广东省广州市2016届高三普通高中毕业班综合测试(一)数学(理)试题

2016学年第一学期高三调研测试一数学（理科）本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合24Mx x，N x x {|}1，则MN A.{|}x x 21 B.{|}x x2 C.{|}x x1 D.2x x2.设i 是虚数单位，若复数满足11z ii ，则复数z 的模z A.1 B.1C.2D.23.在ABC 中，45,105,2ooA CBC，则边长AC 为A.31B.1C.2D.3+14.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线283xy 的焦点，则椭圆C 的标准方程为A.22142xyB.22143xyC.221129x yD.2211612xy5.下列程序框图中，输出的A 的值是A.128B.129 C.131D.1346.将函数()sin(2)()2f x x的图象向左平移6个单位后的图形关于原点对称，则函数()f x 在0,2上的最小值为是开始1,1A i 结束A输出1i i 31AAA 10i 否。

2016年广州市普通高中毕业班综合测试理科数学分析报告试卷分析：一、命题指导思想1.2016年是广东省课标卷自主命题九年后使用全国课标卷的第一年，《广州一模》数学命题的主要依据是《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）、《2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲——数学（文、理科）》（以下简称《考试大纲》）和《2016年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷）考试大纲的说明——数学（文、理科）》（以下简称《考试说明》）。

2．研究2007~2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（课标卷）的命题特点，是广州市“一测”数学卷命题的另一依据. 近八年课标卷的命题思路：注重加强对数学基本知识、基本数学思想方法和基本技能的考查，以及对学生综合分析能力的考查。

3.命题遵循“多考思维，少考运算”原则，将对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等融为一体，全面检测学生的数学综合素质.4.在选择题和填空题设计中以中等难度题为主考查数学基础，注重通解通法，同时注重内在逻辑联系，可以寻求多方法解题思路，在解答题设计中坚持知识的综合性，注重在知识网络的交汇处设计试题.并在全面考查基本能力的同时，突出考查学科的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力等能力，体现课程标准的基本理念.二. 本次试卷的新意2016年广州市“一测”数学试题考查的内容符合《课程标准》、《考试大纲》与《考试说明》的要求.两份席卷重点考查了高中数学的主要核心内容，既没有超纲，也没有超标，对课程中增加的内容和弱化的知识点做到了较好的把握，试题在结构和难度上与近几年全国课标卷一致，试卷注重对基础知识、基本技能、基本思想方法的考查.2016年广州市“一测”试题无论考查内容还是考查形式，都让学生觉得符合常规，所谓“似曾相识不陌生，常规之中比根基”. 但常规题中仍然深入地考查了数学思想。

在“一测”数学试题中，涉及到的基本数学思想和方法主要有：等价转化思想作为中学数学中的一种基本化归思想，在试卷中随处可见．函数与方程的思想：如文科3、8、9、13、20、21题，理科6、16、20、21题等．数形结合的思想：理科第7、8、11题；文科第5、7、12题等．其中反映逻辑思维能力的推理论证能力和运算求解能力的考查贯穿全卷，突出反映在含字母的算式推演运算上，体现了高中数学引入变量的重要特征.如文理科第12题的推理与证明，着重以代数运算为主考查掌握算法和推理运算的情况，深入考查了考生对式子正确进行分解和组合变形的能力.试卷突出考查了空间想象能力，如文科第12题，理科第11题的三视图问题，重点考查了考生识图、想图以及对图形的分解与组合的能力，很好的考查了考生的空间想象能力;抽象概括能力是重要的数学思维能力，试卷注重了对抽象概括能力的考查，如文理21考查含参数的函数的构造以及不等式恒成立及不等式证明问题,对思维的严谨性和概括能力要求较高，通过对参数的讨论和概括，深入地考查了考生的抽象概括能力.三. 预计的本试卷的难点本试卷的难点主要体现在推理证明（文、理第12题）、解析几何（文、理第20题）以及函数导数（文、理第21题）这几个内容。

2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< 答案：D解析：集合A ＝{}11x x <－＜，集合B ＝{}1x x ≤≤0，所以，A B ={}01x x ≤<。

（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限答案：D解析：(3)(1)122i i z i ++==+，共轭复数为12i -，在第四象限。

（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答案：C解析：第一步：x ＝9，k ＝2；第二步：x ＝21，k ＝4；第三步：x ＝45，k ＝6； 第四步：x ＝93，k ＝8；第五步：x ＝189，k ＝10；退出循环，故k ＝10。

（4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24答案：B解析：依题意，得：周期T ＝3π，23ππω=，所以，ω＝6。

绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。

4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x xx =-≤,则AB =(A){}12x x -≤≤ （B){}10x x -≤≤ (C ）{}12x x ≤≤ (D ）{}01x x ≤≤（2)已知复数3i 1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 (C)第三象限 （D)第四象限 （3）已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为 （A ）12（B)15（C)15- (D ）12-（4）设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =,则△PAB 与△PBC 的面积之比是（A ）13（B ）12（C)23(D ）34(5）如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为(A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24（6)执行如图所示的程序框图,如果输入3x =,则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 (C ）10 （D ）12(7)在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率为(A ）14（B ）12（C ）23（D ）34（8）已知()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（A ）10- (B)10-（C ）10（D ）10（9）如果1P ,2P ，…，nP 是抛物线C :24yx =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ,…，nx ，F是抛物线C 的焦点,若1210n x xx +++=,则12n PF P F P F +++=（A ）10n + (B ）20n + （C ）210n + （D ）220n +(10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上,则该球的体积为 (A)20π （B 205π （C ）5π（55π（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直,则l α⊥; 2p :若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++,则()00,x ∃∈+∞,()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是 （A)1 （B ）2 (C ）3（D ）4(12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(A ）88246+（B)88226+（C）2+(D)1224++第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． (13）函数()33f x xx =-的极小值为 ．（14)设实数x ,y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是 ．（15）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．(16)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =，2BD AD =,则AD 的长为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分）已知数列{}na 是等比数列,24a=，32a +是2a 和4a 的等差中项。

所以 AB 3AE .
在 Rt ABD 中，有 1 AE BD 1 AB AD ，得 BD
2
2
3AD , B
因为 BD 6 , 所以 AD 2 .
E
Dy
又 BD2 AB2 AD2 ，得 AB 2 .
C
则 AE 2 3 , ED
6
.
x …………………………………8 分
因为 b a 2，所以 ab 15．
………………………………………10 分
所以△ABC 的面积 S 1 absinC 1 15 2 2 5 2 ．……………………………12 分
2
2
3
解法 2： 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC ， …………………………………7 分
因为圆 O 与 x 轴的两个交点的坐标分别为 1, 0, 1, 0 ，与 y 轴的两个交点的坐标分
别为 0,1,0, 1 ，
根据题意，得 b c 1， 故 a2 b2 c2 2.
…………………………………1 分 …………………………………2 分
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. 2
点 F 到 l 的距离为 d 2 , 所以△ ABF 的面积为 S 1 AB d 2 .
2
…………………………………5 分
②当 m 1时, 设圆 O 的切线 l 的方程为 y k x mk 0 , 即 kx y km 0 ,
2ac
2ab
化简得 a2 b2 c2 2 ab ， 3
所以 cos C

a2
b2
c2

2 ab 3

2016年某某市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的某某和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

（1）已知集合}{11M x x =-<<，{22,N x x =<x ∈Z }，则(A)M N ⊆ (B) N M ⊆ (C) {}0M N = (D) MN N =答案：C解析：解一元二次不等式：2x ＜2，得：x <<，又x Z ∈，所以，N ＝{}1,0,1-，所以，{}0MN =。

