空心、实心的问题

判断空心实心的三种方法空心实心是指物体的形态、结构以及材质，是很多科学和工程实验中常用的概念。

对于物理学上的结构，一般情况下，空心物体指的是有内部空间的物体，而实心物体是没有内部空间的物体。

但是在实际的生活和工程实验中，要判断一个物体的空心实心、是不是比较困难的。

因为大家都知道，很多物体表面看起来很光滑，但实际上却有许多细小的小孔和缝隙，这使得判断比较复杂。

那么，如何判断一个物体是空心还是实心呢？下面就来介绍几种方法，以便以后在实际工作和生活中便捷有效地判断空心实心的物体。

第一种方法是重量测试法。

根据重量的大小可以很容易的判断物体是空心还是实心。

对于同样大小的物体来说，如果它重量比较轻，那么就是空心物体；如果它重量比较重，那么就是实心物体。

重量测试法最大的优势在于，不仅可以快速地判断物体的空心实心，还可以推测物体的大致结构和材质。

第二种方法是中心压力测试法。

这种方法可以判断一个物体表面看起来是空心的，但实际上可以有细小的小孔和缝隙。

在进行中心压力测试之前，可以先通过重量测试判断物体的空心实心，之后再施加中心压力，从而判断物体细节结构的组成。

第三种方法是声学测试法。

声学测试法是一种测试物体空心实心最简单、最实用的方法。

如果物体是空心的，那么把耳朵放在物体上，当外部环境产生噪声时，会有更明显的回声；如果物体是实心的，那么当外部环境产生的噪声通过物体时，会有更多的吸收效果，所以没有明显的回声。

以上就是判断一个物体是空心还是实心的三种方法。

它们的不同之处在于，重量测试法判断的快慢度、中心压力测试法的准确程度以及声学测试法的简单易行性。

当然，这三种方法也可以结合起来使用，以达到更准确的测试结果。

总之，准确判断一个物体的空心实心，不仅是很多物理学、工程学以及医学等科学实验中很常用的概念，也是很多日常生活中需要采用的方法。

只要我们准确认识这三种方法，就可以有效地判断物体的空心实心，从而更加有效地利用这些物体。

小学数学典型应用题16：方阵问题（含解析）方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。

根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4解题思路和方法方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。

那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。

2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。

所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。

例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。

2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。

知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。

最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。

小学数学应用题之方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。

那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。

2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。

所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。

例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。

2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。

知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。

最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。

物体是否空心的判别方法普定县鸡场中学李树平在初中物理中，有一类关于判别物体是否空心的问题。

许多学生总是容易出错，在此我以一个例子来谈谈这类问题的解决办法，希望对学生在解决这类问题时有所帮助。

例：一个质量是178g，体积为30cm3的铜球，请判断它是空心还是实心的？（ρ铜=8.9×103kg/m3）分析：解决这类问题，我们可以从三个方面入手：一是比较密度；二是比较质量；三是比较体积。

通过计算出的密度、质量、体积与已知密度、质量、体积的比较来判断此铜球是空心还是实心。

解法一：比较密度计算出质量为178g，体积为30 cm3的铜球的密度与铜的密度ρ铜=8.9×103kg/m3作比较，若计算出的密度等于铜的密度ρ铜=8.9×103kg/m3，此铜球为实心的；若小于铜的密度ρ铜=8.9×103kg/m3为空心的。

ρ/铜=vm=30178=5.93g/cm3=5.93×103kg/m3ρ/铜<ρ铜即 5.93×103kg/m3<8.9×103kg/m3所以此铜球为空心的。

解法二：比较质量计算出体积为30 cm3的铜球的质量与题目告诉的178g作比较，若等于178g为实心，若大于178g为空心的。

m铜=ρ铜v=8.9×103×30×106=0.267kg=267g267g>178g所以此铜球为空心的。

解法三：比较体积计算出质量178g 的铜球的体积，与题目告诉的铜球体积30 cm 3作比 较，若等于30 cm 3为实心，若小于30 cm 3为空心的。

(ρ铜=8.9×103kg/m 3=8.9g/cm 3)v 铜= m =9.8178=20cm 320cm 3<30cm 3所以此铜球是空心的。

在实际的问题处理中，你是采用比较密度、体积还是质量，你可根据具体情况来选择，它们最后的结果都是相同的。

一、空心、实心问题例1：一质量为395g，体积为100cm3的铁球，问它是空心的还是实心的？若是空心的，空心部分的体积多大？（ρ铁=7.9g/cm3）反馈练习：1、有质量相等的两个球，它们的体积比是V1:V2=1:5，材料的密度比是ρ1: ρ2=4：1，其中有一个是空心的，已知实心球的体积是V，则空心球空心部分的体积是（）A、VB、2VC、1/5VD、1/4V2、用同种材料制成的三个正方体，它们的边长分别为1cm、2cm、3cm，质量分别为3g、24g、54g，已知其中一个是空心的，请用两种不同方法鉴别出来。

3、体积和质量相等的铝球、铁球和铅球，密度分别是ρA1=2.7g/cm3，ρFe=7.9g/cm3，ρPb=11.3g/cm3，下列说法正确的是（）A、若铝球是实心的，则铁球和铅球一定是空心的。

B、若铁球是实心的，则铝球和铅球一定是空心的。

C、若铅球是实心的，则铝球和铁球一定是空心的。

D、三个球都可能是空心的。

4、两个铜球质量相等，但体积不等，则它们（）A、一定是空心球B、都是实心球C、至少有一个实心球D、至少有一个是空心球5、一个空心铜球，其空心部分是球体，它的质量与同外径的实心铁球质量相等，空心部分体积与铜球外观体积之比是多少？（ρ铁=7.9g/cm3 ρ铜=8.9g/cm3）6、体积是30cm3的空心铜球质量是89g，将它的中空部分注满某种液态物质后，总质量是361g，已知ρ铜=8.9g/cm3，那么注入的液态物质的密度是多少千克/米3？7、有甲、乙两个铁球，甲球是实心的，质量为7.8kg，体积为1dm3，乙球是空心的，乙的质量是甲球的4倍，体积为甲球的4.5倍，求乙球空心部分的体积是多少？（ρ铁=7.8g/cm3）8、体积为30cm3，质量是178g的铜球，问它是空心的还是实心的？若是空心的，在其中空部分铸满铝，求铝的质量是多少？（ρ铝=2.7g/cm3，ρ铜=8.9g/cm3）二、利用空瓶求密度例2：一空瓶质量是200g，装满水后称出瓶和水的总质量是700g，将瓶中水倒出，先在空瓶内装一些金属颗粒，称出瓶和金属颗粒总质量是1090g，然后将瓶内装满水，称出瓶、水和金属颗粒的总质量是1490g，求瓶内金属颗粒的密度是多少？它可能是什么金属？反馈练习：1、瓶中装满水时，称其总质量是88g，若装入10g的砂粒，水益出后把瓶的外部擦干，称其质量是94g，求砂粒的密度。

