3.2简单的三角恒等变换(三)

高 一 数 学 学 案

课题：3.2简单的三角恒等变换 设计人： XXX

教学

重点

用联系的观点，发现并证明半角公式，体会把未知问题划归为已知问题的思想方法。

教学

难点

如何引导学生从倍角公式及两角和差公式中，发现问题，提出研究半角公式及积化和差公式的方法。

学习

目标

活

动

设

计

1.借助倍角公式及两角和差公式

2.能正确运用倍角公式及两角和差公式，以及进行简单三角恒等

变换与恒等式证明

一、基础知识与方法

1、和差角公式：)(S= ；)(C= ；

)(T= ．

2、倍角公式：)2(S ；

)2(T ；

)2(C .

3、cossinba ．

注意： 公式)(2S，)(2C，)(2C，)(2T成立的条件是:公式)(2T成立的条件是ZkkkR,4,2,．其中R

（5）“倍角”与“二次”的关系：

升角——降次，降角——升次

Ex. 求下列函数的最小正周期：

活

动

设

计

（1）y=sin2xcos2x ; (2) y=2cos22x+1 ; (3) y=xx4sin4cos3

（6）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

22cos1sin,22cos1cos22 这两个形式今后常用

二、课前练习

§3.2 简单的三角恒等变换

学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.

2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．

知识点一 半角公式

sin α2＝±1－cos α2，

cos α2＝±1＋cos α2，

tan α2＝±1－cos

α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos

αsin α

.

思考 半角公式对任意角都适用吗？

答案 不是，要使得式子有意义的角才适用．

知识点二 辅助角公式

辅助角公式：

asin

x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋θ).其中tan θ＝ba

1．若α≠kπ，k∈Z，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin

α恒成立．( √ )

2．辅助角公式asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ所在的象限由a，b的符号决定，φ与点(a，b)同象限．( √

)

3．sin

x＋3cos x＝2sinx＋π6.( × )

提示 sin x＋3cos x＝212sin x＋32cos x＝2sinx＋π3.

题型一 应用半角公式求值

例1 已知sin θ＝45，5π2

题点 利用半角公式化简求值

解 ∵sin θ＝45，且5π2

∵5π4

tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.

反思感悟 利用半角公式求值的思路

(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2计算．

三角形恒等变换

三角形恒等变换

三角形的恒等变换

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、sin (α+β)=sin αcos β+cos

αsin β 2、sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β 3、cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β 4、cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β 5、tan (α+β)=6、tan

(α-β)=

tan α+tan β

tan α-tan β

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、sin 2α=2sin αcos α， 变形sin

αcos α=sin 2α.

2、cos 2α=cos α-sin α

=2cos 2α-1 =1-2sin 2α.

⎧⎧1+cos α=2cos α

⎧⎧1-cos 2α=2sin α

⎧cos 2α=(1+cos 2α) ⎧2

2⎧sin α=(1-cos 2α) ⎧3、tan 2α

=. 1-tan 2α

sin 2α1-cos 2α

1+cos 2αsin 2α

4、tan α=

§3.2、简单的三角恒等变换

1、 注意正切化弦、平方降次. y =a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ)

（其中辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ϕ=

). 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24︒

-cos66︒ D -12 2. cos α=-

35，α∈⎧ π⎧2, π⎧

，sin β=-1213，β是第三象限角，则cos(β-α) =（ A 、-

3365 B 、6365 C 、561665 D 、-65

简单的三角恒等变换公式

三角恒等变换是一种数学操作，用于在不改变一个三角形的形状的情况下改变它的位置或方向。下面是几个常用的三角恒等变换公式：

旋转：如果要将三角形旋转角度θ，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：

x' = x * cosθ - y * sinθ

y' = x * sinθ + y * cosθ

平移：如果要将三角形平移到新的位置 (x',y')，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：

x' = x + x0

y' = y + y0

缩放：如果要将三角形缩放比例为k，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：

x' = k * x

y' = k * y

这些公式都可以使用单位矩阵来表示，例如旋转变换的单位矩阵如下：

[cosθ -sinθ]

[sinθ cosθ]