数学_2014年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2014年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合𝐴＝{𝑥|𝑥2−𝑥−2≤0}，𝐵＝{𝑥|𝑦＝ln(1−𝑥)}，则𝐴∩𝐵＝（ ）

A (0, 2] B (−∞, −1)∪(2, +∞) C [−1, 1) D (−1, 0)∪(0, 2)

2. 若∫(𝜋20sin𝑥−𝑎cos𝑥)𝑑𝑥=2，则实数𝑎等于（ ）

A −1 B 1 C −√3 D √3

3. 设𝑎→，𝑏→为平面向量，则“|𝑎→⋅𝑏→|=|𝑎→||𝑏→|”是“𝑎→ // 𝑏→”的( )

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

4. 下列命题：

①若𝑓(𝑥)=2cos2𝑥2−1，则𝑓(𝑥+𝜋)=𝑓(𝑥)对𝑥∈𝑅恒成立；

②要得到函数𝑦=sin(𝑥2−𝜋4)的图象，只需将𝑦=sin𝑥2的图象向右平移𝜋4个单位；

③若锐角𝛼，𝛽满足cos𝛼>sin𝛽，则𝛼+𝛽<𝜋2．

其中是真命题的个数是（ ）

A 0 B 1 C 2 D 3

5. 已知点𝑃是以𝐹1，𝐹2为焦点的椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上一点，若𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，tan∠𝑃𝐹2𝐹1=2，则椭圆的离心率𝑒=( )

A √53 B 13 C 23 D 12

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ）

A 16 B 13 C 23 D 12

7. 若𝑥4(𝑥+3)8=𝑎0+𝑎1(𝑥+2)+𝑎2(𝑥+2)2+⋯+𝑎12(𝑥+2)12，则log2(𝑎1+𝑎3+...+𝑎11)等于（ ）

A 27 B 28 C 7 D 8

8. 在三棱锥𝐶−𝐴𝐵𝐷中（如图），△𝐴𝐵𝐷与△𝐶𝐵𝐷是全等的等腰直角三角形，𝑂为斜边𝐵𝐷的中点，𝐴𝐵=4，二面角𝐴−𝐵𝐷−𝐶的大小为60∘，并给出下面结论：

①𝐴𝐶⊥𝐵𝐷；

②𝐴𝐷⊥𝐶𝑂； ③△𝐴𝑂𝐶为正三角形；

④cos∠𝐴𝐷𝐶=√34；

⑤四面体𝐴𝐵𝐶𝐷的外接球面积为32𝜋．

其中真命题是（ ）

A ②③④ B ①③④ C ①④⑤ D ①③⑤

9. 若数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式分别是𝑎𝑛=(−1)𝑛+2013⋅𝑎，𝑏𝑛=2+(−1)𝑛+2014𝑛，且𝑎𝑛<𝑏𝑛对任意𝑛∈𝑁∗恒成立，则常数𝑎的取值范围是（ ）

A (−2, 1) B [−2, 1) C (−2, 1] D [−2, 1]

10. 已知定义在区间[−3, 3]上的函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=0，对于函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象上任意两点（𝑥1, 𝑓(𝑥1)），（𝑥2, 𝑓(𝑥2)）都有(𝑥1−𝑥2)•[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]<0．若实数𝑎，𝑏满足𝑓(𝑎2−2𝑎)+𝑓(2𝑏−𝑏2)≤0，则点(𝑎, 𝑏)所在区域的面积为（ ）

A 8 B 4 C 2 D 1

二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分．（坐标系与参数方程选做题）

11. 已知直线𝑙的参数方程是{𝑥=𝑡𝑦=𝑡+1（𝑡是参数），以原点为极点，𝑥轴的正半轴为极轴，圆𝐶的极坐标方程为𝜌=−6cos𝜃，则圆心𝐶到直线𝑙的距离为（ ）

A 2 B √2 C 2√2 D 3√2

（不等式选做题）

12. 已知函数𝑓(𝑥)＝|2𝑥−𝑎|+𝑎．若不等式𝑓(𝑥)≤6的解集为{𝑥|−2≤𝑥≤3}，则实数𝑎的值为（ ）

A 1 B 2 C 3 D 4

三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 复数2𝑖1+𝑖的模为________．（其中𝑖是虚数单位）

14. 若点𝑃是曲线𝑦=𝑥2−ln𝑥上任意一点，则点𝑃到直线𝑦=𝑥−2的最小距离为________．

15. 在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据𝑥𝑖(1≤𝑖≤4)，在如图2所示的程序框图中，𝑥¯是这4个数据中的平均数，则输出的𝑣的值为________．

16. 从装有𝑛+1个球（其中𝑛个白球，1个黑球）的口袋中取出𝑚个球(0<𝑚≤𝑛, 𝑚, 𝑛∈𝑁)，共有𝐶𝑛+1𝑚种取法．在这𝐶𝑛+1𝑚种取法中，可以分成两类：一类是取出的𝑚个球全部为白球，另一类是取出𝑚−1个白球，1个黑球，共有𝐶10⋅𝐶𝑛𝑚+𝐶11⋅𝐶𝑛𝑚−1=𝐶𝑛+1𝑚，即有等式：𝐶𝑛𝑚+𝐶𝑛𝑚−1=𝐶𝑛+1𝑚成立．试根据上述思想化简下列式子：𝐶𝑘0𝐶𝑛𝑚+𝐶𝑘1⋅𝐶𝑛𝑚−1+𝐶𝑘2⋅𝐶𝑛𝑚−2+⋯+𝐶𝑘𝑘⋅𝐶𝑛𝑚−𝑘=________．(1≤𝑘<𝑚≤𝑛, 𝑘, 𝑚, 𝑚∈𝑁)．

