07柯西基本定理

柯西中值定理

柯西中值定理，又叫柯西中值定理，是微积分学中的重要定理之一。它可以追溯到十九世纪，是由法国数学家柯西发现的。该定理的基本思想是，如果两个函数在某个区间内具有连续导数并且在区间的两个端点上函数值相等，则它们在这个区间内存在一点，使得两个函数的导数相等，也即两个函数在这个点上的斜率相等。

柯西中值定理的数学形式为：设$f(x)$和$g(x)$是$[a,b]$上的两个函数，且在区间$(a,b)$内具有连续导数$(f(x))'$和$(g(x))'$，且在区间的两个端点上函数值相等：$f(a)=f(b)$,$g(a)=g(b)$，则存在$c\in(a,b)$，使得：

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$$

其中$f'(c)$和$g'(c)$分别表示$f(x)$和$g(x)$在点$c$处的导数。

在实际应用中，柯西中值定理可以用来研究某些函数的性质。比如，我们可以利用柯西中值定理来研究函数在某一区间内是否单调增加或单调减少，以及某个函数在某一点的渐近线等。

下面我们举几个例子来说明柯西中值定理的应用。

例1：利用柯西中值定理证明以下不等式：

$$\cos x\leq1-\frac{x^2}{2}$$

证明：设$f(x)=\cos x$,$g(x)=1-\frac{x^2}{2}$，则有：

$$f'(x)=-\sin x$$

$$g'(x)=-x$$

注意到$f(x)$和$g(x)$在区间$[-1,1]$上都具有连续导数，并且在区间的两个端点上都有$f(-1)=\cos(-1)$,$f(1)=\cos(1)$,$g(-1)=1-\frac{1}{2}$,$g(1)=1-\frac{1}{2}$，因此由柯西中值定理得：

$$\frac{\cos 1-\cos(-1)}{\frac{1}{2}}=-\frac{\sin c}{c}$$

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柯尼希定理及其基本应用

作者：赵娜

来源：《中学教学参考·理科版》2018年第06期

[摘 要]文章介绍了柯尼希定理及其三种基本应用：快速准确地理解一些物理过程中系统动能的变化；准确地梳理一些模型间动能的对应关系；简洁地表达一些复杂系统的总动能。

[关键词]柯尼希定理；质心参考系；资用能；高中物理竞赛

[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）17-0038-02

[ 参 考 文 献 ]

[1] 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程（力学篇）[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2002.

[2] 范小辉.新编高中物理奥赛指导[M].南京：南京师范大学出版社，2009.

（责任编辑 易志毅） 龙源期刊网

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§2 柯西中值定理和不等式极限

一 柯西中值定理

定理(6.5) 设 、满足

(i) 在区间 上连续，

(ii) 在 内可导

(iii) 不同时为零;

(iv)

则至少存在一点 使得

柯西中值定理的几何意义

曲线 由参数方程

给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，

则 上存在一点 P处的切线平行于割线 .。

注意曲线 AB在点 处的切线的斜率为 ，

而弦 的斜率为

.

受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：

由于，

类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数

容易验证 满足罗尔定理的条件且

根据罗尔定理，至少有一点 使得 ，即

由此得

注2：在柯西中值定理中，取 ，则公式（3）可写成

这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，则

. 这恰恰是罗尔定理.

注3:设 在区间 I上连续，则 在区间 I上为常数 ，

.

三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性

1、利用其几何意义

要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。

可以用这种几何解释进行思考解题：

例1：设 在 （a ，b） 可导，且在 [a，b]

上严格递增，若，则对一切

有 。

证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格

朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以 ＜，从而

＜

注意到，移项即得＜，

2、利用其有限增量公式

要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式

进行思考解题：

例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得

证：上式左端

作辅助函数

则上式

=

，

= ，其中

3、作为函数的变形

要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上

（介于与之间）

此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。

第 1 页 共 15 页 柯西中值定理的证明及应用

马玉莲

（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070）

摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式.

关键词：柯西中值定理; 证明; 应用

第 2 页 共 15 页 1.引言

微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下：

柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足

(1) 在[,]ab上都连续;

(2) 在(,)ab内都可导;

(3) '()fx 和'()gx不同时为零;

(4) ()()gagb, 则存在(,)ab，使得

()()()()()()ffbfaggbga . （1）

本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用.

2.柯西中值定理的证明

2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理

罗尔定理 设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab上可导，且()()fafb则至少存在一点,(,)ab , 使得

'()0f.

证明 构造辅助函数

()()()()()(()())()()fbfaFxfxfagxgagbga，

易见F在[,]ab上满足罗尔定理条件，故存在(,)ab，使得