空心、实心的问题

例题. 一个铜球质量是178g ，体积是40cm 3，这个铜球是实心还是空心的？若是空心，空心体积是多大？？（ρ铜=8.9g/cm 3）规律总结：判断铜球是实心还是空心有三种方法：（1）把铜球质量178g 与实心铜球质量相比较，若相等，则实心；若小于，则空心。

（2）计算出质量为178g ，体积为的铜球的密度，与铜的密度相比较，若相等，则实心；若小于，则空心。

（3）把178g 铜的体积与铜球体积相比较，若相等，则实心；若小于，则空心。

1．对于两个不同的实心球，下面几种说法中正确的是（ ）A ．密度大的球质量一定大B ．密度大的球体积一定小C ．体积大、质量大的球密度一定大D ．以上说法都不对2．用铜、铁、铝制成体积和质量都相同的空心球，比较它们的空心部分体积，则空心部分体积最大的是A ．铜球B ．铁球C ．铅球D ．三球一样大3．甲、乙、丙三个同种材料制成的正方体，它们的边长之比为1∶2∶3，它们的质量分别为3g 、24g 和36g ，它们中有一个是空心的，则空心的物体是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法判断4．A 、B 两种物质制成的小球V A ＝V B ＝V 。

已知两球质量m A :m B ＝3:2，两种物质密度ρA :ρB ＝5:3，若两球中只有一个是空心的，则下列结论正确的是 ( D )A.B 球是空心的且V 空＝91V B.B 球是空心的且V 空＝101V C.A 球是空心的且V 空＝91V D.A 球是空心的且V 空＝101V 5.一只空心铝球的质量为27克，在其空心部分注满水后总质量为48克，求铝球的体积。

(ρ铝＝2.7 ×103千克／厘米3)6．体积为20 cm 3的空心铜球的质量为89 g ，往它的空心部分注满某种液体后，总质量为225 g ，问注入的是什么液体？。

方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。

（2）空心方阵:(最外层每边人数）2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。

或者是(最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数。

总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。

例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵,则总人数有10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。

从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10—2×3=4（人)
所以，空心部分方阵人数有4×4=16(人）
故这个空心方阵的人数是100—16=84（人)
解二直接运用公式。

根据空心方阵总人数公式得
(10—3)×3×4=84(人)。

方阵问题☜知识要点方阵是指行数和列数相等的正方形队形。

方阵的分类：实心方阵和空心方阵。

实心方阵是指，每行个数与每列个数相等的方阵。

空心方阵是指，行数等于列数，但每行个数和每列个数不完全相等的方阵。

空心方阵中，里层比外层的一边少2个数，里层的总个数一定比外层的总个数少8个。

实心方阵总数=每行个数×每列个数空心方阵总数=（最外层每边个数－层数）×层数×4☜精选例题【例1】：81人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？☝思路点拨：根据实心方阵总数公式，将81拆成两个相同的整数相乘的形式，这个数就是方阵最外层每边所站的人数。

☝标准答案：9×9=81（人）答：这个方阵每边9人。

✌活学巧用1、100人排成一个实心方阵，这个方阵每边人数是多少？2、每边站13人，可以排成一个共有多少人的实心方阵？3、121人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？【例2】：甲用棋子摆了一个实心方阵，后来又用了7个棋子添上，使得原方阵增加一行一列，成为一个大一点的实心方阵。

求原来这个实心方阵共有多少棋子？☝思路点拨：通过对实心方阵的观察可以知道，原有的行和列需要的的棋子数相同，原来每边的个数=（7－1）÷2=3（个）原来的棋子共有3×3=9（个）思考：如果是减少一行一列共去掉了7个棋子，那么这个实心方阵原来共有多少个棋子呢？☝标准答案：3×3=9（个）答：原来的实心方阵有9个棋子。

✌活学巧用1、一个正方形花坛，原来放了一些花，组成一个实心方阵，后来又运来21盆花添上去，使每行每列各增加一排，成了一个大一点的实心方阵，问原来放了多少盆花？2、运动会入场式要求运动员排成一个10行10列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少名学生？3、一个由棋子组成的实心方阵，如果减少一行一列，共减少了9颗棋子，问原来这个实心方阵共有多少颗棋子？【例3】：将16人围成一个一层空心方阵，问每边站几人？☝思路点拨：根据空心方阵总数=（最外层每边个数－层数）×层数×4。

一、空心、实心问题例1：一质量为395g，体积为100cm3的铁球，问它是空心的还是实心的？若是空心的，空心部分的体积多大？（ρ铁=7.9g/cm3）反馈练习：1、有质量相等的两个球，它们的体积比是V1:V2=1:5，材料的密度比是ρ1: ρ2=4：1，其中有一个是空心的，已知实心球的体积是V，则空心球空心部分的体积是（）A、VB、2VC、1/5VD、1/4V2、用同种材料制成的三个正方体，它们的边长分别为1cm、2cm、3cm，质量分别为3g、24g、54g，已知其中一个是空心的，请用两种不同方法鉴别出来。