有关密度的几种常见计算题一、根据公式计算密度、质量、体积。

1、一钢块的质量为35.8千克，切掉1/4后，求它的质量、体积和密度分别是多少？（ρ钢=7.9×10³kg/m³）2、小明在学校运动会上获得一块奖牌，他想知道这块奖牌是否由什么制成，于是他用天平和量杯分别测出该奖牌的质量和体积为14g和2cm3，并算出他的密度为多少kg/m3？小明通过查密度表知道，该奖牌是由_____制成的。

3、一个铁球的质量是3.9kg，铁的密度是7.9×10³kg/m³，求该铁球的体积是多少dm3？4、一块巨石的体积是1.5m3，已知巨石的密度是2.4g/cm3，求该巨石的质量是多少t？二、关于冰、水的问题。

1、体积为1 m³的冰化成水的体积多大？(ρ冰=0.9×10³kg/m³)2、体积为9 m³的水化成冰的体积多大？三、关于同体积的问题。

1、一个空杯子装满水，水的总质量为500克；用它装满酒精，能装多少克？(ρ酒=0.8×10³kg/m³)2、一个空杯子装满水，水的总质量为1千克；用它装另一种液体能装1.2千克，求这种液体的密度是多少？3、一零件的木模质量为200克，利用翻砂铸模技术，制作钢制此零件30个，需要多少千克钢材？（ρ木=0.6×10³kg/m³）4、质量是200g的瓶子，盛满水后的质量是1．2kg，若用这个瓶子盛满某种液体，液体和瓶子的总质量是13.8kg。

求这种液体的密度，并确定它是何种液体。

5、有1个空瓶装满水后总质量为64g，将水倒出，装满酒精后总质量为56g，求空瓶的质量。

（酒精的密度=800kg/立方米，水的密度=1000kg/立方米）四、有关取样法的问题1、有一个大型石碑，长2m，宽1m，高5m。

找到一块跟石碑材质一样的碎石，测得碎石的质量是50g，体积为20cm3。

专题五、密度的计算一、知识网络二、考点梳理考点一、质量物体所含物质的多少叫质量。

要点诠释：1、单位：国际单位：kg ，常用单位：t、g、mg对质量的感性认识：一枚大头针约80mg一个苹果约150g一头大象约6t一只鸡约2kg2、质量的理解：物体的质量不随物体的形状、状态、位置、温度的改变而改变，所以质量是物体本身的一种属性。

3、测量：考点二、密度某种物质组成的物体的质量与它的体积之比叫做这种物质的密度。

要点诠释：1、公式：变形：2、单位：国际单位：kg/m3，常用单位g/cm3。

单位换算关系：1g/cm3=103kg/m31kg/m3=10-3g/cm3。

水的密度为1.0×103kg/m3，其物理意义为1立方米的水的质量为1.0×103千克。

3、理解密度公式：⑴同种材料，同种物质，不变，m与V成正比；物体的密度与物体的质量、体积、形状无关，但与质量和体积的比值有关；密度随温度、压强、状态等改变而改变，不同物质密度一般不同，所以密度是物质的一种特性。

⑵质量相同的不同物质，体积与密度成反比；体积相同的不同物质质量与密度成正比。

4、图象：如图所示：甲＞乙5、测体积——量筒（量杯）⑴用途：测量液体体积（间接地可测固体体积）。

⑵使用方法：“看”：单位：毫升（ml）、量程、分度值。

“放”：放在水平台上。

“读”：量筒里的水面是凹形的，读数时，视线要和凹面的底部相平。

考点三、密度的测量及应用1、测固体的密度：说明：在测不规则固体体积时，采用排液法测量，这里采用了一种科学方法--等效代替法。

2、测液体密度：⑴原理：ρ=m/V⑵方法：①用天平测液体和烧杯的总质量m1；②把烧杯中的液体倒入量筒中一部分，读出量筒内液体的体积V；③称出烧杯和杯中剩余液体的质量m2 ；④得出液体的密度ρ=(m1-m2)/V。

3、密度的应用：⑴鉴别物质：密度是物质的特性之一，不同物质密度一般不同，可用密度鉴别物质。

⑵求质量：由于条件限制，有些物体体积容易测量但不便测量质量，用公式m=ρV可以算出它的质量。

方阵问题月日姓名【知识要点】方阵中：每相邻边人数相差2人，每相邻层人数相差8人（1）实心方阵：每边人数×每边人数=总人数。

每边人数=一周的总人数÷4+1（2）空心方阵：（四分法）（最外层每边人数-层数）×层数×4=空心方阵的人数。

总人数÷4÷层数+层数=最外层每边人数。

【经典例题】例1、棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？例2、参加运动会团体操表演的某小学学生组成一个正方形队列，共有25行，每行25人。

问：若从正方形队列中去掉一行和一列，减少了多少名学生？一共有多少同学？例3、有学生若干人，排成2层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？例4、设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？例5、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒？随堂小测1、一个以每边为12人的实心方阵队列，共多少人？2、四年级（1）班同学参加广播体操比赛，排成每行8人、每列8人的方阵，问方阵中共有多少同学？如果去掉一行一列，还剩多少同学？3、团体操表演，少先队员排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问参加团体操表演的少先队员共有多少人？4、用棋子排成一个二层的空心方阵,外层每边有8个棋子,求这个空心阵的棋子总数?5、小明用围棋子摆成一个三层的空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子课后作业1、一队学生站成20行20列的方阵，去掉4行4列，要减少多少人？2、有一队学生，排成中空方阵，最外层的人数共56人，最内层的人数共32人，这一队学生共有多少人？3、三层空心方阵，最外层每边10人，一共多少人？5、在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外层每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，问这个方块队共有多少同学组成？6、将棋子排成正方形，甲、乙两人自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得24粒，问棋子总数有多少粒？7.工人用鲜花摆了一个方阵花坛，这个方针最外层有108盆，那么这个方阵有多少盆花？14.小红用棋子摆了一个空心方阵，最外层用48个棋子，最里边用了16个棋子，这个方阵共有几层？8.一个中空方阵，最外边一层有80人，最里边一层有32人，共有几人？17.用64盆花围成每边两层的空心方阵，若在外再增加一层成为三层空心方阵，需增加花几盆？432人排成一个六层空心方阵，求这个方阵最外层每边有多少人？10、某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生?11、把80个棋子摆成一个一层空心方阵,每边摆放几个棋子?这道题是20还是21?问题补充：详细解题思路10*4-4=36(人)最外层的人数以后每往里一层人数减少4人36+32+28=96(人)方阵问题：许多人排成方阵，求实心方阵或空心方阵有多少人的问题。

