三年级奥数：最短路线问题详解2013

在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。

比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。

这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。

典型例题例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。

现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。

问：车站应该建在什么地方？分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公路AB 画一条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最甲乙 AB 甲乙图1图2最短路线近的点，但是乙村到C点就较远了。

反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。

但是这时甲村到公路AB的D点又远了。

因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。

解用直线把甲村、乙村连起来。

因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。

例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。

他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。

问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？3分析选择最短的路线最合理。

那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。

邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。

因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。

但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。

要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。

最短路线
【例1】(☆☆)
【课前铺垫】
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最
近。

小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
标数法：用来解决最短路线问题的方法，在给出的图形中的每一个结点标出
到达该点的
，。

【例2】(☆☆☆)【例3】(☆☆☆)
寒假到了，艾伦和爸爸决定去黄山玩。

聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行。

聪明的小朋友们，请你帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？
1
【例4】(☆☆☆☆)【例5】(☆☆☆☆☆)
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。

一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧
邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
【例6】(☆☆☆☆☆)
城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最
短路线有几条？
【本讲总结】
最短路线
宗旨：不走冤枉路，就要朝着目标走
方法：标数法
标数法四步：
1．找目标、定方向
2．从起点标数，起点标1
3．按顺序每个点都要标到
4．某点数字＝指向该点箭头
尾巴上的数字相加
注意：
．坏点可以划去或看成
2．必须经过，分段标出
2。

三年级数学奥赛起跑线第23讲最短路线1、如图，在一条河的两边有A、B两个小区。

为了便于两个小区的居民往来，准备在河上建一座桥，请问：这座桥建在何处，才能使两个小区的懵懂来往路程最短？A·河·B2、古希腊有一位著名的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其问题：从甲地出发到河边饮马（如图），然后再去乙地，走什么样的路线最短呢？这就是后来被人们称为“将军饮马”的问题。

小朋友，你来回答这位将军提出的问题好吗？·乙甲·小河3、右图是一个街区街道的平面图，邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件。

请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度。

（单位：千米）3邮局4、如图是一个街道平面图，王宏要从A处到B处。

在不走回头路，不走重复路的条件下，可以有多少种不同的路线？请你用在交叉点上标数的方法计算一下。

B 5、从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通（如图）。

李楠从学校出发，步行到少年宫（只许向东或向南行进），最多有多少条不同的行走路线？北少年宫6、如图，从P到Q共有多少条不同的最短路线？7、如图所示是某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南、由西向东），共有多少种不同的走法？8、如图所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？9、右图为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道不能通国。

那么从A到B处最短路线共有多少条？10、某城市的街道非常整齐，如右图所示。

从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（正在修路），共有多少种不同的走法？。

最短路线☜知识要点在日常生活中，我们经常会遇到关于行程的路线问题。

比如从一个地方到另一个地方，两地之间有许多条路，我们就需要选择哪一条路最近，也就是要选择一条最短路线，这样可以省时省力，这就是最短路线问题。

本讲我们就一起来学习怎样找最短路线。

☜精选例题【例1】：如图，甲、乙两个村庄分别在公路的两侧，现在要在公路旁建造一个汽车站，使甲、乙两个村庄到车站的距离之和最短，那么，车站应建在公路何处？☝思路点拨：根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，如图，这条线段与公路有一个交点O，在O点处建一个车站，就能使甲、乙两个村庄到车站的距离之和最短。

☝标准答案：活学巧用1.小明和小强分别住在河岸的两边，现在要修一条路，让小明和小强能去河岸旁取水，并要求这条路使小明和小强去取水的距离之和最短，这条路应该怎么修？小明河岸小强2.如下图，在一条河的两边有A、B两个小区，为了方便两个小区的居民出行，准备在河上建一座桥，请问，这座桥建在何处，使两个小区的居民来往的路程最短？河【例2】：小华、小明两家分别住在河岸边的A、B两地，如图，如果两家想在河边合修一个取水码头，请问，这个码头的点选在何处，才能使小华、小明两家取水时所走的路程之和最短？河☝思路点拨：如图，先在河对岸找到以河为对称轴的对称点A’，再连接A’B，线段A’B与河的交点在O点处，A’O＝AO。

因为两个点之间线段最短，所以A’B是两点间最短的距离，而A’B＝A’O＋OB ＝AO＋OB。

所以应把取水码头的点选在O点，这样小华和小明两家取水时所走的路程之和最短。

☝标准答案：河✌活学巧用1.古希腊有一位著名的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：从甲地出发到河边饮马（如图），然后再去乙地，走什么样的路线最短呢？这就是后来被人们称为“将军饮马”的问题。

小朋友，你来回答这位将军提出的问题，好吗？2.在公路一边有A、B两个小区，为了方便两个小区居民出行，准备在公路边安放一个汽车站牌，问应该安放在何处才能使两个小区的居民所走的路程之和最短。