3、体积和质量相等的铝球、铁球和铅球，密度分别是ρA1=2.7g/cm3，ρFe=7.9g/cm3，ρPb=11.3g/cm3，下列说法正确的是（）A、若铝球是实心的，则铁球和铅球一定是空心的。

B、若铁球是实心的，则铝球和铅球一定是空心的。

C、若铅球是实心的，则铝球和铁球一定是空心的。

D、三个球都可能是空心的。

4、两个铜球质量相等，但体积不等，则它们（）A、一定是空心球B、都是实心球C、至少有一个实心球D、至少有一个是空心球5、一个空心铜球，其空心部分是球体，它的质量与同外径的实心铁球质量相等，空心部分体积与铜球外观体积之比是多少？（ρ铁=7.9g/cm3 ρ铜=8.9g/cm3）6、体积是30cm3的空心铜球质量是89g，将它的中空部分注满某种液态物质后，总质量是361g，已知ρ铜=8.9g/cm3，那么注入的液态物质的密度是多少千克/米3？7、有甲、乙两个铁球，甲球是实心的，质量为7.8kg，体积为1dm3，乙球是空心的，乙的质量是甲球的4倍，体积为甲球的4.5倍，求乙球空心部分的体积是多少？（ρ铁=7.8g/cm3）8、体积为30cm3，质量是178g的铜球，问它是空心的还是实心的？若是空心的，在其中空部分铸满铝，求铝的质量是多少？（ρ铝=2.7g/cm3，ρ铜=8.9g/cm3）二、利用空瓶求密度例2：一空瓶质量是200g，装满水后称出瓶和水的总质量是700g，将瓶中水倒出，先在空瓶内装一些金属颗粒，称出瓶和金属颗粒总质量是1090g，然后将瓶内装满水，称出瓶、水和金属颗粒的总质量是1490g，求瓶内金属颗粒的密度是多少？它可能是什么金属？反馈练习：1、瓶中装满水时，称其总质量是88g，若装入10g的砂粒，水益出后把瓶的外部擦干，称其质量是94g，求砂粒的密度。

空心球和实心球的密度的问题
空心球和实心球的密度的问题是一个有趣的话题。

在物理学中，密度是物体的质量与其体积的比率。

因此，密度可以用来比较不同物体的重量和大小。

当我们比较空心球和实心球的密度时，我们会发现它们的密度是不同的。

实心球的质量分布均匀，因此其密度是恒定的。

而空心球的质量主要集中在球的表面附近，因此其密度会比实心球低。

我们可以用数学公式来表示这个问题。

假设实心球的半径为r，质量为m，体积为V，空心球的半径为R，外半径为r，质量为m，体积为V。

实心球的密度可以表示为ρ=m/V，而空心球的密度可以表示为ρ=m/V=(m/(4/3πR-m/4/3πr))。

从上述公式可以看出，空心球的密度与实心球的密度有关，但是它们的密度并不相同。

因此，在实际生活中，我们需要根据不同的情况选择合适的球体类型，以便更好地满足我们的需求。

总之，空心球和实心球的密度问题涉及到了物理学的许多概念，包括密度、质量和体积等。

了解这些概念将有助于我们更好地理解和应用它们。

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两个半径相同的金属球,一为空心,一为实心,把两者各自孤立时的电容值之间的关系
两个半径相同的金属球，一个为空心，一个为实心。

当将它们各自孤立时，它们的电容值之间存在以下关系：
1.对于一个球形金属空心导体：空心金属球的电容值与其半
径和球壳的电荷分布无关。

在静电平衡条件下，空心导体的电场只存在于球壳的外表面。

所以，无论球的内部是否有电荷，空心金属球的电容值仅由球壳的半径决定。

2.对于一个球形金属实心导体：实心金属球的电容值与其半
径、金属球的电荷和球壳的电荷分布有关。

在静电平衡条件下，实心导体的电荷会平均分布在整个球壳的内表面。

在相同半径的情况下，实心金属球的电容值总是大于空心金属球。

这是因为实心球具有更多的金属材料来“存储”电荷，并且其内外表面之间的分离更有效，而空心球内部没有导电材料，无法存储电荷。

因此，空心金属球的电容值通常为零，而实心金属球的电容值为正数，并且实心球的电容值大于空心球。

密度的计算一、判断物体是空心还是实心问题判断方法有三种：第一种：体积比较法. 第二种：质量比较法. 第三种：密度比较法.1、一铁球的质量为158 克，体积为30 立方厘米，用三种方法判断它是空心还是实心(ρ铁=7.9×10 3 kg/m 3)2、一体积为0.5dm3的铜球，其质量为3560g,，问它是空心的还是实心的？如果是空心的，空心部分体积多大？3、一个铝球的质量是81g，体积是0.04dm3，这个铝球是空心的还是实心的如果是空心的，空心体积有多少。