（2）已知复数z =()2i1i +，其中i 为虚数单位， 则z =(A) 12(B) 1 (D)2 答案：B解析：因为z 1i +＝112222i i i -==--，所以，||z = 1 （3）已知cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是(A)13 (B)3 (C)13- (D)3-答案：A 解析：5sin 12πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin ()212ππθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝cos 1123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（4）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= (A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D)0.16 答案：B解析：由于随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()40.84P X ≤=， 所以，(4)(2)0.16P X P X ≥=≤=，()24P X <<=（5）不等式组0,2,22x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩的解集记为D , 若(),a b D ∈, 则23z a b =-的最小值是(A) 4- (B) 1- (C) 1 (D) 4 答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域，如图三角形ABC 为所示，当23z a b =-过A （－2,0）时取得最上值为－4（6）使231(2nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6答案：C解析：2251311()()22kn kk k n k k n n kT C x C x x --+==，令25n k -＝0，得52n k =，所以n 的最小值是5 （7）已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭, 则函数 ()f x 的单调递减区间是(A)32,2(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (B)52,2(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) (C) 3,(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z )(D)5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) 答案：D 解析：3sin(2)8πϕ⨯+=0，得：4πϕ=，所以，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得()f x 的单调递减区间是5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z )（8）已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=, 则球O 的表面积为 (A)169π (B)163π (C)649π (D)643π答案：D解析：由余弦定理，得：BC ＝44222cos120⨯⨯︒＋－＝23，设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理：232120r sin =︒，得r ＝2，又22144R R =+，所以，2R ＝163，表面积为：24R π＝643π （9）已知命题p ：x ∀∈N *, 1123xx⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：x ∃∈N *,12222x x-+=，则下列命题中为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ⌝∧ (C) ()p q ∧⌝ (D)()()p q ⌝∧⌝ 答案：C解析：因为n y x =（n 为正整数）是增函数，又1123>所以，x ∀∈N *, 1123x x⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，p 正确；112222222x x x x --+≥⨯=，当且仅当122x x -=，即1*2x N =∉，所以，q 假命题，所以()p q ∧⌝为真命题。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}24M x x =<，N x x =<{|}1，则M N ⋂=A.{|}x x -<<21B.{|}x x <-2C.{|}x x <1D.{}2x x <【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，{}|22M x x =-<<，所以{}|21M N x x =-<<，故选A.考点：集合的运算.2.设i 是虚数单位，若复数z 满足()()11z i i +=-，则复数z 的模z = A.1- B.1D.2【答案】B 【解析】试题分析：根据题意有21(1)12i i z i i --===-+，所以有1z =，故选B. 考点：复数的运算，复数的模.3.在ABC ∆中，45,105,o o A C BC ∠=∠==则边长AC 为1- B.1 C.2D. 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意有1801054530B ∠=︒-︒-︒=︒，根据正弦定理可知sin sin AC BCB A=，从而有1AC ==，故选B.考点：正弦定理.4.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线2x = 的焦点，则椭圆C 的标准方程为A.22142x y +=B.22143x y +=C.221129x y += D.2211612x y +=【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，可知抛物线的焦点为(0,，所以对于椭圆而言，b =，结合离心率等于12，可知4a =，所以方程为2211612x y +=，故选D.考点：抛物线的性质，椭圆的性质，椭圆的方程. 5.下列程序框图中，输出的A 的值是A.128 B.129 C.131 D.134【答案】C 【解析】试题分析：根据题意有，在运行的过程中，11,1,,24A i A i ====；114,3774A i ===；11710107A ==，4i =；1110,5131310A i ===；，以此类推，就可以得出输出的A 是以1为分子，分母构成以3为首项，以3为公差的等差数列，输出的是第10项，所以输出的结果为131，故选C.考点：程序框图.6.将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为B.12C.12-D.【答案】D考点：函数图像的变换，函数在某个区间上的最值问题. 7.函数cos 622x xxy-=-的图像大致为【答案】A 【解析】试题分析：根据函数的奇偶性，可知函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故C,D 不对又因为在0x >，且比较接近于零的地方，cos 60,220xxx ->->，所以函数值大于零，图像在第一象限，所以B 不对，故选A.考点：函数图像的选取.8.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是 A.[3,3]-B.11(,][,)33-∞-+∞ C.(,3][3,)-∞-+∞ D.11[,]33- 【答案】C 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件画出可行域，构成以(1,0),(1,0),(0,1)A B C -为顶点的三角形区域，因为直线3y kx =-过点(0,3)P -，如果使得直线与平面区域有公共点，可知3PA k k ≤=-或3PB k k ≥=，故选C.考点：二元一次不等式组表示的平面区域，斜率取值范围问题.9.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A .203 B .163C .86π-D .83π-【答案】A考点：根据三视图还原几何体，求其体积.10.42()(1x x+的展开式中x 的系数是A.1B.2C.3D.12 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，式子的展开式中含x 的项有4(1展开式中的常数项乘以2x x+中的x 以及4(1展开式中的含2x 的项乘以2x x +中的2x两部分，所以其系数为2113⋅+=，故选C.考点：二项式定理.11.如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A.4B.7C.332 D.3【答案】B 【解析】试题分析：设正三角形的边长为m ，即22AB AF BF m ===，结合双曲线的定义，可知12122,4,2BF a BF a F F c ===，根据等边三角形，可知12120F BF ∠=︒,应用余弦定理，可知222141622442a a a a c ++⋅⋅⋅=，整理得ca=，故选B. 考点：双曲线的定义，双曲线的离心率.12.已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是 A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,41 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D.1,4e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】试题分析：ln y x =，所以1'y x =，设切点为00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，即0001ln ()y x x x x -=-，与直线y ax =重合时，有01a x =，0ln 10x -=，解得0x e =，所以1a e =，当直线与直线114y x =+平行时，直线为14y x =，当1x =时，11ln ln1044x x -=-<，当x e =时，11ln ln 044x x e e -=->，当3x e =时，3311ln ln 044x x e e -=-<，所以ln y x =与14y x =在3(1,),(,)e e e 上有2个交点，所以直线在14y x =和1y x e =之间时与函数()f x 有2个交点，所以11[,)4a e∈，故选B.考点：函数图像的交点问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(0,)απ∈，4cos 5α=，则sin()πα-= ．【答案】35【解析】试题分析：根据同角三角函数关系式，结合角的取值范围，可求得3sin 5α=，根据诱导公式，可以求得3sin()sin 5παα-==.考点：同角三角函数关系式，诱导公式.14.在ABC ∆中，90,B ∠=1,AB BC ==．点M 满足2BM AM =，则CM CA ⋅=______, 【答案】3 【解析】试题分析：根据题意，设(0,0),(1,0),(0,1)B C A ,根据2BM AM =，可知(0,2)M ，此时有(1,2)(1,1)123CM CA ⋅=-⋅-=+=.考点：向量的数量积.15.如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为 ．【答案】13【解析】试题分析：根据题意，可以求得阴影部分的面积为31231200211)()|333S x dx x x =-=-=⎰，故该点落在阴影部分中的概率为11313P ==.考点：几何概型.16.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ． 【答案】4π 【解析】试题分析：根据题意，设2BC m =，则有11BB m=，从而有其外接球的半径为1R =≥，所以其比表面积的最小值为4S π=. 考点：几何体的外接球，基本不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足：0n a ≠,113a =，112n n n n a a a a ++-=⋅，(n N *∈). （1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）证明：122311...6n n a a a a a a ++++<.【答案】（1）证明见解析，121n a n =+；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：第一问对题中所给的式子进行变形，得出1112n na a +-=，利用等差数列的定义确定出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，求得其通项公式，第二问利用裂项相消法对数列求和，得到122311111...()23236n n a a a a a a n ++++=-<+，从而得证. 试题解析：（1）得出1112n n a a +-=………………………………………………………………2分 111{}n a a 是以为首项，2为公差的等差数列……………………………………………3分 ()1111221n n n a a =+-⨯=+…………………………………………………………5分 121n a n =+………………………………………………………………………………6分 （2）()()11111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭……………………………………8分()()12231111......35572123n n a a a a a a n n ++++=++⨯⨯++111111111111...235257221232323n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………10分 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭16<……………………………………………………………………12分考点：等差数列的证明，数列的通项公式，裂项相消法求和.18.(本小题满分12分)如图，矩形ABEF 所在的平面与等边ABC ∆所在的平面垂直，22AB AF ==，O 为AB 的中点．（1）求证：OE FC ⊥；（2）求二面角F CE B --的余弦值. 【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）14-试题解析：（I ）证明：连接OC ,OF ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥. ………1分 又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ，故OC ⊥平面ABEF . …………………2分 因为OE ⊂面ABEF ，于是OC OE ⊥. ……………………3分 又矩形ABEF ，22AB AF ==，所以OF OE ⊥. ……………4分 又因为OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， ………………5分 所以OE FC ⊥. ………………6分（Ⅱ）由（I ）得，22AB AF ==，取EF 的中点D ，以O 为原点，,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系。

2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则AB =（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤ 答案：D解析：集合A ＝{}11x x ≤≤－，集合B ＝{}2x x ≤≤0，所以，A B ={}01x x ≤≤。

（2）已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：D 解析：(3)(1)22i i z i +==－－，对应坐标为（2，－1），在第四象限。

（3）已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（A ）12（B ）15 （C ）15- （D ）12-答案：C解析：2f （－）＝4＋2＝6，11((2))(6)165f f f -===--，选C 。

（4）设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34答案：B解析：依题意，得：CP ＝2PA ，设点P 到AC 之间的距离为h ，则 △PAB 与△PBC 的面积之比为1212BPA BCPPA h S S PC h ∆∆==12（5）如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24答案：B解析：依题意，得：周期T ＝3π，23ππω=，所以，ω＝6。