密度典型计算题一、理解ρ=m/v（一）一杯水倒掉一半，它的密度、质量、体积变不变，为什么？（二）、氧气瓶的问题1.某钢瓶内所装氧气得密度为8 kg/m3,一次电焊用去其中的1/4,则剩余氧气的密度为多少?2、医院有一钢制氧气瓶，容积为10dm3，内有密度为2.5kg/m3的氧气，某次抢救病人用去了5g，则剩余气体的密度为多少？3、医院有一氧气瓶，容积为10dm3，内有密度为2.5kg/m3的氧气，现将活塞向下压缩，使其体积变为原来的1/2，则此时瓶内气体的密度为多少？4、某瓶氧气的密度是5kg/m3，给人供氧用去了氧气质量的一半，则瓶内剩余氧气的密度是 _；容积是10L的瓶子装满了煤油，已知煤油的密度是 0．8×103kg/m3，则瓶内煤油的质量是，将煤油倒去4kg后，瓶内剩余煤油的密度是。

（三）比例题：1、关于密度，下列说法正确的是（）A．密度与物体的质量成正比，与物体的体枳成反比 B．密度是物质的特性，与物体的质量和体积无关C．密度与物体所处的状态无关 D．密度与物体的温度无关2、根据密度公式ρ=可知（）A.密度与质量成正比B.密度与体积成反比C.同种物质的质量与体积成正比D.密度等于某种物质的质量与体积的比值3、质量相同的不同物质，它们的体积之比为2:3，求它们的密度之比？4、两个质量不同的同种物体，它们的质量之比为4:5，求它们的体积之比？5、甲、乙两物体，质量比为3：2，体积比为4：5，求它们的密度比。

6、甲乙两个正方体边长之比为2:1，质量之比为1:3，求它们的密度之比？7、甲乙两物体密度之比为1：2，体积之比为3:2，求它们的质量之比？密度比例专题训练1.一个铁锅的质量是300克，一个铁盒的质量是200克，它们的质量之比是；密度之比是______;体积之比是_______.2.有甲、乙两种物质，他们的质量之比是2：1，密度之比是1：2，那么他们的体积之比是_________.3.有甲、乙两种物质，他们的质量之比是2：1，体积之比是3：5，那么他们的密度之比是___________。

