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圆锥曲线求轨迹方程总结

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1 求轨迹方程

曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程(x,y)0f的实数解建立了如下关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

一、 直接法求动点的轨迹方程的一般步骤

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点的M的坐标

（2）写出适合条件P的点M的集合{M(M)}PP

（3）用坐标表示条件P(M)，列出方程(x,y)0f

（4）化简该方程到最简

（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上（扣点，看看是否所有解都取）

例：已知点(2,0),B(3,0)A，动点(x,y)P满足21PAPBx•，则点P的轨迹方程是 。

2 练习：在平面直角坐标系中，点B与点(1,1)A关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP 的斜率之积等于13。

（1） 求动点P的轨迹方程；

（2） 设直线AP和BP分别与直线3x交于点M，N。问： 是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

二、定义法求轨迹方程

定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。这种求曲线方程的方法是定义法。

例：与圆2240xyx外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 。

3 练习1：已知圆的圆心为22(x4)25y的圆心为1M，圆22(x4)1y的圆心为2M，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

练习2：已知两个定圆1O和2O，它们的半径分别是1和2，且124OO。动圆M与圆1O内切，又与圆2O外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。

练习3：已知ABC的顶点A，B的坐标分别为(4,0),(4,0)，C为动点，且满足5sinsinsin4BAC，求点C的轨迹。

4 三、 相关点代入法

点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标00,xy，然后代入点P的坐标00(,)xy所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

例：点B是椭圆22221xyab上的动点，(2,0)Aa为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

练习1：已知(4,0)P是圆2236xy内的一点，A、B是圆上两动点，且满足90APB，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。

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练习2：已知双曲线222xy的左、右焦点分别为12,FF，过点2F的动直线与双曲线相交于A，B两点。若动点M满足1111FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程。

四、参数法求轨迹方程

参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常受另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，这时我们可以将动点坐标 x，y分别用这个参数表示出了，然后将这个参数消去，即可得到x，y的关系，即为所求点的轨迹方程。

例：设椭圆方程为2214yx，过点(0,1)M的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足1()2OPOAOB，当l绕点M旋转时，求：动点P的轨迹方程。

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练习1：已知抛物线24(p0)ypx，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M点，求点M的轨迹方程。

练习2：过点(2,4)P作两条相互垂直的直线12,ll，若1l交x轴于点A，2l交y轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。

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圆锥曲线的解题方法(精选4篇)

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圆锥曲线求方程方法总结

圆锥曲线求方程方法总结

圆锥曲线求方程方法总结

圆锥曲线求方程的方法主要有以下几种：

1．定义法：根据椭圆的定义直接求解。

2．待定系数法：一般按步骤求出圆锥曲线的标准方程。

3．直接法：根据题目的条件，直接列出圆锥曲线的方程。

4．交轨法：先求出两曲线的交点轨迹方程，然后再利用椭圆、双曲线、圆的参数方程求解。

5．定义法求轨迹：根据题目的条件，利用已知的圆锥曲线的定义，直接求出轨迹方程。

6．直译法：将题目的条件翻译成数学表达式，然后再将表达式进行整理和化简。

7．参数法：利用参数方程，将题目的条件转化为参数方程，然后再进行求解。

8．交点法：将题目中的条件转化为交点坐标，然后再利用交点坐标求出轨迹方程。

9．定义法求曲线方程：根据题目条件，利用已知的圆锥曲线的定义，直接求出曲线方程。

10．相关点法：根据题目条件，利用已知的圆锥曲线的相关点，求出曲线方程。

圆锥曲线知识点复习

圆锥曲线知识点复习

圆锥曲线知识点复习

一、轨迹方程

1、求轨迹方程的几个步骤：（建-设-列-化-证）

a.建系（建立平面直角坐标系,多数情况此步省略）

b.设点（求哪个点的轨迹，就设它（x,y））

c.列式（根据条件列等量关系）

d.化简（化到可以看出轨迹的种类）

e.证明（改成：修正）（特别是①三角形、②斜率、③弦的中点问题）

2、求动点轨迹方程的几种方法

a.直接法：题目怎么说，列式怎么列。

b.定义法：先得到轨迹名称

c.代入法（相关点法）:设所求点（x，y）另外点（21yx,）找出已知点和所求点的关系

d.参数法：（x,y）中x,y都随另一个量变化而变化—消参

二、弦长

若直线bkxy与二次曲线的交点为A(1,1,yx)和B (2,2,yx)

方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点两点间距离

方法二：利用弦长公式：||1||212xxkAB=2122124)(1xxxxk

||21211yyk=212212411yyyyk)(

方法三：（半弦长）2=（半径）2-（圆心到直线距离）2（—只适用于圆）

三、直线与二次曲线交点

公共点个数 两个 一个 无

法（代数法）（注意二次项系数的讨论） >0 =0 <0

d与r（几何法）（--只适用与圆） dr

四、弦的中点问题

方法一：利用圆的圆心与弦中点的连线与弦垂直。（—只适用于圆）

方法二：点差法—不能用于判别存在性问题。

方法三：联立方程后利用两根之和与中点的关系—求存在性问题或求范围时需考虑。

五、椭圆

1.另椭圆还具有以下性质

a.椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，距离最大的点是长轴的两个端点；

b.椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点（天体运动中称“远日点”“近日点”） 最大、最小距离分别为a+c， a-c；

c.设椭圆的两个焦点F1、F2当椭圆上的点P在短轴端点时，21PFF最大。

圆锥曲线——轨迹方程

圆锥曲线——轨迹方程

圆锥曲线技巧——轨迹方程

一、直接翻译法

题型：动点M满足。。。。。条件，可由M坐标直接翻译为等式关系。

即设M（x，y），f(x,y)=0

1、已知点A(-2,0)，B(2,0)，动点M满足直接AM与 直线BM的斜率之积为-21，记M的轨迹为曲线C，求C的轨迹方程。

（*：斜率要注意存在问题；本题答案：x2/4+y2/2=1（x≠±2））

2、已知点A（0，-1），点B在直线y=-3上，动点M满足MB∥OA且ABMA•=BAMB•，求动点M轨迹方程。

（本题答案：0842yx）

3、已知圆O：0222yx，圆O:010822xyx，由点P向两圆引切线长相等，求点P的轨迹方程。

（本题答案：32x）

二、四大定义法

如果吻合曲线四大定义，则直接写出曲线方程即可。

回顾复习①椭圆：)c22(221＞aaPFPF【注意：必须满足a>c】

②双曲线：cPFPF221【注意：必须加绝对值】

③抛物线：lPPF【注意：定点不能在定直线上】

例题1：已知点)0,2(),0,2(21FF,动点P满足421PFPF，则P点的轨迹为（）

答案：线段

例题2：已知点)0,2(),0,2(21FF,动点P满足221PFPF，则P点的轨迹为（）

答案：双曲线的一支

例题3：已知动点M到点)1,2(F的距离和到直线01043:yxl的距离相等，则M点的轨迹为（）

答案：直线

1、已知动圆P过定点A（-3,0），且与圆64)3(:22yxB相切，求动圆圆心P的轨迹方程。

（本题答案：17163,4,82628,822yxcaacABPBPArPBrPA本题答案为：即则②：①：）

2、已知圆25)1(:22yxC，Q为圆C上任意一点，点A（1,0），线段AQ的垂直平分线与CQ的连接线相交于点M，求点M的轨迹方程。

（提示：垂直平分线的性质定理，即垂直平分线上的点到线段两边的距离相等）