2016届广东省广州市高三普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B.C. D.2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 执行如图所示的程序框图，，则输出的值为A. B. C. D.4. 如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为A. B. C. D.5. 设等差数列的前项和为，且，则A. B. C. D.6. 如果，，，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，，，是抛物线的焦点，若，则A. B. C. D.7. 在梯形中，，已知，，若，则A. B. C. D.8. 设实数，满足约束条件则的取值范围是A. B. C. D.9. 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A. B. C. D.10. 已知下列四个命题：：若直线和平面内的无数条直线垂直，则；：若，则，；：若，则，；：在中，若，则．其中真命题的个数是A. B. C. D.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为A. B. C. D.12. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 一个总体中有个个体，随机编号，，，，，依编号顺序平均分成个小组，组号依次为，，，，．现用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，若在第组随机抽取的号码为，则在第组中抽取的号码是______．14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为______．15. 的展开式中，的系数为______．（用数字填写答案）16. 已知函数，则函数的零点个数为______ 个．三、解答题（共8小题；共104分）17. 如图，在中，点在边上，，，，．（1）求的长；（2）求的面积．18. 从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取件，记这件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望．19. 如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值．20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21. 已知函数，．（1）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（2）当时，证明：．22. 如图所示，内接于，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）若直线与相切于点，且，，求线段的长．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标．24. 设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围．答案第一部分1. D2. D3. C4. B5. C6. A7. A8. A9. D 10. B11. A 12. B第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）解法一：在中，因为，设，则．在中，因为，，，所以．在中，因为，，，由余弦定理得．因为，所以，即．解得．所以的长为．解法二：在中，因为，设，则．在中，因为，，，所以．所以．在中，因为，，，由余弦定理得．所以．解得．所以的长为．（2）解法一：由（1）求得，所以，从而．所以．解法二：由（1）求得，．因为，所以为等腰三角形．因为，所以．所以底边上的高．所以．解法三：因为的长为，所以，解得．所以．．所以．18. （1）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和．依题意得，解得．所以区间内的频率为．（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取件，相当于进行了次独立重复试验，所以服从二项分布，其中．由（1）得，区间内的频率为，将频率视为概率得．因为的所有可能取值为，，，，且，，，．所以的分布列为：所以的数学期望为．（或直接根据二项分布的均值公式得到）19. （1）因为平面，平面，所以因为是菱形，所以因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解法一：平面，，以为原点，，，方向为，，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．因为，，所以，，．则，，，，所以，．设平面的法向量为，因为，，所以令，得．同理可求得平面的法向量为．所以．因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．解法二：平面，连接与交于点，连接，，因为，，所以为平行四边形．因为，分别是，的中点，所以为平行四边形．且．因为平面平面，过点作于，则平面．过点作于，连接，则．所以是二面角的平面角的补角．在中，在中，因为，所以．因为，，所以．因为，所以为直角三角形．所以．所以．所以．所以二面角的余弦值为．20. （1）解法一：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，由椭圆的定义知，所以 .所以，从而．所以椭圆的方程为．解法二：设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．因为点在椭圆上，所以．由解得，，．所以椭圆的方程为．（2）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（不妨设），则点．联立方程组消去得．所以，则．所以直线的方程为．因为直线，分别与轴交于点，，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．解法二：因为椭圆的左端点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点，则点．所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．所以．因为点在椭圆上，所以．所以．设的中点为，则点的坐标为则以为直径的圆的方程为．即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（），则点．所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．21. （1）因为，所以．因为在点处的切线斜率为，所以，解得．（2）证法一：因为，，所以等价于．当时，．要证，只需证明．以下给出三种思路证明．思路1：设，则．设，则．所以函数在上单调递增．因为，则．所以函数在上有唯一零点，且因为，所以，即．当时，；当时，，所以当时，取得最小值．所以．综上可知，当时，．思路2：先证明．设，则．因为当时，，当时，，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以（当且仅当时取等号）．所以要证明，只需证明．下面证明．设，则．当时，，当时，，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以（当且仅当时取等号）．由于取等号的条件不同，所以．综上可知，当时，．思路3：先证明．令，转化为证明．因为曲线与曲线关于直线对称，设直线与曲线、分别交于点、，点、到直线的距离分别为、，则．其中，．①设，则．因为，所以．所以在上单调递增，则．所以．②设，则．因为当时，；当时，，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．所以．所以．所以．综上可知，当时，．证法二：因为，，所以等价于．以下给出两种思路证明．思路1：设，则．设，则．所以函数在上单调递增．因为，所以，．所以函数在上有唯一零点，且．因为，所以，即．当时，；当时，．所以当时，取得最小值．所以．综上可知，当时，．思路2：先证明，且．设，则．因为当时，；当时时，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值．所以，即．所以（当且仅当时取等号）．再证明．由，得（当且仅当时取等号）．因为，，且与不同时取等号，所以．综上可知，当时，．22. （1）证明：因为是的切线，所以（弦切角定理）．因为，所以，所以．因为（公共角），所以．所以，即．（2）因为是的切线，是的割线，所以（切割线定理）．因为，，所以，．由（1）知，所以．因为，所以．所以．所以．23. （1）由，，可得．因为，，所以曲线的普通方程为（或）．（2）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为曲线：是以为圆心，为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行．即直线与的斜率的乘积等于，即．因为，解得或．所以点的坐标为或．由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为．解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为曲线是以为圆心，为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点．所以点到直线的距离为．因为，所以当时，．此时点的坐标为．24. （1）当时，等价于．当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得．综上所述，不等式的解集为．（2）因为不等式的解集为空集，所以．以下给出两种方法求的最大值．方法1：因为，当时，．当时，<br>\（\[\begin{split}f\left（ x \right） &= x + \sqrt a + x - \sqrt {1 - a} \\&= 2x + \sqrt a - \sqrt {1 - a} < 2\sqrt {1 - a} + \sqrt a - \sqrt {1 - a}\\&= \sqrt a + \sqrt {1 - a}. \end{split}\]\）<br>当时，．所以．方法2：因为<br>\（\[\begin{split}f\left（ x \right）& = \left| {x + \sqrt a } \right| - \left| {x - \sqrt {1 - a} } \right| \\&\leqslant \left| {x + \sqrt a - x + \sqrt {1 - a} } \right|\\&= \left| {\sqrt a + \sqrt {1 - a} } \right|\\&=\sqrt a + \sqrt {1 - a}， \end{split}\]\）<br>当且仅当时取等号．所以．因为对任意，不等式的解集为空集，所以．以下给出三种方法求的最大值．方法1：令，所以．当且仅当，即时等号成立．所以．所以的取值范围为．方法2：令，因为，所以可设，则，当且仅当时等号成立．所以的取值范围为．方法3：令，因为，设则．问题转化为在的条件下，求的最大值．利用数形结合的方法容易求得的最大值为，．所以的取值范围为．。

1 / 17广东省广州市2016年普通高中毕业班模拟考试理科数学试题2016.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U=R ，集合124xAx ，10B x x ，则U A B I e ＝（A ）12x x （B ）01x x（C ）01x x（D ）12x x （2）已知,a bR ，i 是虚数单位，若i a 与2i b 互为共轭复数，则2i=a b （A ）3+4i （B ）5+4i（C ）34i （D ）54i（3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f ”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若20:,10p x xx R ，则2:,10p x xx R （C ）若p q 为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2”（4）已知f x 在R 上是奇函数,且满足4f xf x,当0,2x 时,22f xx ，则7f （A ）2（B ）2（C ）98（D ）98（5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）22，（B ）40，（C ）44，（D ）08，（6）各项均为正数的等差数列n a 中，3694a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78（B ）48（C ）60（D ）72开始x=1，y=1，k=0s =x -y ，t=x+yx=s ，y=tk=k+1k ≥3输出(x ，y)结束是否。