一．选择题（共11 小题）1．分别用质量相等的铜、铁、铝制成三个体积都相等的空心球，比较它们中间空心部分的体积，则（已知：ρ 铜＞ρ铁＞ρ铝）（）A．铜球最大B．铁球最大C．铝球最大D．三球一样大332．甲物质的密度为 5g/cm ，乙物质密度为 2g/cm ，各取一定质量混合后密度为3g/cm3．假设混合前后总体积保持不变，则所取甲、乙两种物质的质量之比是（）A．5：4 B．2：5C．5：2D．4：53．三个质量和体积都相同的空心球，分别用铜、铁、铝制成，则三个球的空心部分体积（）A．铝球最小 B ．铁球最小C．铜球最小D．无法判定4．现有密度分别为ρ1、ρ2（ρ1＜ρ2）的两种液体，质量均为 m0，某工厂要用它们按体积比 1：1 的比例配制一种混合液（设混合前后总体积保持不变），且使所得混合液的质量最大．则（）A．这种混合液的密度为B．这种混合液的密度为C．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为（1﹣）m0D．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为（﹣1）m05．甲、乙、丙三个正方体，边长之比为1： 2： 3，质量分别为 3g、24g、36g，已知它们是同种材料制成的，但有一个是空心的，空心正方体是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断3时，（铝的密度为 2.7g/cm 3）6．质量为 2000kg 的铝球，其体积为 1m）则（A．一定是空心的B．一定是实心的C．可能是空心，也可能是实心的 D ．无法判断7．50mL水和 50mL酒精混合，则该混合液的密度（酒精的密度是0.8 ×103kg/m3）（3333） A．大于 0.9 × 10 kg/m B．小于 0.9 ×10 kg/mC．等于 0.9 ×103kg/m3D．无法判断8．已知ρ铝 =2.7 × 103千克 /m3，ρ铜 =8.9 ×103千克 /m3，若用相同质量的铝和铜制成相同体积的球，则下列说法正确的是（）A．两球都是实心的B．铝球可能是空心的，铜球不可能是空心的C．若两球都是空心的，则铝球的空心体积比铜球的空心体积大D．铝球可能是实心的，铜球不可能是实心的9．现有同一种材料制成的四个正方体，其中有一个是空心的，它们的边长和质量如图所示．则空心的是（）A．B．C．D．10．有三个质量相同小球A、B 和 C，（ρA＞ρB＞ρC），投入三只满水的杯子里都沉入杯底，溢出水的体积关系为V A=V B＜V C（）A．球 A 一定空心B．球 B 一定空心C．球 C 一定空心D．球 C一定实心11．甲、乙两个小球的质量相等，已知ρ甲：ρ乙=3：1，V甲：V乙=1：4，则下列说法中正确的是（） A．甲一定是空心的B．乙一定是空心的C．一定都是空心的D．一定都是实心的二．填空题（共 4 小题）12．有三个质量相同的实心铜球、铁球和铝球，则球的体积最大；若是这三个质量相同的小球体积相同，则球一定是空心的（ρ铜＞ρ 铁＞ρ铝）．13．体积为335cm，质量为79g 的空心铁球，若在中空部分装满水，则铁球的总质量为（铁的密度是7.9 ×103kg/m3）4 14．AB两物体质量相等， A 的体积是 B 的 7 倍， B 物质的密度是 A 物质密度的倍，如果其中只有一个球是空心的，则能判断出物体是空心的．15．体积为V0的空心铝球质量为m0，已知铝的密度为ρ0，现将某液体注满它的空心部分后球的质量变为m1，空心部分的体积为，液体的密度为．三．多选题（共 2 小题）16．现有密度分别为ρ1、ρ2（ρ1＞ρ2）的两种液体，若将两液体等体积混合时混合液的密度为ρ甲，若将两液体等质量混合时混合液的密度为ρ乙，设混合前后总体积不变，则ρ乙=（），ρ甲=（）A．ρ甲=B．ρ甲 =C．ρ乙 =D．ρ乙 =17．一空容器的质量为 m0，容积为 V0，该容器内装满某种液体后，总质量为 m1，若在容器内放一质量为 m的小金属块 A 后再加满这种液体，总质量为 m2；若在容器内放一质量为 m的小金属块 A和一质量也为 m的小金属块 B后再加满这种液体，总质量为 m3，则下列判断正确的是（）A．液体的密度为B．金属块 A 的体积为C．金属块 A 的密度为D．金属块 B 的体积为四．计算题（共 4 小题）18．判断一个铝球是否是实心的，他们对铝球进行了测量，实验数据如下：（ρ铝=2.7 ×103kg/m3）铝球的质量 m/g水的体积 V /mL水和铝球的总体积 V/mL122750.065.0求：（ 1）该铝球是空心还是实心的？（2）若铝球是空心的，空心部分的体积多大？（3）若在空心部分注满水，水的质量是多大？319．一个铜球，体积 10cm，质量为 62.3g，通过计算说明（ 1）这个铜球是实心的还是空心的？（ 2）如果是空心的，空心部分体积多大？（ 3）若把此球的空心部分罐满水，则此球的总质量是多少？（ρ铜=8.9g/cm 3）320．一个铁球，质量为 0.39kg ，而体积为 100cm，那么这个铁球是否为空心的？若为空心的，其空心部分注满水，则此球的总质量为多大？（铁密度是7.8 ×103kg/m3）．321．体积为 30cm，质量是 178g 的铜球，试判断是空心的还是实心的？如果是空心的，空心部分的体积是多少？（ρ铜 =8.9 ×103kg/m3）五．解答题（共 1 小题）322．体积为 30cm，质量为 158g 的空心球，其空心部分注满水后测得质量为 168g，则其空心部分的体积是多少？若把空心球压成实心球，其密度是多少？（ρ水 =1.0×103kg/m3）一．选择题（共11 小题）1．分别用质量相等的铜、铁、铝制成三个体积都相等的空心球，比较它们中间空心部分的体积，则（已知：ρ铜＞ρ铁＞ρ铝）（）A．铜球最大B．铁球最大C．铝球最大D．三球一样大【分析】由题意可知，三球的质量相等以及密度关系，根据ρ=可知它们实心部分的体积关系，然后结合三个球的体积相等得出答案．【解答】解：由题意可知，三个球的质量相等，即m 铜=m 铁=m 铝，因ρ铜＞ρ铁＞ρ铝，所以，由 V=可知，三个球的实心部分的体积关系为：V 铝实＞V 铁实＞V 铜实，又因为三个球的体积相等，所以，由 V 空 =V 球﹣V 实可知，三个球的空心部分的关系是V 铜空＞ V 铁空＞V 铝空，即铜球的空心部分体积最大，故 A 正确、 BCD错误．故选 A．【点评】本题注意考查学生对密度公式的理解和应用，关键是知道 V 球 =V 实 +V 空．2．甲物质的密度为 5g/cm3，乙物质密度为 2g/cm3，各取一定质量混合后密度为3g/cm 3．假设混合前后总体积保持不变，则所取甲、乙两种物质的质量之比是（）A．5：4B．2：5C．5：2D．4：5【分析】甲乙两液体的质量即为混合液体的质量，根据密度公式求出甲乙两液体的体积，两体积之和即为混合液体的体积，根据密度公式表示出混合液体的密度，化简得出甲、乙两种物质的质量之比．【解答】解：设甲乙物体的质量分别为m 甲、m 乙，则混合液体的质量：m=m 甲 +m 乙，由ρ=可得，甲、乙两液体的体积分别为：V甲=，V乙=，则混合液体的体积：V=V 甲+V 乙=+，混合液体的密度：ρ=，） =m 甲+m 乙，即ρ（ + 代入数据可得：3g/cm 3×（+）=m甲+m乙，解得： m 甲： m 乙 =5：4．故选 A．【点评】本题考查了有关混合液密度的计算，关键是知道混合液体的体积等于两液体的体积之和、混合液体的质量等于两液体的质量之和．3．三个质量和体积都相同的空心球，分别用铜、铁、铝制成，则三个球的空心部分体积（）A．铝球最小B．铁球最小C．铜球最小D．无法判定【分析】根据铜、铝、铁制成的三个质量、体积都相等的空心球和ρ铜＞ρ铁＞ρ铝这两个条件，由密度公式变形可分别算出三个球的实心体积，从而比较出三球的空心体积．【解答】解：ρ铜 =V 实铜 =，同理可得 V 实铝和 V 实铁，∵铝、铁制成的三个质量、体积都相等的空心球，ρ铜＞ρ铁＞ρ铝，∴v 实铜最小，那么铜球的空心部分就最大，铝球的空心部分就最小．故选 A．【点评】此题考查学生对密度公式变形的灵活运用，锻炼学生解题的速度，即从公式可直接看出三个实心球的体积大小，从而判断出空心部分的体积；同时锻炼学生的空间想象能力．4．现有密度分别为ρ1、ρ2（ρ1＜ρ2）的两种液体，质量均为m0，某工厂要用它们按体积比 1：1 的比例配制一种混合液（设混合前后总体积保持不变），且使所得混合液的质量最大．则（）A．这种混合液的密度为B．这种混合液的密度为C．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为（1﹣）m0D．