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2016学年第一学期高三调研测试一数学（理科）本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合24Mx x，N x x {|}1，则MN A.{|}x x 21 B.{|}x x2 C.{|}x x1 D.2x x2.设i 是虚数单位，若复数满足11z ii ，则复数z 的模z A.1 B.1C.2D.23.在ABC 中，45,105,2ooA CBC，则边长AC 为A.31B.1C.2D.3+14.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线283xy 的焦点，则椭圆C 的标准方程为A.22142xyB.22143xyC.221129x yD.2211612xy5.下列程序框图中，输出的A 的值是A.128B.129 C.131D.1346.将函数()sin(2)()2f x x的图象向左平移6个单位后的图形关于原点对称，则函数()f x 在0,2上的最小值为是开始1,1A i 结束A输出1i i 31AAA 10i 否。
2016年广州市普通高中毕业班综合测试理科数学分析报告试卷分析：一、命题指导思想1.2016年是广东省课标卷自主命题九年后使用全国课标卷的第一年，《广州一模》数学命题的主要依据是《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）、《2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲——数学（文、理科）》（以下简称《考试大纲》）和《2016年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷）考试大纲的说明——数学（文、理科）》（以下简称《考试说明》）。
2．研究2007~2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（课标卷）的命题特点，是广州市“一测”数学卷命题的另一依据. 近八年课标卷的命题思路：注重加强对数学基本知识、基本数学思想方法和基本技能的考查，以及对学生综合分析能力的考查。
3.命题遵循“多考思维，少考运算”原则，将对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等融为一体，全面检测学生的数学综合素质.4.在选择题和填空题设计中以中等难度题为主考查数学基础，注重通解通法，同时注重内在逻辑联系，可以寻求多方法解题思路，在解答题设计中坚持知识的综合性，注重在知识网络的交汇处设计试题.并在全面考查基本能力的同时，突出考查学科的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力等能力，体现课程标准的基本理念.二. 本次试卷的新意2016年广州市“一测”数学试题考查的内容符合《课程标准》、《考试大纲》与《考试说明》的要求.两份席卷重点考查了高中数学的主要核心内容，既没有超纲，也没有超标，对课程中增加的内容和弱化的知识点做到了较好的把握，试题在结构和难度上与近几年全国课标卷一致，试卷注重对基础知识、基本技能、基本思想方法的考查.2016年广州市“一测”试题无论考查内容还是考查形式，都让学生觉得符合常规，所谓“似曾相识不陌生，常规之中比根基”. 但常规题中仍然深入地考查了数学思想。
在“一测”数学试题中，涉及到的基本数学思想和方法主要有：等价转化思想作为中学数学中的一种基本化归思想，在试卷中随处可见．函数与方程的思想：如文科3、8、9、13、20、21题，理科6、16、20、21题等．数形结合的思想：理科第7、8、11题；文科第5、7、12题等．其中反映逻辑思维能力的推理论证能力和运算求解能力的考查贯穿全卷，突出反映在含字母的算式推演运算上，体现了高中数学引入变量的重要特征.如文理科第12题的推理与证明，着重以代数运算为主考查掌握算法和推理运算的情况，深入考查了考生对式子正确进行分解和组合变形的能力.试卷突出考查了空间想象能力，如文科第12题，理科第11题的三视图问题，重点考查了考生识图、想图以及对图形的分解与组合的能力，很好的考查了考生的空间想象能力;抽象概括能力是重要的数学思维能力，试卷注重了对抽象概括能力的考查，如文理21考查含参数的函数的构造以及不等式恒成立及不等式证明问题,对思维的严谨性和概括能力要求较高，通过对参数的讨论和概括，深入地考查了考生的抽象概括能力.三. 预计的本试卷的难点本试卷的难点主要体现在推理证明（文、理第12题）、解析几何（文、理第20题）以及函数导数（文、理第21题）这几个内容。
2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< 答案：D解析：集合A ＝{}11x x <－＜，集合B ＝{}1x x ≤≤0，所以，A B ={}01x x ≤<。
（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限答案：D解析：(3)(1)122i i z i ++==+，共轭复数为12i -，在第四象限。
（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答案：C解析：第一步：x ＝9，k ＝2；第二步：x ＝21，k ＝4；第三步：x ＝45，k ＝6； 第四步：x ＝93，k ＝8；第五步：x ＝189，k ＝10；退出循环，故k ＝10。
（4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24答案：B解析：依题意，得：周期T ＝3π，23ππω=，所以，ω＝6。
绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x xx =-≤,则AB =(A){}12x x -≤≤ （B){}10x x -≤≤ (C ）{}12x x ≤≤ (D ）{}01x x ≤≤（2)已知复数3i 1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 (C)第三象限 （D)第四象限 （3）已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为 （A ）12（B)15（C)15- (D ）12-（4）设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =,则△PAB 与△PBC 的面积之比是（A ）13（B ）12（C)23(D ）34(5）如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为(A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24（6)执行如图所示的程序框图,如果输入3x =,则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 (C ）10 （D ）12(7)在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率为(A ）14（B ）12（C ）23（D ）34（8）已知()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（A ）10- (B)10-（C ）10（D ）10（9）如果1P ,2P ，…，nP 是抛物线C :24yx =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ,…，nx ，F是抛物线C 的焦点,若1210n x xx +++=,则12n PF P F P F +++=（A ）10n + (B ）20n + （C ）210n + （D ）220n +(10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上,则该球的体积为 (A)20π （B 205π （C ）5π（55π（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直,则l α⊥; 2p :若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++,则()00,x ∃∈+∞,()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是 （A)1 （B ）2 (C ）3（D ）4(12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(A ）88246+（B)88226+（C）2+(D)1224++第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． (13）函数()33f x xx =-的极小值为 ．（14)设实数x ,y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是 ．（15）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．(16)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =，2BD AD =,则AD 的长为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分）已知数列{}na 是等比数列,24a=，32a +是2a 和4a 的等差中项。
2016年某某市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的某某和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
（1）已知集合}{11M x x =-<<，{22,N x x =<x ∈Z }，则(A)M N ⊆ (B) N M ⊆ (C) {}0M N = (D) MN N =答案：C解析：解一元二次不等式：2x ＜2，得：x <<，又x Z ∈，所以，N ＝{}1,0,1-，所以，{}0MN =。
（2）已知复数z =()2i1i +，其中i 为虚数单位， 则z =(A) 12(B) 1 (D)2 答案：B解析：因为z 1i +＝112222i i i -==--，所以，||z = 1 （3）已知cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是(A)13 (B)3 (C)13- (D)3-答案：A 解析：5sin 12πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin ()212ππθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝cos 1123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（4）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= (A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D)0.16 答案：B解析：由于随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()40.84P X ≤=， 所以，(4)(2)0.16P X P X ≥=≤=，()24P X <<=（5）不等式组0,2,22x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩的解集记为D , 若(),a b D ∈, 则23z a b =-的最小值是(A) 4- (B) 1- (C) 1 (D) 4 答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域，如图三角形ABC 为所示，当23z a b =-过A （－2,0）时取得最上值为－4（6）使231(2nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6答案：C解析：2251311()()22kn kk k n k k n n kT C x C x x --+==，令25n k -＝0，得52n k =，所以n 的最小值是5 （7）已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭, 则函数 ()f x 的单调递减区间是(A)32,2(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (B)52,2(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) (C) 3,(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z )(D)5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) 答案：D 解析：3sin(2)8πϕ⨯+=0，得：4πϕ=，所以，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得()f x 的单调递减区间是5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z )（8）已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=, 则球O 的表面积为 (A)169π (B)163π (C)649π (D)643π答案：D解析：由余弦定理，得：BC ＝44222cos120⨯⨯︒＋－＝23，设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理：232120r sin =︒，得r ＝2，又22144R R =+，所以，2R ＝163，表面积为：24R π＝643π （9）已知命题p ：x ∀∈N *, 1123xx⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：x ∃∈N *,12222x x-+=，则下列命题中为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ⌝∧ (C) ()p q ∧⌝ (D)()()p q ⌝∧⌝ 答案：C解析：因为n y x =（n 为正整数）是增函数，又1123>所以，x ∀∈N *, 1123x x⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，p 正确；112222222x x x x --+≥⨯=，当且仅当122x x -=，即1*2x N =∉，所以，q 假命题，所以()p q ∧⌝为真命题。