2016届广东省广州市高三普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B.C. D.2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数所对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设函数，则的值为A. B. C. D.4. 设是所在平面内的一点，且，则与的面积之比是A. B. C. D.5. 如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为A. B. C. D.6. 执行如图所示的程序框图，，则输出的值为A. B. C. D.7. 在平面区域内随机投入一点，则点的坐标满足的概率为A. B. C. D.8. 已知，若，则A. B. C. D.9. 如果，，，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，，，是抛物线的焦点，若，则A. B. C. D.10. 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A. B. C. D.11. 已知下列四个命题：：若直线和平面内的无数条直线垂直，则；：若，则，；：若，则，；：在中，若，则．其中真命题的个数是A. B. C. D.12. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 函数的极小值为______．14. 设实数满足约束条件则的取值范围是______．15. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为______．16. 在中，点在边上，，，，，则的长为______．三、解答题（共8小题；共104分）17. 已知数列是等比数列，，是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. 从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（2）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取件产品，求这件产品都在区间内的概率．19. 如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，．（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离．20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明：．22. 如图所示，内接于，直线与相切于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）若直线与相切于点，且，，求线段的长．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标．24. 设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围．答案第一部分1. D2. D3. C4. B5. B6. C7. A8. B9. A 10. D11. B 12. A第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）设数列的公比为，因为，所以，，因为是和的等差中项，所以．即，化简得．因为公比，所以．所以．（2）因为，所以．所以．则得，<br>\（\[\begin{split} - {T_n} &= 2 + 2 \times {2^2} + 2 \times {2^3} + \cdot \cdot \cdot + 2 \times {2^n} - \left（ {2n - 1} \right）{2^{n + 1}}\\& = 2 + 2 \times \dfrac{{4\left（ {1 - {2^{n - 1}}}\right）}}{1 - 2} - \left（ {2n - 1} \right）{2^{n + 1}}\\& = - 6 - \left（ {2n - 3} \right）{2^{n + 1}}，\end{split}\]\）<br>所以．18. （1）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和．依题意得，解得．所以区间内的频率为．（2）由（1）得，区间，，内的频率依次为，，．用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，则在区间内应抽取件，记为，，．在区间内应抽取件，记为，．在区间内应抽取件，记为．设"从样本中任意抽取件产品，这件产品都在区间内"为事件，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共种．事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共种．所以这件产品都在区间内的概率为．19. （1）证明：因为平面，平面所以，因为是菱形，所以因为，平面所以平面．（2）解法一：因为底面是菱形，，，，所以，．所以的面积为．因为平面，平面，所以，．因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离．由（1）得，平面．因为平面，所以．因为，所以．所以的面积为．设点到平面的距离为，因为，所以．所以．所以点到平面的距离为．解法二：由（1）知平面，因为平面，所以平面平面．连接与交于点，连接，，，，所以为平行四边形．又，分别是，的中点，所以为平行四边形．所以．因为平面与平面交线为，过点作于，则平面．因为，平面，所以平面．因为平面，所以，即为直角三角形．所以．所以点到平面的距离为．20. （1）设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．①因为点在椭圆上，所以 .②由①②解得，，．所以椭圆的方程为．（2）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（不妨设），则点．联立方程组消去得．所以，．…所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．假设在轴上存在点，使得为直角，则．即，即．解得或．故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．解法二：因为椭圆的左端点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点，则点．所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．假设在轴上存在点，使得为直角，则．即，即．（※）因为点在椭圆上，所以，即．将代入（※）得．解得或．故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（），则点．所以直线的方程为．因为直线与轴交于点，令得，即点．同理可得点．假设在轴上存在点，使得为直角，则．即，即．解得或．故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．21. （1）当时，，所以．所以， .所以曲线在点处的切线方程为．即 .（2）证法一：当时， .要证明，只需证明 .以下给出三种思路证明 .思路1：设，则 .设，则，所以函数在上单调递增．因为，，所以函数在上有唯一零点，且 .因为时，所以，即当时，；当时， .所以当时，取得最小值．故．综上可知，当时， .思路2：先证明．设，则．因为当时，，当时，，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以（当且仅当时取等号）．所以要证明，只需证明．下面证明．设，则．当时，，当时，，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．所以．所以（当且仅当时取等号）．由于取等号的条件不同，所以．综上可知，当时， .（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明 .因为曲线与曲线的图象关于直线对称，设直线与曲线，分别交于点，，点，到直线的距离分别为，，则．其中，．①设，则．因为，所以．所以在上单调递增，则．所以．②设，则．因为当时，；当时，，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以．所以．所以．综上可知，当时， .证法二：因为，要证明，只需证明以下给出两种思路证明 .思路1：设，则 .设，则．所以函数在上单调递增．因为，，所以函数在上有唯一零点，且因为，所以，即．当时，；当时， .所以当时，取得最小值．故．综上可知，当时， .思路2：先证明，且．设，则．因为当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值．所以，即（当且仅当时取等号）．由，得（当且仅当时取等号）．所以（当且仅当时取等号）．再证明．因为，，且与不同时取等号，所以．综上可知，当时，．22. （1）证明：因为是的切线，所以（弦切角定理）．因为，所以，所以．因为（公共角），所以．所以，即．（2）因为是的切线，是的割线，所以（切割线定理）．因为，，所以，．由（1）知，所以．因为，所以．所以．所以．23. （1）由，，可得．因为，，所以曲线的普通方程为（或）．（2）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为曲线：是以为圆心，为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行．即直线与的斜率的乘积等于，即．因为，解得或．所以点的坐标为或．由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为．解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为．因为曲线是以为圆心，为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点．所以点到直线的距离为．因为，所以当时，．此时点的坐标为．24. （1）当时，等价于．当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得．综上所述，不等式的解集为．（2）因为不等式的解集为空集，所以．以下给出两种方法求的最大值．方法1：因为，当时，．当时，<br>\（\[\begin{split}f\left（ x \right） &= x + \sqrt a + x - \sqrt {1 - a} \\&= 2x + \sqrt a - \sqrt {1 - a} < 2\sqrt {1 - a} + \sqrt a - \sqrt {1 - a}\\&= \sqrt a + \sqrt {1 - a}. \end{split}\]\）<br>当时，．所以．方法2：因为<br>\（\[\begin{split}f\left（ x \right）& = \left| {x + \sqrt a } \right| - \left| {x - \sqrt {1 - a} } \right| \\&\leqslant \left| {x + \sqrt a - x + \sqrt {1 - a} } \right|\\&= \left| {\sqrt a + \sqrt {1 - a} } \right|\\&=\sqrt a + \sqrt {1 - a}， \end{split}\]\）<br>当且仅当时取等号．所以．因为对任意，不等式的解集为空集，所以．以下给出三种方法求的最大值．方法1：令，所以．当且仅当，即时等号成立．所以．所以的取值范围为．方法2：令，因为，所以可设，则，当且仅当时等号成立．所以的取值范围为．方法3：令，因为，设则．问题转化为在的条件下，求的最大值．利用数形结合的方法容易求得的最大值为．所以的取值范围为．。

2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学2016.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）若全集U=R ，集合{}124xA x =<<，{}10B x x =-≥，则U A B I ð＝（A ）{}12x x << （B ）{}01x x <≤ （C ）{}01x x << （D ）{}12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i =a b +（A ）3+4i （B ）5+4i （C ）34i - （D ）54i - （3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠” （4）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则()7f =（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98 （5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）()22-， （B ）()40-，（C ）()44--，（D ）()08-，（6）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78（B ）48（C ）60 （D ）72（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个 几何体的体积为 （A（B（C（D（8）已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像 的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 （A ）35- （B ）45- （C ）35 （D ）45（9）若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是（A ）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）[]1,2（10）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =uu r uu r，则此双曲线的离心率为（A（B（C ）2 （D（11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（A ） 150种 （B ） 180种 （C ） 240种 （D ）540种（12）已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =uu r ，则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r的最小值是（A1- （B1 （C1 （D1+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知向量a ，b 满足||4=b ，a 在b 方向上的投影是12，则=a b ． （14）已知()1cos 3θ+π=-，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． （15）102a x ⎫+⎪⎭展开式中的常数项为180，则a = ．（16）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为___________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*n ∈N ，都有()21n n S n a =+． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）若数列4(2)n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ,求证：112n T ≤<.（18）(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（Ⅰ）证明：MN ⊥平面11ADD A ； （Ⅱ）求二面角1A A M N --的余弦值．ABCDPM N A 1B 1C 1D 1（19）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥的离心率e =，且椭圆1C 上一点M 到点()30，Q 的距离的最大值为4． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1016A ⎛⎫⎪⎝⎭，，N 为抛物线22x y C =：上一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于B ，C 两点，求ABC ∆面积的最大值．（21）（本小题满分12分）已知函数()e xf x ax =-（e 为自然对数的底数，a 为常数）在点()0,1处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()x f 的极值； （Ⅱ）证明：当0>x 时，2e x x <；（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有2e x x c <.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E ． （Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=o,NF 与O e 相交于点F ，求NF 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2C ：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数，0a >)． （Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；（Ⅱ）当3a =时，曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+，*m ∈N ，存在实数x 使()2f x <成立． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若,1αβ>，()()2f f αβ+=，求证：4192αβ+≥．参考答案。