【导语】海阔凭你跃，天⾼任你飞。

愿你信⼼满满，尽展聪明才智;妙笔⽣花，谱下锦绣第⼏篇。

学习的敌⼈是⾃⼰的知⾜，要使⾃⼰学⼀点东西，必需从不⾃满开始。

以下是为⼤家整理的《⼩学三年级奥数最短路线问题【三篇】》供您查阅。

【第⼀篇】
练习题：
图4-18是某城市的主要公路⽰意图，今在C、D、E、F、G、H路⼝修建⽴交桥，车辆不能通⾏，那么从A到B的最近路线共有⼏条？
答案解析：
【第⼆篇】
练习题：
如图4-17所⽰是⼀个街道的平⾯图，在不⾛回头路、不⾛重复路的条件下，可以有多少种不同的⾛法？
答案解析：
【第三篇】
练习题：
图4-16为某城市的街道⽰意图，C处正在挖下⽔道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？
答案解析：。

年级三年级学科奥数版本通用版课程标题最短路线（一）本讲中，我们将解决一个特殊的计数问题：最短路线问题。

怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。

一、例证：小冬和小悦到少年宫参加志愿者培训。

如果他们从学校出发，最多有多少种不同的行走路线？分析：要求从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走。

我们可以先看A点：从学校到A点最短路线只有1种走法，我们在A点标上1。

B、E、F、G点同理。

再看J点：最短路线可以是A－J、E－J共2条，我们在J点标上2。

我们发现2＝1＋1正好是对角线A点和E点上的数字和。

是不是所有的最短路线都符合这个规律呢？再看I、C、H、D点，我们发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这样，我们可以通过计算来确定从学校到少年宫共有10种走法。

二、总结：每个格左下角与右上角所标的数字和即为这格右下角应标的数字，我们称这种方法为对角线法，也叫标号法。

例1利用标号法确定从A点到B点所有最短路线有多少条。

分析与解：从Ａ到Ｂ的最短路线，只能向上或向右走，先标最短路线只有一种走法的几个点（C、D、H、G），利用标号法得到一共有6条最短路线。

本题中每格右上角的数是右下角和左上角的两个数之和。

例2 小猫汤姆和老鼠杰克在博物馆看连环画，突然它们发现了一张千年藏宝图，于是它们决定去寻宝。

请你帮他们想想共有几条最短路线能到藏宝地呢？分析与解：先标出最短路线只有1种走法的几个点，用对角线法标出其他点上的数，共有20条最短路线。

例3亲爱的同学们，你们觉得小明从学校到家一共有几条最短路线呢？分析与解：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，例如D点，从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点的最短路线与从学校到C点的最短路线走法相同，有2 种走法，同理可以知道E点的最短路线也有2种走法，从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。

知识要点快乐热身【例 1】 如下图所示，小虎家在A 地,姥姥家在B 地。

一天，他要去看望姥姥，但不知有几条路可走，走哪条路最短，热心的小朋友们快帮帮他吧？FEDCBA【分析】可走的路有5条，即：AFB 、AB 、AEB 、ADB 、ACB ，其中最短的路是AB 。

本讲主要学习数最短路线的总条数，通过本节课的学习： 1．掌握“解决最短路线条数问题”的两注意：不重、不漏。

2．准确运用“标数法”解决问题。

3．培养学生的实际操作能力。

1.两点之间，线段最短。

2.标数法计算最短路线的总条数。

最短路线【例 2】 如下图所示，从甲地到乙地一共有两条路可走，请问哪条路长？哪条路短？乙甲【分析】一样长。

【例 3】 观察下图，若黑猫与白猫奔跑速度相同，那么哪只猫先捉到老鼠？白猫黑猫鼠横 竖 斜 黑 1 5 2 白243【例 4】 直线AB 是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。

现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪儿最好？乙甲B AC乙甲BA【分析】 根据“两点之间，线段最短”这个道理，甲、乙两村的连线与AB 有一个交点C ，这个交点就是所选定的汽车站（如图）。

走格子边【例 5】 一只蚂蚁在长方形格纸上的A 点，它想去B 点玩，但是不知走哪条路最近。

小朋友们 你能给它找到几条这样的最短路线呢？A31211A【分析】如右上图所示，根据标数法可得最短路线有6条。

【例 6】 如果A 、B 两点变成下面两图这样的位置关系，那么从A 到B 的最短路线有几条呢？BA BA【分析】根据上题原理，图中从A 到B 的最短路线都为6条。

【例 7】 方格纸上取一点A 作为起点，再在A 的右上方任取一点B 作为终点，画一条由A 到B 的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？【分析】如右上图所示，根据“标数法”可知共有10条最短路线，其中一条如右上图中粗线所示。

【例 8】 小明和小强到少年宫参加2010上海世博会志愿者培训，少年宫和学校之间的地图如下。

三年级奥数详解答案-第十九讲-最短路线问题第十九讲最短路线问题在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题.在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数。

例1 下图4—1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母.如图4—2.在这里，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长？从A点走到B 点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD＋DB.因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB.这样我们走的这条路线才是最短路线.为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。

有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：A→C→D→G→B A→C→F→G→BA→C→F→I→B A→E→F→G→BA→E→F→I→B A→E→H→I→B通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线.如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”.当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的。

现在观察这种题是否有规律可循。

1.看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线.因此，从A到C只有一条路线。

同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。

我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4—2。

2.看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法.我们在图4—2中的F点标上数字“2”.2=1＋1.第一个“1”是从A→C的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法。

3.看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G我们在G点标上数字“3”.3＝2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法。