3. 正则变换
原广义坐标：q ，新广义坐标：,QQqt
（1） 目的：
哈密顿函数：,,HHpqt是广义坐标q和广义动量p以及t 的函数，哈密顿正则方程是2s个一阶微分方程。
如果在哈密顿函数中不出现某个广义坐标q，例如不出现iq，则这个iq为循环坐标，应用哈密顿正则方程：
HqpHpq 可以得到一个对应的积分。换句话说：如果H中不出现iq，则对应的ip是常数，这正是我们期望的。
（2） 正则变换
（a）H中是否出现循环坐标与我们选取的坐标系有关，例如：在有心力场中极坐标系下：
222212kmTmrrVHTVr
H中不包含 所以：
20HLppmrconst
如果通过某种变换能找到新的哈密顿函数，设为*H，这个新函数使得正则方程不便，这种变换称为正则变换！
设新的广义坐标为：,QQqt ，则拉格朗日方程为： 0dLLdtQQ
,,,,QQqptPPqpt
*****,,,,LLQQtTVHHPQtPQL
令：
**HQPHPQ 由哈密顿原理可知，正则方程与哈密顿原理等价，所以，只要使
,,,,QQqptPPqpt
满足哈密顿原理的就可以保证新的正则方程保持不变，对于原来的正则变量和
,,HHpqt
2211,,,,0ttttSLqqtdtpdqHpqtdt
由于L与,dLfqtdt等价，为使p完全独立于q：
211,,,,0ttSpdqHpqtdtdfpqt
新的*H，
21*2,,,,ttSPdQHPQtdtdfPQt
§7-4 哈密顿原理
人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照
科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即
公理)去概括尽可能多的规律.
牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理.
由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数
学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.
哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏
着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题
统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典
力学的整个框架.
哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分
原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件
下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑
选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中,
而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.
一、变分法简介
1. 函数的变分.
自变量为x的函数表示为)(xyy=.
函数的微分xyydd′=是由自变量x的变化引起
的函数的变化.
函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因
为自变量x的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.
这种由于函数形式变化造成的函数的变更称
为函数的变分, 记作yδ. 与函数y邻近但形式与y不同的函数有许多,
这些函数可以表示如下:
)()0,(),(*xxyxyεηε+= 其中ε是任意小的参数, ()xη是任意给定的可微函
数. 因0=ε时()()xyxy=0,, 所以函数形式的变化决
定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成 ()()()xxyxyyεηε=−=0,,δ* 在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念.
设广义坐标为q, )(tqq=. 建立以tq,为轴的二维
时空坐标系(又称事件空间), 曲线I是)(tqq=的函
数曲线, 代表了系统的真实运动.
qtdd→函数的微分.
在曲线I附近, 存在
着许多相邻曲线, 这些曲
线都满足力学系统的约束
条件, 称为可能运动曲线,
它们的方程表示为 ()()()ttqtqεηε+=0,,* 在t不变的情况下, 函数形式的改变也能引起
第五章 分析力学
本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。
第一节 约束和广义坐标
一、 约束的概念和分类
加于力学体系的限制条件叫约束。
按不同的标准有不同的分类：
按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束；
按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；
按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。
本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系。
二、广义坐标
1、自由度
描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。
设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K）
2、广义坐标
描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。例如：作圆周运动的质点只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，由极角θ和 描述，自由度为2。
第二节 虚功原理
本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理。
一、实位移与虚位移
质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。
如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。例如图5.2.1中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移 与虚位移 不一致。
二、理想约束 设质点系受主动力 和约束力 的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功。
若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束。光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。
三、虚功原理
1、文字叙述和数学表示：
受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。即
1、图表示升降机安全装置，该装置的原理是，加载后，滑块与两壁不应发生滑动。已知两壁与滑块间的摩擦系数为f = 0.5，式确定结构尺寸l与L的关系，以保证该安全装置的可靠性。
ABCllLPφφ xyRrbycCO
第1题 第2题
2、求图所示平面图形的形心。
3、画受力图
第3题 第4题
4、如图所示，试求F对点A的力矩。
5、作用在齿轮上的啮合力F推动皮带绕水平轴AB作匀速转动。已知皮带紧边的拉力为200N，松边的拉力为100N，尺寸如图所示。试求力F的大小和轴承A、B的约束力。
6、图示圆柱形的杯子倒扣着两个重球，每个球重为W，半径为r，杯子半径为R，r＜R＜2r。若不计各接触面间的摩擦，试求杯子不致翻倒的最小杯重Wmin。
第5题 第6题
[例1-2-5] 图1-2-17表示升降机安全装置，该装置的原理是，加载后，滑块与两壁不应发生滑动。已知两壁与滑块间的摩擦系数为f = 0.5，式确定结构尺寸l与L的关系，以保证该BDGFHACE安全装置的可靠性。
[解]：
根据题意， 施加载荷P后连杆AC与BC在所传递的压力作用下，滑块必须自锁，即φ
ftgtgm
代入几何关系，有：
504222.LlL
解得： 560.Ll 图 1-2-17
又 L.l50
最后可得： L.lL.50560
一物块重为Q = 400N，置于水平地面上，受到大小为80N的拉力作用，如图1-2-19（a）所示，假设拉力T与水平夹角为α= 45º，物块与地面的摩擦因子为f = 0.2，要求：
