不完全信息静态博弈

205 第六章 不完全信息静态博弈

博弈论在1970年代之后逐渐进入主流经济学体系，主要是由于它在不完全信息条件下的经济分析中表现出一种特别的魅力。不完全信息指经济活动中一部分经济主体的某些特征对于其他主体来说是不清楚的，如在拍卖商品或工程招投标中，参加拍卖的潜在买主愿意为拍卖品支付的最高价格或参加工程招投标的投标者愿意为工程开出的最低价格只能是各个潜在买主或投标者心中的秘密，其他人是不清楚的，即使潜在买主或投标者告诉其他人他们愿支付的最高价格或最低价格，其他人也不会相信他们说的是真的。潜在买主或投标者也知道其他人并不清楚他们愿开出的最高价格或最低价格，因而也不会直接说出真实的价格底线。信息不完全又称为信息不对称，即其他局中人没有特定局中人清楚特定局中人自身的特征。不完全信息静态博弈就是假定某些局中人具有其他局中人不清楚的某些特征的静态博弈。当然，对于局中人本身来说，他自身的这些不为人所知的特征对于他自己来说是清楚的，因而称这些特征为局中人自己拥有的“私人信息”（private information）。在博弈论中，习惯地将局中人的“私人信息”集中表现为局中人的支付函数特征，也就是说，局中人的私人特征将完全通过其支付函数特征表征出来，而不完全信息就表现为一些局中人不清楚另一局中人的支付函数，当然，每个局中人是完全清楚自己的支付函数的。

6.1 不完全信息博弈：基本概念

在假定局中人拥有私人信息的情况下，其他局中人对特定局中人的支付函数类型是不清楚的。如果一些局中人不知道另一些局中人的支付函数，或支付函数不是共同知识，局中人就不知道他在与谁博弈，因而在1967年以前，博弈论专家认为此时博弈的结构特征是不确定的，无法进行分析。Harsanyi（1967、1968）提出了一种处理不完全信息博弈的方法，即引入一个虚拟的局中人——“自然N”。N首先行动，它决定每个局中人的特征。每个局中人知道自己的特征，但不知道别的局中人特征。这种方法将不完全信息静态博弈变成一个两阶段动态博弈，第一个阶段是自然N的行动选择，第二阶段是除N外的局中人的静态博弈。这种转换被称为“Harsanyi转换”，它将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈。

称局中人拥有的私人信息为他的“类型”，许多情况下局中人类型由其支付函数完全决定，故常将支付函数等同于类型。用i表示局中人i的一个特定类型，iH表示局中人i所有可能类型的集合，即iiH，称iH为局中人i的类型空间，ni,,1。

在不完全信息静态博弈中，由于局中人的类型存在多种可能，因而与局中人相关的各种概念都随其类型的不同而不同，其中之一就是局中人的行动空间iA将随类型i 206 而变化，即)(iiiAA，如企业能够选择的产量范围依赖于其成本函数。由于支付函数刻画了类型，或支付函数也是类型依存的，如同样产量不同成本函数的企业的利润就不同。我们可将其记为[1]

),,,,,(1iniiiaaauu （6.1）

ni,,1

在其他局中人已选定行动ja，nj,,1，ij时，局中人选行动)(iiiAa获得的支付由式（6.1）给出。显然给定ja时最大化iu的ia与i有关，即)(**iiiaa，其中*ia是给定ja时最大化iu的ia。这里，我们用“类型依存”来描述包括最优战略在内的概念与类型的对应关系。可以预料到，当局中人的类型给定时，其最优战略*ia的范围也就是给定了的，当其是唯一存在的时，有)(**iiiaa。在前面介绍的行动空间iA，其类型依存就是)(iiA。

对于局中人i来说，他不知道其他局中人的类型。当他选择任一行动)(iiiAa时，对于其他局中人的任一可能的类型组合n,,,,,11111，如果给定其他局中人类型与其最优战略ja的一个对应组合)(*jja，ij，nj,,1，其支付为

)),()(,),()((*1*11*11*1inniiiiiiaaaaau

假定局中人i认为其他局中人的类型组合恰好为i的概率为iiiP。这一概念与局中人i的类型i有关，还与博弈开始之时局中人i对ni1的概率分布知识有关，记这一事前的分布密度（局中人在博弈之前掌握的知识使其对ni1的取值可能性判断）为),,,(1niiP，称为“先验概率”。显然，iiiP就是一种条件概率的概念，即当局中人i的类型为i时，他认为i取值i的概率为

iiHiiiiiiiiiiPPPPP),(),( )(),( （6.2）

式（6.2）是概率论中著名的贝叶斯公式（Bayes equition）。

此时，因为i不知道i，与第3章中的混合博弈支付函数构造相类似，我们这里用von·Neumann——Morganstern效用函数刻画这种不确定下的支付函数，即i的期望支付为[2] ),),((*iiiiiiiaauPi （6.3）

