3×5－4×0.8＝11.8(厘米)． 答：3个铁环组成的链条长有11.8 厘米； (2)设n 个铁环长为y 厘米，由题意可得：y ＝5n －2(n －1)×0.8 即y ＝3.4n ＋1.6；2米＝200厘米，根据题意得：3.4n ＋1.6≥200，n ≥ 58617. 答：至少需要59个铁环． 11. 解：(1)设水流速度为x km /h ，则游艇的顺流速度为(x ＋38)km /h ，游艇的逆流速度为(38－x )km /h ，根据题意得：3(38－x )＋94(38＋x )＝198，解得x ＝2.答：水流的速度为2 km /h ；(2)由(1)可知，顺流航行速度为40 km /h ，逆流速度为36 km /h ， ∴AB 段的路程为3×36＝108(km )，BC 段的路程为94×40＝90(km )，故原路返回时间为：9036＋10840＝2.5＋2.7＝5.2(h )．答：游艇用同样的速度沿原路返回共需要5小时12分． 12. 解：(1)设相邻两孔之间的距离是x cm ，根据题意得： 834－7×54＝8x ， 解得x ＝1.5答：相邻两孔之间的距离是1.5 cm ；(2)设每个孔的直径为y cm ，根据题意得： 834－2×32－6×4324＝7y ， 解得y ＝1.答：每个孔的直径为1 cm .13. 解：(1)设B 4每隔x 分钟从车站开出一辆，小明的速度为v 1，B 4的速度为v 2，根据题意得： ⎩⎨⎧6（v 2－v 1）＝v 2x 2（v 1＋v 2）＝v 2x ， 解得v 2＝2v 1，x ＝3(分钟)．答：B 4每隔3分钟从车站开出一辆； (2)∵v 2＝2v 1，v 2＝30 km /h ， ∴v 1＝15 km /h ，根据题意，可列不等式方程： 12＋6v 3≤1－615，解得v 3≥30 km /h ，即v 3≥v 2，实际生活中不可能达到． ∴小明不能按时到校．可设计如下的理想条件下的方案：归还公共自行车，往返均改乘B 4. 14. 解：(1)①14；【解法提示】结合图形可知：把这样的2个圆环扣在一起并拉紧，那么长度为2个内圆直径＋2个环宽， ∴长度为6×2＋2＝14 cm . ②6n ＋2；【解法提示】根据以上规律可知：如果用n 个这样的圆环相扣并拉紧，长度为：6n ＋2. (2)①设圆环乙的外圆直径为x cm ，环宽为y cm ， 则根据题意得：⎩⎨⎧3x －4y ＝28，5x －8y ＝44，之得⎩⎨⎧x ＝12y ＝2，答：圆环乙的外圆直径为12 cm ，环宽为2 cm ； ②圆环∵乙的外圆直径是12 cm ，环宽是2 cm .首先假设总共2n 个环相扣，且两头的两个也相扣，即2n 个小环相扣后构成一个大环，则总长为(12＋8)n －(2＋4)n ＝14n ，则分三种情况：a . 两头都是甲，即解开某一个由两个甲相扣的地方，因此总长为14n ＋2；b . 两头都是乙，即解开某一个由两个乙相扣的地方，因此总长为14n ＋4；c . 两头为一个甲，一个乙，即解开某一个由甲和乙相扣的地方，因此总长为14n ＋3. 15. 解：(1)设这种商品A 的进价为每件a 元，由题意得： (1＋10%)a ＝900×90%－40， 解得a ＝700.答：这种商品A 的进价为700元；(2)设需对商品A 进货x 件，需对商品B 进货y 件， 根据题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝100700×10%x ＋600×10%y ＝6670， 解得⎩⎨⎧x ＝67y ＝33.答：需对商品A 进货67件，需对商品B 进货33件． 16. 解：(1)设这个降价率是x ， 依题意得：40(1－x )2＝32.4，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9(舍去)； 答：这个降价率为10%；(2)∵降价后多销售的件数：[(40－32.4)÷0.2]×10＝380，∴两次调价后，每月可销售该商品的数量为：380＋500＝880(件)， ∴每月销售该商品可获利为(32.4－27.4)×880＝4400元； 答：两次调价后，每月销售该商品可获利4400元．。
2020中考数学热点专练11 三角形一、选择题1.如图，在△ABC中，△B=90°，tan△C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm22.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．6 B．12 C．18 D．243.如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=EC B．AE=BE C．△EBC=△BAC D．△EBC=△ABE4.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20B．24C．D．5.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．166.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是（）A．△A＝△D B．AC＝DFC．AB＝ED D．BF＝EC7.已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形8.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，9.已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个10.如图，在Rt ABC∆中，90B∠=︒，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若1BG=，4AC=，则ACG∆的面积是()A．1B．32C．2D．5211.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A ．AB ＝，BC ＝4，AC ＝5 B ．AB ：BC ：AC ＝3：4：5 C ．△A ：△B ：△C ＝3：4：5D ．|cos A ﹣|+（tan B ﹣）2＝012.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若BC=6，AC=5，则△ACE 的周长为（ ） A.8 B.11 C.16D.1713.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和14.如图，在ABC ∆中，AC BC =，40A ∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为( ) A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒15.如图，点D 在BC 的延长线上，DE △AB 于点E ，交AC 于点F ．若△A ＝35°，△D ＝15°，则△ACB 的度数为（ ） A ．65° B ．70°C ．75°D ．85°二、填空题16.腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为 ．17.如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△B ＝60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 至F ，使CF ＝BC ，连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC ＝a ，则△FMB 的周长为 ．18.如图，在△ABC 中，△ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC △BC ，则△ABC 的面积是 ．19.如图，已知直线121//l ，含30︒角的三角板的直角顶点C 在1l 上，30︒角的顶点A 在2l 上，如果边AB 与1l 的交点D 是AB 的中点，那么1∠= 度．20.等腰三角形的两边长分别为6cm ，13cm ，其周长为 cm ．三、证明题21.已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：△A+△B+△C=180°．22.如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出△A与△B的和与△C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．23.已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB AD=，AC AE=，BAE DAC∠=∠．求证：E C∠=∠．24.如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE△直线m于点E，BD△直线m于点D．△求证：EC＝BD；△若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．25.如图，已知：在△ABC中，△BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．四、作图题26.如图，已知等腰ABC∠=︒．A∆顶角30（1）在AC上作一点D，使AD BD=（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：BCD∆是等腰三角形．五、应用题27.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）28.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．六．探究题根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x作AD⊥BC于D，设BD = x，用含x 的代数式表示CD 利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积29.如图△，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图△中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图△，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图△中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图△，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．30.已知：如图，△ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在△ABC内部，且点P到△ABC两边的距离相等．2020中考数学热点专练11 三角形【命题趋势】首先说明——三角形是中考必考内容，而且也是热点内容，无论是小题还是大题．因为三角形包括的内容很多，例如三角形的基本知识（内角和定理推论、三边关系）、三角形的三线（角平分线、中线、高线）五心（内心，外心，重心，垂心，旁心），特殊的三角形（等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形）的性质及判定方法，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，最后在此要特别强调的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函数的相关知识是重中之重，它是我们计算线段长度的最重要的工具，所以这是考查的重点中的重点。
江西省2020届中考数学单元专题练之几何应用题类型一直角三角形模型1. 如图，某时刻太阳光从窗户射入室内，与地面的夹角∠ADC为60°，窗户的高AB在阳光下的投影为CD，此时测得CD的长为0.8 m，则窗户的高为________．(精确到0.1 m，参考数据：2＝1.414，3＝1.732)第1题图2. 如图，为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.4 m，踏板DE的长为1.2 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在从捣头点E着地的位置开始，让踏脚D着地，则捣头点E上升________ m.第2题图3.炎热的夏天离不开电风扇，如图，放在水平地面的立式电风扇的立柱BC高1 m，点A与点B始终位于同一水平高度，AB＝0.15 m，此时风力中心点正对点D，测得CD＝2.15 m，其中摇头机可绕点A上下旋转一定的角度．(1)求摇头机的俯角∠DAE的度数(精确到0.1°)；(2)当摇头机的俯角∠EAF是(1)中∠DAE的一半时，求风力中心点在地面上向前移动的距离DF(精确到0.1 m)．(可使用科学计算器，参考数据：tan26.57°≈0.500，tan24.94°≈0.465，tan13.3°≈0.236，tan12.47°≈0.221，5≈2.236)第3题图4.图①是小明家购买的一款台灯，现忽略支管的粗细，得到它的侧面简化结构图如图②所示．已知MN是桌面，AB⊥MN，FG∥AB∥CD，ED∥CF，现测得FG＝10 cm，AB＝30 cm，FB＝24 cm，BC＝42 cm，点G到桌面MN的距离为6.3 cm.(1)求∠ABF的度数(结果精确到1°)；(2)求点C到桌面MN的距离(结果精确到1 cm)．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，可使用科学计算器)第4题图5.如图①，长尾夹由一个夹体和两个较长的可活动尾柄构成，夹体在没有夹放物品时呈等腰三角形状，现将长尾夹水平放置，其示意图如图②所示，可量得尾柄AB长为40 mm，夹体底边DE长为20 mm，夹体侧面与底边夹角∠BED 为65°.(1)如图②，求水平放置状态下尾柄AB的顶端A距离水平面的高度(精确到0.1 mm)；(2)如图③，若将长尾夹竖直放置，求尾柄顶端距离水平面的高度(精确到0.1 mm)．(参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145)第5题图6.