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为（﹣1）m0【分析】（1）当两种液体的体积相等时，我们可设每种液体的体积为 V，则混合液体的体积为 2V，然后根据公式 m=ρV分别表示出这两种液体的质量，从而就可以得出混合液体的总质量，最后根据密度公式求出混合液体的密度表达式；（ 2）已知原来两液体的质量相等，且ρ1＜ρ2，由V=可知原来两液体的体积关系；要使所得混合液的质量最大，且是等体积混合，则体积较小的液体全部用完，体积较大的液体有剩余，即取用液体的体积等于较小的液体体积，则剩下的那部分液体的质量 =该液体原来的质量﹣实际取用的质量，据此求解．【解答】解：AB、由题知，某工厂要用它们按体积比 1：1 的比例配制一种混合液（设混合前后总体积保持不变），设所需每种液体的体积为V，则混合液体的总体积为2V，由ρ=可得，两种液体的质量分别为m1=ρ1V，m2=ρ2V；则混合液体的总质量为m=m1+m2=ρ1V+ρ2V，所以，混合液体的密度为ρ= ==，故AB错误；CD、因为原来两液体的质量相等（质量均为m0），且ρ1＜ρ2，所以，由 V=可知，原来两液体的体积关系为V1＞V2，即质量相等的两液体，密度为ρ的液体体积较小；2要使所得混合液的质量最大，且是等体积混合，则密度为ρ2的液体全部用完，密度为ρ1的液体有剩余，则取用每种液体的体积均为V=V2=，所以，剩下的那部分液体的质量：m 剩=m ﹣ρ﹣ρ（﹣）m0，01V=m01= 1故 C正确， D 错误．故选： C．【点评】本题考查了有关混合液体密度的计算以及密度公式的综合应用，关键是知道：要使所得混合液的质量最大，且是等体积混合，体积较小的液体全部用完．5．甲、乙、丙三个正方体，边长之比为1： 2： 3，质量分别为3g、24g、36g，已知它们是同种材料制成的，但有一个是空心的，空心正方体是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断【分析】已知三个正方体是由同种物质制成的，如果都是实心的密度都相等，密度不同的就是空心的；设它们的边长分别为1cm，2cm， 3cm．然后可求它们的体积，根据密度公式求出各自的密度进行比较即可．【解答】 解：设甲、乙、丙三个正方体它们的边长分别为1cm ，2cm ， 3cm ．3333；丙的体积 V 丙 =（3cm ）甲的体积 V 甲 =（1cm ） =1cm ；乙的体积 V 乙 =（ 2cm ）=8cm 3=27cm 3；33甲=乙==3g/cm ；丙的密度甲的密度 ρ = =3g/cm ；乙的密度 ρ =ρ丙 ==≈1.3g/cm 3 ；不相同的是丙，所以可以肯定丙是空心的．故选 C ．【点评】密度可以鉴别物质是否是空心的、 还可以鉴别物质的种类． 因为同种物质密度是一定的， 质量与体积成正比； 不同物质密度一般不同， 所以掌握密度知识很有必要的．6．质量为 2000kg 的铝球，其体积为 1m 3 时，（铝的密度为 2.7g/cm 3）则（）A ．一定是空心的B ．一定是实心的C ．可能是空心，也可能是实心的D ．无法判断【分析】根据题目所给条件，计算出此球的平均密度，与铝的密度进行对比；如果相同，则说明是实心球，如果不相同，则说明是空心球．【解答】解：此球的平均密度 ρ===2000kg/m 3=2g/cm 3，比铝的密度小，说明是空心球．故选 A【点评】（ 1）判断物体是否是空心的，方法很多，但实质上都是根据密度定义式，比较实际物体与实心物体的质量、体积或密度之间是否存在差异；（2）如果存在差异，则实际物体为空心物体，如果不存在差异，则实际物体为实心物体．此题主要是考查学生对密度公式的灵活运用，利用密度解决生活中的实际问题，体现从物理走向生活，做到学以致用．7．50mL 水和 50mL 酒精混合，则该混合液的密度（酒精的密度是0.8×103kg/m 3）（）A．大于 0.9×103kg/m 3 B．小于 0.9×103kg/m 3C．等于 0.9×103kg/m 3 D．无法判断【分析】已知水的体积和酒精的体积，利用密度公式变形可求得水的质量和酒精的质量，因为分子间存在空隙， 50mL 水和 50mL 酒精混合后，酒精分子进入水分子的空隙中去了，体积小于100mL．然后用总质量除以总体积即为该混合液的密度．【解答】解：水和酒精的体积：V 水 =V 酒精 =50mL=50cm3，由ρ=可得，水和酒精的质量分别为：m 水=ρ水 V 水 =1.0g/cm3×50cm3=50g， m 酒精 =ρ酒精 V 酒精 =0.8g/cm3× 50cm3=40g，混合液的质量：m=m 水 +m 酒精 =50g+40g=90g，50mL 水和 50mL 酒精混合后，体积小于100mL，由ρ=可得该混合液的密度大于0.9×103kg/m 3．故选 A．【点评】本题考查了混合液体密度的计算，要注意50mL 水和50mL 酒精混合后混合液的体积小于100mL．8．已知ρ铝 =2.7×103千克 /m 3，ρ铜 =8.9×103千克 /m 3，若用相同质量的铝和铜制成相同体积的球，则下列说法正确的是（）A．两球都是实心的B．铝球可能是空心的，铜球不可能是空心的C．若两球都是空心的，则铝球的空心体积比铜球的空心体积大D．铝球可能是实心的，铜球不可能是实心的【分析】由题意可知，铝球和铜球的质量相等，又知道两者的密度关系，根据ρ=得出两者材料的体积关系，然后结合两球的体积相等判断是否空心物体以及空心部分的体积关系．【解答】解：因铝和铜的质量m 相同，且ρ铜＞ρ铝，所以，由ρ=的变形式 V=可知，V铜＜V铝，又因为铝球和铜球的体积相等，所以，如果铝球是实心的，则铜球一定是空心的；如果铝球是空心的，则铜球一定是空心的，由于实心部分的体积 V 铜＜V 铝，所以，铝球的空心体积比铜球的空心体积小；综上可知， ABC错误、 D 正确．故选 D．【点评】本题考查学生对密度公式变形的灵活运用，判断质量和体积都相同时，可以根据在质量一定时，然后根据改变它们体积从而达到体积相同来判断空心的球是哪一个；也可以根据在体积一定时，根据改变它们质量从而达到质量相同来判断空心的球是哪一个．9．现有同一种材料制成的四个正方体，其中有一个是空心的，它们的边长和质量如图所示．则空心的是（）A．B．C．D．【分析】用同一种材料做成的实心物体，其质量与体积的比值是相同的，对比各图中质量与体积的比值，与其他三个不同者就是空心的．【解答】解：四个正方体的密度依次为：ρA= ==5g/cm3，ρB= ==5g/cm3，ρC= ==5g/cm3，ρD===4.6875g/cm3，由计算可知，这种材料的密度是5g/cm 3，只有 D 正方体与其他正方体的密度不同，故 D 是空心的．故选 D．【点评】本题考查密度的计算与空心、实心的判断，同种物质的密度是相同的，即同种物质的质量与体积成正比，当质量与体积的比值小于物质的密度时，物体就是空心的．10．有三个质量相同小球A、B 和 C，（ρA＞ρB＞ρC），投入三只满水的杯子里都沉入杯底，溢出水的体积关系为V A=V B＜V C（）A．球 A 一定空心B．球 B 一定空心C．球 C 一定空心D．球 C 一定实心【分析】要判断哪个金属块溢出的水最多，关键看金属块体积的大小，既然质量相同，利用密度公式，可排出物块体积的大小顺序．【解答】解：由密度根据公式ρ=得，V=，则质量相等的不同物体，密度小的体积大．又因为ρ＞ρ＞ρ，A B C所以 V A＜V B＜V C，由因为投入三只满水的杯子里都沉入杯底，溢出水的体积关系为V A=V B＜V C故 A 一定是空心的， B 可能是空心也可能实心， C 可能是空心也可能实心，故 A 正确， BCD错误．故选 A．【点评】本题主要考查了学生对密度公式的应用，对于相同质量的物体，能否根据密度求出相应的体积．关键是要知道这三者密度的大小顺序．11．甲、乙两个小球的质量相等，已知ρ：ρ =3：1，V甲：V乙=1： 4，则下列甲乙说法中正确的是（）A．甲一定是空心的B．乙一定是空心的C．一定都是空心的D．一定都是实心的【分析】假设甲、乙两球都是实心的，根据公式 m=ρV可分别计算出 m 甲和 m 乙，由 m 甲＜m 乙可得出乙球一定是空心的．【解答】解：假设甲、乙两球都是实心的，则 m 甲：m 乙=ρ甲 V 甲：ρ乙 V 乙=×=×=3：4即乙的质量大于甲的质量，与已知甲、乙两个小球的质量相等矛盾，所以乙球一定是空心的．故选 B．【点评】要判断一个物体是实心的还是空心的，有三种办法：一是比密度，也就是算出这个物体的密度，和构成这个物体的这种物质的密度进行对比，小于这种物质密度就说明这个物体是空心的；二是比体积，也就是算出构成这个物体的这种物质的体积，和物体的实际体积比较，小于物体的实际体积就说明这个物体是空心的；三是质量，也就是算出和物体体积相等的这种物质的质量，和物体的实际质量进行比较，大于物体的实际质量就说明这个物体是空心的．二．填空题（共 4 小题）12．