三年级奥数《数学最短路线课件》
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《最短路径问题》PPT课件教学
C
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
拓广探索
在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都 是等腰三角形 . 这五个点应该怎样画？
拓广探索
如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至 E，使CE =CD . 求证DB =DE .
拓广探索
如图，△ABC 是等腰三角形，AC =BC，△BDC 和△ACE 分别为等边三角形，AE 与BD 相较于F，连接CF 并延长 ，交AB 于点G . 求证：G 为AB 的中点 .
复习巩固
如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长 CB至D，使DB =BA，延长BC 至E，使CE =CA，连接 AD，AE .求∠D，∠E，∠DAE 的度数 .
复习巩固 如图，AD =BC，AC=BD，求证：△EAB 是等腰三角形 .
复习巩固
综合应用
试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地 ，一个正n边形有多少条对称轴？
综合应用
如图，从图形Ι 到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果 是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样平移？
综合应用
如图，AD是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD的高 . 求证：AD 垂直平分EF .
综合应用
如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点D，E，F ，使AD =BE =CF . 求证△DEF 是等边三角形 .
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
拓广探索
在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都 是等腰三角形 . 这五个点应该怎样画？
拓广探索
如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至 E，使CE =CD . 求证DB =DE .
拓广探索
如图，△ABC 是等腰三角形，AC =BC，△BDC 和△ACE 分别为等边三角形，AE 与BD 相较于F，连接CF 并延长 ，交AB 于点G . 求证：G 为AB 的中点 .
复习巩固
如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长 CB至D，使DB =BA，延长BC 至E，使CE =CA，连接 AD，AE .求∠D，∠E，∠DAE 的度数 .
复习巩固 如图，AD =BC，AC=BD，求证：△EAB 是等腰三角形 .
复习巩固
综合应用
试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地 ，一个正n边形有多少条对称轴？
综合应用
如图，从图形Ι 到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果 是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样平移？
综合应用
如图，AD是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD的高 . 求证：AD 垂直平分EF .
综合应用
如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点D，E，F ，使AD =BE =CF . 求证△DEF 是等边三角形 .
《最短路径问题》PPT课件
A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
《最短路径问题》PPT课件
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
最短路径问题课件
归纳
思维分析
1、如图假定任选位置造 A 桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ， 从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么怎样确 定什么情况下最短呢？
Ｍ
Ｎ
B
2、利用线段公理解决问题 我们遇到了什么障碍呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把 桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
11
问题解决
如图，平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于Ｎ作桥Ｍ Ｎ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.另任作桥M′N′，连接AM′， BN′，A′N′.
（1）作点B 关于直线l 的对称 点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交 于点C．
则点C 即为所求．
A．
B．
C
l
B′．
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 在直线L 上任取一点C′（与点C 不重合），连接 AC′，BC′，B′C′， 证明：AC +BC＜AC′+BC′
证明：由轴对称的性质知：BC＝B′C， BC′＝B′C′．
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
将军饮马：
两点在一条直线同侧
【问题】：我们在解决实际问题时常常把它抽象数学 问题，你能用自己的语言说明这个问题的意思吗？ 请你尝试解决这个问题。
将军饮马：
两点在一条直线同侧
B A
l
C