如图所示的益智玩具由一块主板AB、和一个支撑架CD组成，其侧面示意图如图①所示，测得AB⊥BD，AB ＝40 cm，CD＝25 cm，连接点C为AB的中点，现为了方便儿童操作，须调整玩具的摆放，将AB绕点B顺时针旋转，CD 绕点C 旋转同时点D 做水平滑动，如图②，当点C 1到BD 的距离为10 cm 时停止．求点D 滑动的距离和点A 经过的路径长．(结果保留整数，参考数据：3≈1.732，21≈4.583，π≈3.142，可使用科学计算器)第6题图7. 如图，某学校为了加固一篮球架，在下面焊接了一根钢筋撑杆AC ，它与水平的钢板箱体成60°的夹角，且AB ＝0.5 m ．原有的上撑杆DE ＝1.6 m ，且∠BDE ＝135°.(1)求撑杆AC 的长；(2)若篮板是边长为1 m 的正方形，上撑杆端点E 在其中心位置，球篮连接篮板处为F ，且EF ＝14 m ，下面的钢板箱体厚度为0.3 m ，CD ＝1.8 m ，则点F 距地面的高度约为多少米？(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第7题图8. 探索发现(1)数学课上，老师出了一道题：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝22.5°，请你在图①中，构造一个合适的等腰直角三角形，求tan22.5°的值(结果可带根号)；(2)如图②，厂房屋顶人字架(AB＝BD)的跨度10米(即AD＝10米)，∠A＝22.5°，BC是中柱(C为AD的中点)，请运用(1)中的结论求中柱BC的长(结果可带根号)．第8题图9. 如图①是一台仰卧起坐健身器，它主要由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成，靠背的角度α可以用档位调节器调节，将图①仰卧起坐板的主体部分抽象成图②，已知OA＝OD＝81 cm，OC＝43 cm，∠C＝90°，∠A＝20°.(1)求BC的长和点O到地面的距离；(2)当α＝80°时，求点D到地面的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan20°≈0.3640；sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713)第9题图10. 一台台式电脑显示器的左视图如图①所示，图②是它的抽象几何图形，它由显示屏侧边AB，四边形支架CEGD和底盘FD组成．若AB＝28 cm，EG＝4 3 cm，BE＝3 cm，∠EGF＝60°，∠AEG＝130°.(1)若以FD所在直线为水平方向，求显示屏侧边AB相对水平线FD的倾斜角度(用锐角表示)；(2)求电脑显示器的高(点A到FD的距离)(计算结果保留整数)．(参考数据：sin70°≈0.940，sin50°≈0.766)第10题图11. 如图，某大街水平地面有两根路灯，灯杆AB＝CD＝10 m，小明晚上站在两灯杆的正中位置观察自己眼睛处影子的俯角∠MEG＝∠NEH＝11.31°，已知地面到小明眼睛处的高度EF＝1.5 m.(1)求两灯杆的距离BD；(2)某县在一条长760 m的大街P－K－Q上安装12根灯杆(含两端)，其中PK为休闲街，按(1)中的灯杆距离安装灯杆，KQ为购物街，灯杆距离比(1)中的少35 m，求休闲街和购物街分别长多少米．(参考数据：tan78.69°≈5.00，tan11.31°≈0.20，cos78.69°≈0.20，cos11.31°≈0.98，可使用科学计算器)第11题图12.将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°(如图①)，侧面示意图为图②；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置(如图③)，侧面示意图为图④，已知OA＝OB＝20 cm，B′O′⊥OA，垂足为C.(1)求点O′的高度O′C；(精确到0.1 cm)(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？(精确到0.1 cm)(3)如图④，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？(参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.146，cot65°≈0.446)第12题图13. 我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD(PM⊥MN)的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠P AD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的高度AD 为100 cm.(1)直接写出视角∠ABD(用含α的式子表示)的度数；(2)当小然到墙壁PM的距离AB＝250 cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离；(3)当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM?第13题图类型二特殊四边形模型1. 如图①是一张矩形台球桌，图②是台球桌的平面图，其中A 、B 、C 、D 处分别有球洞，已知DE ＝4，CE ＝2，BC ＝63，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后回到E 点，则EF ＝________．(结果精确到1)第1题图2. 如图，一种千斤顶利用了四边形的不稳定性原理，其基本形状是一个菱形，中间通过螺栓连接，转动手柄可改变∠ADC 的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A 、C 之间的距离)，若AB ＝40 cm ，当∠ADC 从60°变为120°时，千斤顶升高了________cm .(结果精确到 1 cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第2题图3. 某款折叠床其配套的折叠床板的实物图如图①所示，图②为其抽象的几何图形．将床板折叠到如图②所示位置，点A 、B 、C 在同一直线上，CD ∥BG ，BD ∥AG ，∠DCB ＝70°，BC ＝0.34米，四边形CDEF 为矩形，CF ＝1.8米．(1)求床板完全展开后的总长度； (2)若∠DCB ＝80°时，该床板折叠后具有最好的稳定性，当折叠该床板使其最稳定时，顶点D 在垂直方向上有何变化，请说明理由．(结果精确到0.01米，参考数据：sin 70°≈0.94, cos 70°≈0.34, tan 70°≈2.75，sin 80°≈0.98, cos 80°≈0.17, tan 80°≈5.67)第3题图4. 如图①是一张创意电脑桌，图②是其平面示意图，已知以A 、E 、F 、H 为顶点的矩形，点C 、D 在AE 上，点G 在HF 上，测得AC ＝CD ＝2DE ，DE ＝43GF ，AB ＝CB ＝31.2 cm ，AH ＝50 cm ，∠BAH ＝40°.(1)求GH 的长；(精确到0.1 cm )(2)求tan ∠EDG 的值．(参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643)第4题图5. 小玲家的阳台窗户上，装有一个和窗户高度相同且可上下伸缩的窗帘．该窗帘由若干列大小相同的菱形组成(图①为其中的一列，每个菱形上下顶点的连线垂直于地面)．每列由30个菱形组成，每个菱形的边长为5厘米．已知该窗户的高度为1.8米．(1)当窗帘完全拉下至窗户的最下端时，每个菱形的较长的对角线长为多少厘米？(2)将窗帘从窗户的最下端向上拉，当每个菱形的锐角为20°时，如图②，求窗帘向上拉开了多少米？(结果精确到0.01米，参考数据：sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan17°≈0.306)第5题图6. 如图①所示是可伸缩的菱形酒架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图②所示，根据酒瓶直径可调节合适的角度，已知菱形边长为10 cm.(1)当∠ABC＝60°时，求酒架所需平面上的面积为多少？(2)已知一瓶葡萄酒瓶直径为8 cm，当∠ABC为多少度时刚好放下这瓶葡萄酒？(结果精确到1 cm，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89)第6题图7.如图是某科技馆展览的一个升降平台模型，在其示意图中，AB＝AF＝CE＝EI＝FH＝50 cm，其中点D是AF 和CE的中点，点G是EI和FH的中点．当点C在线段AB上滑动时，∠DAC的大小随之发生变化，平台的高度也随之发生变化，从而控制平台面HI的升降．(1)HI与AC平行吗？请说明理由．(2)移动点C的位置，当∠DAC的大小由30°变化到60°时，平台上升了多少？(结果精确到0.1 cm)(可使用科学计算器，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第7题图类型三圆模型1. 如图①所示是一个羽毛球实物图，其侧面示意图可看成由一个半圆和一个左右对称的四边形ABCD组成，如图②所示，已知AD＝25 mm，AB＝60 mm，∠B＝75°，则这个羽毛球的高是________mm.(结果精确到1 mm，可使用科学计算器，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26, tan75°≈3.73)第1题图2. 如图是放置在桌上的地球仪截面图，半径OC所在的直线与桌面垂直，垂足为点E，点A、B分别为地球仪的南、北极，直线AB与桌面交于点D，所成的∠EDB约为53°，量得DE＝15 cm，AD＝14 cm，半径AO的长为________．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)第2题图3.如图是某种直径型号的地球仪的支架示意图，弧AB是半圆弧，经测量，点A到水平线CD的距离为27.7 cm，点B到水平线CD的距离为9.4 cm，直径AB所在直线与竖直线形成的锐角为23.5°，试问它是哪种直径型号的地球仪支架？(计算结果精确到个位，可使用科学计算器，参考数据：sin23.5°≈0.3987，cos23.5°≈0.9171，tan23.5°≈0.4348)第3题图4. 某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心，即图中的C处，固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去．小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆CD长为260 cm，OA、OB为圆弧的半径，长为90 cm(作为木杆的支架)，且OA、OB关于CD对称，的长为30πcm，当木杆CD向右摆动使点B落在地面上(即圆弧与直线l 相切于点B)时，木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少cm？(结果精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)第4题图5. 某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2米，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为5米，一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得一米长的标杆的影长1.6米．(1)计算时钟的9点转到11点时的旋转角是多少度？(2)求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第5题图6.图①为一波浪式相框(厚度忽略不计)，内部可插入占满整个相框的照片一张．如图②，主视图(不含图中虚线部分)为两段首尾相连的等弧．．构成，左视图和俯视图均为长方形(单位：cm )；(1)图中虚线部分的长为________cm ，俯视图中长方形的长为________cm ；(2)求主视图中的弧所在圆的半径；(3)试计算该相框可插入的照片的最大面积(参考数据：sin 22.5°≈513，cos 22.5°≈1213，tan 22.5°≈512，计算结果保留π)．图①图②第6题图江西省2020届中考数学单元专题练之几何应用题答案全解全析 类型一 直角三角形模型1. 1.4 m 【解析】如解图，过点B 作BE ∥CD 交AD 于点E ，第1题解图由题意可得：∠ABE ＝90°，CD ＝BE ＝0.8 m ，∠AEB ＝∠ADC ＝60°，则tan 60°＝ABBE ，即AB ＝BE ×tan 60°＝0.8×3≈1.4(m )，∴窗户的高约为1.4 m .2. 0.8 【解析】∵AB ∥EF ，∴△DAB ∽△DEF ，∴AD ∶DE ＝AB ∶EF ，∴0.6∶1.2＝0.4∶EF ，∴EF ＝0.8 m ，∴捣头点E 上升0.8 m .3. 解：(1)如解图，过点A 作AG ⊥CD 于点G ，由题意可知AB ＝CG ＝0.15 m ，BC ＝AG ＝1 m . ∵CD ＝2.15 m ， ∴DG ＝2 m .由题意可得∠ADG ＝∠DAE .在Rt △ADG 中，tan ∠ADG ＝AG DG ＝12＝0.5.∴∠DAE ＝∠ADG ≈26.6°；第3题解图(2)由题意可得∠AFC ＝∠F AE .∵摇头机的俯角∠EAF 是(1)中∠DAE 的一半，可得∠AFC ＝∠F AD ， ∴DF ＝AD .在Rt △ADG 中，DF ＝AD ＝12＋22＝5≈2.2(m )．【一题多解】在Rt △AFG 中，tan ∠AFG ＝AG FG ＝1GF ，即tan 13.3°＝AG FG ＝1GF ，得GF ＝1tan 13.3°≈10.236≈4.2，DF ≈4.2－2＝2.2(m )，答：风力中心点在地面向前移动的距离约为2.2 m .4. 解：(1)如解图，延长FG 交MN 于点H ，过点F 作FK ⊥AB 于点K . 则FH ＝AK ＝16.3.