9.如果在空心部分注满水银，则总质量是多少(已知ρ铝=2.7×103 kg /m 3，ρ水银=13.6×10 3kg/m3)4、有一体积为30 cm3的空心铜球，它的质量为178g，铜的=8.9g/ cm3求：(1)空心部分体积(2)若在空心部分装满水，水的体积多大？质量多大？此时铁球的总质量是多少？二、体积相等问题：5、有一空瓶子质量是50克，装满水后称得总质量为250克，装满另一种液体称得总质量为200克，求这种液体的密度。

6、某空瓶的质量为300 g，装满水后总质量为800g，若用该瓶装满某液体后总质量为850g，求瓶的容积与液体的密度。

7、一空杯装满水的总质量为500克，把一小物块放入水中，水溢出后，杯的总质量为800克，最后把物块取出后，杯的总质量为200克，求此物块的密度是多少？8、一个空瓶的质量是0.1 千克，装满水后称得总质量是0.4 千克，用此瓶装金属颗粒若干,瓶和金属颗粒的总质量为0.8 千克,若在装金属颗粒的瓶中再装满水总质量为0.9 千克,求:(1)瓶的容积; (2)金属的质量; (3)金属的密度.三、密度相等问题9、一节油罐车装着50m3的石油，从中取出30mL的石油，称得质量是24.6g，求这节车所装石油质量是多少吨？10、一巨石体积50 m3，敲下一样品，称其质量为84g，体积30 cm3, 求巨石质量。

方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。

例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。

排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。

排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。

求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。

例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。

问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。

根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。

而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。

解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。

专题：浮力相关的物体实心空心问题[例1] 一个密封的空心球浮在水面上时，露出水面的体积是总体积的2/5，若在空腔内注入100克水，空心球恰好可停在水中的任意位置，这个球的体积多大？解析：根据题意可先画出球的受力示意图，根据已知条件，空球漂浮，装水后悬浮，列出两个等式进行计算。

答案：空球漂浮时。

V V V V V V 5352=-=-=露浮 球浮G F =。

球水排水浮G V g gV F =⨯==53ρρ（1） 注入水后。

V V =排 球悬浮水球浮G G F +='，水球水浮G G gV F +=='ρ（2） （2）－（1）：水水水水浮浮G V g V g gV F F =⨯=-=-'5253ρρρ 所以33250/1210052552cm cm g g gg m g G V =⨯⨯==⨯=水水水水ρρ 拓展延伸：解答物理习题，要了解物理过程，配以物体受力示意图，会加深对题意的理解，本题亦可理解为潜水艇的工作原理，潜水艇在水中，当排出一点水后，因为潜水艇体积不变，受浮力不变，总浮G F >，潜水艇上浮，最后呈漂浮状态，漂浮在水面时，逐渐向水舱中注水，潜水艇下沉，最后全部没入水中。

由此可见，同学们在做完题时，一定要学会思维的拓展与延伸，学会举一反三。

1．如图所示，质量相等的A ．B ．C 三个小球，放在同一液体中，结果A 球漂浮，B 球悬浮，C 球下沉到容器底部，下列说法中正确的是 （ ）A ．如果三个小球都是空心的，则它们的体积可能相等B ．如果三个小球的材料相同，则A ．B 两球一定是空心的C ．如果三个小球都是空心的，则它们所受浮力的大小关系为F A ＞F B ＞F CD ．如果三个小球都是实心的，则它们密度的大小关系为ρA＞ρB ＞ρC1、一空心铜球，质量为89g ，将其浸没在水中时，恰好悬浮，则铜球空心部分体积为（ ） (ρ铜=8.9×103kg/m3)。

1. 判断物体是实心还是空心问题：要明确物体与物质的关系，比如铁球与铁：（1）体积法（同质量比体积）：若V球＞V铁，则空心；V球=V铁，则实心；（2）质量法（同体积比质量）：若m球＜m铁，则空心；m球=m铁，则实心；（3）密度法（物体与物质比密度）：ρ球＜ρ铁，则空心；ρ球=ρ铁，则实心。

2. 例题一个铁球的质量是1.975千克，体积是300立方厘米，通过计算说明铁球是实心的还是空心的？如果是空心，空心部分体积多大？若在其空心部分注满酒精后，这个球的总质量是多少？（ρ铁=7.9×103kg/m3，ρ酒精=0.8×103kg/m3）★思路分析：（1）由密度公式变形公式求出此铁球的实心体积，再与铁球的实际体积相比较，如果相等，则是实心的，如果实心体积小于实际体积，则是空心的；（2）用铁球的实际体积减去实心部分的体积就是空心部分的体积；（3）空心部分注满水时水的体积和空心部分的体积相等，根据密度公式求出水的质量，然后加上球的质量即为球的总质量。