显然，最大化式（6.3）的ia就是i的最优战略*ia，它与i有关，故)(**iiiaa。当存在一组“类型依存”的最优战略),,,,(***1*niaaaa，满足

),),(()|{maxarg*)(*iiiiiiiAaiaauPaiiii （6.4）

ni,,1则称*a是一个（纯战略）纳什均衡，也称为贝叶斯纳什均衡（Bayes Nash 207 equilibrium）。显然*a是类型依存的，即)(**iiaa。为了减少复杂性，假定博弈开始之前各个局中人掌握的关于),,(1n的分布密度知识是相同的，于是有：

Harsanyi公理：假定概率分布密度),,(1nP是所有局中人的共同知识。这一公理表明所有局中人有关自然行动的信念（belief）是相同的。

贝叶斯纳什均衡（也简称贝叶斯均衡）是完全信息静态博弈纳什均衡概念在不完全信息静态博弈上的扩展。

有时也称不完全信息静态博弈为静态贝叶斯博弈或贝叶斯静态博弈。

在上面，我们实际上已给出了静态贝叶斯博弈的战略式表述，以下给出正式的战略式表述和一些例子。

6.2 静态贝叶斯博弈的战略式表述：贝叶斯纳什均衡

定义6.1（n人静态贝叶斯博弈的战略式表述）局中人类型空间nHH,,1；条件概率nPP,,1；战略空间)(,),(11nnAA；支付函数),,,(,),,,,(1111nnnnaauaau。i知道i。用nnnnuuPPAAG,,,,,,,,,,,1111表示该博弈。

博弈顺序为：

①自然N选),,(1n，iiH，局中人i观察到i，但局中人ij仅知道)|(jjjP，不能观察到i。

②n个局中人同时选行动（战略）),,(1naaa，)(iiiAa。

③i得到支付),,,(1iniaau，ni,,1。

注意，该定义不排除局中人j可能拥有关于局中人i类型的某种信息，而当所有局中人类型空间只有一个元素时，不完全信息静态博弈就退化为完全信息静态博弈。

同时，这里假定了)(iiA和),,(iiiiaau本身是共同知识，即尽管其他局中人不知道i的类型i，但他们知道i的战略空间和支付函数是如何依赖于他的类型的，即当他们知道i时，就必然知道)(iA和)(iu。

n人不完全信息静态博弈nnnnuuPPAAG,,,,,,,,,,,1111的纯战略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存战略组合niiia1*)(，满足[3]：

),),(()|{maxarg)(*)(*iiiiiiiiAaiiaauPaiii

ni,,1

可以定义混合战略贝叶斯纳什均衡，并且模仿第4章中的方法不难证明有限博弈的不完全信息静态博弈至少存在一个贝叶斯纳什均衡，这一工作可留给读者自己去完成。

需要指出的是：纯战略只是一个行动ia如何依类型i而变的规则，不是指一个具 208 体的结果。

6.3 某些静态贝叶斯博弈的例子

例子6.1 市场进入博弈

一个完全垄断企业B正在垄断一个行业市场，另一个潜在的试图进入该行业的企业A，称A为进入者，B为在位者。A不知道B的成本特征，设B有两种可能的成本，即高成本和低成本。两种成本情况下的博弈矩阵如表6.1。

表6.1 市场进入博弈

B

高成本 低成本

默认 斗争 默认 斗争

A 进入 40,50 -10,0 30,80 -10,100

不进入 0,300 0,300 0, 400

假定B知道进入者A的成本为高成本，且与B为高成本时的成本相同。假若信息是完全的，则当B为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为（进入，默认），另一纳什均衡（不进入，斗争）是含有不可置信的威胁。当B为低成本时，唯一的纳什均衡为（不进入，斗争），即若A进入行业，具有低成本优势的B将通过降低价格将A逐出市场。由于存在行业进入成本，所以A被逐出市场后将有净的10单位进入成本的损失。

当A不知道B的成本情况时，他的选择将依赖于他对B的成本类型的主观概率或先验概率密度。

设A对B是高成本的先验概率判断为P，则A认为B为低成本的概率为P1。

如果A进入，其期望支付为

)10)(1()40(PP

如果1不进入，其期望支付为0。

当且仅当0)10)(1()40(PP或51P时，A选择进入；反之，当51P时，A不进入。

于是，贝叶斯均衡为：

（进入，默认），高成本，51P；

（进入，斗争），低成本，51P； 209 （不进入，*），51P

其中*表示可以是斗争，也可以是默认。

例6.2 成本信息不对称的古诺博弈

例3.10给出的古诺博弈中，每个厂商的成本函数是共同知识。这里，我们假设每个厂商的成本函数是私人信息，具体规定如下：两个企业生产相同产品在同一市场上进行竞争性销售，市场需求函数为PaQ，0a，P为产品价格，Q为市场需求量。假设a充分大时总有0Pa，企业i的成本函数为iiiqbC，其中iC为企业i的总成本，iq为其产量，ib为其平均成本，ib为常数且0ib，故ib也是边际成本。ib是企业i的私人信息，企业j不知道ib但认为ib在],[ed上呈均匀分布，0d，0e，ed。且进一步假定ib在],[ed呈均匀分布是共同知识，ji，2,1ji。

企业i的支付函数是其利润函数i

iiiiiiqbqQacPq)( 

因 21qqQ