有三个质量相同的实心铜球、铁球和铝球，则铝球的体积最大；若是这三个质量相同的小球体积相同，则铜、铁球一定是空心的（ρ铜＞ρ铁＞ρ铝）．【分析】已知三金属的密度和质量相同的实心球，根据V=比较它们体积的大小关系；若三个质量相同的小球体积相同，说明一定有某些球是空心的．【解答】解：∵ m 铜球 =m 铁球 =m 铝球，且ρ铜＞ρ铁＞ρ铝，∴由 v=可知，铜球的体积最小，铝球的体积最大；若它们的体积相等，则说明有球是空心的．因为如果是实心的话，铜球和铁球的体积应该比铝球体积要小，现三球体积相等，说明铁球和铜球一定是空心的．故答案为：铝；铜、铁．【点评】此题考查对密度公式的灵活应用；要抓住题目中的关键条件﹣﹣质量相等、总体积相等，运用公式可判断出答案．13．体积为 35cm3，质量为 79g 的空心铁球，若在中空部分装满水，则铁球的总质量为 104g （铁的密度是 7.9× 103kg/m 3）【分析】根据 V=求出铁球中铁的体积，用铁球的实际体积减去铁的体积就是空心部分的体积，也是空心部分注满水后水的体积，根据 m=ρV求出水的质量．铁球的总质量等于水的质量与铁的质量之和．【解答】解：由ρ=可得，铁球中铁的体积：V 铁 ===10cm3，空心部分的体积：V 空 =V 球﹣ V 铁=35cm3﹣ 10cm3=25cm3，注满水后水的体积：V 水 =V 空=25cm3，注满水后水的质量：m 水=ρ水 V 水 =1.0g/cm3×25cm3=25g，铁球的总质量：m 总=m 铁 +m 水 =79g+25g=104g．故答案为： 104g．【点评】本题考查了密度公式的应用，涉及到空心问题，关键是知道空心部分注满水后水的体积等于空心部分的体积，计算过程要注意单位的换算和统一．14．AB 两物体质量相等， A 的体积是 B 的 7 倍，B 物质的密度是 A 物质密度的 4倍，如果其中只有一个球是空心的，则能判断出A物体是空心的．【分析】根据ρ=求出实心部分的体积之比，再根据球的体积之比，判断出哪一个球是空心的．【解答】解：由ρ=可得，两球实心部分的体积之比：====，因 A 的体积是 B 的 7 倍，且只有一个球是空心的，所以， A 是空心的， B 球是实心的．故答案为： A．【点评】本题主要考查的是学生对密度计算公式理解和掌握，根据体积关系判断出哪一个球是空心的是解决此题的关键．15．体积为 V0的空心铝球质量为m0，已知铝的密度为ρ0，现将某液体注满它的空心部分后球的质量变为m1，空心部分的体积为V0﹣，液体的密度为．【分析】（1）知道空心铝球的质量和铝的密度，根据V=求出铝的体积，铝球的体积减去铝的体积即为空心部分的体积；（2）将某液体注满它的空心部分后球的质量减去铝球原来的质量即为液体的质量，液体的体积和空心部分的体积，根据ρ=求出液体的密度．【解答】解：（1）由ρ=可得，空心铝球中铝的体积：V铝=，则空心部分的体积：V 空=V0﹣V 铝=V0﹣；（ 2）将某液体注满它的空心部分后，液体的质量：m 液=m1﹣ m0，液体的体积：V 液 =V 空=V0﹣，液体的密度：ρ液 ===．故答案为： V0﹣；．【点评】本题考查了有关空心问题的计算，要注意空心部分的体积和液体的体积相等．三．多选题（共 2 小题）16．现有密度分别为ρ1、ρ2（ρ1＞ρ2）的两种液体，若将两液体等体积混合时混合液的密度为ρ甲，若将两液体等质量混合时混合液的密度为ρ乙，设混合前后总体积不变，则ρ乙=（），ρ甲=（）A．ρ甲 =B．ρ甲=C．ρ乙 =D．ρ乙 =【分析】混合液体的体积等于两液体的体积之和，混合液体的质量等于两液体的质量之和，根据密度公式分别求出两液体等质量和等体积混合时混合液的密度，然后得出答案．【解答】解：（1）将两液体等体积V 混合时，由ρ=可得，两液体的质量分别为：m1=ρ1V， m2=ρ2V，则混合液的密度：ρ甲 ===，故A正确、B错误；（ 2）将两液体等质量m 混合时，两液体的体积分别为：V1=，V2=，则混合液的密度：ρ乙 ====，故C正确、D错误．故选 AC．【点评】本题考查了混合液体密度计算，知道混合液体的密度等于总质量和总体积的比值是关键．17．一空容器的质量为m0，容积为V0，该容器内装满某种液体后，总质量为m1，若在容器内放一质量为m 的小金属块A 后再加满这种液体，总质量为m2；若在容器内放一质量为 m 的小金属块 A 和一质量也为 m 的小金属块 B 后再加满这种液体，总质量为m3，则下列判断正确的是（）A．液体的密度为B．金属块 A 的体积为C．金属块 A 的密度为D．金属块 B 的体积为【分析】（ 1）容器内装满某种液体后液体的质量m 液 =m﹣m0，液体的体积 V 液=V0，根据ρ液 =求出液体的密度；（ 2）在容器内放一质量为 m 的小金属块 A 后，小金属块 A 排开液体的质量m 排1+m﹣m 2，根据V A=求出金属块 A 的体积，利用ρA=求出金属块A=m=V排的密度；（3）在容器内放一质量为 m 的小金属块 A 和一质量也为 m 的小金属块 B 后再加满这种液体，液体的质量 m 液′=m3﹣m0﹣2m，根据密度公式求出液体的体积，利用V B=V0﹣ V A﹣V 液求出金属块 B 的体积．【解答】解：A．容器内装满某种液体后，液体的质量m 液 =m1﹣m0，液体的体积 V 液 =V0，则液体的密度：ρ液 ==，故A正确；BC．在容器内放一质量为m 的小金属块 A 后再加满这种液体，总质量为m2，小金属块 A 排开液体的质量m 排=m1+m﹣ m2，金属块 A 的体积： V A=V 排 ===V0，金属块 A 的密度：ρA=，故B错误、C正确；= =D．在容器内放一质量为m 的小金属块 A 和一质量也为 m 的小金属块 B 后再加满这种液体，总质量为m3，则此时容器中液体的质量m 液′=m3﹣ m0﹣ 2m，此时容器中液体的体积：V 液′===V0，则金属块 B 的体积：B 0﹣V A﹣V′=V0﹣V0﹣V0=，故D正确．V =V液故选 ACD．【点评】本题考查了密度公式的灵活运用，分清金属块 A、B 的体积是关键，有一定的难度．四．计算题（共 4 小题）18．判断一个铝球是否是实心的，他们对铝球进行了测量，实验数据如下：（ρ铝=2.7×103kg/m3）铝球的质量 m/g水的体积 V1/mL水和铝球的总体积 V2/mL2750.065.0求：（ 1）该铝球是空心还是实心的？（2）若铝球是空心的，空心部分的体积多大？（3）若在空心部分注满水，水的质量是多大？【分析】（1）根据密度公式变形V=求出铝球的实心体积，再与球的实际体积（65.0ml﹣ 50.0ml）相比较，如果相等，则是实心的，如果实心体积小于实际体积，则是空心的．（2）用球的实际体积减去实心部分的体积就是空心部分的体积；（3）空心部分水的体积等于空心部分的体积，利用 m=ρV求水的质量．【解答】解：（1）由ρ=得铝球中铝的体积：V 铝 ===10cm3，33因为 V 球 =V2﹣V1=65mL﹣50mL=15mL=15cm＞10cm，所以该球是空心的．（ 2）空心部分的体积：V 空 =V 球﹣ V 铝=15cm3﹣ 10cm3=5cm3；（ 3）在空心部分注满水后水的体积：V 水 =V 空=5cm3，由ρ=得水的质量：m 水=ρ水 V 空 =1.0g/cm3×5cm3=5g．答：（ 1）该铝球是空心；（2）空心部分的体积为 5cm3；（3）在空心部分注满水，水的质量是 5g．【点评】本题考查了密度公式及其变形公式的应用，判断物体是否为空心，解决问题的方法很多，但实质上都是根据密度定义式，比较实际物体与实心部分的质量、体积或密度之间是否存在差异，即比较质量法、比较体积法和比较密度法，如果存在差异，则实际的物体为空心物体，此题运用的是比较体积法，解题过程中要注意统一单位．19．一个铜球，体积10cm3，质量为 62.3g，通过计算说明（ 1）这个铜球是实心的还是空心的？（ 2）如果是空心的，空心部分体积多大？（ 3）若把此球的空心部分罐满水，则此球的总质量是多少？（ρ铜=8.9g/cm3）【分析】利用密度公式先计算实心的体积与铜球体积相比较即可知道是否是实心；若是空心，求出空心部分的体积，求出水的质量，则总质量等于水的质量 +铜球的质量．【解答】解：（ 1）由ρ=得铜的体积：V===7cm3＜10cm3，所以，铜球是空心的；（ 2）空心部分的体积：V 空 =10cm3﹣7cm3=3cm3；（ 3）把此球的空心部分罐满水，水的体积：V 水 =V 空=3cm3，由ρ=得水的质量：m 水=ρ水 V 水 =1g/cm3×3cm3=3g，此球的总质量：m 总=m+m 水 =62.3g+3g=65.3g答：（ 1）这个铜球是空心的；（2）空心部分的体积是 3cm3；（3）把空心部分罐满水，总质量是 65.3g．【点评】本题主要是考查学生对密度公式的灵活运用，注意：水的体积即是空心部分的容积，总质量等于水的质量和铜球的质量和，灵活运用密度公式计算即可．。