（1）判断空心、实心，三种方法：密度法：ρ球=m球v球=1.975×10³g300cm³≈6.6g/cm3＜ρ铁；空心；质量法：300立方厘米的铁的质量为m=ρV=7.9g/cm3×300cm3=2.37×103kg大于同体积的铁球的质量，所以铁球为空心；体积法：铁球中铁的体积=V铁=m铁p铁= 1.975k g7.9×10³kg/m³=250cm3，∵V1＜V，∴此球为空心；（2）空心部分的体积：V空=V-V1=300cm3-250cm3=50cm3；（3）∵ρ=mv，∴空心部分注满酒精时，酒精的质量：m2=ρ酒精V空=0.8×103kg/m3×5×10-5m3=0.04kg，此时球的总质量：m=m1+m2=1.975kg+0.04kg=2.015kg, 答：（1）此球是空心的；（2）空心部分的体积为50cm³；（3）若将空心部分注满酒精，则总质量是2.015kg。

材料力学空心与实心
材料力学是研究材料受力和变形规律的学科，其中空心和实心是材料形态的两种常见形式。

空心材料是指内部被空洞所占据的材料，比如管子、中空柱等。

相比实心材料，在相同质量下，空心材料的强度和刚度更低，因为空洞会减少材料的有效截面积。

但是，空心材料可以降低整个结构的重量，提高结构的抗震性能。

实心材料是指内部没有空洞的材料，比如实心柱、实心板等。

相比空心材料，在相同质量下，实心材料的强度和刚度更高，因为材料的截面积更大。

但是，实心材料会增加整个结构的重量，降低结构的抗震性能。

综合考虑，选用空心还是实心材料，需要根据具体情况进行综合评估，并根据工程要求选择合适的材料形式。

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空心轴与实心轴的刚度对比
在机械工程领域，轴是一种常见的机械零件，用于传递动力和承受载荷。

轴的设计和选择对于机械系统的性能至关重要。

在轴的设计中，轴的刚度是一个重要的考虑因素。

空心轴与实心轴是两种常见的轴的类型，它们在刚度方面有着显著的不同。

首先，空心轴是指轴的内部是空心的，而实心轴是指轴的内部是实心的。

这两种轴的刚度差异主要来源于其结构的不同。

空心轴由于内部空洞，其抗弯刚度相对较低，但在相同质量下，空心轴的惯性矩要大于实心轴，因此在承受扭转时，空心轴的刚度要高于实心轴。

而实心轴由于内部是实心的，具有更高的抗弯刚度，因此在承受弯曲载荷时，实心轴的刚度要高于空心轴。

其次，在实际应用中，选择空心轴还是实心轴取决于具体的工程需求。

如果需要轴具有较高的抗弯刚度，那么实心轴是更好的选择。

而如果需要轴具有较高的扭转刚度，那么空心轴可能更适合。

此外，空心轴由于重量较轻，可以减轻整个系统的负荷，因此在一些对重量要求较高的应用中，空心轴也有其独特的优势。

总之，空心轴与实心轴在刚度方面有着明显的不同，选择合适
的轴取决于具体的工程需求和设计要求。

在实际应用中，工程师需要综合考虑轴的承载方式、载荷类型、重量要求等因素，来选择最合适的轴类型，以确保整个机械系统的性能和可靠性。

在数轴上表示不等式的解集实心空心在数轴上表示不等式的解集实心空心：实心代表在此处能取等号，空心是表示在该处取不到等号。

在解不等式时，常常需要在数轴上表示，不等式的解集有包含等号和不包含等号两种情况，在数轴表示上对应的就是实心和空心。

比如，解集是x大于等于3，在数轴上表示为数轴上表示3的点往右（包括实心点3），x＞3为表示为空心，不包括3的右侧。

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

总的来说，用不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≤,≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。

一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。

同理：二元一次不等式：含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。

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物理空心问题全部题型物理中的空心问题可是很有趣的呢，那咱们就来好好聊聊都有哪些题型吧。