2016年广东省广州市高三理科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 不等式组的解集是A. B.C. D.2. 已知，，是虚数单位，若与互为共轭复数，则A. B. C. D.3. 下列说法中正确的是A. “”是“函数是奇函数”的充要条件B. 若，，则，C. 若为假命题，则，均为假命题D. 命题“若，则”的否命题是“若，则”4. 已知在上是奇函数，且满足，当时，，则A. B. C. D.5. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. B. C. D.6. 各项均为正数的等差数列中，，则前项和的最小值为A. B. C. D.7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为的直角三角形，俯视图是半径为的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为A. B. C. D.8. 已知，且，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为A. B. C. D.9. 若实数，满足约束条件则的取值范围是A. B. C. D.10. 过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.11. 将位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这所大学就读，每所大学至少保送人，则不同的保送方法共有A. 种B. 种C. 种D. 种12. 已知的三个顶点，，的坐标分别为，，，为坐标原点，动点满足，则的最小值是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知向量，满足，在方向上的投影是，则．14. 巳知，则．15. 展开式中的常数项为，则．16. 已知为上的连续可导函数，且，则函数的零点个数为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 设为数列的前项和，已知，对任意，都有．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求证：．18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，分别是线段，的中点，过线段的中点作的平行线，分别交，于点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．19. 计划在某水库建一座至多安装台发电机的水电站，过去年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在以上．其中，不足的年份有年，不低于且不超过的年份有年，超过的年份有年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（1）求在未来年中，至多年的年入流量超过的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量发电机最多可运行台数若某台发电机运行，则该台发电机年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台?20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上一点到点的距离的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．21. 已知函数（为自然对数的底数，为常数）的图象在点处的切线斜率为．（1）求的值及函数的极值；（2）证明：当时，．（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有则．22. 如图，于点，以为直径的圆与交于点．（1）求证：；（2）若，点在线段上移动，，与圆相交于点，求的最大值．23. 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数，）．（1）若曲线与曲线有一个公共点在轴上，求的值；（2）当时，曲线与曲线交于，两点，求，两点的距离．24. 已知定义在上的函数，存在实数使成立．（1）求实数的值；（2）若，，求证：．答案第一部分1. C 【解析】本题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，所以，又，所以，解原不等式组实为解不等式．解法一：不等式两边平方得：，所以，即，所以，又．所以，所以，故选C．解法二：因为，所以可分为两种情况讨论：（1）当时，不等式组化为；解得．（2）当时，原不等式组可化为，解得．综合（1）、（2）得，原不等式组的解为，选C．2. D 【解析】由与互为共轭复数，可得，．所以．3. D 【解析】，函数不一定是奇函数，如，所以A错误；若，，则，，所以B错误；，只要有一个是假命题，则为假命题，所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D正确．4. B 【解析】因为，所以函数的周期，又在上是奇函数，所以．5. B【解析】初始值，，，执行程序框图，则，，，，；，，，，；，，，，，此时输出，则输出的结果为．6. D 【解析】，当且仅当时等号成立．7. A 【解析】由题意可知，该几何体是个圆锥，圆锥的底面半径是，高是，故该几何体的体积．8. B 【解析】根据函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得，所以 ．由，且，可得，所以则．9. B【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．令 ，则，当直线经过 点时，； 当直线经过 点时，．故 的取值范围是． 10. C【解析】设，，可取 ，由题意可知点 为 的中点，所以，又点 在直线 上，则， ， ．11. A【解析】先将 人分成三组， ， ， 或 ， ， ，共有种，再将每组学生分到 所学校有 种分法，共有 种不同的保送方法． 12. A 【解析】设 ，则第二部分 13.【解析】 在 方向上的投影是， 设 为 与 的夹角，则，． 14.【解析】由得， 所以．15. 或【解析】展开式的通项为，令，得，又，故．16.【解析】因为，，所以在上单调递增，又，为上的连续可导函数，所以为上的连续可导函数，又，所以在上无零点．第三部分17. （1）因为，当时，，两式相减，得，即，所以当时，，所以．因为，所以．（2）因为，令，，所以．所以因为，所以．因为在上是递减函数，所以在上是递增的，所以当时，取最小值．所以．18. （1）因为，是的中点，所以．由题可知，所以．因为平面，平面，所以．又，在平面内，且与相交于点，所以平面．（2）解法一连接，过点作于点，过点作于点，连接．由（1）知，平面，所以平面平面．所以平面，则，所以平面，则，故为二面角的平面角（设为）．设，则由，，有，，．又为的中点，为的中点，所以，．在中，，在中，．从而，．所以．因为为锐角，所以．故二面角的余弦值为．解法二设．如果，过作平行于，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系（点与点重合）．则，．因为为的中点，所以，分别为，的中点，故，，所以，，．设平面的法向量为，则即故有从而取，则，所以是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则即故有从而取，则，所以是平面的一个法向量．设二面角的平面角为，又为锐角，则．故二面角的余弦值为．19. （1）依题意，，．由二项分布，在未来年中至多有年入流量超过的概率为：（2）记水电站年总利润为（单位：万元），由于水库年入流量总大于，所以至少安装台．①安装台发电机的情形：由于水库年入流量总大于，所以一台发电机运行的概率为，对应的年利润，．②安装台发电机的情形：当时，一台发电机运行，此时，因此．当时，两台发电机运行，此时，因此．所以的分布列如下：所以．③安装台发电机的情形：当时，一台发电机运行，此时，因此．当时，两台发电机运行，此时，此时．当时，三台发电机运行，此时，因此．所以的分布列如下：所以．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装台发电机．20. （1）因为，所以．则椭圆方程为，即．设，则当时，有最大值为．解得，则．所以椭圆的方程是．（2）设曲线上的点，因为，所以直线的方程为，即．将代入椭圆方程中整理，得．则有．且，．所以设点到直线的距离为，则．所以的面积当时取到“”，经检验此时，满足题意．综上，面积的最大值为．21. （1）由，得．因为，所以，所以，，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．（2）令，则．由（1）得，故在上单调递增．所以当时，，即．（3）解法一①若，则．由（2）知，当时，，所以当时，．取，当时，恒有．②若，令，要使不等式成立，只要成立．而要使成立，则只需，即成立．令，则．所以当时，，在内单调递增．取，所以则在内单调递增．又，易知，，，所以，即存在，当时，恒有．综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．解法二对任意给定的正数，取，由（2）知，当时，，所以．当时，．因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．解法三首先证明当时，恒有．令，则．由（2）知，当时，，从而，在上单调递减．所以，即．取，当时，有．因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．22. （1）在中，，于点，所以．由题可知是圆的切线，由切割线定理得．所以．（2）连接，因为，所以．因为线段的长为定值，即只需求解线段长度的最小值．弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点或重合．因此．23. （1）曲线：的普通方程为．曲线与轴的交点为．曲线的普通方程为．曲线与轴的交点为，．由．曲线与曲线有一个公共点在轴上，知．（2）当时，曲线为圆圆心到直线的距离．所以，两点的距离．24. （1）因为．要使不等式有解，则，解得．因为，所以．（2）因为，所以，即，所以（当且仅当，即，时等号成立）故．。

