边界层理论

1•边界层理论概述 ...................................................................... 1

1.1边界层理论的形成与发展 ..................................................... 1

1.1.1边界层理论的提出 ..................................................... 1

1.1 边界层理论存在的问题 ........................................................ 2

1.2边界层理论的发展 .............................................................. 2

2边界层理论的引入 .................................................................... 3

3边界层基础理论 ...................................................................... 4

3.1边界层理论的概念 ................................................................... 4

3.2边界层的主要特征 .............................................................. 6

3.3边界层分离 .................................................................... 7

3.4层流边界层和紊流边界层 ..................................................... 9

3.5边界层厚度 ................................................................... 10

3.5.1排挤厚度 ............................................................... 11

3.5.2动量损失厚度 ......................................................... 11

3.5.2能量损失厚度 ......................................................... 12

4边界层理论的应用 ................................................................... 14

4.1边界层理论在低比转速离心泵叶片设计中的应用 .................................. 14

4.2边界层理论在高超声速飞行器气动热工程算法中的应用 ............................ 14

4.3基于边界层理论的叶轮的仿真 ............................................. 15

参考文献 ............................................................................. 171.边界层理论概述

1.1边界层理论的形成与发展

1.1.1边界层理论的提出

经典的流体力学是在水利建设、造船、外弹道等技术的推动下发展起来 的，它的中心问题是要阐明物体在流体中运动时所受的阻力。虽然很早人们 就知道，当粘性小的流体（像水、空气等）在运动，特别是速度较高时，粘 性直接对阻力的贡献是不大的。但是，以无粘性假设为基础的经典流体力学， 在阐述这个问题时，却得出了与事实不符的“ D'Alembert之谜”。在19世纪 末叶，从不连续的运动出发， Kirchhoff ，

Helmholtz，Rayleigh等人的尝试

也都失败了。

经典流体力学在阻力问题上失败的原因，在于忽视了流体的粘性这一重 要因素。诚然，在速度较高、粘性小的情况下，对一般物体来说，粘性阻力 仅占一小部分；然而阻力存在的根源却是粘性。一般，根据来源的不同，阻 力可分为两类：粘性阻力和压差阻力。粘性阻力是由于作用在表面切向的应 力而形成的，它的大小取决于粘性系数和表面积；压差阻力是由于物体前后 的压差而引起的，它的大小则取决于物体的截面积和压力的损耗。当理想流 体流过物体时，它能沿物体表面滑过（物体是平滑的） ；这样，压力从前缘驻

点的极大值，沿物体表面连续变化，到了尾部驻点便又恢复到原来的数值。 这时压力就没有损失，物体自然也就不受阻力。如果流体是有粘性的，哪怕 很小，在物体表面的一层内，流体的动能在流体运动过程中便不断地在消耗； 因此，它就不能像理想流体一直沿表面流动，而是中途便与固体表面脱离。 由于流体在固体表面上的分离，在尾部便出现了大型涡旋；涡旋演变的结果， 就形成了一种新的运动“尾流”。这全部过程是一个动能损耗的过程，也是阻 力产生的过程。

由于数学上的困难，粘性流体力学的全面发展受到了一定的限制。但是， 在粘性系数小的情况下，粘性对运动的影响主要是在固体表面附近的区域内。

从这个概念出发，普朗特（Prandtl ）在1904年提出了简化粘性运动方 程的理论一一边界层理论。即当流体的粘度很小或雷诺数较大的流动中，流 经物体的流动可以分为两个性质不同的区。贴近物体表面的流体薄层内是粘 性流体，由于边界层很薄，使得求解粘性流体的运动微分方程 N-S方程大为

简化，求解也成为可能；而边界层以外，粘性影响可以忽略不计，可作为理 想流体来处理，称为主流区(势流区)，从而使流体的绕流问题大为简化。在 这个理论的指导下，阻力的问题终于从理论上获得解决。

1.1边界层理论存在的问题

十八世纪末，理想流体动力学已发展到较完善的程度，可解决一些生产实 际问题，但对流体与物体壁面间的摩擦阻力无法定量计算。从数学上来说， 边界后近似是N.S.方程及Reynold方程在大雷诺数的情况下的一种近似解。 通过引入边界层近似，上述方程中的一些项被忽略，方程得到简化，从而使 许多实际的工程问题能得到比较满意的解答。但是，边界层近似并末改变方 程的非线性性质。边界层方程的求解在数学上仍然存在很大的困难。由于这 一原因，边界层的数值计算就日益受到人们的重视。