（一）求空心部分体积的题型这种题型可常见啦。

比如说给你一个金属球，告诉你这个金属球的质量、密度，还有它的外观体积。

然后让你求出这个球空心部分的体积。

这就需要我们先根据质量和密度算出这个球如果是实心的时候应该有的体积，然后用外观体积减去这个实心体积，剩下的就是空心部分的体积啦。

就像有个铁球，质量是790克，铁的密度是7.9克/立方厘米，外观体积是200立方厘米。

我们先算出如果是实心的铁球，体积应该是790除以7.9等于100立方厘米，那空心部分体积就是200 - 100 = 100立方厘米。

（二）判断物体是否空心的题型这种题也经常出现哦。

它会给你物体的质量、体积和这种物质的密度。

然后让你判断这个物体是实心还是空心的。

有好几种方法可以判断呢。

一种是比较密度，如果算出这个物体的实际密度小于这种物质的密度，那这个物体就是空心的。

还有一种是比较质量，如果按照这个物体的体积和物质的密度算出的质量，比它实际的质量大，那这个物体也是空心的。

例如有个铝块，体积是50立方厘米，质量是108克，铝的密度是2.7克/立方厘米。

按照体积和密度算出的质量应该是2.7×50 = 135克，135克大于108克，所以这个铝块是空心的。

（三）空心物体填充物质后的质量变化题型这个题型稍微复杂一点。

它会告诉你一个空心物体的一些参数，然后说往这个空心部分填充一种物质，让你求填充后的总质量。

这就需要我们先算出空心部分的体积，然后根据要填充物质的密度算出填充物质的质量，再加上空心物体本身的质量就可以啦。

比如说有个空心铜球，质量是89克，铜的密度是8.9克/立方厘米，外观体积是30立方厘米。

我们先算出实心部分体积是89除以8.9等于10立方厘米，那空心部分体积就是30- 10 = 20立方厘米。

如果往空心部分填充密度为1克/立方厘米的水，水的质量就是20×1 = 20克，填充后的总质量就是89+20 = 109克。

空心、实心问题1、中间空心的铁球、木球、铝球、铅球，若外形完全相同，质量和体积相等，则中间空心部分最大的是( )A．铁球B．木球C．铝球D．铅球2、如果用质量相同的铁、铜、铅分别制成相同体积的金属球，则可能出现的现象( )A．三个球都是空心的B．若铁球是空心的，那么铜球、铅球必是实心的C．若铜球是实心的，则铜球、铅球必定是空的D．若铁球是实心的，那么铜球、铅球必是空心的3、三个体积相等，质量相等的空心球，分别由铜、铁、铝制成( )，其内部空心体积最大的是( )A．铜球B．铁球C．铝球D．无法确定5、（2008·株洲市）a、b是两个由同种材料制成的金属球，它们的质量分别为128g、60g，体积分别为16 cm3、12 cm3。

在这两个金属球中，如果有一个是实心的，那么（）A．这个实心球是a，金属的密度是8 g/cm3B．这个实心球是a，金属的密度是5 g/cm3C．这个实心球是b，金属的密度是8 g/cm3D．这个实心球是b，金属的密度是5 g/cm36、体积和质量都相等的空心铜球和铁球，空心部分体积较大的是( )球，如果在它们的空心部分都注水，则( )球的质量最大。

7、体积是30cm3的铝球，质量是27g，这个铝球是空心的还是实心的?(请用三种方法判断) (铝的ρ=2.7×103㎏/m3)8、体积是50cm3的铝球，它的质量是54g，问这个铝球是空心的还是实心的？若是空心的，空心部分体积为多大？（铝的ρ＝2.7×103kg/m3）9、体积是30cm3的空心铜球质量m＝178g，空心部分注满某种液体后，总质量m总＝314g，问注入的是何种液体？10、一个空心铜球质量为445 g，在铜球的空心部分注满水后总质量为545 g。

（1）求这个空心铜球的总体积？（2）若在铜球的空心部分注满某种液体后，总质量为1.5kg，求注入液体的密度？（铜的密度为8.9×103kg/m3）11、为了减轻飞机的质量，设计师将某一钢制元件换成铝制元件质量减少了54千克，求原钢制元件的质量。

