怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高二数学理试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在空间，可以确定一个平面的条件是 A ．两条直线 B ．一点和一条直线 C ．三个点 D ．一个三角形 2．直线10x y --=的倾斜角是A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3. 若椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离为 A ．7B ．5C ．3D ．24．在空间，下列结论正确的是A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行5．已知双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m =A ．7B ．6C ．9D ．86．已知(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅= ，则动点P 的轨迹为A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条平行直线7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为A ．8B ．主视图左视图4C ．10D ．8．设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[1,1]-B ．11[,]22-C ．[D ．[22-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．原点到直线4310x y +-=的距离为___________． 10．抛物线22y x =的准线方程是___________．11．已知(1,=a ，(1=-b ，则⋅+=a b b ___________． 12．过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________． 13．大圆周长为4π的球的表面积为____________．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下 问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个 圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺， 米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面A B C D ，底面A B C D 为正方形，2PD DC ==，G ，F 分别是,AD PB 的中点．（Ⅰ）求证：CD PA ⊥； （Ⅱ）证明：GF ⊥平面PBC ． .16．（本题满分13分）已知直线l 经过直线0243=-+y x 与直线022=++y x 的交点P ，并且垂直于直线012=--y x ．（Ⅰ）求交点P 的坐标； （Ⅱ）求直线l 的方程．17．（本小题满分13分）如图，正方体1111ABCD A BC D 的棱长为1，E 、F 分别是BB 1和CD 的中点． （Ⅰ）求AE 与A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求AE 与平面ABCD 所成角的正切值．18．（本小题共13分）已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3)． （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程．19．（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=．F 为PA中点，PD 112AB AD CD ===． 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：AC // 平面DEF ； （Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？ 若存在，求出Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值．高二数学理科参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9.15； 10. 12x =-； 11. 1；12. x-2y-1=0； 13. 16π； 14. 22． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面A B C D ，底面A B C D 为正方形，2PD DC ==，G ，F 分别是,AD PB 的中点．（Ⅰ）求证：CD PA ⊥； （Ⅱ）证明：GF ⊥平面PBC ．.解法一：（Ⅰ）证明：因为ABCD 是正方形， 所以 CD AD ⊥.又PD ⊥底面ABCD ，所以PD CD ⊥.又AD PD D = ,所以CD ⊥平面PAD .而PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥. -------------------------------------6分 （Ⅱ）取PC 的中点M ，连结,DM FM ,所以FM ∥BC ，12FM BC =， 因为GD ∥BC ，12GD BC =，所以四边形FMDG 为平行四边形， 所以GF ∥DM . 又易证⊥BC 平面PDC ，所以DM BC ⊥,又PD DC =,M 为PC 的中点， 所以DM PC ⊥.则GF BC ⊥且GF PC ⊥ . 又BC PC C ⋂=, 所以GF ⊥平面PCB ---------------------------------------------13分解法二： （Ⅰ）证明：以D 为原点建立如图空间直角坐标系 则(2,0,0)(2,2,0)(0,2,0)(0,0,2)(1,1,1)A B C P F所以(2,0,2)PA =- ,(0,2,0)DC =.则0PA DC ⋅=，所以PA CD ⊥. --------------------------6分（Ⅱ）设(1,0,0)G 则(0,1,1)FG =-- ，(2,0,0)CB = ，(0,2,2)PC =-.又0,0,FG CB FG PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故GF ⊥平面PCB . ------------------------------------------------13分16.（本题满分13分）已知直线l 经过直线0243=-+y x 与直线022=++y x 的交点P ，并且垂直于直线012=--y x .（Ⅰ）求交点P 的坐标； （Ⅱ）求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，，得22x y =-⎧⎨=⎩，，所以P (2-，2). --------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为直线l 与直线012=--y x 垂直，所以2-=l k ，所以直线l 的方程为022=++y x .---------------------------------------13分 17.（本小题满分13分）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 、F 分别是BB 1和CD 的中点. （Ⅰ）求AE 与A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求AE 与平面ABCD 所成角的正切值.（Ⅰ）如图，建立坐标系A-xyz,则A(0，0，0)，E （1，0，21），A 1（0，0，1）F （21，1，0） =(1，0，21),A 1=(21，1，-1)F A AE 1⋅=0 所以F A AE 1⊥所以AE 与A 1F 所成角为90°-------------------------------------6分（Ⅱ）解法1：∵1111ABCD A BC D -是正方体，∴BB 1⊥平面ABCD∴∠EAB 就是AE 与平面ABCD 所成角，又E 是BB 1中点，在直角三角形EBA 中，tan ∠EAB =21.-------------------------------------13分 解法2：设AE 与平面ABCD 所成角为α平面ABCD 的一个法向量为n =(0,0,1) 则 sin α=cos<AE ,n51, 可得 tan α=21 ∴AE 与平面ABCD 所成角的正切等于21. ----------------------------------13分 18．（本小题共13分）已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3). （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程.解：（Ⅰ）由已知，直线l 的斜率31142k -==-， 所以，直线l 的方程为10x y --=. --------------------6分（Ⅱ）因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(,1)a a -，因为圆C 与y 轴相切于(0,3)点，所以圆心在直线3y =上. 所以4a =.所以圆心坐标为(4,3)，半径为4.所以，圆C 的方程为22(4)(3)16x y -+-=. ---------------------------13分19.（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=. F 为PA 中点，PD 11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角A BC P --的大小； (III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与 平面BCP 所成角的大小为6π？ 若存在，求Q 点 所在的位置；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ∆中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC因为,,FN DEF AC DEF ⊂⊄平面平面所以//DEF AC 平面 ----------------------------------5分(Ⅱ)如图以D轴，建立空间直角坐标系.D xyz -则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,(1,1,0).P B C PB BC ==-所以设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =则(,,)(1,1,0,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即0,0x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解得,x x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得11,x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(1,1m =因为平(0,0,1),ABC n =面的法向量所以cos ,n m n m n m⋅==⋅由图可知二面角A BC P --为锐二面角， 所以二面角A BC P --的大小为.4π-----------------------------10分 (Ⅲ) 设存在点Q 满足条件，且Q 点与E 点重合.由1(2F E 设(01)FQ FE λλ=≤≤ ，整理得1)(,2,)22Q λλλ-+，1)(,21,),22BQ λλλ++=-- 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅， 则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合. -------------------14分20．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以c e a ==．所以椭圆C-----------------------------------5分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-= ．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥．若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+ 221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m km k km m k k -=+-+++ 2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+． 所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ----------------------------------------------10分 （Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ===223131k k==++231k=+所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k kABk k k k k++++===++++++24222164164164419613396kk k kk=+⋅=+≤+=++++（当且仅当3k=±时，等号成立）．所以AB≤．此时,max(S)OAB∆=.综上所述，当且仅当k=时，OAB∆-------------------14分。