【追问1】 这个问题和复习旧知中问题有什么区别和联 系？ 【追问2】 如何将点B“移”到L的另一侧B′处，满足直 线L上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 【追问3】 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符 合条件的点B′吗？
最短路径问题-(PPT课件) 公开课
第十三章 轴对称
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
三年级数学奥赛起跑线第23讲 最短路线
三年级数学奥赛起跑线第23讲最短路线1、如图，在一条河的两边有A、B两个小区。
为了便于两个小区的居民往来，准备在河上建一座桥，请问：这座桥建在何处，才能使两个小区的懵懂来往路程最短？A·河·B2、古希腊有一位著名的学者，名叫海伦。
有一天，一位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其问题：从甲地出发到河边饮马（如图），然后再去乙地，走什么样的路线最短呢？这就是后来被人们称为“将军饮马”的问题。
小朋友，你来回答这位将军提出的问题好吗？·乙甲·小河3、右图是一个街区街道的平面图，邮递员从邮局出发，跑遍所有街道投送信件。
请你为他安排一条最短的路线，并按图中标出的千米数算出这条路线的长度。
（单位：千米）3邮局4、如图是一个街道平面图，王宏要从A处到B处。
在不走回头路，不走重复路的条件下，可以有多少种不同的路线？请你用在交叉点上标数的方法计算一下。
B 5、从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通（如图）。
李楠从学校出发，步行到少年宫（只许向东或向南行进），最多有多少条不同的行走路线？北少年宫6、如图，从P到Q共有多少条不同的最短路线？7、如图所示是某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南、由西向东），共有多少种不同的走法？8、如图所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？9、右图为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道不能通国。
那么从A到B处最短路线共有多少条？10、某城市的街道非常整齐，如右图所示。
从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（正在修路），共有多少种不同的走法？。
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
《最短路径问题》课件
参考文献
• 算法导论 • 计算机算法设计与分析 • 图解算法
《最短路径问题》PPT课 件
# 最短路径问题PPT课件
介绍最短路径问题的定义和概念，以及为什么最短路径问题在实际生活中很 重要。 同时，探讨最短路径问题的基本性质。
最短路径的求解
1
暴力算法
枚举所有路径并找到最短路径，但随着
Dijkstra算法
2
节点增多，复杂度呈指数级上升。
介绍算法的原理和步骤，通过不断更新
距离表找到最短路径。
3
Floyd算法
介绍算法的原理和步骤，通过动态规划 计算最短路径。
最短路径问题的应用
铁路、公路、航空、航 海
路线规划在交通行业中的重 要性和应用。
互联网中的路由算法
讲解互联网通信中使用的最 短路径算法。
生命科学领域的基因测 序和蛋白质分析
如何利用最短路径问题的变种
任意两点之间的最短路径问题
探讨在图中找到任意两点之间的最短路径。
带负权边的最短路径问题
介绍具有负权边的图中求解最短路径问题的方法。
一般图的最短路径问题
分析在一般图中求解最短路径的挑战和方法。
更多变种问题的介绍
介绍其他类型的最短路径问题及其应用。
总结
总结最短路径问题的基本概念，分析各种算法的优缺点及适用范围。 同时，展望最短路径问题的未来发展方向。
最短路径问题原创优秀课件_图文
解:如图
(1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1
(2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短．
实际应用 要在两条街道a和b上各设 ：立里一才个能使邮邮筒递,M员处从是邮邮局局出,问发邮,到筒两设个在邮哪
筒取完信再回到邮局的路程最短？
A l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 到一条线段上。
A
A C
C
B B
l l
B′
（3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1
A1
M
M’
A
N
l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
A’
Bபைடு நூலகம்
A l
C
B′
轴对称 变换
A l
C
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变式练习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B A.
a
..
PQ
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:转化为刚才的哪一类似题？
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
A’
a
(1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB 的对称点D1
(2)连接C1D1,分别交OA.OB于P’.Q’,那么沿 C→P’→Q’→D的路线行走,所走总路程最短．
实际应用 要在两条街道a和b上各设 ：立里一才个能使邮邮筒递,M员处从是邮邮局局出,问发邮,到筒两设个在邮哪
筒取完信再回到邮局的路程最短？
A l
C
B
2.运用轴对称解决距离最短问题
如果涉及两条或更多条线段的和 最短, 则运用轴对称将所求线段转化 到一条线段上。
A
A C
C
B B
l l
B′
（3）在两条直线上分别求一点M、N使 三角形MAN的周长最小
l1
A1
M
M’
A
N
l2
N’
A2
3.利用平移确定最短路径选址
在解决最短路径问题时,我们还可以利 用平移变换把不在一条直线上的几条线 段转化到一条直线上,作出最短路径．
A’
Bபைடு நூலகம்
A l
C
B′
轴对称 变换
A l
C
平移 变换
B
两点之间,线段最短.