材料力学空心与实心
材料力学是研究材料受力和变形规律的学科，其中空心和实心是材料形态的两种常见形式。

空心材料是指内部被空洞所占据的材料，比如管子、中空柱等。

相比实心材料，在相同质量下，空心材料的强度和刚度更低，因为空洞会减少材料的有效截面积。

但是，空心材料可以降低整个结构的重量，提高结构的抗震性能。

实心材料是指内部没有空洞的材料，比如实心柱、实心板等。

相比空心材料，在相同质量下，实心材料的强度和刚度更高，因为材料的截面积更大。

但是，实心材料会增加整个结构的重量，降低结构的抗震性能。

综合考虑，选用空心还是实心材料，需要根据具体情况进行综合评估，并根据工程要求选择合适的材料形式。

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方阵问题在日常生活中，我们经常会遇到编排正方形体操队列、正方形花坛周围摆鲜花、插队旗、正方形棋盘上摆棋子等问题，在数学上常常把这类问题称为“方阵问题”。

常见的方阵有两种：实心方阵和空心方阵。

它们都有共同的特点：方阵每边的实物数量相等；里外相邻的两边实物数量相差2。

解答方阵问题时，应注意观察方阵中行列的排列规律，有时还应画一些示意图，从中寻求一些巧妙的解法。

例1：学校准备在一个周长为120米的圆形花圃的四周每隔6米载一棵树，一共要栽（）棵树；如果把这些树栽到正方形草坪的四周，每边可以载（）棵？练习1：在一块正方形场地的四周插彩旗，四个角上都要插，如果每边插8面旗，一共要插多少面彩旗？例2：希望小学四（1）班同学进行队列表演，排成一个7行7列的正方形方阵，如果去掉一行一列要减少多少人?练习2：武警叔叔给同学们进行队列表演，排成了一个8行8列的正方形方阵，因特殊原因要减少一行一列，问：要减少多少人？例3：为了庆祝国庆节，同学们组成了一个鲜花方阵。

已知第一横行与第一竖行共有25人。

这个鲜花队方阵有多少人？练习3：学校运动会上，四年级同学成了一个彩旗方阵。

已知第一横行和第一竖行共有19人，这个彩旗方阵一共有多少人？例4：四年级（1）班学生站成了两层的空心方阵，已知最外层每边有9人。

四年级（1）班一共有多少学生？练习4：少先队员在一辆彩车的四周围成了三层的方阵，最外面一层每边有15人，问：彩车周围的少先队员一共有多少人？例5：工人们在街心雕塑的周围用360盆鲜花围成了一个三层的方阵，最外面一层每边有多少盆？练习5：有一个排成五层的团体操表演的空心方阵，参加表演的同学共有200人，这个方阵的最外层每边有多少人？例6：文艺宣传队的同学在排练节目时，正好排成了一个最外层每边是12人的实心方阵，现在根据需要改成三层的空心方阵。