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}24M x x =<，N x x =<{|}1，则M N ⋂=A.{|}x x -<<21B.{|}x x <-2C.{|}x x <1D.{}2x x <【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，{}|22M x x =-<<，所以{}|21M N x x =-<<，故选A.考点：集合的运算.2.设i 是虚数单位，若复数z 满足()()11z i i +=-，则复数z 的模z = A.1- B.1D.2【答案】B 【解析】试题分析：根据题意有21(1)12i i z i i --===-+，所以有1z =，故选B. 考点：复数的运算，复数的模.3.在ABC ∆中，45,105,o o A C BC ∠=∠==则边长AC 为1- B.1 C.2D. 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意有1801054530B ∠=︒-︒-︒=︒，根据正弦定理可知sin sin AC BCB A=，从而有1AC ==，故选B.考点：正弦定理.4.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线2x = 的焦点，则椭圆C 的标准方程为A.22142x y +=B.22143x y +=C.221129x y += D.2211612x y +=【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，可知抛物线的焦点为(0,，所以对于椭圆而言，b =，结合离心率等于12，可知4a =，所以方程为2211612x y +=，故选D.考点：抛物线的性质，椭圆的性质，椭圆的方程. 5.下列程序框图中，输出的A 的值是A.128 B.129 C.131 D.134【答案】C 【解析】试题分析：根据题意有，在运行的过程中，11,1,,24A i A i ====；114,3774A i ===；11710107A ==，4i =；1110,5131310A i ===；，以此类推，就可以得出输出的A 是以1为分子，分母构成以3为首项，以3为公差的等差数列，输出的是第10项，所以输出的结果为131，故选C.考点：程序框图.6.将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为B.12C.12-D.【答案】D考点：函数图像的变换，函数在某个区间上的最值问题. 7.函数cos 622x xxy-=-的图像大致为【答案】A 【解析】试题分析：根据函数的奇偶性，可知函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故C,D 不对又因为在0x >，且比较接近于零的地方，cos 60,220xxx ->->，所以函数值大于零，图像在第一象限，所以B 不对，故选A.考点：函数图像的选取.8.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是 A.[3,3]-B.11(,][,)33-∞-+∞ C.(,3][3,)-∞-+∞ D.11[,]33- 【答案】C 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件画出可行域，构成以(1,0),(1,0),(0,1)A B C -为顶点的三角形区域，因为直线3y kx =-过点(0,3)P -，如果使得直线与平面区域有公共点，可知3PA k k ≤=-或3PB k k ≥=，故选C.考点：二元一次不等式组表示的平面区域，斜率取值范围问题.9.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A .203 B .163C .86π-D .83π-【答案】A考点：根据三视图还原几何体，求其体积.10.42()(1x x+的展开式中x 的系数是A.1B.2C.3D.12 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，式子的展开式中含x 的项有4(1展开式中的常数项乘以2x x+中的x 以及4(1展开式中的含2x 的项乘以2x x +中的2x两部分，所以其系数为2113⋅+=，故选C.考点：二项式定理.11.如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A.4B.7C.332 D.3【答案】B 【解析】试题分析：设正三角形的边长为m ，即22AB AF BF m ===，结合双曲线的定义，可知12122,4,2BF a BF a F F c ===，根据等边三角形，可知12120F BF ∠=︒,应用余弦定理，可知222141622442a a a a c ++⋅⋅⋅=，整理得ca=，故选B. 考点：双曲线的定义，双曲线的离心率.12.已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是 A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,41 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D.1,4e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】试题分析：ln y x =，所以1'y x =，设切点为00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，即0001ln ()y x x x x -=-，与直线y ax =重合时，有01a x =，0ln 10x -=，解得0x e =，所以1a e =，当直线与直线114y x =+平行时，直线为14y x =，当1x =时，11ln ln1044x x -=-<，当x e =时，11ln ln 044x x e e -=->，当3x e =时，3311ln ln 044x x e e -=-<，所以ln y x =与14y x =在3(1,),(,)e e e 上有2个交点，所以直线在14y x =和1y x e =之间时与函数()f x 有2个交点，所以11[,)4a e∈，故选B.考点：函数图像的交点问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(0,)απ∈，4cos 5α=，则sin()πα-= ．【答案】35【解析】试题分析：根据同角三角函数关系式，结合角的取值范围，可求得3sin 5α=，根据诱导公式，可以求得3sin()sin 5παα-==.考点：同角三角函数关系式，诱导公式.14.在ABC ∆中，90,B ∠=1,AB BC ==．点M 满足2BM AM =，则CM CA ⋅=______, 【答案】3 【解析】试题分析：根据题意，设(0,0),(1,0),(0,1)B C A ,根据2BM AM =，可知(0,2)M ，此时有(1,2)(1,1)123CM CA ⋅=-⋅-=+=.考点：向量的数量积.15.如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为 ．