一．选择题（共11 小题）1．分别用质量相等的铜、铁、铝制成三个体积都相等的空心球，比较它们中间空心部分的体积，则（已知：ρ 铜＞ρ铁＞ρ铝）（）A．铜球最大B．铁球最大C．铝球最大D．三球一样大332．甲物质的密度为 5g/cm ，乙物质密度为 2g/cm ，各取一定质量混合后密度为3g/cm3．假设混合前后总体积保持不变，则所取甲、乙两种物质的质量之比是（）A．5：4 B．2：5C．5：2D．4：53．三个质量和体积都相同的空心球，分别用铜、铁、铝制成，则三个球的空心部分体积（）A．铝球最小 B ．铁球最小C．铜球最小D．无法判定4．现有密度分别为ρ1、ρ2（ρ1＜ρ2）的两种液体，质量均为 m0，某工厂要用它们按体积比 1：1 的比例配制一种混合液（设混合前后总体积保持不变），且使所得混合液的质量最大．则（）A．这种混合液的密度为B．这种混合液的密度为C．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为（1﹣）m0D．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为（﹣1）m05．甲、乙、丙三个正方体，边长之比为1： 2： 3，质量分别为 3g、24g、36g，已知它们是同种材料制成的，但有一个是空心的，空心正方体是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断3时，（铝的密度为 2.7g/cm 3）6．质量为 2000kg 的铝球，其体积为 1m）则（A．一定是空心的B．一定是实心的C．可能是空心，也可能是实心的 D ．无法判断7．50mL水和 50mL酒精混合，则该混合液的密度（酒精的密度是0.8 ×103kg/m3）（3333） A．大于 0.9 × 10 kg/m B．小于 0.9 ×10 kg/mC．等于 0.9 ×103kg/m3D．无法判断8．已知ρ铝 =2.7 × 103千克 /m3，ρ铜 =8.9 ×103千克 /m3，若用相同质量的铝和铜制成相同体积的球，则下列说法正确的是（）A．两球都是实心的B．铝球可能是空心的，铜球不可能是空心的C．若两球都是空心的，则铝球的空心体积比铜球的空心体积大D．铝球可能是实心的，铜球不可能是实心的9．现有同一种材料制成的四个正方体，其中有一个是空心的，它们的边长和质量如图所示．则空心的是（）A．B．C．D．10．有三个质量相同小球A、B 和 C，（ρA＞ρB＞ρC），投入三只满水的杯子里都沉入杯底，溢出水的体积关系为V A=V B＜V C（）A．球 A 一定空心B．球 B 一定空心C．球 C 一定空心D．球 C一定实心11．甲、乙两个小球的质量相等，已知ρ甲：ρ乙=3：1，V甲：V乙=1：4，则下列说法中正确的是（） A．甲一定是空心的B．乙一定是空心的C．一定都是空心的D．一定都是实心的二．填空题（共 4 小题）12．有三个质量相同的实心铜球、铁球和铝球，则球的体积最大；若是这三个质量相同的小球体积相同，则球一定是空心的（ρ铜＞ρ 铁＞ρ铝）．13．体积为335cm，质量为79g 的空心铁球，若在中空部分装满水，则铁球的总质量为（铁的密度是7.9 ×103kg/m3）4 14．AB两物体质量相等， A 的体积是 B 的 7 倍， B 物质的密度是 A 物质密度的倍，如果其中只有一个球是空心的，则能判断出物体是空心的．15．体积为V0的空心铝球质量为m0，已知铝的密度为ρ0，现将某液体注满它的空心部分后球的质量变为m1，空心部分的体积为，液体的密度为．三．多选题（共 2 小题）16．现有密度分别为ρ1、ρ2（ρ1＞ρ2）的两种液体，若将两液体等体积混合时混合液的密度为ρ甲，若将两液体等质量混合时混合液的密度为ρ乙，设混合前后总体积不变，则ρ乙=（），ρ甲=（）A．ρ甲=B．ρ甲 =C．ρ乙 =D．ρ乙 =17．一空容器的质量为 m0，容积为 V0，该容器内装满某种液体后，总质量为 m1，若在容器内放一质量为 m的小金属块 A 后再加满这种液体，总质量为 m2；若在容器内放一质量为 m的小金属块 A和一质量也为 m的小金属块 B后再加满这种液体，总质量为 m3，则下列判断正确的是（）A．液体的密度为B．金属块 A 的体积为C．金属块 A 的密度为D．金属块 B 的体积为四．计算题（共 4 小题）18．判断一个铝球是否是实心的，他们对铝球进行了测量，实验数据如下：（ρ铝=2.7 ×103kg/m3）铝球的质量 m/g水的体积 V /mL水和铝球的总体积 V/mL122750.065.0求：（ 1）该铝球是空心还是实心的？（2）若铝球是空心的，空心部分的体积多大？（3）若在空心部分注满水，水的质量是多大？319．