(整理)微积分B复习题
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精品文档 1.求级数的和.0nnn3121
0n解题设级数0nn3121113n21311121.
2.判别级数1211nnnn的敛散性.
解由于ennn11lim故而nnlim2所以级数发散.nn11
若级数为12nn,
试求其和.()11n
3.
解12nn()11n02n11n12n12n202n1n221212412121131.
4．判断级数1(1)!nnnnn的 敛散性
解：
11limlim()1nnnnnuneun，故原级数发散。
判别级数12)1(2nnn的敛散性.
5. 精品文档
精品文档 解nnnnu232)1(2而123nn收敛,故1nnu收敛.
.1arcsin1的敛散性判别级数nnn
6.
11arcsin..0arcsinlimlim,故级数收敛解nununnnnnn
)1(312nnnnn用根值判别法判别级数.的敛散性
7.
解limunnn13limnnn)(ne31,原级数发散.
已知1lim1sin2nnnnan, 且0na,
试证1nna收敛.
8.
证1)(lim1lim1sin221sin22nnnnnnnnnnanna而121nn收敛,故1nna也收敛.
判别级数xnxnn(122为不为零的实数)的敛散性.
9. 精品文档
精品文档 解22222211limlimxnxnxuunnnnnn当1x时, 级数收敛;当1x时, 级数发散;当1x时, 级数收敛.
试求幂级数nkxnn12)!()!2(的收敛半径.
10.
解41)12(2limlim1nnaannnn级数的收敛半径41R.
试求幂级数1)5(nnnx的收敛半径及收敛域.
11.
解令tx5, 级数1nnnt的收敛半径是1, 收敛域是)1,1[,
故原级数收敛半径是1, 收敛域是)6,4[.
试求幂级数nnnxn31812的收敛域.
12.
解设nnnxnxu3812)(, 因为8)()(lim31xxuxunnn,所以2R,且2x时, 级数发散,故收敛域是).2,2(
试求幂级数nnxnn11在其收敛域上的和函数.
13.求幂级数211nnnx的和函数
解：设211()(1,1)nnsxnxx。则1()()nnsxnx1()nnnx 精品文档
精品文档 又 121111()()()1(1)nnnnnnnnxxnxxnxxxxxxxx
故，231()()(1)(1)xxsxxx
试求幂级数nxnnxx)1(32212的收敛域及和函.数
14.
解级数的收敛域是)1,1(当)1,1(x时, 有:nnxnnxs1)1()(nnxnnx1)1(11nnxx32)1(21xxxxx..
试求幂级数112)1(nnxnn在其收敛域上的和函数.
15.
解级数的收敛域是)1,1(所以当)1,1(x时,
有112)1()(nnxnnxs1121nnx32)1(1121xxx,.
试求幂级数1)12(nnxn的收敛区域及和函数.
16.
解由于级数在)1,1(上收敛,所以当)1,1(x时, 有1112)12()(nnnnnnxnxxnxsxxxxnn12122)1(3xxx.
求幂级数22nnxn1n.的收敛区间
17. 精品文档
精品文档 解nnnnnxnxn2)1(21221lim2121limxnnn221x,故所求级数的收敛区间为)2,2(.所以当2x时,级数收敛;2x时而当,级数发散;当2x时,原级数为112)2(2nnnnnn,发散;当2x时,原级数仍为1nn,发散.
ax)x(f.将函数并求展开式成立的区间,的幂级数x展开成
18.
解axeln)x(fnnxna!ln0naxln(即).x,
将函数4xy展开成)1(x的幂级数.
19.
解因为44)11(xx),(01)1(4)1(6)1(4)1(234xxxxx所以上式即为所求幂级数,.
ln()ax.)x(f将函数并求展开式成立的区,的幂级数x展开成间
20.
解1lnaxa)x(flnlna1ax11)1()1(lnnnnanxa()axa.0n
试把函数)1)(1)(1(1)(42xxxxf在点00x泰勒级数.处展开成
21. 精品文档
精品文档 解因为811)1()(xxxf而)1,1(,110xxxnn所以018808)()1(nnnnnxxxxxf)1,1(x,.
试将函数256512)(xxxxf展开成x的幂级数.
22.
解61111)(xxxf利用011nnxx,)1,1(x得06)1(1)(nnnnxxf, )1,1(x.
求函数2221ln)(xxxf在点10x的泰勒级数展开式.
23.