【答案】13【解析】试题分析：根据题意，可以求得阴影部分的面积为31231200211)()|333S x dx x x =-=-=⎰，故该点落在阴影部分中的概率为11313P ==.考点：几何概型.16.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ． 【答案】4π 【解析】试题分析：根据题意，设2BC m =，则有11BB m=，从而有其外接球的半径为1R =≥，所以其比表面积的最小值为4S π=. 考点：几何体的外接球，基本不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足：0n a ≠,113a =，112n n n n a a a a ++-=⋅，(n N *∈). （1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）证明：122311...6n n a a a a a a ++++<.【答案】（1）证明见解析，121n a n =+；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：第一问对题中所给的式子进行变形，得出1112n na a +-=，利用等差数列的定义确定出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，求得其通项公式，第二问利用裂项相消法对数列求和，得到122311111...()23236n n a a a a a a n ++++=-<+，从而得证. 试题解析：（1）得出1112n n a a +-=………………………………………………………………2分 111{}n a a 是以为首项，2为公差的等差数列……………………………………………3分 ()1111221n n n a a =+-⨯=+…………………………………………………………5分 121n a n =+………………………………………………………………………………6分 （2）()()11111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭……………………………………8分()()12231111......35572123n n a a a a a a n n ++++=++⨯⨯++111111111111...235257221232323n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………10分 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭16<……………………………………………………………………12分考点：等差数列的证明，数列的通项公式，裂项相消法求和.18.(本小题满分12分)如图，矩形ABEF 所在的平面与等边ABC ∆所在的平面垂直，22AB AF ==，O 为AB 的中点．（1）求证：OE FC ⊥；（2）求二面角F CE B --的余弦值. 【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）14-试题解析：（I ）证明：连接OC ,OF ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥. ………1分 又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ，故OC ⊥平面ABEF . …………………2分 因为OE ⊂面ABEF ，于是OC OE ⊥. ……………………3分 又矩形ABEF ，22AB AF ==，所以OF OE ⊥. ……………4分 又因为OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， ………………5分 所以OE FC ⊥. ………………6分（Ⅱ）由（I ）得，22AB AF ==，取EF 的中点D ，以O 为原点，,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系。
2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则AB =（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤ 答案：D解析：集合A ＝{}11x x ≤≤－，集合B ＝{}2x x ≤≤0，所以，A B ={}01x x ≤≤。
（2）已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：D 解析：(3)(1)22i i z i +==－－，对应坐标为（2，－1），在第四象限。
（3）已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（A ）12（B ）15 （C ）15- （D ）12-答案：C解析：2f （－）＝4＋2＝6，11((2))(6)165f f f -===--，选C 。
（4）设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34答案：B解析：依题意，得：CP ＝2PA ，设点P 到AC 之间的距离为h ，则 △PAB 与△PBC 的面积之比为1212BPA BCPPA h S S PC h ∆∆==12（5）如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24答案：B解析：依题意，得：周期T ＝3π，23ππω=，所以，ω＝6。
2016届广东省广州市高三普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B.C. D.2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 执行如图所示的程序框图，，则输出的值为A. B. C. D.4. 如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为A. B. C. D.5. 设等差数列的前项和为，且，则A. B. C. D.6. 如果，，，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，，，是抛物线的焦点，若，则A. B. C. D.7. 在梯形中，，已知，，若，则A. B. C. D.8. 设实数，满足约束条件则的取值范围是A. B. C. D.9. 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A. B. C. D.10. 已知下列四个命题：：若直线和平面内的无数条直线垂直，则；：若，则，；：若，则，；：在中，若，则．其中真命题的个数是A. B. C. D.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为A. B. C. D.12. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 一个总体中有个个体，随机编号，，，，，依编号顺序平均分成个小组，组号依次为，，，，．现用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，若在第组随机抽取的号码为，则在第组中抽取的号码是______．14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为______．15. 