一个铜球，体积 10cm，质量为 62.3g，通过计算说明（ 1）这个铜球是实心的还是空心的？（ 2）如果是空心的，空心部分体积多大？（ 3）若把此球的空心部分罐满水，则此球的总质量是多少？（ρ铜=8.9g/cm 3）320．一个铁球，质量为 0.39kg ，而体积为 100cm，那么这个铁球是否为空心的？若为空心的，其空心部分注满水，则此球的总质量为多大？（铁密度是7.8 ×103kg/m3）．321．体积为 30cm，质量是 178g 的铜球，试判断是空心的还是实心的？如果是空心的，空心部分的体积是多少？（ρ铜 =8.9 ×103kg/m3）五．解答题（共 1 小题）322．体积为 30cm，质量为 158g 的空心球，其空心部分注满水后测得质量为 168g，则其空心部分的体积是多少？若把空心球压成实心球，其密度是多少？（ρ水 =1.0×103kg/m3）一．选择题（共11 小题）1．分别用质量相等的铜、铁、铝制成三个体积都相等的空心球，比较它们中间空心部分的体积，则（已知：ρ铜＞ρ铁＞ρ铝）（）A．铜球最大B．铁球最大C．铝球最大D．三球一样大【分析】由题意可知，三球的质量相等以及密度关系，根据ρ=可知它们实心部分的体积关系，然后结合三个球的体积相等得出答案．【解答】解：由题意可知，三个球的质量相等，即m 铜=m 铁=m 铝，因ρ铜＞ρ铁＞ρ铝，所以，由 V=可知，三个球的实心部分的体积关系为：V 铝实＞V 铁实＞V 铜实，又因为三个球的体积相等，所以，由 V 空 =V 球﹣V 实可知，三个球的空心部分的关系是V 铜空＞ V 铁空＞V 铝空，即铜球的空心部分体积最大，故 A 正确、 BCD错误．故选 A．【点评】本题注意考查学生对密度公式的理解和应用，关键是知道 V 球 =V 实 +V 空．2．甲物质的密度为 5g/cm3，乙物质密度为 2g/cm3，各取一定质量混合后密度为3g/cm 3．假设混合前后总体积保持不变，则所取甲、乙两种物质的质量之比是（）A．5：4B．2：5C．5：2D．4：5【分析】甲乙两液体的质量即为混合液体的质量，根据密度公式求出甲乙两液体的体积，两体积之和即为混合液体的体积，根据密度公式表示出混合液体的密度，化简得出甲、乙两种物质的质量之比．【解答】解：设甲乙物体的质量分别为m 甲、m 乙，则混合液体的质量：m=m 甲 +m 乙，由ρ=可得，甲、乙两液体的体积分别为：V甲=，V乙=，则混合液体的体积：V=V 甲+V 乙=+，混合液体的密度：ρ=，） =m 甲+m 乙，即ρ（ + 代入数据可得：3g/cm 3×（+）=m甲+m乙，解得： m 甲： m 乙 =5：4．故选 A．【点评】本题考查了有关混合液密度的计算，关键是知道混合液体的体积等于两液体的体积之和、混合液体的质量等于两液体的质量之和．3．三个质量和体积都相同的空心球，分别用铜、铁、铝制成，则三个球的空心部分体积（）A．铝球最小B．铁球最小C．铜球最小D．无法判定【分析】根据铜、铝、铁制成的三个质量、体积都相等的空心球和ρ铜＞ρ铁＞ρ铝这两个条件，由密度公式变形可分别算出三个球的实心体积，从而比较出三球的空心体积．【解答】解：ρ铜 =V 实铜 =，同理可得 V 实铝和 V 实铁，∵铝、铁制成的三个质量、体积都相等的空心球，ρ铜＞ρ铁＞ρ铝，∴v 实铜最小，那么铜球的空心部分就最大，铝球的空心部分就最小．故选 A．【点评】此题考查学生对密度公式变形的灵活运用，锻炼学生解题的速度，即从公式可直接看出三个实心球的体积大小，从而判断出空心部分的体积；同时锻炼学生的空间想象能力．4．现有密度分别为ρ1、ρ2（ρ1＜ρ2）的两种液体，质量均为m0，某工厂要用它们按体积比 1：1 的比例配制一种混合液（设混合前后总体积保持不变），且使所得混合液的质量最大．则（）A．这种混合液的密度为B．这种混合液的密度为C．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为（1﹣）m0D．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为（﹣1）m0【分析】（1）当两种液体的体积相等时，我们可设每种液体的体积为 V，则混合液体的体积为 2V，然后根据公式 m=ρV分别表示出这两种液体的质量，从而就可以得出混合液体的总质量，最后根据密度公式求出混合液体的密度表达式；（ 2）已知原来两液体的质量相等，且ρ1＜ρ2，由V=可知原来两液体的体积关系；要使所得混合液的质量最大，且是等体积混合，则体积较小的液体全部用完，体积较大的液体有剩余，即取用液体的体积等于较小的液体体积，则剩下的那部分液体的质量 =该液体原来的质量﹣实际取用的质量，据此求解．