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材料力学 交变应力和冲击应力修订版

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材料力学课件-11交变应力(结束)

材料力学课件-11交变应力(结束)

1 车辆零部件
2 航空航天领域
将以汽车发动机传动轴为 例详细介绍交变应力的作 用，并具体说明钢铁材料 与铝合金材料表现的异同。
将介绍飞机导弹、航空发 动机、火箭卫星等领域如 何应对交变应力的影响， 在保证安全的前提下最大 限度的发挥机体性能。
3 铁路线路设施
铁路交通是国家经济发展 的重要基础设施之一，而 交变应力对于路轨、轴承 等部件的疲劳寿命影响尤 其显著，此节将详细解释。
应力-应变关系
将深入探讨本课程中所涉及的材料在外加载荷作用下产生的应变变化规律，为交变应力疲劳 生命的计算奠定基础。
交变应力概述
定义与特点
将系统分析交变应力的定义及其 经典的S-N曲线特点，并介绍交变 应力在材料中的作用。
分类
将通过实例介绍离散型和连续型 交变应力的基本类型，分析其性 能差异及其可能引起的疲劳本质 差异。
3
疲劳裂纹扩展
将深入介绍裂纹扩展的实验方法和影响机理，并分析其与应力幅值的关系。
疲劳寿命预测
SN曲线
将介绍工程结构使用最广泛的一种疲劳寿命预测方法——SN曲线法，并且向您展示典型的SN 曲线。
Miner准则
将详细介绍Miner准则的应用原则及其特点，并强调其在预测中的重要性。
应力幅值归一化
将介绍应力幅值归一化的重要性，其基本原则和实现方法。
材料力学课件ppt-11交变 应力(结束)
本课程将深入介绍交变应力及其疲劳机理和寿命评估方法，包括常见应力类 型、应力-应变关系和影响寿命的因素，以及交变应力在实际中的应用，为学 生提供完整的材料力学知识体系。
背景知识
常见应力类型
如拉应力、压应力、弯曲应力、剪切应力等，将为您介绍它们的基本概念、计算方法及其工 程意义。

材料力学课件第九章动荷载交变应力

材料力学课件第九章动荷载交变应力
二定律和运动 学基本公式推导出的微分 方程，用于描述物体的运 动规律。
交变应力的基本计算方法
平均应力和应力幅
交变应力由大小不断变化的瞬时应力 组成，平均应力是交变应力的时间平 均值，应力幅是交变应力的最大值和 最小值之差。
交变应力的分类
交变应力的疲劳强度
交变应力作用下，材料会发生疲劳断 裂，疲劳强度是衡量材料抵抗疲劳断 裂能力的指标。
详细描述
风荷载和地震荷载是常见的外部动荷载，它们的作用会导致桥梁、大坝、高层建筑等结构的振动，从 而产生交变应力。此外，车辆的行驶也会对桥梁等结构产生动荷载和交变应力。这些动荷载和交变应 力的影响需要考虑在结构设计阶段，以确保结构的强度和稳定性。
航空航天工程中的动荷载与交变应力问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
航空航天工程中，由于飞行器的高速运动和复杂环境，会 产生严重的动荷载和交变应力问题。
飞行器在高速飞行过程中，由于气动力的作用会产生动荷 载，同时由于飞行姿态的变化、发动机工作等也会产生交 变应力。此外，在火箭发射过程中，由于推进剂燃烧产生 的振动和冲击，也会对箭体产生动荷载和交变应力。这些 动荷载和交变应力的影响需要考虑在飞行器的设计阶段， 以确保飞行器的安全性和可靠性。
动荷载与交变应力的产生原因
01
02
03
自然现象
如地震、风载等自然现象 产生的动荷载和交变应力 。
机械振动
机械设备运转、车辆行驶 等产生的振动和冲击。
人为因素
如建筑物的施工、设备的 安装和运行等也会产生动 荷载和交变应力。
02
动荷载与交变应力的影响
对材料性能的影响
短期效应
动荷载和交变应力会导致材料在短期内出现弹性变形和塑性变形，影响材料的 刚度和强度。