的展开式中，的系数为______．（用数字填写答案）16. 已知函数，则函数的零点个数为______ 个．三、解答题（共8小题；共104分）17. 如图，在中，点在边上，，，，．（1）求的长；（2）求的面积．18. 从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取件，记这件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望．19. 如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值．20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21. 已知函数，．（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（2）当时，证明：．22. 如图所示，内接于，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）若直线与相切于点，且，，求线段的长．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标．24. 设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围．答案第一部分1. D2. D3. C4. B5. C6. A7. A8. A9. D 10. B11. A 12. B第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）解法一：在中，因为，设，则．在中，因为，，，所以．在中，因为，，，由余弦定理得．因为，所以，即．解得．所以的长为．解法二：在中，因为，设，则．在中，因为，，，所以．所以．在中，因为，，，由余弦定理得．所以．解得．所以的长为．（2）解法一：由（1）求得，所以，从而．所以．解法二：由（1）求得，．因为，所以为等腰三角形．因为，所以．所以底边上的高．所以．解法三：因为的长为，所以，解得．所以．．所以．18. （1）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和．依题意得，解得．所以区间内的频率为．（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取件，相当于进行了次独立重复试验，所以服从二项分布，其中．由（1）得，区间内的频率为，将频率视为概率得．因为的所有可能取值为，，，，且，，，．所以的分布列为：所以的数学期望为．（或直接根据二项分布的均值公式得到）19. （1）因为平面，平面，所以因为是菱形，所以因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解法一：平面，，以为原点，，，方向为，，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．因为，，所以，，．则，，，，所以，．设平面的法向量为，因为，，所以令，得．同理可求得平面的法向量为．所以．因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．解法二：平面，连接与交于点，连接，，因为，，所以为平行四边形．因为，分别是，的中点，所以为平行四边形．且．因为平面平面，过点作于，则平面．过点作于，连接，则．所以是二面角的平面角的补角．在中，在中，因为，所以．因为，，所以．因为，所以为直角三角形．所以．所以．所以．所以二面角的余弦值为．20. （1）解法一：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，由椭圆的定义知，所以 .所以，从而．所以椭圆的方程为．解法二：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．因为点在椭圆上，所以．由解得，，．所以椭圆的方程为．（2）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（不妨设），则点．联立方程组消去得．所以，则．所以直线的方程为．因为直线，分别与轴交于点，，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．解法二：因为椭圆的左端点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点，则点．所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．所以．因为点在椭圆上，所以．所以．设的中点为，则点的坐标为则以为直径的圆的方程为．即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（），则点．所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．21. （1）因为，所以．因为在点处的切线斜率为，所以，解得．（2）证法一：因为，，所以等价于．当时，．要证，只需证明．以下给出三种思路证明．思路1：设，则．设，则．所以函数在上单调递增．因为，则．所以函数在上有唯一零点，且因为，所以，即．当时，；当时，，所以当时，取得最小值．所以．综上可知，当时，．思路2：先证明．设，则．因为当时，，当时，，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以（当且仅当时取等号）．所以要证明，只需证明．下面证明．设，则．当时，，当时，，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以（当且仅当时取等号）．由于取等号的条件不同，所以．综上可知，当时，．思路3：先证明．令，转化为证明．因为曲线与曲线关于直线对称，设直线与曲线、分别交于点、，点、到直线的距离分别为、，则．其中，．①设，则．因为，所以．所以在上单调递增，则．所以．②设，则．因为当时，；当时，，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．所以．所以．所以．综上可知，当时，．证法二：因为，，所以等价于．以下给出两种思路证明．思路1：设，则．设，则．所以函数在上单调递增．因为，所以，．所以函数在上有唯一零点，且．因为，所以，即．当时，；当时，．所以当时，取得最小值．所以．综上可知，当时，．思路2：先证明，且．设，则．因为当时，；当时时，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值．所以，即．所以（当且仅当时取等号）．再证明．由，得（当且仅当时取等号）．因为，，且与不同时取等号，所以．综上可知，当时，．22. （1）证明：因为是的切线，所以（弦切角定理）．因为，所以，所以．因为（公共角），所以．所以，即．（2）因为是的切线，是的割线，所以（切割线定理）．因为，，所以，．由（1）知，所以．因为，所以．所以．所以．23. （1）由，，可得．因为，，所以曲线的普通方程为（或）．（2）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为曲线：是以为圆心，为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行．即直线与的斜率的乘积等于，即．因为，解得或．所以点的坐标为或．由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为．