变式练习
1.如图,A.B是直线a同侧的两定点,定 长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移 动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？
.B A.
a
..
PQ
分析: PQ是一个定长线段,AP+PQ+QB最
短即AP+QB最短.此题类似课本问题二 的“造桥选址”问题。
问:转化为刚才的哪一类似题？
问:平移哪条线段？沿哪个方向平移？
.B
A.
A’
a
最短路径问题课件
∴ A’N+BN>A’N’+N’B ∴ AM+BN>A’N’+N’
∴ AM+BN+MN>A’N’+N’B+MN
所以点M’为所求建桥位置，AM+BN+MN最小。
归纳：
在解决最短路径问题时，我们通常利用 轴对称、平移等变化把已知问题转化为容 易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
小结：
①本节课学习了哪些内容？
1、能否转化为“A、B在直线l异侧”来解决呢？
2、如何满足“直线l上的任意一点C，保持C B = C B’ ”？
利用轴对称，求出B 的对称点B’，转化为直线两侧
的两点最短路径。
1、做B 关于直线l的对称点B’
·B
根据轴对称性质：CB=CB’
A·
∴CB+ CA =CB’+ CA
●
C C’
2、根据两点之间线段最短，
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探究新知三：造桥选址
如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建
一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最 短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
1、将这个实际问题抽象为数学问题，如下图。
2、路径AMNB即为AM+MN+NB，
3、设M 为直线a上的一个动点，MN代表河宽长度固定， 上面的问题就转化为：当点 M在l的什么位置时，A M +NB最小。
课题学习 最短路径问题
一、复习引入
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选 走哪条路最近？你的理由是什么？
AD+DE+EF+FB>AB AC+CB>AB
最短路径问题课件
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
B
抽象为数学问题
A
C
l
联想旧知
A
用旧知解决新知
C
l
B
尝试应用：
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
A
·
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
最短路径问题
新课引入
我们把研究关于“两点之间，线 段最短” “垂线段最短”等问 题，称它们为最短路径问题.最 短路径问题在现实生活中经常碰 到，今天我们就通过几个实际问 题,具体体会如何运用所学知识 选择最短路径.
“将军饮马” --相传，古希腊亚历山大里亚城里有 一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专 程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
B
抽象为数学问题
A
C
l
联想旧知
A
用旧知解决新知
C
l
B
尝试应用：
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
A
·
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
最短路径问题
新课引入
我们把研究关于“两点之间，线 段最短” “垂线段最短”等问 题，称它们为最短路径问题.最 短路径问题在现实生活中经常碰 到，今天我们就通过几个实际问 题,具体体会如何运用所学知识 选择最短路径.
“将军饮马” --相传，古希腊亚历山大里亚城里有 一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专 程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
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标数法
例题【二】（★ ★ ★ ）
寒假到了，艾伦和爸爸决定去黄山玩。聪明的小朋友请你找找看从 北 京到黄山的最短路线共有几条呢？
目标：右、下 方向：左、上
1 1
1
1
12
23
2 1
3
4
7
10
老师点睛 箭头很重要，一定逐一标； 步骤要严谨，不能跳着做。
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
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例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路 最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
例题【一】（★ ★ ）
A→C→D→G→B、A→C→F→G→B、 A→E→F→G→B、A→C→F→I→B、 A→E→F→I→B、A→E→H→I→B、
例题【一】（★ ★ ）
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行，那么 从A到B的最短路线有几条？
从起点开始标数，注意积水处都是 坏点，那好把这些点划去或看成0。
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行，那么 从A到B的最短路线有几条？
111111
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路 最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
方法二：标数法
目标：右、下 方向：左、上
1
1
3
2
1
36
知识点睛
步骤：
1、找目标、定方向 2、从起点标数，起点标1 3、按顺序每个点都要标到
例题【二】（★ ★ ★ ）
寒假到了，艾伦和爸爸决定去黄山玩。聪明的小朋友请你找找看从 北 京到黄山的最短路线共有几条呢？
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只能从小号码的蜂房爬进相邻 的大号码的蜂房！ 蜜蜂的运动方向是固定的，所 以依然可以采取标数法。
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房 爬向右侧 邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
1 3 8 21 55
1 2 5 13 34 小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法!