材料力学第九章动荷载和交变应力_new

材料力学第九章动荷载和交变应力_new
两运动物体相互接触，接触前速度差较大，接触时 间短，则相互间的作用力较大，此现象也为冲击。
运动的物体称为冲击物。 静止的物体称为被冲击物。
工程中大都采用简化计算方法，它以如下假设为前提：
假设1：冲击物为刚体，不变形（不吸收能量），从开始 冲击到冲击产生最大位移时，冲击物与被冲击构件一起 运动，而不发生回弹； 假设2：冲击时，不考虑被冲击构件的质量，被冲击构 件的材料仍处在弹性范围内，服从胡克定律； 假设3：冲击过程中没有其它形式的能量转换，机械 能守恒定律仍成立。
第九章 动荷载和交变应力
§9-1 概 述
动荷载（dynamic load）是指随时间显著变化的荷载，或 是作加速运动或高速转动构件的惯性力。
例如：冲击荷载、惯性力等 构件由动荷载所引起的应力和变形分别称为动应力和动变形。
若构件内的应力随时间周期性变化，称为交变应力 （alternating stress）。
强度条件： dmax kd stmax [ ]
例 已知W1=20 kN，W2=40 kN ，a =2.5 m/s2 。梁由2 根22b的工字钢组成，钢索d =20 mm，梁与钢索材料相同， [σ]=160 MPa ，试校核钢索与梁的强度（不计钢索与梁 的自重）。
W1 解：1.钢索的强度校核。
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
st FNst / A W2 / A 127.3MPa d kd st 160.4MPa 1.05[ ]
∴ 钢索满足强度要求。
2.5m
FNd W2
W2 g
a
2.5m a
W2
2.梁的强度校核
W1
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
量W当作静荷载作用于被冲击构件上冲击点处，在构件冲 击点处沿冲击方向所产生的与静荷载类型相对应的静变形。

材料力学刘鸿文第六版最新课件第十一章 交变应力

材料力学刘鸿文第六版最新课件第十一章 交变应力
一个应力循环
按正弦规律变化的交变应力 如图所示。
σmax σm σmin σ a
在交变应力中，应力每重复变化一次称为一个“应力循环”。
应力重复变化的次数称为“应力循环次数”，用N表示。
应力的极大值称为最大应力，用σmax表示；
应力的极小值称为最小应力，用σmin表示。
循环特征 r——最小应力与最大应力的比值
第十一章 交变应力
§11.1 交变应力与疲劳失效 §11.2 交变应力的循环特征，应力幅和平均应力 §11.3 疲劳（持久）极限 §11.4 影响疲劳极限的因素 §11.5 对称循环下构件的疲劳强度计算 §11.6 疲劳极限曲线 §11.7 不对称循环下构件的疲劳强度计算 §11.8 弯扭组合交变应力的强度计算 §11.9 变幅交变应力 §11.10 提高构件疲劳强度的措施
15
外形突变影响的描述 有效应力集中系数 对称循环时的有效应力集中系数为：
k
( 1)d ( 1 )k
对扭转:
k
( 1)d ( 1)k
其中，(-1)d , (-1)d , 表示无应力集中的光滑试样的持久极限； (-1)k , (-1)k , 表示有应力集中的相同尺寸的试样的持久极限。
显然，有： k 1, k 1 值越大说明应力
坐标平面上确定A、B、C三点。折线ACB即为简化曲线。
a
A
1
O
r 1
r 0
G
G ( m, a )
C
(
0
,0
max
M W
860 12.3 106
70 MN
m2
min 70 MN m 2
r 1
28
2.确定 K
由图11-9，a 中曲线2查得端铣加工的键槽，当材料