2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则AB =（ ）（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤ 【答案】D 【解析】试题分析：{}{}22002x x x x x B =-≤=≤≤，所以{}01x x A B =≤≤，故选D ．考点：1、一元二次不等式；2、集合的交集． 2.已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：()()()()23133321112i i i i i i z i i i i +-+-+-====-++-，所以复数z 所对应的点()2,1Z -，在第四象限，故选D ．考点：1、复数的除法运算；2、复数的几何意义．3.已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（ ）（A ）12 （B ）15 （C ）15- （D ）12-【答案】C 【解析】试题分析：()()()22226f -=---=，所以()()()1126165f f f -===--，故选C ． 考点：分段函数求值．4.设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B 【解析】试题分析：依题意，得C 2P =PA ，设点P 到C A 的距离为h ，所以∆PAB 与C ∆PB 的面积之比是C1121C 2C 2hS S h ∆PAB∆PB PA⋅PA ===P P ⋅，故选B ．考点：三角形的面积． 5.如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：26πT =，解得：3πT =，因为23ππωT ==，所以6ω=，故选B ． 考点：三角函数的性质．6.执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：第1次运行：2339x =⨯+=，2k =，9100>，否；第2次运行：29321x =⨯+=，4k =，21100>，否；第3次运行：221345x =⨯+=，6k =，45100>，否；第4次运行：245393x =⨯+=，8k =，93100>，否；第5次运行：2933189x =⨯+=，10k =，189100>，是，所以输出10k =．故选C ．考点：程序框图． 7.在平面区域(){},0112x y x y ≤≤≤≤，内随机投入一点P ，则点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率为（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A 【解析】试题分析：作出平面区域，如图所示，其中阴影部分符合2y x ≤，其面积为11111224S =⨯⨯=，正方形的面积为111S =⨯=，所以点P 的坐标(),x y 满足2y x ≤的概率是114S S =，故选A ．考点：1、线性规划；2、几何概型． 8.已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3sin 5α=2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）（A ）（B ） （C （D【答案】B 【解析】试题分析：因为3sin 5α=，2παπ<<，所以4c o s 5α==-，所以sin 124f ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34sin coscos sin44525210ππαα=+=⨯-⨯=-，故选B ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和的正弦公式．9.如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（ ）（A ）10n + （B ）20n + （C ）210n + （D ）220n +【答案】A 【解析】试题分析：抛物线C 的焦点()F 1,0，准线方程是1x =-，由抛物线的定义得：11F 1x P =+，22F 1x P =+，⋅⋅⋅，F 1n n x P =+，所以1212F F F 1nn x x x n n P +P+⋅⋅⋅+P =++⋅⋅⋅++=+，故选A ．考点：抛物线的定义．10.一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）（A ）20π （B （C ）5π （D 【答案】D 【解析】=R =，所以该球的体积为34V R 3π=343π=⨯=⎝⎭D ． 考点：1、六棱柱的外接球；2、球的体积． 11.已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B 【解析】试题分析：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥或//l α，所以1p 是假命题；()22x x f x --=-()()22x x f x -=--=-，所以2p 是真命题；由111x x +=+得：0x =，所以3p 是假命题；a b A >B ⇒>2R sin 2R sin sin sin ⇒A >B ⇒A >B ，所以4p 是真命题．故选B ．考点：1、直线与平面的位置关系；2、函数的奇偶性；3、全称命题与特称命题；4、正弦定理．12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）（A ）8+（B ）8+（C ）2+（D ）1224+【答案】A 【解析】试题分析：该四面体是如图中的三棱锥D C -AB ，D B =AB =，1C A =D AB 的底边D A =的表面积是11242422S =⨯⨯+⨯⨯114822+⨯+⨯+A ．考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.函数()33f x x x =-的极小值为 ． 【答案】2- 【解析】试题分析：()233f x x '=-，令()0f x '=得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以当1x =时，函数()f x 有极小值，且极小值是()311312f =-⨯=-．考点：导数研究函数的极值．14.设实数x ，y 满足约束条件230,230,3x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则23z x y =-+的取值范围是 ．【答案】[]6,15- 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：由23z x y =-+可得233z y x =+表示的是斜率为23，截距为3z 的平行直线系．当截距最大时，z 最大，当截距最小时，z 最小．当过直线230x y --=与直线230x y +-=的交点()3,0A 时，截距最小，min 2306z =-⨯+=-，当过直线230x y +-=与直线3x =-的交点()3,3B -时，截距最大，()max 233315z =-⨯-+⨯=，所以23z x y =-+的取值范围是[]6,15-． 考点：线性规划．15.已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为 ．【答案】12【解析】试题分析：由题意得：(),0a A -，()F ,0c ，所以(),a b BA =--，()F ,c b B =-，因为F 0BA⋅B =，所以20b ac -=，因为222b c a =-，所以220c ac a --=，两边同除以2a ，得210e e --=，解得：e =（舍去）或e =． 考点：1、双曲线的简单几何性质；2、平面向量的坐标运算．16.在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =，则AD 的长为 ． 【答案】5考点：余弦定理．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（I ）2n n a =；（II ）()16232n n n +T =+-⨯．【解析】试题分析：（I ）设数列{}n a 的公比，由题意列出关于q 的方程，解出q ，进而可得数列{}n a 的通项公式；（II ）先求出数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可得数列{}n n a b 的前n 项和n T ．试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ， 因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分 所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分 考点：1、等比数列的通项公式；2、数列求和． 18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[)45,65内的概率．【答案】（I ）0.05；（II ）23． 【解析】试题分析：（I ）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1可得这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（II ）先算出落在区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的产品件数，再列举出从6件产品中任意抽取2件产品的基本事件和这2件产品都在区间[)45,65内的基本事件，进而利用古典概型公式可得这2件产品都在区间[)45,65内的概率． 试题解析：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++⨯+++=，……………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1． 用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，则在区间[)45,55内应抽取0.3630.30.20.1⨯=++件，记为1A ，2A ，3A ．在区间[)55,65内应抽取0.2620.30.20.1⨯=++件，记为1B ，2B ． 在区间[)65,75内应抽取0.1610.30.20.1⨯=++件，记为C ．…………………6分 设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[)45,65内”为事件M ，则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种．…………………………………………………………………8分事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种．…………10分所以这2件产品都在区间[)45,65内的概率为102153=．………………………12分考点：1、频率分布直方图；2、古典概型；3、分层抽样． 19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面1ACO ； （Ⅱ）若60BAD ∠=，求点C 到平面1OBB 的距离．【答案】（I ）证明见解析；（II ． 【解析】试题分析：（I ）由题意可证1D A O ⊥B ，C D O ⊥B ，进而可证D B ⊥平面1C A O ；(II)先将点1B 到平面CD AB 的距离转化为点1A 到平面CD AB 的距离，再利用等积法可得点C 到平面1OBB 的距离．试题解析：（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AO ⊥BD ．……………………………………………………………………1分 因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．……………………………………………2分 因为1AO CO O =，1AO ，CO ⊂平面1ACO ， 所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，ACBD O =，21==AA AB ，60BAD ∠=，所以1OB OD ==，OA OC =4分所以OBC ∆的面积为112212OBC S OB OC ∆==⨯=⨯⨯5分 因为1AO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， 所以1AO AO ⊥，11AO ==．………………………………………6分因为11A B 平面ABCD ，所以点1B 到平面ABCD 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离1AO ．…………7分 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面1A AC ．因为1A A ⊂平面1AAC ，所以BD ⊥1A A ． 因为11A AB B ，所以BD ⊥1B B ．………………………………………………8分所以△1OBB 的面积为111121212OBB S OB BB ∆=⨯⨯==⨯⨯．……………………9分 设点C 到平面1OBB 的距离为d ， 因为11C OBB B OBC V V --=，所以111133OBB OBC S d S A O D D =gg ．………………………………………………10分所以111212OBC OBBS AO d S ∆∆⋅===所以点C 到平面1OBB的距离为2．……………………………………………12分 解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面1ACO ， 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D ．…4分 连接11AC 与11B D 交于点1O ，连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ，所以11CAAC 为平行四边形． 又O ，1O 分别是AC ，11AC 的中点，所以11OAO C 为平行四边形． 所以111OC OA ==．…………………………………………………………………6分 因为平面11OAO C 与平面11BB D D 交线为1OO ， 过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．………………………………8分 因为11O CA O ，1AO ⊥平面ABCD ，所以·1O C ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，所以·1O C ⊥OC ，即△1OCO 为直角三角形．………10分所以1122O C OC CH OO ⋅===．所以点C 到平面1OBB212分考点：1、线面垂直；2、点到平面的距离． 20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）22184x y +=；(II)()2,0或()2,0-．解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b +=． ②…………………2分由①②解得，a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分（Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =0y =6分所以直线AE的方程为y x =+．……………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛ ⎝．……………………8分同理可得点N ⎛ ⎝．…………………………………………………9分 假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．………10分即20t =，即240t -=．………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．…………12分解法二： 因为椭圆C 的左端点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --． 所以直线AE的方程为y x =+．………………………………6分 因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．……………………………7分同理可得点N ⎛ ⎝．