在Rt △BFK 中，BK ＝30－16.3＝13.7， ∴cos ∠ABF ＝BK BF ＝13.724≈0.57，∴∠ABF ≈55°；第4题解图(2)如解图，延长CD 交MN 于点Q ，过点B 作BP ⊥CQ 于点P . ∵AB ∥CD ，∴∠PCB ＝∠ABF ≈55°. 在Rt △BPC 中，BC ＝42. ∵cos ∠PCB ＝CPBC，∴CP ＝BC ×cos ∠PCB ≈42×cos 55°≈24(cm )． ∴CQ ＝CP ＋PQ ＝CP ＋AB ≈24＋30＝54(cm )． ∴点C 到桌面MN 的距离约为54 cm .5. 解：(1)如解图，过A 点作AF ⊥BC 于点F .∵△BDE 为等腰三角形，且BD ＝BE ，∠BED ＝65°， ∴∠B ＝50°，∴在Rt △ABF 中，sin ∠DBE ＝AF AB ＝AF40≈0.766，∴AF ≈40×0.766≈30.6 mm ；第5题解图(2)如解图，过点B 作BQ ⊥DE 于点Q . ∵△BDE 是等腰三角形， ∴BE ＝BD ，∴BQ 平分∠DBE ， ∴BQ 平分DE ， ∴DQ ＝QE ＝10，在Rt △BQE 中，tan ∠BED ＝BQ QE ＝BQ10≈2.145，∴BQ ≈10×2.145≈21.5∴总高为BQ ＋AB ≈21.5＋40＝61.5 mm .第6题解图6. 解：∵AB ＝40，点C 是AB 的中点， ∴BC ＝12AB ＝20 cm ，∵AB ⊥BD ， ∴∠CBD ＝90°，在Rt △BCD 中，BC ＝20 cm ，DC ＝25 cm ， ∴BD ＝CD 2－CB 2＝252－202＝15(cm )， 如解图，过点C 1作C 1H ⊥BD 1于点H ， 则∠C 1HD ＝C 1HD 1＝90°，在Rt △BC 1H 中，BC 1＝20 cm ，C 1H ＝10 cm ， ∴∠C 1BH ＝30°，故BH ＝10 3 cm ， 则∠ABC 1＝60°，故点A 经过的路径的长为60 π×40180＝40π3≈42 (cm )；在Rt △C 1D 1H 中，D 1C 1＝25 cm ，C 1H ＝10 cm ，∴D 1H ＝C 1D 21－C 1H 2＝252－102＝521 (cm )，∴BD 1＝BH ＋HD 1＝103＋521≈17.32＋22.915＝40.235 (cm )， ∴点D 滑动的距离为：BD 1－BD ＝40.235－15＝25.235≈25 (cm )， 答：点D 滑动的距离约为25 cm ，点A 经过的路径长约为42 cm .第7题解图7. 解：(1)在Rt △ABC 中，ABAC ＝cos 60°，∴AC ＝AB12＝2AB ＝1 m ；(2)在Rt △ABC 中，BC ＝AB ·tan 60°＝32m ， 如解图，过点E 作EG ⊥BD ，交BD 的延长线于点G .在Rt △DEG 中，∠EDG ＝180°－135°＝45°，DE ＝1.6 m ， ∴DG ＝DE ·cos 45°＝425m .∴F 距地面的高度为425－14＋1.8＋32＋0.3≈3.8 m .答：F 距地面的高度约为3.8 m .8. 解：(1)如解图，在AC 上截取CE ＝BC ＝x ，第8题解图∵CE ＝BC ，∠C ＝90°， ∴∠BEC ＝45°， ∵∠A ＝22.5°， ∴∠ABE ＝22.5°， ∴AE ＝BE ＝2x ， ∴AC ＝2x ＋x ，∴tan 22.5°＝x2x ＋x ＝2－1；(2)∵C 为AD 的中点，AB ＝BD ， ∴AC ＝CD ＝5， 在Rt △ABC 中，∵tan 22.5°＝2－1＝BC5，∴BC ＝52－5(米)，答：中柱BC 的长为(52－5)米．9. 解：(1)根据题意可知AC ＝OA ＋OC ＝81＋43＝124 (cm )， 在Rt △ABC 中，tanA ＝BC AC， ∴BC ＝AC ·tanA ＝124×0.3640≈45.1(cm )， 如解图①，过点O 作OE ⊥AB 于点E ， 在Rt △AOE 中，sinA ＝OE OA， ∴OE ＝OA ·sinA ＝81×0.3420≈27.7(cm )．答：BC 的长和点O 到地面的距离分别约为45.1 cm 和27.7 cm ；第9题解图①(2)如解图②，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点O 作OG ⊥DF 于点G ， ∵∠OEF ＝∠EFG ＝∠FGO ＝90°， ∴四边形OEFG 是矩形，第9题解图②∴FG ＝OE ＝27.7 cm ， ∵OG ∥AB ，∴∠GOA ＝∠BAC ＝20°， ∵∠DOA ＝α＝80°， ∴∠DOG ＝60°， 在Rt △ODG 中，sin ∠DOG ＝DG OD ，∴DG ＝OD ·sin ∠DOG ＝81×32≈70.1(cm )． ∴DF ＝DG ＋GF ≈70.1＋27.7≈98(cm )． 答：点D 到地面的距离约为98 cm .第10题解图10. 解：(1)如解图，延长AB 交DF 于点P ， ∵∠EGF ＝60°，∠AEG ＝130°， ∴∠APD ＝∠AEG －∠EGF ＝70°；(2)如解图，过点E 作EN ⊥FD 于点N ，过点A 作AM ⊥FD 于点M ， ∵∠EGF ＝60°，EG ＝43， ∴EN ＝EG ·sin 60°＝43×32＝6(cm )， 由(1)知∠APD ＝70°，∴EP ＝EN sin 70°≈60.940≈6.383(cm )，∵AB ＝28，BE ＝3， ∴AE ＝25，∴AP ＝AE ＋EP ≈31.383(cm )， ∴AM ＝AP ·sin 70°≈30(cm )， ∴电脑显示器的高约为30 cm .11. 解：(1)由题意可知MN ∥DB ，∴∠MEG ＝∠NEH ＝∠AHB ＝∠CGD ＝11.31°， ∵AB ＝CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD . ∴△ABH ≌△CDG . ∴BH ＝GD .∵小明站在两灯杆的正中位置， ∴BF ＝FD . ∴GF ＝FH ，在Rt △ABH 中，tan ∠AHB ＝AB BH ， ∴BH ＝AB tan 11.31°≈100.2＝50 m ；在Rt △EFH 中，tan ∠AHB ＝EFFH ，∴FH ＝EFtan ∠AHB ＝7.5 m ，BH ＝ABtan ∠AHB＝50 m ，∴BD ＝2(BH －FH )＝2×(50－7.5)＝85 m . 【一题多解】∵EF ∥AB ， ∴△ABH ∽△EFH . ∴EF AB ＝FH BH ，即1.510＝FH 50， ∴FH ＝50×1.510＝7.5 m .∴BD ＝2BF ＝2(BH －FH )＝2×(50－7.5)＝85 m .(2)设休闲街长x m ，则购物街长(760－x ) m ，根据题意得： 760－x 50＋x85＝12－1， 解得x ＝510.则休闲街长约510 m ，购物街长约250 m ； 12. 解：(1)∵B ′O ′⊥AC ，垂足为C ， ∠AO ′B ′＝115°， ∴∠AO ′C ＝65°， ∵cos ∠AO ′C ＝O ′C O ′A，∴O ′C ＝O ′A ·cos ∠CO ′A ＝20×cos 65°≈8.46≈8.5(cm )； (2)如解图①，过B 作BD ⊥AO 交AO 的延长线于点D ，第12题解图①∵∠AOB ＝115°， ∴∠BOD ＝65°， ∵sin ∠BOD ＝BD OB，∴BD ＝OB ·sin ∠BOD ＝20×sin 65°≈18.12，∴O ′B ′＋O ′C －BD ≈20＋8.46－18.12＝10.34≈10.3(cm )， ∴显示屏的顶部B ′比原来升高了约10.3 cm ； (3)如解图②，过O ′作EF ∥OB 交AC 于点E ，第12题解图②∴∠FEA ＝∠BOA ＝115°，∴∠FO ′B ′＝∠EO ′C ＝∠FEA －∠O ′CA ＝115°－90°＝25°， ∴显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转25度． 13. 解：(1)如解图，连接BD ， ∵∠P AD ＋∠BAD ＝90°，∠BAD ＋∠ABE ＝90°， ∴∠P AD ＝∠ABE ， ∵AE ＝DE ，BE ⊥AD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∴∠ABD ＝2α；第13题解图(2)如解图，过点D 作DC ⊥PM 交PM 于点C ， 在Rt △ACD 中， ∵sin ∠CAD ＝CD AD ＝sin α＝AE AB ＝50250＝15， ∴CD ＝15AD ＝15×100＝20 cm .【一题多解】∵∠CAD ＝∠ABE ＝α，∠ACD ＝∠AEB ＝90°， ∴△ACD ∽△BEA ， ∴CD AE ＝AD AB ， ∴CD 50＝100250， ∴CD ＝20 cm ，∴油画顶部点D 到墙壁PM 的距离CD 是20 cm ；(3)当油画底部A 处位置不变，油画AD 与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁PM .类型二 特殊四边形模型1. 4 【解析】如解图，设G 、H 分别是球反弹到BA 、AD 边上的位置，连接E 、F 、G 、H ，作EF ∥HG ，且EF=HG .第1题解图∵DE ＝4，CE ＝2, 球从E 点出发， 与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等，∴CE BG ＝CE DE ＝12，CF BF ＝12，∴CF ＝11＋2BC ＝23，∴在Rt △ECF 中，EF 2＝CE 2＋CF 2，∴EF ＝4.第2题解图2. 29 【解析】如解图，连接AC ，与BD 相交于点O .∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠ADB ＝∠CDB ，AC ＝2AO ，当∠ADC ＝60°时，△ADC 是等边三角形，∴AC ＝AD ＝AB ＝40 cm ；当∠ADC ＝120°时，∠ADO ＝60°，∴AO ＝AD ·sin ∠ADO ＝40×32＝203，∴AC ＝40 3 cm ，因此千斤顶升高的高度为403－40＝40×(3－1)≈29(cm )．第3题解图3. 解：(1)如解图，作DH ⊥BC 于点H .由题意可知，△BCD 为等腰三角形，∠DCB ＝70°，BC ＝0.34米， ∴CH ＝BC2＝0.17米，DC ＝HC cos 70°＝0.170.34＝0.5(米)，∴床板完全展开后的总长度为0.5×4＝2(米)； (2)当∠DCB ＝70°时，DH ＝0.5×sin 70°≈0.47(米)， 当∠DCB ＝80°时，DH ＝DC ·sin ∠DCB ＝0.5×sin 80°≈0.49(米)， ∴0.49－0.47＝0.02(米)，答：当折叠该床板使其最稳定时，顶点D 会在垂直方向上变高约0.02米． 4. 解：(1)如解图，过B 点作BN ⊥AE 于点N ，∵AB ＝CB ＝31.2 cm ，∠BAH ＝40°，∠HAC ＝90°，cos 50°≈0.643， ∴∠BAC ＝50°， ∴AC ＝2AB ·cos ∠BAC ≈2×31.2×0.643≈40.1 cm ， ∵AC ＝CD ＝2DE ，DE ＝43GF ，AE ＝HF ，∴AE ＝AC ＋CD ＋DE ≈40.1＋40.1＋(40.1÷2)≈100.3 (cm )， ∴HF ≈100.3 cm ，GF ＝34×(40.1÷2)≈15.0 (cm )，∴GH ＝HF －GF ≈100.3－15.0＝85.3 cm ；第4题解图(2)如解图，作GM ⊥DE 于点M ，∵AH ＝50 cm ，GF ＝15 cm ，DE ≈40.1÷2≈20 cm ， ∴DM ＝5 cm ，∴tan ∠EDG ＝GM DM ＝505≈10，即tan ∠EDG ＝10.5. 解：(1)如解图①，依题意得AC ＝1.830＝0.06(米)＝6(厘米)，AB ＝5厘米，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝3厘米，OB ＝12BD .∴在Rt △ABO 中，由勾股定理得：OB ＝AB 2－AO 2＝52－32＝4(厘米)，则BD ＝2OB ＝8厘米，∴每个菱形的较长的对角线长为8厘米；第5题解图(2)如解图②，∠ABC ＝20°， ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABO ＝12∠ABC ＝10°，∠AOB ＝90°，∴在Rt △ABO 中，AO ＝AB ·sin ∠ABO ≈5×0.174＝0.87(厘米)， ∴AC ＝2AO ＝1.74厘米， 则窗帘向上拉开长度为1.8－1.74×30100＝1.278≈1.28(米)， ∴窗帘向上拉开了约1.28米．第6题解图①6. 解：(1)如解图①，连接AC 、BD 交于点O ， ∵∠ABC ＝60°， ∴AC ＝AB ＝10，∴BD ＝2BO ＝2AB ·cos 30°＝103， ∴酒架所需占用平面上的面积为2BD ·3AC ＝2×103×3×10＝600 3 (cm 2)；第6题解图②(2)如解图②，连接AC 、BD 交于点O ，过O 点作OE ⊥BC 于点E ， 由题意知，OE 即为⊙O 的半径，且与BC 相切于点E ，得OE ＝4 cm . ∵∠OEB ＝∠BOC ＝90° ，∠CBO ＝∠OBE ， ∴△OEB ∽△COB ， ∴BO BC ＝BEBO，BO 2＝BE ·BC ＝10·BE ， 又∵BO 2＋OC 2＝BC 2，OC 2＝OE 2＋CE 2， 设CE ＝x ，则BE ＝10－x ， ∴10BE ＋OE 2＋CE 2＝BC 2， ∴10(10－x )＋16＋x 2＝100， 解得x ＝2，∴OC ＝25，sin ∠OBC ＝OC BC ＝2510≈0.45， ∴∠OBC ≈27°，∴∠ABC ≈54°，当∠ABC 为钝角时，∠ABC 为126°.答：当∠ABC 约为54°或126°时刚好放下这瓶葡萄酒．7. 解：(1)HI ∥AC .理由如下：如解图，连接EF ，EA ，FC ，EH ，FI ，第7题解图∵点D 是AF 、CE 的中点，∴DE ＝DC ，DF ＝DA ，∴四边形ACFE 是平行四边形．∵AF ＝CE ，∴四边形ACFE 是矩形，∴ EF ∥AC .同理可得四边形EFIH 是矩形，∴EF ∥HI ,∴HI ∥AC ;(2)由(1)知四边形ACFE ，EFIH 均是矩形，∴∠HEF ＝∠FEA ＝90°，∠EHI ＝∠EAC ＝90°，∴∠HEF ＋∠FEA ＝180°，∴点H ，E ，A 在同一条直线上，∴HA ⊥HI ，HA ⊥AB .