解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为曲线是以为圆心，为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点．所以点到直线的距离为．因为，所以当时，．此时点的坐标为．24. （1）当时，等价于．当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得．综上所述，不等式的解集为．（2）因为不等式的解集为空集，所以．以下给出两种方法求的最大值．方法1：因为，当时，．当时，<br>\（\[\begin{split}f\left（ x \right） &= x + \sqrt a + x - \sqrt {1 - a} \\&= 2x + \sqrt a - \sqrt {1 - a} < 2\sqrt {1 - a} + \sqrt a - \sqrt {1 - a}\\&= \sqrt a + \sqrt {1 - a}. \end{split}\]\）<br>当时，．所以．方法2：因为<br>\（\[\begin{split}f\left（ x \right）& = \left| {x + \sqrt a } \right| - \left| {x - \sqrt {1 - a} } \right| \\&\leqslant \left| {x + \sqrt a - x + \sqrt {1 - a} } \right|\\&= \left| {\sqrt a + \sqrt {1 - a} } \right|\\&=\sqrt a + \sqrt {1 - a}， \end{split}\]\）<br>当且仅当时取等号．所以．因为对任意，不等式的解集为空集，所以．以下给出三种方法求的最大值．方法1：令，所以．当且仅当，即时等号成立．所以．所以的取值范围为．方法2：令，因为，所以可设，则，当且仅当时等号成立．所以的取值范围为．方法3：令，因为，设则．问题转化为在的条件下，求的最大值．利用数形结合的方法容易求得的最大值为，．所以的取值范围为．。
1 / 17广东省广州市2016年普通高中毕业班模拟考试理科数学试题2016.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U=R ，集合124xAx ，10B x x ，则U A B I e ＝（A ）12x x （B ）01x x（C ）01x x（D ）12x x （2）已知,a bR ，i 是虚数单位，若i a 与2i b 互为共轭复数，则2i=a b （A ）3+4i （B ）5+4i（C ）34i （D ）54i（3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f ”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若20:,10p x xx R ，则2:,10p x xx R （C ）若p q 为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2”（4）已知f x 在R 上是奇函数,且满足4f xf x,当0,2x 时,22f xx ，则7f （A ）2（B ）2（C ）98（D ）98（5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）22，（B ）40，（C ）44，（D ）08，（6）各项均为正数的等差数列n a 中，3694a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78（B ）48（C ）60（D ）72开始x=1，y=1，k=0s =x -y ，t=x+yx=s ，y=tk=k+1k ≥3输出(x ，y)结束是否。
绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< （2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 （4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（A ）3 （B ）6 （C ）12（D ）24（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（A ）52 （B ）78 （C ）104 （D ）208 （6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D）220n +（7）在梯形ABCD 中，A DB C ，已知4AD =，6BC =，若C D m B A n =+(),m n ∈R ，则mn = （A ）3- （B ）13- （C ）13（D ）3（8）设实数x ，y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()222x y ++的取值范围是（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C）⎡⎣ （D）⎣ （9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A ）20π （B（C ）5π （D）（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A）8+ （B）8+（C）2+ （D）1224（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 20163 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（A ）201520172⨯ （B ）201420172⨯ （C ）201520162⨯ （D ）201420162⨯第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．（14）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．（15）()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． （用数字填写答案） （16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =.（Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．（19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB -（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DECA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）D （2）D （3）C （4）B （5）C （6）A （7）A （8）A（9）D（10）B（11）A（12）B二．填空题（13）43（14 （15）40- （16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD ∠=52x=．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯ ………4分 因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，52x=-．