标数法
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
1
1 1 11
起点是“我” 每个字看做“点”（车站） 共有1+4+6+4+1=16（种）
1 234 1 36 14 1
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房 爬向右侧 邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
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以下赠品教育通用模板
前言
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最短路线
三年级 第18课
课前回顾
最短路线问题就是确定从某处到 另一处最短路线的条数。
课前铺垫
课前铺垫
图1：A-C-B,A-D-B 共2条 图2：A-D-E-B,A-C-E-B,A-C-E-B 共3条 结论：最短路线——“不走回头路”
课前铺垫
标数法：
用来解决最短路线问题的方法，在给 出的图形中的每一个结点标出到达该 点的方法数，最后利用相加原则求出 到达目的地方法数。
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12 3 4 5 6
目标：右、下 方向：左、上
13 14
5 11 11
155
11
1 6 11 11 11 22
本课总结
宗旨：不走冤枉路，就要朝着目标走 方法：标数法 1．找目标、定方向 2．从起点标数，起点标1 3．按顺序每个点都要标到 4．某点数字＝指向该点箭头 尾巴上的数 字相加 注意： 1．坏点可以划去或看成0 2．必须经过，分段标出
例题【二】（★ ★ ★ ）
寒假到了，艾伦和爸爸决定去黄山玩。聪明的小朋友请你找找看从 北 京到黄山的最短路线共有几条呢？
目标：右、下 方向：左、上
1 1
1
1
12
23
2 1
3
4
7
10
老师点睛 箭头很重要，一定逐一标； 步骤要严谨，不能跳着做。
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
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例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路 最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
例题【一】（★ ★ ）
A→C→D→G→B、A→C→F→G→B、 A→E→F→G→B、A→C→F→I→B、 A→E→F→I→B、A→E→H→I→B、
例题【一】（★ ★ ）
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行，那么 从A到B的最短路线有几条？
从起点开始标数，注意积水处都是 坏点，那好把这些点划去或看成0。
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行，那么 从A到B的最短路线有几条？
111111
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路 最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
方法二：标数法
目标：右、下 方向：左、上
1
1
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2
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36
知识点睛
步骤：
1、找目标、定方向 2、从起点标数，起点标1 3、按顺序每个点都要标到
例题【二】（★ ★ ★ ）
寒假到了，艾伦和爸爸决定去黄山玩。聪明的小朋友请你找找看从 北 京到黄山的最短路线共有几条呢？
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例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房 爬向右侧 邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
1 3 8 21 55
1 2 5 13 34 小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法!
标数法
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
1
1 1 11
起点是“我” 每个字看做“点”（车站） 共有1+4+6+4+1=16（种）
1 234 1 36 14 1
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房 爬向右侧 邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
目录
01
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前言
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最短路线
三年级 第18课
课前回顾
最短路线问题就是确定从某处到 另一处最短路线的条数。
课前铺垫
课前铺垫
图1：A-C-B,A-D-B 共2条 图2：A-D-E-B,A-C-E-B,A-C-E-B 共3条 结论：最短路线——“不走回头路”
课前铺垫
标数法：
用来解决最短路线问题的方法，在给 出的图形中的每一个结点标出到达该 点的方法数，最后利用相加原则求出 到达目的地方法数。
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12 3 4 5 6
目标：右、下 方向：左、上
13 14
5 11 11
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1 6 11 11 11 22
本课总结
宗旨：不走冤枉路，就要朝着目标走 方法：标数法 1．找目标、定方向 2．从起点标数，起点标1 3．按顺序每个点都要标到 4．某点数字＝指向该点箭头 尾巴上的数 字相加 注意： 1．坏点可以划去或看成0 2．必须经过，分段标出