……………………………………………………8分 假设在x 轴上存在点(),0P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．即20t =，即222808y t x +=-． （※）…………9分 因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=，即220082x y -=．……………………………………………10分将220082x y -=代入（※）得240t -=．………………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．………………12分解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．……6分所以直线AE的方程为y x =+．………………………7分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………8分同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………9分假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=．………10分 即22sin 2sin 0cos 1cos 1t θθθθ--+⨯=+-，即240t -=．…………………………………11分解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角．………12分考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的简单几何性质；3、直线与圆锥曲线的位置关系． 21.（本小题满分12分）已知函数()e ln 1x f x m x =--.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()1f x >. 【答案】（I ）()1y e x =-（II ）证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先代入1m =，对()f x 求导数，再算出()1f '，()1f ，进而可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（II ）先构造函数()ln 2xg x e x =--，再利用导数可得()g x 的最小值，，进而可证当1m ≥时，()1f x >．试题解析：（Ⅰ）解：当1m =时，()e ln 1x f x x =--，所以1()e x f x x'=-．………………………………………………………………1分 所以(1)e 1f =-，(1)e 1f '=-. …………………………………………………2分 所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x --=--． 即()e 1y x =-.………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：当1m ≥时，()e ln 1e ln 1x xf x m x x =--≥--.要证明()1f x >，只需证明e ln 20xx -->.……………………………………4分 以下给出三种思路证明e ln 20xx -->.思路1：设()e ln 2xg x x =--，则1()e x g x x'=-. 设1()e xh x x =-，则21()e 0xh x x'=+>， 所以函数()h x =1()e xg x x'=-在0+∞（，）上单调递增．…………………………6分因为121e 202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，所以函数1()e xg x x '=-在0+∞（，）上有唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.…………8分 因为0()0g x '=时，所以01ex x =，即00ln x x =-.………………………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()000001()=e ln 220xg x g x x x x ≥--=+->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 思路2：先证明e 1xx ≥+()x ∈R ．………………………………………………5分 设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-．因为当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以当0x <时，函数()h x 单调递减，当0x >时，函数()h x 单调递增． 所以()()00h x h ≥=．所以e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．………………………………………7分 所以要证明e ln 20xx -->，只需证明()1ln 20x x +-->．……………………………………………………8分 下面证明ln 10x x --≥． 设()ln 1p x x x =--，则()111x p x x x-'=-=． 当01x <<时，()0p x '<，当1x >时，()0p x '>，所以当01x <<时，函数()p x 单调递减，当1x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()10p x p ≥=．所以ln 10x x --≥（当且仅当1x =时取等号）．………………………………10分由于取等号的条件不同， 所以e ln 20xx -->．综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分 （若考生先放缩ln x ，或e x、ln x 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e ln 2xx ->.因为曲线e x y =与曲线ln y x =的图像关于直线y x =对称，设直线x t =()0t >与曲线e xy =，ln y x =分别交于点A ，B ，点A ，B 到直线y x = 的距离分别为1d ，2d ，则)12AB d d +． 其中1t d =2d =()0t >．①设()e t h t t =-()0t >，则()e 1t h t '=-． 因为0t >，所以()e 10t h t '=->．所以()h t 在()0,+∞上单调递增，则()()01h t h >=．所以1t d =>． ②设()ln g t t t =-()0t >，则()111t g t t t -'=-=．因为当01t <<时，()0g t '<；当1t >时，()0g t '>，所以当01t <<时，()ln g t t t =-单调递减；当1t >时，()ln g t t t =-单调递增． 所以()()11g t g ≥=．所以2d =≥所以)122AB d d +>=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >.………………………………………………12分证法二：因为()e ln 1x f x m x =--，要证明()1f x >，只需证明e ln 20xm x -->.…………………………………4分以下给出两种思路证明e ln 20xm x -->.思路1：设()e ln 2x g x m x =--，则1()e xg x m x'=-. 设1()e xh x m x =-，则21()e 0xh x m x'=+>． 所以函数()h x =()1e xg x m x'=-在()0+∞，上单调递增．……………………6分因为11221e 2e 202m mg m m m m ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1e 10g m '=->，所以函数1()e xg x m x '=-在()0+∞，上有唯一零点0x ，且01,12x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭.……8分 因为()00g x '=，所以01ex m x =，即00ln ln x x m =--．……………………9分 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>.所以当0x x =时，()g x 取得最小值()0g x ．……………………………………10分 故()()000001e ln 2ln 20xg x g x m x x m x ≥=--=++->． 综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln 1(0)x x x ≤+>．……………………5分 设()e 1xF x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1xx ≥+（当且仅当0x =时取等号）．……………7分 由e 1()x x x ≥+∈R ，得1ex x -≥（当且仅当1x =时取等号）．………………8分所以ln 1(0)x x x ≤->（当且仅当1x =时取等号）．……………………………9分 再证明e ln 20xm x -->．因为0x >，1m ≥，且e 1xx ≥+与ln 1x x ≤-不同时取等号，所以()()e ln 2112x m x m x x -->+---()()11m x =-+0≥．综上可知，当1m ≥时，()1f x >．………………………………………………12分 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究函数的最值；4、不等式的证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE CA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3．【解析】（I ）利用弦切角定理和D //C E A 证D ∆AE ∽D ∆EB ，进而可证2D E =AE⋅BE ；（II ）先利用切割线定理可得EB 和AB ，利用（I ）的结论可得D E ，再由D //C E A 可得C ∆BA ∽D ∆EB ，进而可得C A ．试题分析：试题解析：（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线， 所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）．………………1分 因为DECA ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2分 所以EDA B ∠=∠．因为AED DEB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB = （切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分所以BA ACBEED =．所以6438BA EDAC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分考点：1、相似三角形的判定定理；2、弦切角定理；3、切割线定理． 23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l：32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.【答案】（I ）2220x y y +-=（或()2211x y +-=）；（II）32⎫⎪⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（I ）先两边同乘ρ得22sin ρρθ=，再利用222x y ρ=+，sin y ρθ=可得曲线C 的直角坐标方程；（II ）先消去t 可得直线l 的普通方程，再设点D 的坐标，利用垂直可得0x ，进而检验可得点D 的坐标．试题解析：（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分（Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短， 所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行． 即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得02x =-或02x =．所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分由于点D 到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分解法二：因为直线l 的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l 50y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分所以点D 到直线l 的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分此时D 32⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分 考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化． 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()f x x x =+-． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．【答案】（I ）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（II ）)+∞．【解析】试题分析：（I ）先代入1a =得()1f x x x =+-，写出分段函数，再求解()12f x ≥，进而可得实数x 的取值范围；(II)先由已知条件得()max b f x >⎡⎤⎣⎦，再利用绝对值不等式可得()f x 的最大值，进而利用基本不等式可得实数b 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<；③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分 以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()f x x x =+- ()01a ≤≤，当x ≤()f x x x =-=0<．当x <时，()f x x x =2x =≤=当x ≥()f x x x =+=所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分思路2：因为 ()f x x x =x x ≤+==当且仅当x ≥ 所以()max f x ⎡⎤⎣⎦=7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，所以max b >．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()g a =.思路1：令()g a = 所以()21ga =+2212≤++=．=12a =时等号成立． 所以()max g a =⎡⎤⎣⎦所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路2：令()g a =因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ= 02θπ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭， 则()g a=cos sin 4θθθπ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4θπ=时等号成立． 所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分思路3：令()g a =因为01a ≤≤，设x y ìï=ïíï=ïî则221x y +=()01,01x y＃＃．问题转化为在221x y +=()01,01xy ＃＃的条件下，求z x y =+的最大值．利用数形结合的方法容易求得z此时2x y ==．所以b的取值范围为)∞．…………………………………………………10分考点：1、绝对值不等式；2、恒成立问题；3、基本不等式．。