………………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =，所以BC =．所以cos BC CBD BD ∠==．……………………………………………2分在△ABC 中，因为3AB x =，BC AC =由余弦定理得2222cos 2AB BC AC CBA AB BC +-∠==⨯⨯．…………4分=25分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分所以cos 2BC CBD BD ∠==1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC =．………………8分因为AC =ABC 为等腰三角形．因为cos BC CBD BD ∠==30CBD ∠=．……………………………10分所以△ABC 底边AB 上的高12h BC == 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯1152=⨯=12分解法三：因为AD 的长为5， 所以51cos ==22CD CDB BD x ∠=，解得3CDB π∠=．……………………………8分所以12sin 234ADC S AD CD ∆π=⨯⨯⨯=．1sin 232BCD S BD CD ∆π=⨯⨯⨯=．……………………………………10分所以ABC ADC BCD S S S ∆∆∆=+=12分（18）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分 因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分………………………10分（19）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥BD ⊂平面ABCD ，所以1AO BD ⊥因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1ACO 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC =11OA ==．………………6分则()1,0,0B ，()C ，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==设平面1OBB 的法向量为n 因为()1,0,0OB =，1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分 所以cos ,<>==n m 11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分解法二：由（Ⅰ）知平面连接11AC 与11B D 交于点连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，1//AA 所以11CAAC 因为O ，1O 分别是AC ，11所以11OAO C 为平行四边形．且111OC OA ==． 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =，过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B OB C --的平面角的补角．……………………………6分 在1Rt OCO ∆中，11122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1AO ⊥11A B ，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ， 所以11B C A D ===．因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分 所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH ==．…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．………………………………………………………2分所以a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．……………………………6分因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =M ⎛ ⎝．……………………7分同理可得点N ⎛ ⎝．…………………………………………………8分所以MN ==．…………………9分设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0,P k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………10分则以MN 为直径的圆的方程为22x y ⎛+= ⎝⎭2， 即224x y y k++=．…………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法二：因为椭圆C的左端点为A ，则点A 的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分 因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛⎫⎝．……………………………………………………8分所以020168y MN x =-=-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=． 所以08MN y =．……………………………………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2016y ．即220+x y y y +=4．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--． 所以直线AE的方程为y x =+．………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………7分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………8分所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ，即224cos 4sin x y y θθ++=．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分（21）（Ⅰ）解：因为+3()e x m f x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x mx x x +-+-≥-+-．要证()+eln 120x mx -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分以下给出三种思路证明1e ln(1)20x x +-+->． 思路1：设()()1eln 12x h x x +=-+-，则()11e 1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 思路2：先证明1e2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分设()1e 2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增． 