湖南师大 高等代数考研试题
一.简答题:(每小题6分,共30分)
1.若|(),k ax b f x k +为正整数,是否一定有|()?ax b f x +为什么?
2.若把可逆矩阵A 的第j 行的k 倍加到第i 行得B,则由A 的逆矩阵1A -经过同样的变换是否得到B 的逆矩阵1B -?为什么?
3.正定矩阵相乘还是正定矩阵吗?为什么?
4.如果欧氏空间的对称变换A 的任意两个特征向量之和仍是特征向量,那么A 是数乘变换吗?为什么?
5.若123,,V V V 是向量空间V 的子空间,且123V V V V =,是否有某个k V 等于V?为什么?
二.(10分)已知1i +是65432()7224044288f x x x x x x x =-+-+-+的二重根,求()f x 的其余四个根.
三.(10分)证明多项式0()!p k k k a f x x k ==∑在有理数域上是不可约的,其中(0,1,,)k a k p =是
整数,p 是素数,且0,p a a 与p 互素.
四.(10分)计算行列式1
2
132112
1a a a a a D a n n n =--.
五(10分)设A 是n 阶行等和矩阵(即A 中各行元素之和相等)证明
(1) 对于正整数k,k A 也是行等和矩阵:
(2) 若A 可逆,则A 的逆矩阵也是行等和矩阵.
六(15分)设m n ⨯矩阵A 的秩为r ,n p ⨯矩阵B 的秩为,n r AB o -=,若n 维向量b 满足0Ab =,证明:
(1) Bx b =有解;(2)当p n r =-时,BX b =的解是唯一的.
七.(15分)在向量空间3R 中,试给出三个子空间123,,V V V ,使得
(1)1231213123dim(())dim()dim()dim()V V V V V V V V V V +≠+-;
(2) 3123123113dim()dim()dim()dim )i i j i i j V V V V V V V V V =≤<≤++-≠-
∑∑.
八.(15分)设()ij n n A a ⨯=,证明:
(1)若A 正定,则1122
||nn A a a a ≤; (2)若A 是实可逆矩阵,则2222121||()n j j nj j A a a a =≤
++
+∏ 九.(10分)在实线性空间3R ,任取123123(,,),(,,)a a a b b b αβ==,规定
11223312212332(,)363a b ka b a b a b a b a b ma b αβ=++++++,
(1) 当,k m 满足什么条件时, 3R 成为欧氏空间?
(2) 求出使3R 成为欧氏空间的,k m 的一组最小正整数值.
十.(15分)(1)设n 阶矩阵A,B,C,D 及可逆矩阵T,满足11,C T AT D T BT --==,证明:当且仅当CD=DC 时有AB=BA;
(2)设A 是一个幂等矩阵(即2A A =),A 非零且不可逆,证明:所有与A 可交换的矩阵集合V 关于矩阵的加法和乘法做成一个向量空间V,并且空间V 的维数不超过2
22n n -+.
十一.(10分)在所有以矩阵A 为根的多项式中,我们称那个次数最低且首项系数为1的多项式为A 的最小多项式.
(1) 证明:矩阵A 的最小多项式存在且是唯一的;
(2) 若2A E =且A 不是数量矩阵,求出A 的最小多项式.