解))1(1ln()(2xxf利用]1,1(,)1()1ln(11xnxxnnn得nnnxnxf211)1(1)1()(, )0,2[x.
,)21ln()(2间.并指出其收敛区的幂级数展为将函数xxxxf
24.
2121,112)1(1)2()1(1)x()1()21ln()1ln()]21)(1ln[()(0110101xxnnxnxxxxxfnnnnnnnnnn解. 精品文档
精品文档 .)1)(1)(1)(1(1)(842的幂级数展开成将xxxxxxf
25.
解)(xf)1)(1)(1)(1)(1(1842xxxxxx)1|(|))(1(1101616xxxxxnn1||133321716xxxxxx).(
试把函数)cos(xy展开成的幂级数.
26.
解由于sinsincoscosxxy,所以级数为),()!12(sin)!2(cos)1()!12()1(sin)!2()1(cos122001220kkkkkkkkkkkxkxkxkxy.
试求函数xycos关于2x的幂级数.
27.
解因为22coscosxx2sinx而),(,)!12()1(sin120xnxxnnn所以),(,)!12(2)1(cos1201xnxxnnn.
28.将函数234()ln(1)fxxxxx展开成 x的幂级数。
解：555111()lnln(1)ln(1)()1nnnxxxfxxxxnn
51(11)nnnxxxn
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精品文档 .,)23ln()(2Rxxxxf并指出收敛的幂级数展成将函数半径
29.
.1)1ln()21ln(2ln)1ln()2ln()23ln(2Rxxxxxx解,22111)1(2ln1110xnnnnnn11)1(211)1(2ln10110xnxnnnnnnnn
.arctan2111ln41)(的幂级数展成将函数xxxxxxf
30.
)()0()()(,0)0(),11(111111121)1111(41)(140144442dttdttffxfxffxxxxxxxxxfnnxnn知且由解).11(14114xnxnn
把函数xedxdyx1展开为x的幂级数,并计算1)!1(nnn的值.
31. 精品文档
精品文档 解由0!nnxnxe, ),(x当0x时11!1nnxnxxe, ),0()0,(x所以22!)1(1nnxnxnxedxd11)!1(nnnnx, ),0()0,(x11)!1(11xxnxedxdnn,,.
试将函数xxxy3cos3sin展开为麦克劳林级数.
32.
解因为)!12()1(sin120nxxnnn, ),(x)!2()1(cos20nxxnnn,),(x所以)!12(3)2()1(2)!2(3)1()!12(3)1(3cos3sin1220122012120nxnnxnxxxxnnnnnnnnnnnn),(x,.
33．求极限 211!lim(1)nkknkknk
解：1!(1)nnnnn绝对收敛，故级数的和存在，即11!!(1)lim(1)(nnknknnknkssnk是常数）。所以，211!lim(1)nkknkknk=0
求函数xytan在点4x处的泰勒级数至含34x的项.
34. 精品文档
精品文档 解由于xytanxxy22tan1cos1)tan1(tan22xxyxxy42)3(tan6tan82所以,16444,24,14)3(yyyy泰勒级数为3243842421xxx,,,
.121lim2aanaann其中试求极限,
35.
解1nxnn考虑幂级数1)(nxxSnn设,则11)(nxxxSnn0)(xxnn11xx2)1(xx11x,()故221limanaann1aS2111aa2)1(aa.,
设积分区域D的面积为S则_________2Dd.，
36.
2S.答
设f(x,y)为连续函数110),(yxyxfy次序后为_______________.dd则二次积分交换积分,
37.
2010),(xyyxfxdd.答
.__________2202的值是二重积分xydyedx
38. 精品文档
精品文档 ).1(214e答
利用二重积分计算由曲线3yx,为xy所围成区域的面积.3
39.
解303)3(3023.)3(2xxxxAdxdxdy
由二重积分的几何意义12222)11(yxyxdxdy求,.
40.
解原式112222221yxyxyx32132dxdydxdy.
计算二重积分Dyxe其中D1x11y1.dxdy,,:
41.
解原式211111eeyexeyxdd.
设),(yxzz由方程zzxyx2222所确定yzxz,求.,
42.
zzzxyyxxxd2d2)dd(2d2)dd(2d2d)1(2xyyxxxzz1zyxxz1zxyz解,,,.
设)(xyy由方程1)ln(yxxy所确定xydd求,.
43.
)(1)(111ddyxxyxyyxxyxyxy解.