所以()()10h x h ≥-=． 所以1e2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分所以要证明1e ln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1eln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-. ……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明1eln(1)20x x +-+->．令1t x =+，转化为证明e ln 2tt ->()0t >．……………………………………5分因为曲线e t y =与曲线ln y t =关于直线y t =对称，设直线0x x =()00x >与曲线e t y =、ln y t =分别交于点A 、B ，点A 、B 到直线y t =的距离分别为1d 、2d ，则)12AB d d =+．其中01x d =，2d ()00x >．①设()000e x h x x =-()00x >，则()00e 1x h x '=-． 因为00x >，所以()00e 10x h x '=->．所以()0h x 在()0,+∞上单调递增，则()()001h x h >=．所以01x d =>． ②设()000ln p x x x =-()00x >，则()0000111x p x x x -'=-=． 因为当001x <<时，()00p x '<；当01x >时，()00p x '>， 所以当001x <<时，函数()000ln p x x x =-单调递减；当01x >时，函数()000ln p x x x =-单调递增． 所以()()011p x p ≥=．所以2d ≥．所以)122AB d d ≥+>=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 证法二：因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．…………………………4分以下给出两种思路证明()+eln 120x mx -+->．思路1：设()()+e ln 12x m h x x =-+-，则()+1e 1x mh x x '=-+. 设()+1e1x mp x x =-+，则()()+21e 01x m p x x '=+>+． 所以函数()p x =()+1e 1x mh x x '=-+在()+∞-1，上单调递增．………………6分 因为1m ≥， 所以()()1e+1e 1ee e e e 10mmmmm m h ----+-+'-+=-=-<，()0e 10m h '=->.所以函数()+1e1x mh x x '=-+在()+∞-1，上有唯一零点0x ，且()01e ,0m x -∈-+. …………………8分 因为()00h x '=，所以0+01e1x mx =+，即()00ln 1x x m +=--．………………9分 当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x ．……………………………………10分 所以()()()0+00e ln 12x mh x h x x ≥=-+-00121x m x =++-+ ()0011301x m x =+++->+． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln(1)(1)x x x +≤>-．…………………5分 设()e 1xF x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1()xx x ≥+∈R ．…………………………………7分 所以ln(1)x x +≤（当且仅当0x =时取等号）．…………………………………8分 再证明()+eln 120x mx -+->．由e 1()x x x ≥+∈R ，得1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………9分 因为1x >-，1m ≥，且1e2x x +≥+与ln(1)x x +≤不同时取等号，所以 ()()+11e ln 12e e ln 12x m m x x x -+-+-=⋅-+-11e (2)2(e 1)(2)0m m x x x -->+--=-+≥．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分（22）（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）． (1)因为DECA ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2所以EDA B ∠=∠．因为AED D EB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB = （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分所以BA ACBEED =．所以6438BA EDAC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分（23）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得0x =或0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分 所以点D 到直线l的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（24）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<； ③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分 综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+-()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <时，()f x x x =2x =£=+当x ≥()f x x x =+=所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =+-x x ≤++==当且仅当x ≥所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =. 思路1：令()g a =所以()21g a =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分 思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y ＃＃． 问题转化为在221x y +=()01,01x y ＃＃的条件下， 求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时x y ==． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分。