1.2边界层理论的发展

普朗特(Prandtl)学派从1904年到1921年逐步将 N-S方程(Navier — Stolese

equatio n) 作了简化，从推理、数学论证和实验测量等各个角度，建 立了边界层理论(boundary layer theory) ，能实际计算简单情形下，边界层

内流动状态和流体同固体间的粘性力 (cohesive force)。同时，普朗特又提

出了许多新概念，并被广泛地应用到飞机和汽轮机的设计中去。这一理论既 明确了理想流体的适用范围，又能计算物体运动时遇到的摩擦阻力 (friction

drag)，使上述两种情况得到了统一。20世纪初，飞机的出现极大地促进了空 气动力学的发展。航空事业的发展，期望能够揭示飞行器周围的压力分布、 飞行器的受力状况和阻力等问题，这就促进了流体力学在实验和理论分析方 面的发展。20世纪初，以儒柯夫斯基、恰普雷金、普朗特等为代表的科学家， 开创了以无粘不可压缩流体位势流理论为基础的机具理论，阐明了机翼怎样 会受到举力，从而空气能把很重的飞机托上天空。机具理论的正确性，使人 们重新认识无粘流体的理论，肯定了它指导工程设计的重大意义。机翼理论 和边界层理论的建立和发展是流体力学的一次重大进展，它使无粘流体

—viscous fluid) 理论同粘性流体(viscous fluid) 的边界层理论很好(non 地

结合起来。随着汽轮机的完善和飞机飞行速度提高到 50m/s以上，又迅速扩

展了从19世纪就开始的、对空气密度变化效应的实验和理论研究，为高速飞 行提供了理论指导。20世纪40年代以后，由于喷气推进和火箭技术的应用， 飞行器速度超过声速，进而实现了航天飞行，使气体高速流动的研究进展迅 速，形成了气体动力学、物理。化学流体动力学等分支学科。这些巨大进展 是和采用各种数学分析方法和建立大型、精密的实验设备和仪器等研究手段 分不开的。从20世纪50年代起，电子计算机不断完善，使原来用分析方法 难以进行研究的课题，可以用数值计算方法来进行，出现了计算流体力学这 一新的分支学科。与此同时，由于民用和军用生产的需要，液体动力学

(liquid dynamics)等学科也有很大进展。20世纪60年代，根据结构力学 (structured

mechanics) 和固体力学(s01id mechanics) 的需要，出现了计算

弹性力学问题的有限元法。经过十多年的发展，有限元分析 (finite eleme nt

analysis)这项新的计算方法开始在流体力学中应用。

如果说流体力学领域的第一一篇论文，即阿基米德关于流体浮力的《论 浮体》标志着流体力学这门学科开始萌芽的话，那么当今的流体力学已成长 为一棵枝繁叶茂的大树。诸如：关于流体力学自身领域问题的研究和认识日 益深化；新的数学工具和方法，如人工神经网络 (ANN)方法、小波(Wavelets)

分析方法和格子B01tgnMn方法(LBM)等被广泛应用于分析和解决各种流体力 学问题；流体力学辐射和渗透的工程领域亦愈来愈广泛，在很大程度上促进 和加深了对诸多工程问题实质的了解与技术的完善。

2边界层理论的引入

1904年，普朗特对此进行了研究，结合实验，开始提出一了边界层理论， 为利用理论分析和数学方法解决粘性流体绕流问题提供了有效的方法和手段， 对解决大雷诺数实际流体的问题提供了分析可能，促使厂流体力学的发展。 它不仅使实际流体运动中不少表面上看来似是而非的问题得以澄清，而且为 解决边界复杂的实际流体运动的问题开辟了途径。 边界层概念的提出，开创

了应用粘性流体解决实际工程问题的新时代，并且进一步证明了研究理想流 体的重要意义。利用边界层理论使绕流物体尾流及漩涡的形成等复杂流体现

象得到解释，是分析物体绕流阻力和流体能量损失的理论基础。边界层理论 对流体力学的发展有深远影响，它在流体力学发展史上具有划时代意义。

3边界层基础理论

3.1边界层理论的概念

物体在雷诺数很大的流体中以较高的速度相对运动时，沿物体表面的法线 方向，得到如图（1）所示的速度分布曲线。B点把速度分布曲线分成截然不同 的AB和BC两部分，在AB段上，流体运动速度从物体表面上的零迅速增加到 U

「速度的增加在很小的距离内完成，具有较大的速度梯度。在 BC段上，速度

U（x）接近UU，近似为一常数。