2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则AB =（A ）{}12x x -≤≤ （B ）{}10x x -≤≤ （C ）{}12x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤答案：D解析：集合A ＝{}11x x ≤≤－，集合B ＝{}2x x ≤≤0，所以，A B ={}01x x ≤≤。

（2）已知复数3i1iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限答案：D 解析：(3)(1)22i i z i +==－－，对应坐标为（2，－1），在第四象限。

（3）已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为（A ）12 （B ）15 （C ）15- （D ）12-答案：C解析：2f （－）＝4＋2＝6，11((2))(6)165f f f -===--，选C 。

（4）设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34答案：B解析：依题意，得：CP ＝2PA ，设点P 到AC 之间的距离为h ，则△PAB 与△PBC 的面积之比为1212BPA BCPPA h S S PC h ∆∆==12（5）如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 答案：B解析：依题意，得：周期T ＝3π，23ππω=，所以，ω＝6。

2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)若全集U=R ,集合{}124xA x =<<,{}10B x x =-≥,则U A B I ð＝(A){}12x x << (B){}01x x <≤ (C){}01x x << (D){}12x x ≤< (2)已知,a b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则()2i =a b +(A)3+4i (B)5+4i (C)34i - (D)54i - (3)下列说法中正确的是(A)“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件(B)若2000:,10p x x x ∃∈-->R ,则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R(C)若p q ∧为假命题,则p ,q 均为假命题(D)命题“若6απ=,则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠,则1sin 2α≠”(4)已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =,则()7f =(A) 2 (B)2- (C)98- (D)98 (5)执行如图所示的程序框图,输出的结果为(A)()22-， (B)()40-，(C)()44--，(D)()08-，(6)各项均为正数的等差数列{}n a 中,3694=a a ,则前12项和12S 的最小值为(A)78 (B)48 (C)60(D)72(7)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形,俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径,则这个 几何体的体积为π(8)已知3sin 5ϕ=,且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，,函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像 的相邻两条对称轴之间的距离等于2π,则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 (A)35- (B)45- (C)35 (D)45(9)若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是(A)2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B)13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)[]1,2(10)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,垂足为点A ,与另一条渐近线交于点B ,若2FB FA =uu r uu r,则此双曲线的离心率为(C)2(11)将5位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这3所大学就读,每所大学至少保送1人,则不同的保送方法共有(A) 150种 (B) 180种 (C) 240种 (D)540种 (12)已知ABC ∆的三个顶点A ,B ,C 的坐标分别为())()0,1,0,0,2-,O 为坐标原点,动点P 满足1CP =uu r,则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r 的最小值是1111俯视图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.(13)已知向量a ,b 满足||4=b ,a 在b 方向上的投影是12,则=a b . (14)已知()1cos 3θ+π=-,则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .(15)102a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180,则a = .(16)已知()y f x =为R 上的连续可导函数,且()()0xf x f x '+>,则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为___________.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知12a =,对任意*n ∈N ,都有()21n n S n a =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若数列4(2)n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为nT ,求证:112n T ≤<.(18)(本小题满分12分)如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,过线段AD 的中点P 作BC 的平行线,分别交AB ,AC 于点M ,N . (Ⅰ)证明:MN ⊥平面11ADD A ； (Ⅱ)求二面角1A A M N --的余弦值.ABCDPMN A 1B 1C 1D 1(19)(本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(Ⅰ)求在未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制,并有如下关系；若某台发电机运行,则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行,则该台发电机年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台？(20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥的离心率2e =,且椭圆1C 上一点M到点()30，Q 的距离的最大值为4. (Ⅰ)求椭圆1C 的方程；(Ⅱ)设1016A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,N 为抛物线22x y C =：上一动点,过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于B ,C 两点,求ABC ∆面积的最大值.(21)(本小题满分12分)已知函数()e xf x ax =-(e 为自然对数的底数,a 为常数)在点()0,1处的切线斜率为1-.(Ⅰ)求a 的值及函数()x f 的极值； (Ⅱ)证明:当0>x 时,2e xx <；(III)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当()∞+∈，0x x ,恒有2e xx c <.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E . (Ⅰ)求证:BC CE AD DB ⋅=⋅；(Ⅱ)若4BE =,点N 在线段BE 上移动,90ONF ∠=o,NF 与O e 相交于点F ,求NF 的最大值.(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与曲线2C :cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数,0a >).(Ⅰ)若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上,求a 的值；(Ⅱ)当3a =时,曲线1C 与曲线2C 交于A ,B 两点,求A ,B 两点的距离.(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+,*m ∈N ,存在实数x 使()2f x <成立. (Ⅰ)求实数m 的值；(Ⅱ)若,1αβ≥,()()4f f αβ+=,求证:413αβ+≥.2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题(1)C (2)A (3)D (4)B (5)B (6)D (7)A (8)B(9)B(10)C(11)A(12)A二.填空题(13)2(14)79-(15)2或2-(16)0(其中第15题中,答对2个给5分,答对1个给3分)三.解答题(17)证明:(Ⅰ)因为()21n n S n a =+,………………………………………………………………1 分当2≥n 时,112n n S na --=,两式相减,得()121n n n a n a na -=+-, ………………………………………………………2 分 即()11n n n a na --=, 所以当2≥n 时,11n n a a n n -=-. ………………………………………………………3分 所以11n a a n =. ………………………………………………………4分 因为12a =,所以2n a n =. ………………………………………………………5 分 (Ⅱ)因为2n a n =,4(2)n n n b a a =+,*∈N n ,所以41112(22)(1)1n b n n n n n n ===-+++. ………………………………………………………7分所以12n n T b b b =+++1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1111n n n -=++. ………………………………………………………9分 因为101n >+,所以1111n -<+.………………………………………………………10 分 因为()11f n n =+在*N 上是单调递减函数,所以111n -+在*N 上是单调递增函数.所以当1n =时,n T 取最小值21. ………………………………………………………11 分所以112n T ≤<. ………………………………………………………12 分(18)(Ⅰ)证明:因为AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥.因为M ,N 分别为AB ,AC 的中点,所以MN BC . ……………………………………1 分所以MN AD ⊥. ………………………………………………………2分因为1AA ⊥平面ABC ,MN ⊂平面ABC ,所以1AA ⊥MN .…………………………………3分又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交, 所以MN ⊥平面11ADD A . ………………………………………………………4 分(Ⅱ)解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E , 过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由(Ⅰ)知,MN ⊥平面1AEA , 所以平面1AEA ⊥平面1AMN . 所以AE ⊥平面1AMN ,则1A M AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A AM N --的平面角(设为θ). ………………………………………6 分 设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==.A BCDP M N A 1B 1C 1D 1F E又P 为AD 的中点,则M 为AB 的中点,所以1,12AP AM ==. 在1Rt AA P,1AP =在1Rt A AM 中,1AM =………………………………8 分 从而1155AA AP AE A P ==,1122AA AM AF A M ==. ………………………………………10 分 所以sin AE AF θ==. ………………………………………………………11 分因为AFE ∠为锐角,所以cos 5θ===. 故二面角1AAM N --的余弦值为5. ………………………………………………………12 分 解法二: 设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,AE AD ,1A A 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz -(点O 与点1A 重合). ………………5 分 则()10,0,0A ,()0,0,1A .因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,故11,1,,12222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以131,12A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,()3,0,0NM =. (6)分设平面1AAM 的法向量为()1111,,x y z =n , 则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 故有()()()1111111,,,10,2,,0,0,10.x y z x y z ⎧⎫∙=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪∙=⎩…………………………7分 从而111110,220.x y z z ++=⎪⎨⎪=⎩取11x =,则1y =, 所以()11,=n 是平面1AAM 的一个法向量. ……………………………………………8 分1C设平面1AMN 的法向量为()2222,,x y z =n , 则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 故有()())2222221,,,10,22,,0.x y z x y z ⎧⎛⎫∙=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪∙=⎪⎩ ………………………9分从而222210,20.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y =,则21z =-, 所以()20,2,1=-n 是平面1AMN 的一个法向量. ……………………………………………10 分 设二面角1A AM N --的平面角为θ,又θ为锐角, 则1212cos θ∙=∙n n n n ………………………………………………………11 分5==. 故二面角1A AM N --. ………………………………………………………12 分(19)解:(I)依题意1101(4080)505P P X =<<==, 2357(80120)5010P P X =≤≤==,351(120)5010P P X =>==. ……………………………3分 由二项分布,在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为:43041343433991C (1)C (1)4101010P P P P ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………4 分94770.947710000==.………………………………………………………5分(Ⅱ)记水电站年总利润为Y (单位:万元),由于水库年入流量总大于40,所以至少安装1台. ………………………………………………6 分 ①安装1台发电机的情形:由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,对应的年利润5000=Y ,500015000EY =⨯=. ……………………………………………7分②安装2台发电机的情形:当8040<<X 时,一台发电机运行,此时42008005000=-=Y , 因此1(4200)(4080)0.2P Y P X P ==<<==.当80≥X 时,两台发电机运行,此时1000025000=⨯=Y , 因此23(10000)(80)0.8P Y P X P P ==≥=+=. 所以Y 的分布列如下:所以42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=. ………………………………………………9分 ③安装3台发电机的情形:当8040<<X 时,一台发电机运行,此时500080023400Y =-⨯=, 因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P .当12080≤≤X 时,两台发电机运行,此时920080025000=-⨯=Y , 此时7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P .当120>X 时,三台发电机运行,此时1500035000=⨯=y , 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P . 所以Y 的分布列如下:所以86201.0150007.092002.03400=⨯+⨯+⨯=EY . ……………………………………11 分 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装2台发电机.………………………12 分(20)解:(Ⅰ)因为22222234c a b e a a -===,所以224a b =.……………………………………1 分 则椭圆方程为,142222=+by b x 即22244x y b +=.设),(y x M ,则MQ == 124)1(394632222+++-=++--=b y b y y .……………………3 分当1-=y 时,||MQ 有最大值为41242=+b .………………………………………4分解得21b =,则24a =.所以椭圆1C 的方程是1422=+y x . ………………………………………………………5 分 (Ⅱ)设曲线C :2y x =上的点2(,)N t t ,因为2y x '=,所以直线BC 的方程为:222),(2t tx y t x t t y -=-=-即. ①…………………………6 分将①代入椭圆方程1422=+y x 中整理, 得04416)161(4322=-+-+t x t x t . ………………………………………………………7分则有)116(16)44)(161(4)16(244223++-=-+-=∆t t t t t .且2421232116144,16116t t x x t t x x +-=+=+. 所以2122122124)(41||41||x x x x t x x t BC -++=-+=2242161116414t t t t +++-+=. ………………………………………………………8分 设点A 到直线BC 的距离为d ,则2d =.…………………………………………9 分所以ABC ∆的面积2211||22116S BC d t ==∙+……………10 分== 当22±=t 时取到“=”,经检验此时0>∆,满足题意. …………………………………11 分综上,ABC ∆面积的最大值为865. ………………………………………………………12分(21)(I)解:由()e x f x ax =-,得'()e x f x a =-.因为(0)11f a '=-=-,所以2a =. ………………………………………………………1 分 所以()e 2x f x x =-,'()e 2x f x =-.令'()0f x =,得ln 2x =. ………………………………………………………2 分当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为ln2(ln 2)e 2ln 22ln 4,()f f x =-=-无极大值.………………………………………………………4分(Ⅱ)证明:令2()e x g x x =-,则'()e 2x g x x =-.由(I)得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>,故()g x 在R 上单调递增. ……………………………5分 所以当0x >时,()(0)10g x g >=>,即2e x x <. ……………………………………………6 分 (Ⅲ)证明一:①若1c ≥,则e e x x c ≤. ………………………………………………………7分由(Ⅱ)知,当0x >时,2e x x <.所以当0x >时, 2e x x c <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. ……………………………………………………8分 ②若01c <<,令11k c =>, ………………………………………………………9 分 要使不等式2e x x c <成立,只要2e x kx >成立.而要使2e x kx >成立,则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--,则22'()1x h x x x-=-=. 所以当2x >时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增.取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+,易知ln ,ln 2,50k k k k >>>.所以0()0h x >.即存在016x c=,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. …………………………11 分综上,对任意给定的正数c ,总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. …………………12 分 证明二:对任意给定的正数c ,取0x =, ……………………………………………………8分 由(Ⅱ)知,当0x >时,2e x x >,所以2222e e e 22xx x x x ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………10分 当0x x >时,222241e 222x x x x x c c⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此,对任意给定的正数c ,总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. …………………12分 证明三:首先证明当()0,x ∈+∞时,恒有31e 3x x <. 令()31e 3x h x x =-,则()2e x h x x '=-. 由(Ⅱ)知,当0x >时,2e x x >,从而()0h x '<,()h x 在()0,+∞上单调递减。