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圆锥曲线中定点问题的解题策略
作者：黄海宁
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第05期
解析几何中定值问题的考查是近几年高考的一个重点和热点内容.这类问题常常以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求.因此学生对处理此类问题都颇感棘手，笔者就定点问题谈谈自己的几点体会.
在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，解答思路有两种：
一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再用韦达定理、点差法等导出所求定值关系需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简、整理，求出结果；
另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是以客观题形式出现，特殊化方法往往更有效.
恒过定点在解析几何中以两种形式呈现：
点斜式方程和过定点的直线系或曲线系方程.
一、由点斜式方程求出定点 y-y1=k(x-x1)，k∈R，直线恒过定点(x1,y1).
【例1】 已知离心率为52的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，双曲线C的右支上一点A使AF1·AF2＝0且△F1AF2的面积为1.
圆锥曲线中・个定点问题的探索 专题研究
（浙江省诸暨市璜山镇中３１１８０９）黄镭光 （浙江省绍兴县柯桥中学３１２０３０）施建昌
直线方程中有定点问题，圆锥曲线与直线结 合后是否也有定点问题？是否在抛物线、椭圆、双
曲线同样也存在这样的定点？笔者从抛物线人手， 对抛物线、椭圆、双曲线与直线结合的定点问题作
了一个探索．下面进行举例说明： 问题１：如图１：在抛物线ｙ 一２ｐｘ中，直线 ＡＢ过焦点Ｆ，Ｂ在准线ｚ上的射影为Ｂ ，则直线 ＡＢ 是否过定点Ｏ（Ｏ，Ｏ）？ 分析：当Ａ１３与ｚ轴垂直时，Ｏ点为Ａ Ｂ 的中 点，命题显然成立． 那么当ＡＢ不垂直ｚ轴时，命题是否成立？答
案是肯定的．下面用“斜率相等法”证明．
当ＡＢ不垂直ｚ轴时，不妨设
Ａ（ｚ１，Ｙ１），Ｂ（ｚ２，Ｙｚ），Ｆ（ ，ｏ），
舳方程为：Ｙ—ｋ（ｘ一 ），
与抛物线方程Ｙ 一２ｐｘ联立得： ｒ 一２ｐｘ ｔ Ｙ—ｋ（ｘ－ ）’于是可得
Ｙ 一２ｐ 一Ｐ 一０，
即Ｙ１Ｙ２一一Ｐ ，
设忌讲一 ， 一 Ｐ・ 王１ ２ 忌０Ａ一是 一一Ｙｌ一 一 Ｘｌ 一 ２
Ｙｌ一且一 ＋ 一 ：± ：０． Ｙ＿Ｌ。 一一Ｐ Ｙ１ Ｐ Ｙｌ Ｐ ２ ２ 所以忌ｍ＝＝＝忌（）Ｂ ，则Ａ Ｂ 过定点Ｏ（Ｏ，Ｏ）．
所以命题是肯定的，即存在定点Ｏ，且Ｏ为 ＦＮ的中点（Ｎ为ｚ与ｚ轴的交点）．
那么对于抛物线中的这一性质，在椭圆中是 否也有类似性质呢？
￡ ｜
Ｎ ＼＼、／Ｆ Ｘ— ／
＼ Ｂ１ ｔ ｙ Ａ ＡＩ
． Ｎ ‘ Ｂｌ
图１ 图２ 问题２：在椭圆 ｘｚ １＿ ｙＺ＝１（ｎ＞６＞Ｏ）中，直
线ＡＢ过右焦点Ｆ，Ｂ在右准线ｚ上的射影为Ｂ ，则
直线Ａ １３ 是否过定点Ｍ（ ，ｏ）（Ｍ为ＦＮ的
中点，Ｎ为ｚ与ｚ轴的交点） 分析：此题是一个直线与椭圆相结合的定点 问题，主要考查直线是否过定点，可先用特值法探 索，再用“斜率相等法”或“点在线上法”进行论
证． ，
中学数学杂志（高中）２００７年第２期
变式３：已知双曲线的焦距为１Ｏ，双曲线上一点
Ｐ到两焦点 、 的距离的差的绝对值等于６，求双
曲线的标准方程．