当∠DAC ＝30°时，∠EAD ＝90°－∠DAC ＝60°，∴△DAE 为等边三角形，∴HA ＝2EA ＝2AD ＝AF ＝50(cm ).当∠DAC ＝60°时，在Rt △ACF 中，CF ＝AF ·sin ∠DAC ＝50×32＝253(cm )， ∴AE ＝CF ＝253(cm )，∴HA ＝2AE ＝503≈86.6(cm )，∴86.6－50＝36.6(cm ).即当∠DAC 的大小由30°变化到60°时，平台上升了约36.6 cm .类型三 圆模型1. 71 【解析】如解图，作AE ⊥BC 于点E .在Rt △ABE 中，AE ＝AB ·sin 75°第1题解图≈60×0.97＝58.2(mm )，则这个羽毛球的高约为58.2＋252≈71(mm )． 2. 11 cm 【解析】在Rt △ODE 中，OD ＝DE cos ∠ODE ＝15cos 53°≈150.6＝25 (cm )，∴OA ＝OD －AD ＝25－14＝11 (cm )． 3. 解：如解图，过点A 作AF ⊥CD 于点F ，过点B 作BH ⊥CD 于点H ，连接BE ，AB .第3题解图∵弧AB 是半圆弧，∴AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠BEF ＝90°.∵AF ⊥CD ，BH ⊥CD .∴四边形BEFH 是矩形．∴EF ＝BH ＝9.4 cm ，∴AE ＝AF －EF ＝27.7－9.4＝18.3 cm ，在Rt △AEB 中，cos ∠BAE ＝AE AB， ∴AB ＝AE cos ∠BAE ≈18.30.9171≈20 cm ， ∴它是直径约为20 cm 的地球仪的支架．第4题解图4. 解：如解图，延长OC 与地面交于点E ，∵AB ︵的长为30π cm ，OA 、OB 为圆弧的半径，长为90 cm .根据弧长公式l ＝n πr 180， 得到：30π＝n π×90180， 解得n ＝60°，即∠AOB ＝60°，∴∠BOE ＝∠COB ＝30°，在Rt △BOE 中，∵OB ＝90 cm ，∴OE ＝OB cos 30°＝60 3 cm ，∴DE ＝DO ＋OE ＝CD －OC ＋OE ＝170＋60 3 (cm )，∴DF ＝32DE ＝90＋853≈237.2 (cm )． 5. 解：(1)已知钟表一周共有12个大格，∴360°÷12＝30°，从时钟的9点转到11点时，时针转过2个大格， ∴2×30°＝60° ；(2)如解图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，作DF ⊥AB 于点F ，设半圆圆心为O ，连接OD ，第5题解图∵点D 在11点的刻度上，∴∠COD ＝60°，∴DE ＝OD ·sin 60°＝2×32＝ 3 m ，OE ＝OD ·cos 60°＝2×12＝1 m ， ∴CE ＝2－1＝1 m ，∴DF ＝AE ＝5＋1＝6 m ，∵同时测得一米长的标杆的影长1.6米， ∴DF BF ＝1.61， ∴BF ＝DF 1.6＝154m ， ∴AB ＝BF ＋DE ＝154＋3≈5.5(米)． 答：旗杆AB 的高度约为5.5米．6. (1)解：20，12；【解法提示】根据左视图得到：图中虚线部分的长为20 cm ，俯视图中长方形的长为12 cm ；故答案是：20，12；(2)设主视图中弧所在圆的半径为x cm ，利用垂径定理可得：x 2＝(204)2＋(x －22)2， 解得x ＝13.即圆的半径为13 cm ；(3)∵tan 22.5°≈512， ∴俯视图的两段弧的圆心角的度数是22.5°×2＝45°，∴俯视图的总弧长：45π180×13×2＝13π2， ∴照片的最大面积为：13π2×12＝78π (cm 2)． 答：可插入照片的最大面积为78πcm 2.。
2020年全国中考数学试题精选分类（8）——三角形一．选择题（共35小题）1．（2020•朝阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于点N，S四边形MONC＝，现给出下列结论：①；②sin∠BOF＝；③OF＝；④OG＝BG；其中正确的结论有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④2．（2020•盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2B．（x﹣1）2+52＝x2C．x2+52＝（x+1）2D．（x﹣1）2+102＝x23．（2020•大连）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°4．（2020•呼伦贝尔）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE 于点O，点M，N分别OB，OC的中点，若OB＝8，OC＝6，则四边形DEMN的周长是（）A．14B．20C．22D．28 5．（2020•呼伦贝尔）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°6．（2020•南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．B．2C．2D．3 7．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（）A．B．C．D．8．（2020•宿迁）在△ABC中，AB＝1，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（）A．2B．4C．5D．6 9．（2020•湖北）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2020•吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°11．（2020•绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（）A．16°B．28°C．44°D．45°12．（2020•毕节市）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC 为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（）A．a B．b C．D．c 13．（2020•广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸14．（2020•玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形15．（2020•包头）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（）A．50°B．55°C．70°D．75°16．（2020•淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2 17．（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（）A．25cm2B．cm2C．50cm2D．75cm218．（2020•宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线19．（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°20．（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6 21．（2020•烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（）A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4 22．（2020•湘潭）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A ＝（）A．40°B．50°C．55°D．60°23．（2020•烟台）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为（）A．（）n B．（）n﹣1C．（）n D．（）n﹣1 24．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4 25．（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A．B．C．D．26．（2020•鄂州）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．1 27．（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（）A．从点P向北偏西45°走3km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l28．（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．29．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120°B．130°C．145°D．150°30．（2020•河南）如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9C．6D．3 31．（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°32．（2020•南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC ＝a，BC＝b，则CD＝（）A．B．C．a﹣b D．b﹣a 33．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．34．（2020•宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长35．（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC 的长为（）A．2B．5C．4D．10二．填空题（共5小题）36．（2020•阜新）如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形移动的距离AA1是．37．（2020•葫芦岛）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则S n等于．（用含有正整数n的式子表示）38．（2020•丹东）如图，在矩形OAA1B中，OA＝3，AA1＝2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2＝OA1，连接OA2交A1B于点C；以OA2为边，作矩形OA2A3B2，使A2A3＝OA2，连接OA3交A2B1于点C1；以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4＝OA3，连接OA4交A3B2于点C2；…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022的面积为．39．（2020•绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．40．（2020•雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．三．解答题（共10小题）41．（2020•西藏）如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD．求证：DE＝CB．42．（2020•大连）如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE＝CE，点G在线段CD上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．（1）填空：与∠CAG相等的角是；（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如图2），求的值．43．（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD 上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．44．（2020•山西）阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是；（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．45．（2020•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．（1）填空：AO的长为，AB的长为；（2）当t＝1时，求点N的坐标；（3）请直接写出MN的长为（用含t的代数式表示）；（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为．46．（2020•毕节市）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：．（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON ⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON ＝CH．47．（2020•河池）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE 的数量关系，并说明理由．48．（2020•吉林）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s 的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．49．（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b与c的关系为，a与d的关系为．50．