请问：这个方阵最外层每边有多少人？练习6：六年级同学先在操场上排成了一个最外层每边是18人的实心方阵，后来改成了3层的空心方阵，这个方阵最外层每边有多少人？作业：1、解放军叔叔在进行队列训练，排成了一个10行10列的方阵。

密度典型计算题一、理解ρ=m/v（一）一杯水倒掉一半，它的密度、质量、体积变不变，为什么？（二）、氧气瓶的问题1.某钢瓶内所装氧气得密度为8 kg/m3,一次电焊用去其中的1/4,则剩余氧气的密度为多少?2、医院有一钢制氧气瓶，容积为10dm3，内有密度为2.5kg/m3的氧气，某次抢救病人用去了5g，则剩余气体的密度为多少？3、医院有一氧气瓶，容积为10dm3，内有密度为2.5kg/m3的氧气，现将活塞向下压缩，使其体积变为原来的1/2，则此时瓶内气体的密度为多少？4、某瓶氧气的密度是5kg/m3，给人供氧用去了氧气质量的一半，则瓶内剩余氧气的密度是 _；容积是10L的瓶子装满了煤油，已知煤油的密度是 0．8×103kg/m3，则瓶内煤油的质量是，将煤油倒去4kg后，瓶内剩余煤油的密度是。

（三）比例题：1、关于密度，下列说法正确的是（）A．密度与物体的质量成正比，与物体的体枳成反比 B．密度是物质的特性，与物体的质量和体积无关C．密度与物体所处的状态无关 D．密度与物体的温度无关2、根据密度公式ρ=可知（）A.密度与质量成正比B.密度与体积成反比C.同种物质的质量与体积成正比D.密度等于某种物质的质量与体积的比值3、质量相同的不同物质，它们的体积之比为2:3，求它们的密度之比？4、两个质量不同的同种物体，它们的质量之比为4:5，求它们的体积之比？5、甲、乙两物体，质量比为3：2，体积比为4：5，求它们的密度比。

6、甲乙两个正方体边长之比为2:1，质量之比为1:3，求它们的密度之比？7、甲乙两物体密度之比为1：2，体积之比为3:2，求它们的质量之比？密度比例专题训练1.一个铁锅的质量是300克，一个铁盒的质量是200克，它们的质量之比是；密度之比是______;体积之比是_______.2.有甲、乙两种物质，他们的质量之比是2：1，密度之比是1：2，那么他们的体积之比是_________.3.有甲、乙两种物质，他们的质量之比是2：1，体积之比是3：5，那么他们的密度之比是___________。

在数轴上表示不等式的解集实心空心在数轴上表示不等式的解集实心空心：实心代表在此处能取等号，空心是表示在该处取不到等号。

在解不等式时，常常需要在数轴上表示，不等式的解集有包含等号和不包含等号两种情况，在数轴表示上对应的就是实心和空心。

比如，解集是x大于等于3，在数轴上表示为数轴上表示3的点往右（包括实心点3），x＞3为表示为空心，不包括3的右侧。

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

总的来说，用不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≤,≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。

一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。

同理：二元一次不等式：含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。

1。

不等式画数轴实心和空心口诀
大于或者小于的时候空心,大于等于或者小于等于的时候用实心。

带等号说明包含那个点,所以要用实心表示,不带等号说明不包含,所以空心。

如果是>=或<=，实心；若<或>，空心。

大于等于或小于等于画实心。

能取端点用实心否则用空心。

如果要取到这个数那么就用实心，如果取不到此数就用空心。

“≥”和“≤”要用实心圆点表示；“＞”和“＜”要用空心圆点表示
大于小于用空心.不大不小用实心;
小于和大于用空心圆，有等于的时候用实心圆。

实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点。

实心表示此点包括在内(即大于等于或小于等于),而空心表示不
包括此点(即大于或等于）。

当不等号是或时，用实心点。

当不等号是或时，用空心点。

定边界点含等号用实心圈，不含等号用空心圈。

实心点表示包括本数，空心点表示不包括本数。

含等号的是实心，反之是空心
空心圆表示不包括此点，实心圆代表包括此点。

包含这个边界点时画实心点，不包含这个边界点时空心点。

等号的画实心圆点，无等号的画空心圆点。

如果不等式小等于、大等于，数轴上是实心圈；如果不等式中是小于、大于，数轴中是空心圈。

是否包括该数，是的话用实心点，不是则用空心。

⽅阵实⼼⽅阵空⼼⽅阵⽅阵可以分为实⼼⽅阵和空⼼⽅阵。

计算组成实⼼⽅阵、空⼼⽅阵的物体的个数是主要的⽅阵问题。

⽅阵的基本特点是：⽅阵中，⾥⼀层总⽐外⼀层的⼀边少2个物体，⾥⼀层物体的个数⼀定⽐个⼀层物体总个数少8个。

实⼼⽅阵中，物体个数=最外层的⼀边个数×最外层⼀边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数空⼼⽅阵中物体的个数=（最外层⼀边的个数—层数）×层数×41、有⼀个正⽅形的稻⽥，四个⾓上都放1个稻草⼈，如果每边放5个，四边共放多少个稻草⼈？2、有围棋⼦若⼲，恰好可以排成每边10个的正⽅形，棋⼦总数多少个？3、有⼀个正⽅形池塘，四个⾓上都栽1棵树，⼀共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？4、同学们排成⼀个两层空⼼⽅阵，外层每边8⼈，这个⽅阵⼀共有多少⼈？5、把若⼲个棋⼦摆成⼀个三层的空⼼⽅阵，最外层每边12个棋⼦，求这个⽅阵共有多少个棋⼦？6、同学们在军训时排成了⼀个由204⼈组成的三层空⼼⽅阵，求最外⾯⼀层每边有多少⼈？7、某⼩学举⾏运动会，同学们排成正⽅形队列参加团体操表演。

如果在这个正⽅形队列中减少⼀⾏⼀列，则要减少15⼈，问参加团体操表演的有多少同学？8、⼩刚在⽤棋⼦摆好的实⼼阵上⼜填了17枚棋⼦，使它的横竖各增加⼀排，成了⼤⼀点的实⼼⽅阵，求原来实⼼⽅阵有多少枚棋⼦？9、同学们在军训时，进⾏队列表演，由于场地有限，在原来的正⽅形队列中，横竖各减少⼀排，⼀共去掉了21名同学原来参加队列表演的有多少⼈？10、运动会上，在正⽅形操场的四周都插上彩旗，四个⾓上都插⼀个，每边插1 2个，那么⼀共插多少个？11、四年级同学排成了⼀个每边10⼈的中空⽅阵，共2层，求这个⽅阵总⼈数？12、在⼉童公园的⼀次菊花展上，⽤120盆菊花摆成⼀个三层空⼼⽅阵，这个⽅阵最外层每边有多少盆花？13、⼀个中空⽅阵的队列，最外层每边18⼈，最内层每边10⼈。