材料力学动载荷交变应力

材料力学动载荷交变应力
M (x) qx2 , 0 x 2 2
M (x) N (x 2) qx2 , 2 x 10 2
M (x) q(12 x)2 , 10 x 12 2
从而，弯矩图为
2m ~
a
4m
4m
~ 2m
A
C
B
Nq
N
xN
N
于是，最大弯矩在梁跨的中
⊕
点C处的横截面上，其值为
Mmax 2436.6 N m
的最大弯矩减至最小，其吊索位
置见图所示。
2.484m
N
⊕
⊕
2.484m
构件受冲击荷载作用时的 动应力（冲击应力）计算
冲击应力的计算
当一运动的物体碰到一静止的构件时，前 者的运动将受到阻碍而在瞬间停止运动， 这时构件受到了冲击作用 在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物， 而阻止冲击物运动的构件称为被冲击物 分析被冲击物中产生的冲击应力和变形的 方法
惯性力引起的动应力
横截面C处上下边缘（危险点） 的正应力为
2m ~
a
4m
4m
~ 2m
d max
M max Wz
2436.6 21.2 106
A
C
B
Nq
N
114.9 MPa
欲使工字钢的max减至最小，
可将吊索向梁跨中点C移动，以
x
N
增加负弯矩而减小正弯矩，最后
使梁在吊索处的负弯矩等于中点
C处的正弯矩，此时，工字钢梁
解 根据动静法，当工字
钢以加速度a匀速上升时，工
字钢惯性力的集度为
qd
Ag
g
a
qst
a g
其中，qst=Ag 为工字钢每单位

材料力学之交变应力

材料力学之交变应力
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5
动载荷
概述 构件作 冲击时应力和变形的计算 冲击韧度 提高构件抗冲击能力的措施
§4-1
概述
一、交变应力的概念 交变应力:随时间作周期性变化的应力，金属 在交变应力作用下发生的破坏称为疲劳破坏。 如:机车车轴
§4-1
概述
My Pa d sin t I I 2
min
m
o
max ：最大应力
m ：应力幅度
t
min ：最小应力
a ：平均应力
§4-2 交变应力的循环特征

a
a
max
min m
min 循环特征：r max
t
o
1 1 m max min max (1 r ) 2 2 1 1 a max min max (1 r ) 2 2 min m a max m a
n
1
k
a m
§4-6
对于塑性材料制成的构件,除应满足疲劳强度 外,危险点的应力不应超过屈服极限.
a
非对称循环下构件的 疲劳强度计算
L

* 1

K
1
A1
s
P1
K
C1

* 1
P2
m
O
s
C
J
B
§4-6
疲劳强度计算
非对称循环下构件的 疲劳强度计算
N
r
O
r 1
E
D
C
A
N0
材料的疲劳极限与强度极限的近似关系：
弯曲： 拉压： 扭转：

材料力学- 第十一章 交变应力

材料力学- 第十一章 交变应力

平均应力（mean stress）.用sm表示.
sm
s max s min
2
(Alternating Stress)
二、交变应力的分类 （The classification of alternating stress）
1.对称循环 （Symmetrical reversed cycle） 在交变应力下若最大应力与最小应力等值而反号.
Chapter 11 Alternating Stress
(Alternating Stress)
第十一章 交变应力 （Alternating stress）
§11–1 交变应力与疲劳失效(Alternating stress and fatigue failure) §11–2 ห้องสมุดไป่ตู้变应力的循环特征、应力幅和平 均应力(The cycle symbol,stress amplitude and mean stress for alternating stress） §11–3 持久极限(Endurance limit)
1.载荷做周期性变化
（Load changes periodically with time） 2.载荷不变,构件点的位置随时间做周期性的变化
（The point changes his location periodically with time under an unchangeable load）
（2）无论是脆性还是塑性材料,交变应力作用下均表现为脆性断 裂,无明显塑性变形. （3）断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分.
(Alternating Stress)
粗糙区
光滑区
材料发生破坏前,应力随时间变化经过多次重复,其循环次数