（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC 上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．2020年全国中考数学试题精选分类（8）——三角形参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．（2020•朝阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于点N，S四边形MONC＝，现给出下列结论：①；②sin∠BOF＝；③OF＝；④OG＝BG；其中正确的结论有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【答案】D【解答】解：如图，过点O作OH∥BC交AE于点H，过点O作OQ⊥BC交BC于点Q，过点B作BK⊥OM交OM的延长线于点K，∵四边形ABCD是正方形，∴，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠BOM+∠MOC＝90°．∵OP⊥OF，∴∠MON＝90°，∴∠CON+∠MOC＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON（ASA），∴S△BOM＝S△CON，∴，∴，∴．∵CE＝2BE，∴，∴．∵BF⊥AE，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∵AD∥BC，∴，故①正确；∵OH∥BC，∴，∴．∵∠HGO＝∠EGB，∴△HOG≌△EBG（AAS），∴OG＝BG，故④正确；∵OQ2+MQ2＝OM2，∴，∴，故③正确；∵，即，∴，∴，故②错误；∴正确的有①③④．故选：D．2．（2020•盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2B．（x﹣1）2+52＝x2C．x2+52＝（x+1）2D．（x﹣1）2+102＝x2【答案】B【解答】解：设芦苇长x尺，由题意得：（x﹣1）2+52＝x2，故选：B．3．（2020•大连）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】D【解答】解：∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠C＝80°，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝80°，故选：D．4．（2020•呼伦贝尔）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE 于点O，点M，N分别OB，OC的中点，若OB＝8，OC＝6，则四边形DEMN的周长是（）A．14B．20C．22D．28【答案】B【解答】解：∵BD和CE分别是△ABC的中线，∴DE＝BC，DE∥BC，∵M和N分别是OB和OC的中点，OB＝8，OC＝6，∴MN＝BC，MN∥BC，OM＝OB＝4，ON＝OC＝3，∴四边形MNDE为平行四边形，∵BD⊥CE，∴平行四边形MNDE为菱形，∴BC＝＝10，∴DE＝MN＝EM＝DN＝5，∴四边形MNDE的周长为20，故选：B．5．（2020•呼伦贝尔）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．15°【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，故选：D．6．（2020•南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．B．2C．2D．3【答案】A【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝＝＝，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故选：A．7．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∵BF⊥CD，∴∠CFB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，∵AE⊥CD，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴，∵FB＝FE＝2，FC＝1，∴CE＝CF+EF＝3，BC＝＝＝，∴＝，∴AC＝，故选：B．8．（2020•宿迁）在△ABC中，AB＝1，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是（）A．2B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：∵在△ABC中，AB＝1，BC＝，∴﹣1＜AC＜+1，∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，∴AC的长度可以是2，故选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．9．（2020•湖北）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确∵∠DOF＝∠AOE，∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故②正确，∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴F A平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故④正确，若③成立，则∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，故选：C．10．（2020•吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°【答案】B【解答】解：如图所示，∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故选：B．11．（2020•绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（）A．16°B．28°C．44°D．45°【答案】C【解答】解：延长ED，交AC于F，∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∴∠A＝∠ACB＝28°，∵AB∥DE，∴∠CFD＝∠A＝28°，∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，故选：C．12．（2020•毕节市）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC 为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（）A．a B．b C．D．c 【答案】D【解答】解：过点C作CE⊥AD于E，如图所示：则四边形ABCE是矩形，∴AB＝CE，∠CED＝∠DAP＝90°，∵∠BPC＝45°，∠APD＝75°，∴∠CPD＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵CP＝DP＝a，∴△CPD是等边三角形，∴CD＝DP，∠PDC＝60°，∵∠ADP＝90°﹣75°＝15°，∴∠EDC＝15°+60°＝75°，∴∠EDC＝∠APD，在△EDC和△APD中，，∴△EDC≌△APD（AAS），∴CE＝AD，∴AB＝AD＝c，故选：D．13．（2020•广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸【答案】C【解答】解：如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r，DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．14．（2020•玉林）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】A【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，∴∠DCA＝∠EAC＝35°，∵AE∥BF，∴CD∥BF，∴∠BCD＝∠CBF＝55°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，∴△ABC是直角三角形．∵∠CAD＝∠EAD﹣∠CAE＝80°﹣35°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠CAD＝45°，∴CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：A．15．（2020•包头）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（）A．50°B．55°C．70°D．75°【解答】解：∵∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝55°，∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝55°，故选：B．16．（2020•淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【答案】A【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AE＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，x2+4y2＝b2，②在Rt△BFD中，4x2+y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．17．（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（）A．25cm2B．cm2C．50cm2D．75cm2【答案】C【解答】解：如图：设OF＝EF＝FG＝x（cm），∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2x，由题意EH＝20cm，∴20＝2x，∴x＝5，∴阴影部分的面积＝（5）2＝50（cm2）故选：C．18．（2020•宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线【答案】A【解答】解：如图：A．∵直线l为线段FG的垂直平分线，∴FO＝GO，l⊥FG，∵EF＝GH，∴EF+FO＝OG+GH，即EO＝OH，∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；B．∵EO≠OQ，∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；C．∵FO≠OH，∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；D．∵l为直线，EH不能平分直线l，∴EH不是l的垂直平分线，故此选项错误；故选：A．19．（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°【答案】D【解答】解：分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．20．（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．21．（2020•烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（）A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4【答案】A【解答】解：∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝＝1.7，故选：A．22．（2020•湘潭）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A ＝（）A．40°B．50°C．55°D．60°【答案】D【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠B+∠A，∴∠A＝∠ACD﹣∠B，∵∠ACD＝110°，∠B＝50°，∴∠A＝60°，故选：D．23．（2020•烟台）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为（）A．（）n B．（）n﹣1C．（）n D．（）n﹣1【答案】B【解答】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2＝；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2＝；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2＝．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4＝，……∴OA n的长度为（）n﹣1．故选：B．24．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4【答案】B【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．25．（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，∴，∴，∴BD＝，故选：D．26．（2020•鄂州）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．1【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；正确的个数有3个；故选：B．27．