广东省深圳市2018-2019学年高一下学期期中考试理科数学试卷及答案解析

试卷第1页，共6页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

广东省深圳市2018-2019学年高一下学期期中考试

理科数学试题

评卷人 得分

一、选择题

1、如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）

2、直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．

3、已知倾斜角为的直线经过，两点，则（ ）

A． B． C． D．

4、点O在所在平面内，给出下列关系式：

（1）；（2）；

（3）；

（4）。则点O依次为的（ ）

A．内心、外心、重心、垂心 B．重心、外心、内心、垂心

C．重心、垂心、内心、外心 D．外心、内心、垂心、重心

5、过点且倾斜角为的直线方程为（ ）

试卷第2页，共6页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

A．

B．

C．

D．

6、下列四个命题中正确的是（ ）

①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。

A．①和③

B．①和④

C．①②和④

D．①③和④

7、如图，平面平面，与两平面所成的角分别为和，过分别作两平面交线的垂线，垂足为，若，则（ ）

8、已知两条直线和两个不同平面，满足，,,,则（ ）

A． B． C． D．

9、已知向量，，若，则的值为

A． B． C． D．

10、某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形如图②，其中则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

试卷第3页，共6页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

11、已知向量满足，，则（

）

A．

B． C． D．2

12、已知是正三角形ABC内部一点，且,则的面积与的面积之比为 （

）

A．

B．

C．2 D．5

评卷人 得分

二、填空题

13、设、是单位向量，其夹角为．若的最小值为，其中。则______。

14、直线的倾斜角等于_________。

15、如图，在直三棱柱中， ，则异面直线与所成角的余弦值是____________。

16、在棱长为1 的正方体中，以A为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为___________。

评卷人 得分

三、解答题

17、已知向量，。

（1）求与的夹角的余弦值；

（2）若向量与平行，求的值。

试卷第4页，共6页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

18、已知向量，向量与向量的夹角为，且求向量

设向量，向量，其中，若试求的取值范围。

19、已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为2的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点。

（1）证明：DN//平面PMB；

（2）证明：平面 PMB平面PAD；

（3）求二面角P-BC-D的余弦。

试卷第5页，共6页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

20、已知直线的方程为

（1）若直线与平行且过点，求直线的方程；

（2）若直线与垂直，且与两坐标轴围成三角形面积为3, 求直线的方程。

21、如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且。

（1）证明：；

（2）求面与面所成锐二面角的正切值；

（3）若，当为何值时， 平面。

试卷第6页，共6页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

22、如图，在正三棱柱中，M为AB的中点，N为的中点，与的交点为。 （1）求证： ； （2）求直线CM与平面所成角的正弦值。

参考答案（附答案解析）

1、B 2、B 3、A 4、C 5、B 6、B 7、C 8、D 9、C 10、D 11、C 12、A 13、或 14、 15、 16、 17、（1）；（2） 18、（1）或;（2）.

19、（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析 20、（1）；（2）. 21、（1）见解析；（2）3；（3）见解析. 22、（1）见解析；（2）.

答案解析

【解析】

1、试题分析：棱看不到，故为虚线；棱AM可以看到，故为实线；显然正视图为答案B。

考点：三视图。

2、试题分析：由于确定，所以当时，三棱锥体积取最大值，此时由于所以因此而，从而，即，因此中点到A,B,D三点距离相等，又所以中点到A,B,C三点距离相等，从而中点到A,B,C,D四点距离相等，即为外接球的直径，所以外接球的体积为选B.

考点：三棱锥外接球

3、试题分析：根据直线斜率坐标公式，可知，解得，故选A．

考点：直线的斜率做报表公式．

4、考点：三角形五心．

分析：根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出O点在△ABC中的特殊位置，即可得到答案．

解答：解：由三角形“五心”的定义，我们可得：

（1）时，O为△ABC的重心；

（2）时，O为△ABC的垂心；

（3）时，O为△ABC的内心；

（4）时，O为△ABC的外心；

故选C

点评：本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置“特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握．

5、倾斜角为的直线斜率为.

利用点斜式可得.

整理得.

故选B.

6、若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，

这是面面垂直的判定定理，故①正确

若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，

这里缺少了相交的条件，故②不正确，

垂直于同一平面的两个平面也可以相交，故③不正确，

若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；④正确

总上可知①和④正确，

故选B.

7、连接，如下图所示：

∵AB与两平面α、β所成的角分别为和

即，

又∵

∴

∴

故选C.

8、两条直线m,n和两个不同平面α,β,满足α⊥β,α∩β=l,m∥α，n⊥β，则m，n的位置关系是，平行，相交或异面，直线n与l的位置关系是垂直，如图：

故选：D.

9、向量，.

.

由可知，

解得.

故选C.

10、由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

由俯视图的直观图为矩形,且，

故底面直观图的面积为12，

故底面面积，

高h=4，

故棱锥的体积.

故选：D.