工程力学课件 第11章 动载荷、冲击载荷、交变应力简介

工程力学课件 第11章 动载荷、冲击载荷、交变应力简介
1.1.1 电路பைடு நூலகம்组成
交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示， 称为循环特征（应力比）即
它的可能取值范围为
在五个特征量
中，只有两个是独立的，即只要已知其中的任意两个特征量， 就可求出其他的量。如果
工程力学
12
称为脉动循环交变应力，其循环特征r＝0。 当
1.1.1 电路的组成
r＝1 交变应力统称为非对称循环交变应力。
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度a, 就可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，如果为集中质量m，则惯性力 为集中力。
如果是连续分布质量，则作用在质量微元上的惯性力为
工程力学
2
然后，按照弹性 静力学中的方法对构
1.件1进.1行电应力路分的析和组强成 度与刚度的计算。以 图中的起重机起吊重 物为例，在开始吊起 重物的瞬时，重物具 有向上的加速度a，重 物上便有方向向下的 惯性力，如式(11-1) 所示。
其中
分别称为静应力(staticsstress)和动应力(dynamicsstress)。
工程力学
4
第二节 冲击载荷
一、基本假定 1.1.1具电有一路定的速度组的成运动物体，向着静止的构件冲击时，冲击物的
速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得到了很大的负 值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向相反的很大的力作用。 同时，冲击物也将很大的力施加于被冲击的构件上，这种力在工程 上称为“冲击力”或“冲击载荷”。
③假设冲击过程中没有其他形式的能量转换，机械能量守恒定 理仍成立。
工程力学
5
二、自由落体冲击 1.1.1设电一简路支的梁(组线弹成性体)受自由落体冲击如图11.3所示，试分析

材料力学交变应力

材料力学交变应力

未断裂
条件疲劳极限：某些有色金属的lgN曲线没有明显的水平线， 用规定的循环次数N0，不发生疲劳破坏时的max作为这类材料的 条件疲劳极限，用rN0表示，r为循环次数， N0为疲劳寿命。
§15-4
影响构件疲劳极限的主要因素
材料的疲劳极限r是用标准的光滑小试样测定的，但疲劳试验的 结果表明，构件外形引起的应力集中、横截面尺寸的大小、表面 加工质量等因素都对构件的疲劳极限有不同程度的影响。因此对 于在交变应力下工作的构件，必须考虑上述影响因素，即将材料 的疲劳极限加以适当的修正，作为实际构件的疲劳极限。 一、构件外形引起应力集中的影响 构件外形尺寸的突变，如沟槽、孔、圆角等，将引起应力集中。由 塑性材料制成的构件受静荷载作用时，并不考虑应力集中的影响。 但在交变应力情况下，应力集中对构件的疲劳强度影响极大。因为 应力集中将促使疲劳裂纹的形成。所以，构件存在应力集中时，其 疲劳极限将比同样尺寸的光滑试样的疲劳极限要低。 在对称循环下，光滑试样的疲劳极限(1)d与同样尺寸但有应力集 中的试样的疲劳极限 1 d 之比值，称为有效应力集中因数，并用 K表示。即 1 d K 1 （15-7） 1 d
min 20 1 r max 80 4
§15-2 金属疲劳破坏的概念
构件在交变应力作用下所发生的断裂破坏，称为疲劳破坏。 疲劳破坏的特点：
1.在某种循环特征下，虽然交变应力的最大应力max（或最小应 力min）低于材料的静强度极限b ，甚至低于材料的屈服极限 s ，但经过许多次乃至上千万次应力循环之后，也会突然发生 脆性断裂； 2. 疲劳破坏是脆性断裂，即使是塑性较好的材料，断裂前也没有 明显的塑性变形。
§15-3 材料疲劳极限及其测定
在同一循环特征下，疲劳破坏时所经历的循环次数称为疲劳寿 命。在交变应力中， max越大，疲劳寿命越短， max越小，疲 劳寿命越长。

04-14.3 冲击应力和变形

04-14.3 冲击应力和变形

P(
H
K d Δst
)
1 2
KdP
K d Δst
Δst
K
2 d
2Δst Kd
2H
0
其解为
2H
Kd 1
1 Δst
取正号
这就是自由落体冲击动荷因数公式
思考：这里的负号有何意义？
Kd 1
1 2H Δst
HP
EI
Δd
原冲击问题
EI
Δd
等效静荷问题
Fd
EI
静荷问题
×Kd
Δst
P
研究最大动应力和最大动变形时，可转化为等效 静载荷问题求解
末
Ek2=0,
Ep2= 0 ,
Vε2
1 2
Fd Δ d
Ek1+Ep1+Vε1=Ek2+Ep2+Vε2
Ek1+Ep1+Vε1=Ek2+Ep2+Vε2
1 P( H Δd ) 2 FdΔd
Fd
令
Kd
Fd P
冲击动荷因数
P
则 Fd Kd P ， Δd KdΔst
Δst Δd
Δst—— 将冲击物重量P当作静载加到冲击点引起的冲击点位移
H A EI
l
A EI
l
P
图示梁弯曲刚度为EI, 抗弯截面系数为W，求最大冲击正
B
应力σdmax和最大冲击挠度Δdmax
P
解： （1）计算Δst和σstmax
Δst
Pl3 3EI
， stmax
M max W
Pl W
B
（2）计算Kd
2H
2H
6EIH
Kd 1