四、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知向量𝑎→=(12, 12sin𝑥+√32cos𝑥)与𝑏→(1, 𝑦)共线，设函数𝑦=𝑓(𝑥)．

（1）求函数𝑓(𝑥)的周期及最大值；

（2）已知△𝐴𝐵𝐶中的三个内角𝐴、𝐵、𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若锐角𝐴满足𝑓(𝐴−𝜋3)=√3，且𝑎=7，sin𝐵+sin𝐶=13√314，求△𝐴𝐵𝐶的面积．

18. 为了了解某校今年高三男生的身体状况，随机抽查了部分男生，将测得的他们的体重（单位：千克）数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．

（1）求该校随机抽查的部分男生的总人数；

（2）以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市高三男生中任选三人，设𝑋表示体重超过55千克的学生人数，求𝑋的数学期望．

19. 已知数列{𝑎𝑛}的各项均为正数，前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛=𝑎𝑛(𝑎𝑛+1)2(𝑛∈𝑁∗)．

（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

（2）设𝑏𝑛=2𝑆𝑛(−2)𝑛(𝑛+1)，𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+...+𝑏𝑛，求𝑇𝑛．

20. 在五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中（图一），𝐵𝐷是𝐴𝐶的垂直平分线，𝑂为垂足．𝐸𝐷 // 𝐴𝐶，𝐴𝐸 // 𝐵𝐷，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝑃为𝐴𝐵的中点．沿对角线𝐴𝐶将四边形𝐴𝐶𝐷𝐸折起，使平面𝐴𝐶𝐷𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶（图二）．

（1）求证：𝑃𝐸 // 平面𝐷𝐵𝐶；

（2）当𝐴𝐵=√2𝐴𝐸时，求直线𝐷𝐴与平面𝐷𝐵𝐶所成角的正弦值．

21. 已知点𝑃(1, −32)在椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上，过椭圆𝐶的右焦点𝐹2(1, 0)的直线𝑙与椭圆𝐶交于𝑀，𝑁两点．

（1）求椭圆𝐶的方程；

（2）若𝐴𝐵是椭圆𝐶经过原点𝑂的弦，且𝑀𝑁 // 𝐴𝐵，𝑊=|𝐴𝐵|2|𝑀𝑁|．试判断𝑊是否为定值？若𝑊为定值，请求出这个定值；若𝑊不是定值，请说明理由．

22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−𝑏𝑥ln𝑥，其图象经过点(1, 1)，且在点（𝑒, 𝑓(𝑒)）处的切线斜率为3（𝑒为自然对数的底数）．

（1）求实数𝑎、𝑏的值；

（2）若𝑘∈𝑍，且𝑘<𝑓(𝑥)𝑥−1对任意𝑥>1恒成立，求𝑘的最大值；

（3）证明：2ln2+3ln3+...+𝑛ln𝑛>(𝑛−1)2(𝑛∈𝑁∗, 𝑛>1)．

2014年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）答案

1. C

2. A

3. C

4. B

5. A

6. D

7. C

8. D

9. B

10. A

11. B

12. A

13. √2

14. √2

15. 5

16. 𝐶𝑛+𝑘𝑚

17. 解：（1）∵ 向量𝑎→=(12, 12sin𝑥+√32cos𝑥)与𝑏→(1, 𝑦)共线，

∴ 12𝑦−(12sin𝑥+√32cos𝑥)=0…

则𝑦=𝑓(𝑥)=2sin(𝑥+𝜋3)，∴ 𝑓(𝑥)的周期𝑇=2𝜋，…

当𝑥=2𝑘𝜋+𝜋6，𝑘∈𝑍时，𝑓max(𝑥)=2…

（2）∵ 𝑓(𝐴−𝜋3)=√3，

∴ 2sin(𝐴−𝜋3+𝜋3)=√3，∴ sin𝐴=√32…

∵ 0<𝐴<𝜋2，∴ 𝐴=𝜋3．

由正弦定理，得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶得，

sin𝐵+sin𝐶=𝑏+𝑐𝑎sin𝐴，

即13√314=𝑏+𝑐7×√32， ∴ 𝑏+𝑐=13…

由余弦定理𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴

得𝑎2=(𝑏+𝑐)2−2𝑏𝑐−2𝑏𝑐cos𝐴，

即49=169−3𝑏𝑐，∴ 𝑏𝑐=40…

∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑏𝑐sin𝐴=12×40×√32=10√3…

18. 解：（1）设报考飞行员的人数为𝑛，前三小组的频率分别为𝑝1，𝑝2，𝑝3，则{𝑝2=2𝑝1𝑝3=3𝑝1𝑝1+𝑝2+𝑝3+(0.0375+0.0125)×5=1，

解得𝑝1，=0.125，𝑝2=0.25，𝑝3=0.375…

∵ 𝑝2=0.25=12𝑛，∴ 𝑛=48…

（2）由（1）可得，一个男生体重超过55公斤的概率为𝑝=𝑝3+(0.0375+0.0125)×5=58，…

∴ 𝑋∼(3, 58)，

∴ 𝑝(𝑋=𝑘)=𝐶3𝑘(58)𝑘(38)3−𝑘，𝑘=0，1，2，3 …

随机变量𝑋的分布列为：

𝑋 0 1 2 3

𝑝 27512 135512 225512 125512