（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（）A．从点P向北偏西45°走3km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l【答案】A【解答】解：如图，由题意可得△P AB是腰长6km的等腰直角三角形，则AB＝6km，如图所示，过P点作AB的垂线PC，则PC＝3km，则从点P向北偏西45°走3km到达l，选项A错误；则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；则从点P向北走3km后到达BP中点D，此时CD为△P AB的中位线，故CD＝AP＝3，故再向西走3km到达l，选项D正确．故选：A．28．（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴＝，∴△DEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵等边三角形ABC的面积为1，∴△DEF的面积是，故选：D．29．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120°B．130°C．145°D．150°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠B＝∠C＝65°，∵DF∥AB，∴∠CDE＝∠B＝65°，∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；故选：B．30．（2020•河南）如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9C．6D．3【答案】D【解答】解：连接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝，∴AD＝CD＝AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝2×＝3，故选：D．31．（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】D【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．32．（2020•南充）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC ＝a，BC＝b，则CD＝（）A．B．C．a﹣b D．b﹣a【答案】C【解答】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，∴∠ABD＝36°＝∠A，∴BD＝AD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，∴BD＝BC，∵AB＝AC＝a，BC＝b，∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，故选：C．33．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．【答案】B【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝＝，∴＝．故选：B．34．（2020•宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【答案】A【解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．35．（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC 的长为（）A．2B．5C．4D．10【答案】A【解答】解：过A作AH⊥BC于H，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵DE∥BC，∴AE＝CE，∴DE＝BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴BF＝HF，∴DF＝AH，∵△DFE的面积为1，∴DE•DF＝1，∴DE•DF＝2，∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，∴AB•AC＝8，∵AB＝CE，∴AB＝AE＝CE＝AC，∴AB•2AB＝8，∴AB＝2（负值舍去），∴AC＝4，∴BC＝＝2．故选：A．二．填空题（共5小题）36．（2020•阜新）如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形移动的距离AA1是．【答案】．【解答】解：∵把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，∴AC∥A1C1，∴△ABC∽△A1BD，∵S△A1BD：S四边形ACDA1＝4：5，∴S：S△ABC＝4：9，∴A1B：AB＝2：3，∵AB＝4，∴A1B＝，∴AA1＝4﹣＝．故答案为：．37．（2020•葫芦岛）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则S n等于×4n﹣1．（用含有正整数n的式子表示）【答案】．【解答】解：设△ADC的面积为S，。
【文库独家】二次函数应用题1、（•衢州）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种 10 棵橘子树，橘子总个数最多． 考点： 二次函数的应用． 分析： 根据题意设多种x 棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y 与x 之间的关系式，进而求出x=﹣时，y 最大．解答： 解：假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子， ∴这时平均每棵树就会少结5x 个橙子， 则平均每棵树结（600﹣5x ）个橙子． ∵果园橙子的总产量为y ， ∴则y=（x+100）（600﹣5x ）=﹣5x 2+100x+60000，∴当x=﹣=﹣=10（棵）时，橘子总个数最多．故答案为：10． 点评： 此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y 与x 之间的二次函数关系式是解题关键． 2、（山西，18，3分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，桥拱最高点C 到AB 的距离为9m ，AB=36m ，D ，E 为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E 到直线AB 的距离为7m ，则DE 的长为_____m.【答案】48【解析】以C 为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得B （18，－9），设抛物线方程为：2y ax =，将B 点坐标代入，得a ＝－136，所以，抛物线方程为：2136y x =-，E 点纵坐标为y ＝－16，代入抛物线方程，－16＝2136x -，解得：x ＝24，所以，DE 的长为48m 。
3、（鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．解答：解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y=﹣10000x+80000；（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣10000x+80000）=﹣10000（x﹣4）（x﹣8）=﹣10000（x2﹣12x+32）=﹣10000[（x﹣6）2﹣4]=﹣10000（x﹣6）2+40000所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识．4、（•咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？考点：二次函数的应用．分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由利润=销售价﹣成本价，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．解答：解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．5、（四川南充，18，8分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解析：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0）.由所给函数图象得……………1′1305015030k b k b +=⎧⎨+=⎩……………2′解得1180k b =-⎧⎨=⎩ ……………3′∴函数关系式为y ＝－x ＋180. ……………4′ (2)W ＝(x －100) y ＝(x －100)( －x ＋180) ……………5′＝－x 2＋280x －18000 ……………6′ ＝－(x －140) 2＋1600 ……………7′ 当售价定为140元, W 最大＝1600.∴售价定为140元/件时,每天最大利润W ＝1600元 ……………8′ 6、（•滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm ，高为20cm ．请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．元/件)7、（年潍坊市）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt △ABC 内修建矩形水池DEFG ，使顶点E D 、在斜边AB 上，G F 、分别在直角边AC BC 、上；又分别以AC BC AB 、、为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中米324=AB ，︒=∠60BAC .设x EF =米，y DE =米.（1）求y 与x 之间的函数解析式；（2）当x 为何值时，矩形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的31？答案：（1）在Rt △ABC 中，由题意得AC=312米，BC=36米，∠ABC=30°, 所以,330tan ,33360tan x EFBE x x DG AD =︒===︒=又AD+DE+BE=AB, 所以,334324333324x x x y -=--=（0＜x ＜8）. (2)矩形DEFG 的面积.3108)9(334324334)334324(22+--=+-=-==x x x x x xy S 所以当x=9时，矩形DEFG 的面积最大，最大面积为3108平方米.（3）记AC 为直径的半圆\、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为S 1、S 2、S3，两弯新月面积为S ，则,81,81,81232221AB S BC S AC S πππ===由AC 2+BC 2=AB 2可知S 1+S 2=S 3，∴S 1+S 2-S=S 3-S △ABC ,故S=S △ABC所以两弯新月的面积S=32163631221=⨯⨯(平方米) 由3216313108)9(334⨯=+--x ， 即27)9(2=-x ,解得339±=x ，符合题意，所以当339±=x 米时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的31.考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。
2020应用题复习1．已知A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑电动车，图中直线DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程s (km)与时间t (h)的函数关系的图象。
根据图象解答下列问题。
(1)甲比乙晚出发几个小时?乙的速度是多少?(2)乙到达终点B地用了多长时间?(3)在乙出发后几小时，两人相遇?2．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种x棵橙子树。
（1）直接写出平均每棵树结的橙子数y（个）与x之间的关系式。
（2）果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少。
3．某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天120元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于210元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元?4．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．5.某商店经销某玩具每个进价60元，每个玩具不低于80元出售，玩具的销售单价m（元/个）与销售数量n（个）之间的函数关系如图．（1）试求表示线段AB的函数的解析式，并求出当销售数量n=20时的单价m的值；（2）写出该店当一次销售n（n＞10）个时，所获利润w（元）与n（个）之间的函数关系式：（3）店长小明经过一段时间的销售发现：卖27个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到________ 元？6．我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装,通过实体商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况,进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y1(百件)与时间t (t为整数,单位:天)的部分对应值如下表所示,网上商店的日销售量y2(百件)与时间t (t为整数,单位:天)的部分对应值如图所示.时间t (天)0510********日销售量y1 (百件)025*********(1)请你在一次函数、二次函数和反比例函数中,选择合适的函数能反映y1与t的变化规律,并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围;(2)求y2与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(3)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件),求y与t的函数关系式;当t为何值时,日销售总量y达到最大,并求出此时的最大值.7．月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售。