第15章 交变应力和冲击应力-修订版

第15章 交变应力和冲击应力-修订版

d
v
2
g st
st
Kd
v
2
g st
四 冲击载荷下的强度条件 试验结果表明,材料在冲击载荷下的强度比在静载荷下的强 度要略高一些,但对光滑的受冲击载荷作用的构件进行强度 计算时,通常任以静载荷下的基本许用应力来建立强度条件. 冲击载荷下的强度条件为:
d max K d st max [ ]
水平渐近线
0
N1 N 2
S N曲线
N0 t
§12.2影响构件持久极限的主要因素 一 构件外形(应力集中)的影响 构件外形的突然变化,如:轴肩,槽,孔,缺口,螺纹等.会引起应力集 中,使材料持久极限降低,其影响因素用有效应力集中系数表示.
K (或K ) 无应力集中的光滑小试件的持久极限 同尺寸而有应力集中的试件的持久极限
C l
3

a EA
EI
l
a v
st
根据能量守恒定律
1 FW 2 g v
2
d
1 2
st FW
1 2
Fd d FW ( d st )
st CFW
1 FW 2 g v
2
d CFd
1 2 CFW
2
1 2
CFd FW ( CFd CFW )
v 2 gh
2
Kd 1
1
2hg st g
1
1
v
2
g st
3 突加载荷
h0
Kd 1
1
20 st
2
4 水平冲击 势能 动能 V=0
T 1 FW 2 g v
2
v
变形能
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  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
•裂纹源
•光滑区
•粗糙区 3 疲劳破坏
材料在多次重复载荷作用下的破坏称为所谓疲劳破坏或 疲劳失效. 在交变应力下,构件的疲劳破坏实质上是指裂纹的发生, 发展和构件最后断裂的全过程.
第4页/共20页
§12.2交变应力的循环特征、应力幅和平均应力
一 循环特征,应力幅和平均应力 σ
1 循环特征
σmax
r min max
其他加工情况的试件的持久极限
表面磨光的标准试件的持久极限
构件表面质量低于表面磨光试件 1
构件表面质量高于表面磨光试件 1
四 构件的持久极限 考虑以上因素的影响,构件的持久极限为:
弯曲或拉压
0 1
K
1
第9页/共20页
扭转
0 1
K
1
§12.5 对称循环下构件的疲劳强度计算
构件的许用应力
σb=900MPa,σ-1=400MPa,M=±450N·m,n=2.试校核该轴的疲
劳强度.
解: 1 计算最大弯曲应力
max
M W
M d3
71.6MPa
32
2 确定影响系数
0.2
M D
r 0.2 M
d
应力集中系数
K
D 1.25, r
d
d
0.125,b 900MPa K
1.55
尺寸系数 d 40mm 0.77
冲击物(物体) 被冲击物构件)
二 自由落体冲击
当重量为Q的物体自高度为h处以速度v=0自由下落,
冲击到弹性体(如梁)上,称为自由落体冲击.
1计算动能T和势能V
T 0 V Q(h d )
2 计算变形能Ud
Ud
1 2
Pd
d
3 建立方程
Q h
Pd
d
T V Ud
Q(h
d
)
1 2
Pd
d
第13页/共20页
K
( 1)d ( 1)k
1
二 构件尺寸的影响
试验证明:试件尺寸越大,存在的缺陷越多,更容易形成疲 劳裂纹.使材料持久极限降低.其影响因素用尺寸系数表示.
(或
)
光滑大试件的持久极限 光滑小试件的持久极限
1
例如纯弯曲对称循环:
( 1)d 1
第8页/共20页
max 1
三 构件表面质量的影响 构件表面质量若与光滑小试件表面质量不同,会影响持久极的 数值.构件表面质量可能高于或低于光滑小试件表面质量.其 影响因素用表面质量系数表示.
max
r 1 st C
max min m st a 0
st
0
t
第6页/共20页
§12.3材料的持久极限及其测定 1 材料的持久极限
持久极限:在某一循环特征下, 材料具有经历无限次应力循环 而不破坏的应力临界值.
用 r 或者 r表示.
2 材料的持久极限的测定
纯弯曲,对称循环下材料的持久