３．３．２ 回顾反思、归纳巩固 这节课对你来说，收获了哪些知识、方法和数学
思想？请谈谈你的体会．
３．３．３ 课外探究、问题延伸
作业布置：Ｐ．１０８习题８．３ １、３ 探究：（选做）分层探究
①若口∈Ｒ，研究方程 ＋（，一一４） 一
＋（，一十４） ＝２ａ表示什么曲线？ ②平面内到两个定点的距离之积为定值的点
的轨迹是什么？
教学反思 学生在认同与体验中建构知识技能的传授和能
力的培养主要依靠解题训练，对此，波利亚揭示：“中
学数学教学首要任务就是加强解题训练，掌握数学
就是意味着善于解题”．对于课本例题，运用一题多 变的方法可培养学生思维的灵活性及应变能力．设
计必做和选做题，意在既巩固所学知识，又给学有余
力的同学以更大的发展空间，体现了因材施教的原
则．整个教学环节都很完整．
圆锥曲线中的定点定值问题
日照实验高中 ２７６８００ 厉 强
在圆锥曲线的综合性问题里，定点定值问题往
往是我们学习的一个难点．对于这类问题的学习， 通常有两种处理方法：
①从特殊人手，求出定点或定值，再证明这个
点（值）与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而
得到定点（定值）．
现就该问题举例说明一下：
１ 定值问题
例１ 如图１，过椭圆 ＋告＝１的右焦点
任意作一直线交Ｙ轴于点Ｐ，交椭圆于点Ｍ、Ｎ，求证：
＋丽ＰＮ为定值
分析 命题结论：面Ｐ Ｍ 丽ＰＮ为定值联想到利
ｒ 一兰！± ：兰 用定比分点公式｛ 一
（ｚ为参数）作为过两点（ 。，Ｙ。）、（ ，Ｙ２）的直线的
参数方程代人椭圆方程，可得关于ｚ的二次方程．运
用韦达定理获解．
解 设点Ｐ（０，ｒ１．），椭圆右焦点为 （ｃ，０），则
ｒ—Ｑ± ：！ 直线的参数方程为：｛ 一 ｌ＋ ：。
Ｌｙ １ （Ｚ
圆锥曲线中的定点问题及解决方法
1. 引言
1.1 背景介绍
圆锥曲线是几何学中一个重要的概念，指的是由一个平面与一个圆锥体相交而得到的曲线。在数学中，圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。这些曲线在几何学和代数学中有着广泛的应用，涉及到许多重要的定理和性质。
圆锥曲线中的定点问题是指关于曲线上或曲线与其他几何图形的交点位置和性质的问题。这些问题在实际应用中具有重要意义，例如在天文学中描述行星轨道的形状，或在工程学中设计湖面上的浮标位置等。
研究圆锥曲线中的定点问题不仅可以加深对这些曲线的理解，更可以拓展数学知识的应用范围。通过研究不同的解决方法，可以进一步提高解决问题的能力和技巧，为数学领域的发展贡献力量。深入探讨圆锥曲线中的定点问题具有重要的研究意义和价值。
1.2 问题提出
圆锥曲线中的定点问题是一个重要而复杂的数学问题，其研究有着深远的理论和应用意义。在圆锥曲线中，定点问题是指在已知曲线的情况下，找到曲线上满足一定条件的点的位置。这种问题涉及到几何、代数和分析等多个数学领域，需要综合运用不同的数学方法来求解。
定点问题在圆锥曲线中具有广泛的实际应用。比如在工程领域中，定点问题可以帮助我们确定某个位置的几何特性，从而设计出更加精确的结构。在物理学中，定点问题可以帮助我们分析物体的运动轨迹和速度方向。在计算机图形学和机器人领域中，定点问题也有着重要的应用价值。研究圆锥曲线中的定点问题不仅有助于深化数学理论，还能推动相关领域的发展和创新。
在本文中，我们将介绍不同的解决方法来解决圆锥曲线中的定点问题，探讨其适用场景和未来研究方向，以期为相关领域的研究工作提供一定的参考和启发。
1.3 研究意义
在圆锥曲线中，定点问题具有重要的研究意义。通过对定点问题的研究，我们可以深入理解圆锥曲线的性质和特点，进一步探索其数学规律和几何意义。定点是曲线上的固定点，对于圆锥曲线而言，定点的位置和性质对曲线的形状和特征具有决定性影响。
