转化与化归思想

专题三：转化与化归思想【考情分析】转化与化归思想在中考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。

数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力。

【知识交汇】转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。

1．转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

2．常见的转化方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。

常见的转化方法有：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（3．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

浅谈转换与化归思想转化思想就是数学中的一种基本却很重要的思想。

深究起来,转化两字中包含着截然不同的两种思想,即转换与化归。

这两者其实表达了不同的思想方法,可以说就是思维方式与操作方法的区别。

一、 转换思想(1)转换思想的内涵转换思想就是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化,能跳出现有领域的局限,联系相关领域,并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。

要做到这一点,对思维能力的要求相对更高,必须对各个领域分别都有透彻的了解,更必须对各领域之间的联系有较多的研究,在关键时刻才能随心所欲地运用。

(2)转换思想在同一学科中的应用转换思想可以就是在同一学科的不同知识模块之间的变换,在解决问题时改变解题方向。

象数学学科中,数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。

比如,函数、方程、不等式就是代数中的三大重要问题,而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其她模块的各类问题。

不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决,或者就是二次方程根的分布,也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。

再比如,数列问题用函数观点来解释,那更就是我们数学课堂中一再强调的问题了。

瞧这样一个问题:已知:11122=-+-a b b a ,求证:122=+b a 。

[分析] 这就是一个纯粹的代数证明问题,条件的变形就是比较艰难的,所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。

再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式,稍加联系,我们完全可以想到:21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现,它们呈现出完全类似的规律性。

[解答]由题意1≤a 、1≤b ,则可设αsin =a ,αcos =b ,πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ,0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了就是发现了不同知识模块中的类似规律,加以利用得到新的思路,本题的题设与结论中都没有出现三角函数的形式,最终却必须引进三角函数加以解决,思维已经具有跳跃性,对一般学生来说解决起来还就是比较棘手的。

4 转化与化归思想主线—基础—方法—应用—例题—注意—总结知识清单：知识1 转化与化归思想概述知识2 转化与化归的原则知识1 转化与化归思想概述所谓化归思想就是通过转化，使所要解决的问题由难变易或变为已经解决的问题，以有利于解决的一种数学思想。

化归思想常常以变换题目的结构形状、变更问题、从反面探究结论等方式出现，前面所介绍的函数思想、方程思想、数形结合、分类讨论等都是重要的化归方法。

知识2 转化与化归的原则（1）目标简化原则将复杂的问题向简单的问题转化。

（2）和谐统一性原则即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当。

（3）具体化原则即化归方向应由抽象到具体。

（4）低层次原则即将高维空间问题化归成低维空间问题。

（5）正难则反原则即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

方法清单：方法1 直接转化法方法2 换元转化法方法3 数形结合法转化方法4 构造法转化方法5 坐标法转化方法6 补集法转化方法7 空间与平面间的转化方法8 几何条件转化为向量关系的方法方法9 变更主元的转化法方法10一般式转化为标准式方法1 直接转化法把原问题转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

例1函数y=1+a x(0<a<1)的反函数的图象大致是（）方法2 换元转化法运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

例2 设20≤≤x ，求函数523421+⋅-=-x x y 的最大值和最小值。

方法3 数形结合法转化研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）的关系，通过互相变化获得转化途径。

例3 已知1,0,0=+≥≥b a b a ，求证225)2()2(22≥+++b a 方法4 构造法转化 “构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

转化与化归思想化归与转化的思想是指在解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，一般情况，总是将未解决的问题化归转化为已解决的问题.化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，也是在解决数学问题过程中无处不存在的的基本思想方法，各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.高考中十分重视对化归与转化思想的考查，要求考生熟悉化归与转化各种变换方法，并有意识地运用变换方法解决有关的数学问题.化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易知的易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决.题例1题例2 比较下图面积大小题例3回忆：我们在推导图形的面积或体积公式时用过哪些转化策略？题例1用分数表示各图中的涂色部分（ ）（ ）圆面积推导题例4 把一个圆剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长是33.12cm，求阴影部分的面积．练习一1.1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90=2.在一列数2，7，14，23，……中的第十个数为＿＿＿＿。

3.两数相除，商是4余数是8，被除数，除数，商和余数的和是415，则被除数是多少?4.一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示为。

5.小明卖出一批苹果得到一笔钱。

如果小明多卖出10个苹果且所得到的钱的总数相同的话，则每个苹果的售价将比原售价少2元。

如果小明少卖出10个苹果且所得到的钱的总数相同的话，则每个苹果的售价将比原售价多4元。

请问a) 小明卖出几个苹果？b) 每个苹果原来的售价是多少元？6. 五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？7. P 、Q 两城市相距625公里，小华从P 市于上午5:30出发，以每小时100公里之速度驶向Q 市。

转化与化归思想转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。

转化与化归的基本类型：（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则。

（2）常量与变量的转化，即在处理多元问题时，选取其中的常量（或参数）当“主元”，其它的变量看作常量。

（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直接的反应函数或方程中变量之间的关系。

（4）数学各分支之间的转化，如利用向量法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等。

（5）相等与不等之间的转化。

（6）实际问题与数学模型的转化。

[例1]对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；②若x1 D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去。

现定义f（x）=（1）若输入x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn4，x3=f（x2）x1且1xn（n∈N*）综上所述，x1∈（1，2）由x1=f（x0），得x0∈（1，2）。

[例2]设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图像分别交于点M，N，则MN的最小值为（）A. （1+ln3）B. ln3C. （1-ln3）D.ln3-1解析：如图，MN=x3-lnx，令h（x）=x3-lnx，则h（x）=3x3- = ，令h（x）=0，解得x= ，當0 时，h（x）>0，h（x）单调递增；所以当x= 时，h（x）取最小值，即MN=h（x）=h 。

转化与化归的数学思想一、转化与化归思想的含义化归指的是转化与归结．简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想．即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的这种解决问题的思想，称为化归思想．化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程．数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化；空间向平面的转化；高次向低次的转化；多元向少元的转化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现．化归思维模式：问题→新问题→解决新问题→解决原问题.化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

二、化归思想的解题途径1、一般与特殊的转化21(0)11,2.243y ax a F P Q PF FQ p q p q A a B a C a D a =>+例　过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，若线段、的长分别为、则的值为（　）2.具体与抽象的转化.把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的理解和再认识,在抽象.例2、设函数 的定义域为D ，若所有点 构成一个正方形区域，则a 的值为A ．-2B ．-4C ．-8D ．不能确定3. 正面与反面的转化在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。

转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．【例】(1)(2016·洛阳模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( ) A.12B.22C.32D.232(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．转化与化归思想在解题中的应用1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f ′(x )构成的方程．[变式训练] (1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与B 1D 1所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为1，则四面体B -EB 1D 1的体积为________．(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．课后练习题组1 正与反的相互转化1．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．22．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.15B ．35 C.710 D ．9103．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________.4．若椭圆x 22＋y 2＝a 2(a ＞0)与连接两点A (1,2)，B (3,4)的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为________．5．已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB |最大时，求证：A ，B 两点关于原点O 不对称.题组2 函数、方程、不等式之间的转化6．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f (x )单调递增，则不等式f (x ＋1)＞f (1－2x )的解集为________.8．(本小题满分12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1成立.题组3 主与次的相互转化9．设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________.10．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．11．已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (0＜a ＜1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围.。

一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。

化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。

转化有等价转化与不等价转化。

等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。

常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。

2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。

3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。

4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。

5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。

6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。

7、函数与方程的转化 二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。