在线弹性范围
Pd d d Q st st
2 用能量法计算冲击问题时的简化假设:
• 被冲击物(或缓冲系)为无质量的线弹性体 • 把冲击物视为刚体(无变形). • 冲击过程中没有能量转换的其他损失
3 计算过程
计算动能T和势能V.
计算变形能Ud .
根据机械能守恒定律建立方程
T + V = Ud
求解动载荷,动应力或动变形. 第12页/共20页
第12章 交变应力和冲击应力
§12.1交变应力和疲劳破坏 1 交变应力的概念 交变应力:随时间作周期性变化的应力. (1)两个齿轮的啮合传动,齿根上的应力随时间 作有规律周期性变化.
σ
t
第1页/共20页
(2) 传动轴工作时,横截面上任意一点的应力随时间作有规律
周期性变化.
y
4
A
t x
3
1
2
y r sin t
表面质量系数 由表面粗糙度0.2 1
3 校核疲劳强度
n
1
400 106
2.78 n 2
K
max
1.55 71.6 106 0.77 1
第11页/共20页
§12.6 冲击应力
一 冲击的概念 1冲击 当物体以一定的运动速度作用于构件上时,构件在瞬间(10-3105s内, 使物体速度发生很大变化,从而使物体产生很大的加速度,而构件则 受到很大的压力,这种现象称为冲击
N0 t
§12.2影响构件持久极限的主要因素 一 构件外形(应力集中)的影响 构件外形的突然变化,如:轴肩,槽,孔,缺口,螺纹等.会引起应力集 中,使材料持久极限降低,其影响因素用有效应力集中系数表示.
K
(或K
)
无应力集中的光滑小试件的持久极限 同尺寸而有应力集中的试件的持久极限
1
例如纯弯曲对称循环:
1
0 1
n
其中:
构件的疲劳强度条件为:
max 1
或
max
0 1
n
n--为规定的安全系数
由 max
0 1
n
得
0 1
n
max
若构件工作安全系数 n
0 1
max
用安全系数表示的构件的疲劳强度条件为:
n
1
n
K
max
或
n 1
n
K
max
第10页/共20页
例题:合金钢阶梯轴如图示,D=50mm,d=40mm,r=5mm.材料的
二 交变应力的几种特殊情况
1 对称循环
max min
符号相反
r
2
1 a 非对称循环
1 2
( max
min
)
m
1 2
(
max
min )
(1) 脉动循环
max 或 min 其中之一为0.
r0
a
1 2
( max
min )
1 2
max
(2) 静应力
m
1 2
(
max
min )
1 2
极限的测定.

M W
Pa W
max
光滑小试件条件: (1) 有足够大的圆角过渡;
max 1 max 2
(2) 中间直径7-10mm;
(3) 磨削加工;
0
(4) 同一炉钢10根为一组;
钢 N0=107 有色金属 N0=108
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aP P a
Pa
N1 N2 S N曲线
水平渐近线
σ
σ2
My Mr sin t
II
0 σ1
σ3
σ1
t
σ4
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(3) 作强迫振动的梁,其应力随时间作有规律周期性变化.
H
pt
Q
Ql lH sin pt
4W 4W
最小位移衡位置
静平衡位置
σ σmax
最大位移衡位置
σst
σmin 0 t
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2 疲劳破坏的特点及过程
(1) 疲劳破坏的特点 低应力破坏. 破坏有一个过程. 突然的脆性断裂. (2) 疲劳断口的特点
r max min
min max max min
σst
σmin 0
t
循环特征取值 1 r 1
一个应力循环
一个周期
2 应力幅和平均应力
应力幅
a
1 2
(
max
min )
为动应力部分
平均应力
m
1 2
(
max
min )
为静应力部分
max m a min m a
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