已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分。
设公司销售这种电子产品的年利润为z （万元）。
（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本。
）（1）请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式。
（2）求出第一年这种电子产品的年利润z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值。
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润z（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x （元）定在8元以上（x>8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润z（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围。
8．如图①是矩形包书纸的示意图，虚线是折痕，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．（1）现有一本书长为25cm，宽为20cm，厚度是2cm，如果按照如图①的包书方式，并且折叠进去的宽度是3cm，则需要包书纸的长和宽分别为多少？（请直接写出答案）．（2）已知数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm，小明用一张面积为1260cm2的矩形包书纸按如图①包好了这本书，求折进去的宽度．（3）如图②，矩形ABCD是一张一个角（△AEF）被污损的包书纸，已知AB=30，BC=50，AE=12，AF=16，要使用没有污损的部分包一本长为19，宽为16，厚为6的字典，小红认为只要按如图②的剪裁方式剪出一张面积最大的矩形PGCH就能包好这本字典．设PM=x，矩形PGCH的面积为y，当x取何值时y最大？并由此判断小红的想法是否可行．中考数学经典大题1.已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ~△ACB；（2）当△PQB是等腰三角形时，求AP的长.2.如图，对称轴为x=−1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）.（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点.①若点P是抛物线上第三象限内的点，是否存在点P，使得S△POC=4S△BOC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.③若M是x轴上方抛物线上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，若△MNO与△OBC相似，求M点的坐标.3.如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径.4.如图，已知函数y=−x2+2x+3与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶点为C.（1）求△BAD的面积；S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若（2）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使S△ABP=12不存在，请说明理由；（3）在轴上是否存在一点Q，使得△DOQ与△ABC相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.5.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A、B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形。
过点M作直线ι与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分AĈ.（1）求过A、B、E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由.6. 如图1，直角△ABC 中，∠ABC=90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交AC 于点D ，取CB 的中点E ，DE 的延长线与AB 的延长线交于点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若OB=BP ，AD=6，求BC 的长；（3）如图2，连接OD ，AE 相交于点F ，若tan ∠C =2，求AF FE的值.7. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （3，2），B （0，1）和点C （-1，−23）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若抛物线的顶点为P ，点A 关于对称轴的对称点为M ，过M 的直线交抛物线于另一点N （N 在对称轴右边），交对称轴于F ，若S △PFN =4S △PFM ，求点F 的坐标；（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点G ，使△BMA 与△MBG 相似？若存在，求点G 的坐标；若不存在，请说明理由.8. 如图，PB 切⊙O 于B 点，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C ，连结BC ，AF. （1）直线PA 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论；（2）若BC=16，⊙O 的半径的长为17，求tan ∠AFD 的值； （3）若OD ：DP=1：3，且OA=3，则图中阴影部分的面积为？9. 将抛物线C 1：y =x 2平移后的抛物线C 2与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）与y 轴负半轴交于C 点，已知A （-1，0），tan ∠CAB =3. （1）求抛物线C 2的解析式；（2）若点P 是抛物线C 2上的一点，连接PB ，PC.求S △BPC =34S △CAB 时点P 的坐标；（3）D 为抛物线C 2的顶点，Q 是线段BD 上一动点，连接CQ ，点B ，D 到直线CQ 的距离记为d 1，d 2，试求出d 1+d 2的最大值，并求出此时Q 点坐标.10. 如图1，AB 为⊙O 的直径，TA 为⊙O 的切线，BT 交⊙O 于点D ，TO 交⊙O 于点C 、E.（1）若BD=TD ，求证：AB=AT ；（2）在（1）的条件下，求tan ∠BDE 的值；（3）如图2，若BD TD=43，且⊙O 的半径r=√7，则图中阴影部分的面积为？11. 如图，过A （1，0），B （3，0）作x 轴的垂线，分别交直线y =4−x 于C 、D 两点.抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、C 、D 三点. （1）求抛物线的表达式；（2）点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 为抛物线上的一点，连接PD ，PC. 求S △PCD =13S △CDB 时点P 的坐标.（4）若△AOC 沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中 △AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值.12. 如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E.（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD =45，求AF FC的值.13. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长交CD 于F 点.（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若△AEP 是等边三角形，连结BP ，求证：△APB ≅△EPC ； （3）若矩形ABCD 的边AB=6，BC=4，求△CPF 的面积. 14. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y =ax 2−2ax −3a （a <0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y =kx +b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD=4AC.（1）直接写出点A 的坐标，并求出直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值；（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由.15.如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC.（1）求证：PA·BC=AB·CD.（2）若PA=10，sin P=35，求PE的长.16.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点.（1）当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF；（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时.①若转到如图2的位置，线段CF、AE、OE之间有一个不变的相等关系式，请写出这个关系式.（不用证明）②若转到图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请予以证明.17.已知如图，在平面直角坐标系xoy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=2，OC=4.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM-AM|为最大值时，点M 的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值.18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 交AB 于E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，交BC 于点F.（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，若BC=9,CA=12，求EF AC的值.19. 如图，在正方形ABCD 中，AB=5,P 是BC 边上任意一点，E 是BC 延长线上一点，连接AP ，作PF ⊥AP ，使PF=PA ，连接CF 、AF ，AF 交CD 边于点G ，连接PG. （1）求证：∠GCF=∠FCE ；（2）判断线段PG ，PB 与DG 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若BP=2，在直线AB 上是否存在一点M ，使四边形DMPF 是平行四边形，若存在，求出BM 的长度，若不存在，请说明理由. 20. 已知抛物线y =−12x 2+bx +c 与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A （-4,0），B （1，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.21. 如图1，直角△ABC 中，∠ABC=90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交AC 于点D ，取CB 的中点E ，DE的延长线与AB 的延长线交于点P.（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）如图2，连接OD ，AE 相交于点F ，若tan ∠C =2，求AF FE 的值.22. 已知四边形ABCD 是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF=60°.（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出线段AE ，EF ，AF 之间的数量关系；（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE=CF ；（3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F 到BC 的距离.23. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的开口向下，与x 轴交于点A （-3，0）和点B （1，0）.与y 轴交于点C ，顶点为D.（1）求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若△ACD 的面积为3.