课时作业6:2.2.2 双曲线的简单几何性质

2．2.2 双曲线的简单几何性质

基础梳理

1．直线与双曲线的位置关系．

一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①

双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，②

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．

(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．

Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；

Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；

Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．

想一想：直线和双曲线只有一个公共点，直线一定和双曲线相切吗？

2．弦长公式．

斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.

想一想：当直线的斜率k不存在或为0时，如何求弦长？

自测自评

1．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )

A．y＝±54x B．y＝±45x

C．y＝±43x D．y＝±34x

2．设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )

A.32 B．2 C.52 D．3 3．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

基础巩固

1．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )

A．y＝±2x B．y＝±2x

C．y＝±22x D．y＝±12x

2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝43x，则双曲线的离心率为( )

A.53 B.43 C.54 D.32

3．若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )

A.x29－y272＝1 B.y29－x272＝1

C.x216－y281＝1 D.y281－x216＝1

4．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是______________．

能力提升

5．若实数k满足0

A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等

C．离心率相等 D．焦距相等

6．设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的公共点的个数为( )

A．0个 B．1个 C．2个

D．3个

7．若双曲线x24－y2m＝1的渐近线方程为y＝±32x，则双曲线的焦点坐标是__________．

8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________． 9．双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，试求双曲线方程与椭圆的方程．

10．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值．

答 案

基础梳理

1．【答案】(2)两个 一个 没有

想一想：【解析】不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．

2．想一想：【解析】把直线的方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求其弦长．

自测自评

1．【解析】依题意，得e＝ca＝53.设a＝3k，c＝5k，则b2＝c2－a2＝25k2－9k2＝16k2，则b＝4k.又双曲线焦点在y轴上，∴其渐近线方程为y＝±34x.

【答案】D

2．【答案】B

3．【解析】过P与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，另外x＝1与双曲线只有一个公共点，∴l的条数是3.

【答案】B

基础巩固

1．【解析】由题意得b＝1，c＝3，所以a＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±22x.故选C.

【答案】C

2．【解析】双曲线焦点在x轴，由渐近线方程可得

ba＝43，可得e＝ca＝32＋423＝53.

【答案】A

3．【解析】因为圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以A，B是双曲线的顶点．令x＝0，则y＝－3或y＝3，A(0，－3)，B(0，3)，在双曲线中a＝3，2c＝3×2a＝18，所以c＝9，得b2＝81－9＝72，因此，双曲线的标准方程是y29－x272＝1.故选B.

【答案】B 4．【解析】由渐近线方程知ba＝3，又c＝10，

a2＋b2＝c2⇒a2＋9a2＝10⇒a2＝1，b2＝9.

【答案】x2－y29＝1

能力提升

5．【解析】∵00，16－k>0.对于双曲线：x216－y25－k＝1，其焦距是25－k＋16＝221－k；对于双曲线：x216－k－y25＝1，其焦距是216－k＋5＝221－k.故焦距相等．

【答案】D

6．【解析】由方程t2cos θ＋tsin θ＝0，解得t1＝0，t2＝－tan θ，不妨设点A(0，0)，B(－tan θ，tan2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtan θ，该直线恰是双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.

【答案】A

7．【解析】由渐近线方程为y＝±m2x＝±32x，得m＝3，c＝7，且焦点在x轴上．

【答案】(±7，0)

8．【解析】椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c＝4，且满足ca＝2，故a＝2，b＝c2－a2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.

【答案】(4，0)，(－4，0) y＝±3x

9．【答案】解：由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，

可设椭圆方程为y2a2＋x2a2－25＝1(a2>25)；

双曲线方程为y2b2－x225－b2＝1(0

点P(3，4)在椭圆上，所以16a2＋9a2－25＝1，得a2＝40，

双曲线过点P(3，4)的渐近线为y＝b25－b2x，

即4＝b25－b2×3，b2＝16，

所以椭圆方程为y240＋x215＝1， 双曲线方程为y216－x29＝1.

10．【答案】解：(1)由点P在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1，

由题意又有y0x0－a·y0x0＋a＝15，

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，

则e＝ca＝305.

(2)联立方程得x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.

设OC→＝(x3，y3)，由OC→＝λOA→＋OB→得x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.

又C为双曲线E上一点，即x23－5y23＝5b2，

有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，

化简得：

λ2(x21－5y21)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线E上，

所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.

又x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，

得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.