①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P ，且∠PAB=∠DAC ，求平移后抛物线的解析式.24.如图1，△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC，BM平分∠ABC交AE于点M，经过点B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰好为⊙O的直径.（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AC=6，CE=4，EN⊥AB于点N，求BN的长；（3）如图2，若CBAB =23，求tan∠MBA的值.25.如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴分别相交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P.（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.26.已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：PD2=PB·PA；（3）若PD=4,tan∠CDB=12，求直径AB的长.27. 已知抛物线y =a （x +3）（x −1）（a ≠0），与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y =−√3x +b 与抛物线的另一个交点为D.（1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，是以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE.一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒2√33个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？28. 如图，已知在△ABP 中，C 是BP 边上一点，∠PAC=∠PBA ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且交BP 于点E.（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）过点C 作CF ⊥AD ，垂足为点F ，延长CF 交AB 于点G ，若AG ·AB=12,求AC 的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF ：FD=1：2，GF=1，求⊙O 的半径及sin ∠ACE 的值.29. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =−23x +2与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，经过B 、C两点的抛物线与x 轴的另一交点为A （-1，0）.（1）求B 、C 两点的坐标及该抛物线的解析式；（2）P 是线段BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过点P 作直线L//y 轴，交抛物线于点E ，交x 轴于点F ，设P 点的横坐标是m ，△BCE 的面积为S.①求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；②在①的基础上试说明S 是否存在最大值？若存在，请求出S 的最大值，并判断△OBE 的形状；若不存在，请说明理由；③Q 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），且PQ//x 轴，试问在x 轴上是否存在点R ，使△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出R 的坐标；若不存在，请说明理由.30. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.（1）如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 中点.求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA=PB ，PC=PD ，∠APB=∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状（不必证明）.31. 如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A （-1，0）、B 两点（点A 在点B 左侧），其顶点为M （1，4），MA 交y 轴于点N ，连接OM.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P 为（1）中抛物线上一点，当S △OAM =S △PAM 时，求P 点的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿y 轴折叠，使点A 落在点D 处，连接MD ，Q 为（1）中的抛物线上的一点，直线NQ 交x 轴于点G ，当Q 点在抛物线上运动时，是否存在点Q ，使△ANG 与△ADM 相似？若存在，求出符合条件的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.32. 如图1，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E （BE >EC ），且BD=2√3.求过点D 作DF//BC ，交AB 的延长线于点F.（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若∠BAC=60°，DE=√7，求图中阴影部分的面积；（3）若AB AC =43，DF+BF=8，如图2，求BF 的长.33.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A、B、C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上.（1）求b，c的值,B的坐标；（直接写出结果）（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE ⊥y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线.垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.34.如图，经过的三个顶点A、C、D作⊙O，交BC边于点H，AB切⊙O于点A，延长半径AO交CD于E，交⊙O于F，P是射线AF上一点，且∠PCD=2∠DAF（1）求证：AB=AH；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若AB=2，AD=√17，求⊙O的半径.35.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D为抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为点E，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一动点，若△DMB与△BCE相似，求点M的坐标.36.如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8.（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求证：OC2=OE·OP；（3）求线段EG的长.37.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由.38.在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M，N.（1）观察图1，直接写出∠AEM与∠BNE的关系为：▲▲▲；（不用证明）（2）如图1，当M、N都分别在AB、BC上时，可探究出BN与AM的关系为：▲▲▲；（不用证明）（3）如图2，当M、N都分别在AB、BC的延长线上时，（2）中BN与AM的关系式是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由.x+c经过B、C 39.如图，直线y=−x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+12两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点.（1）求抛物线的解析式；，请求出点E和点M （2）过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，交x轴于点F，当S△BEC=32的坐标；（3）在（2）的条件下，当E点的横坐标为1时，在EM上是否存在点N，使得△CMN和△CBE 相似？如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.40.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径.41.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.已知AB=2√2，CD=1BC，请求出CF的长.442.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A、D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）.（1）求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）探究抛物线上是否存在点F使得△FOE≅△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究，当M为何值时，△OPQ为等腰三角形.43.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB=5，BC=6时，求tan∠BAC的值.44.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）.以AD为边做正方形ADEF，连接CF.（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变：①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2√2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC.求OC的长度.x2+bx+c与x轴分别相交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，45.如图，抛物线y=−12顶点为点P.（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.46.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E.（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线.47.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：▲▲▲；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt △ABD绕着点A顺时针旋转α（0°<∠α<∠BAC）得到Rt△AB,D,（如图3），当凸四边形AD，BC为等邻角四边形时，求出它的面积.48. 如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （-3，0），B （5，0），C （0，5）三点，O为坐标原点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若把抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）向下平移133个单位长度，再向右平移n （n >0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M 在△ABC 内，求n 的取值范围；（3）设点P 在y 轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA ，求CP 的长.49. 如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE.（1）判断△PCE 的形状；（不必说明理由）（2）如图2，若点P 是BD 延长线上一点，其他条件不变，则（1）的结论是否仍然成立，请说明理由；（3）如图3，把“正方形ABCD ”改成“菱形ABCD ”，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由.50. 如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点M ，N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线；（2）若BC=2√5，sin ∠BCP =√55，求点B 到AC 的距离；（3）在（2）的条件下，求△ACP 的周长.x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐51.如图，抛物线y=−x2+bx+c与直线y=12），点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.标为（3，72（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相似的点P的坐标.21。