【解答】解：AB、由题知，某工厂要用它们按体积比 1：1 的比例配制一种混合液（设混合前后总体积保持不变），设所需每种液体的体积为V，则混合液体的总体积为2V，由ρ=可得，两种液体的质量分别为m1=ρ1V，m2=ρ2V；则混合液体的总质量为m=m1+m2=ρ1V+ρ2V，所以，混合液体的密度为ρ= ==，故AB错误；CD、因为原来两液体的质量相等（质量均为m0），且ρ1＜ρ2，所以，由 V=可知，原来两液体的体积关系为V1＞V2，即质量相等的两液体，密度为ρ的液体体积较小；2要使所得混合液的质量最大，且是等体积混合，则密度为ρ2的液体全部用完，密度为ρ1的液体有剩余，则取用每种液体的体积均为V=V2=，所以，剩下的那部分液体的质量：m 剩=m ﹣ρ﹣ρ（﹣）m0，01V=m01= 1故 C正确， D 错误．故选： C．【点评】本题考查了有关混合液体密度的计算以及密度公式的综合应用，关键是知道：要使所得混合液的质量最大，且是等体积混合，体积较小的液体全部用完．5．甲、乙、丙三个正方体，边长之比为1： 2： 3，质量分别为3g、24g、36g，已知它们是同种材料制成的，但有一个是空心的，空心正方体是（）A．甲B．乙C．丙D．无法判断【分析】已知三个正方体是由同种物质制成的，如果都是实心的密度都相等，密度不同的就是空心的；设它们的边长分别为1cm，2cm， 3cm．然后可求它们的体积，根据密度公式求出各自的密度进行比较即可．【解答】 解：设甲、乙、丙三个正方体它们的边长分别为1cm ，2cm ， 3cm ．3333；丙的体积 V 丙 =（3cm ）甲的体积 V 甲 =（1cm ） =1cm ；乙的体积 V 乙 =（ 2cm ）=8cm 3=27cm 3；33甲=乙==3g/cm ；丙的密度甲的密度 ρ = =3g/cm ；乙的密度 ρ =ρ丙 ==≈1.3g/cm 3 ；不相同的是丙，所以可以肯定丙是空心的．故选 C ．【点评】密度可以鉴别物质是否是空心的、 还可以鉴别物质的种类． 因为同种物质密度是一定的， 质量与体积成正比； 不同物质密度一般不同， 所以掌握密度知识很有必要的．6．质量为 2000kg 的铝球，其体积为 1m 3 时，（铝的密度为 2.7g/cm 3）则（）A ．一定是空心的B ．一定是实心的C ．可能是空心，也可能是实心的D ．无法判断【分析】根据题目所给条件，计算出此球的平均密度，与铝的密度进行对比；如果相同，则说明是实心球，如果不相同，则说明是空心球．【解答】解：此球的平均密度 ρ===2000kg/m 3=2g/cm 3，比铝的密度小，说明是空心球．故选 A【点评】（ 1）判断物体是否是空心的，方法很多，但实质上都是根据密度定义式，比较实际物体与实心物体的质量、体积或密度之间是否存在差异；（2）如果存在差异，则实际物体为空心物体，如果不存在差异，则实际物体为实心物体．此题主要是考查学生对密度公式的灵活运用，利用密度解决生活中的实际问题，体现从物理走向生活，做到学以致用．7．50mL 水和 50mL 酒精混合，则该混合液的密度（酒精的密度是0.8×103kg/m 3）（）A．大于 0.9×103kg/m 3 B．小于 0.9×103kg/m 3C．等于 0.9×103kg/m 3 D．无法判断【分析】已知水的体积和酒精的体积，利用密度公式变形可求得水的质量和酒精的质量，因为分子间存在空隙， 50mL 水和 50mL 酒精混合后，酒精分子进入水分子的空隙中去了，体积小于100mL．然后用总质量除以总体积即为该混合液的密度．【解答】解：水和酒精的体积：V 水 =V 酒精 =50mL=50cm3，由ρ=可得，水和酒精的质量分别为：m 水=ρ水 V 水 =1.0g/cm3×50cm3=50g， m 酒精 =ρ酒精 V 酒精 =0.8g/cm3× 50cm3=40g，混合液的质量：m=m 水 +m 酒精 =50g+40g=90g，50mL 水和 50mL 酒精混合后，体积小于100mL，由ρ=可得该混合液的密度大于0.9×103kg/m 3．故选 A．【点评】本题考查了混合液体密度的计算，要注意50mL 水和50mL 酒精混合后混合液的体积小于100mL．8．已知ρ铝 =2.7×103千克 /m 3，ρ铜 =8.9×103千克 /m 3，若用相同质量的铝和铜制成相同体积的球，则下列说法正确的是（）A．两球都是实心的B．铝球可能是空心的，铜球不可能是空心的C．若两球都是空心的，则铝球的空心体积比铜球的空心体积大D．铝球可能是实心的，铜球不可能是实心的【分析】由题意可知，铝球和铜球的质量相等，又知道两者的密度关系，根据ρ=得出两者材料的体积关系，然后结合两球的体积相等判断是否空心物体以及空心部分的体积关系．【解答】解：因铝和铜的质量m 相同，且ρ铜＞ρ铝，所以，由ρ=的变形式 V=可知，V铜＜V铝，又因为铝球和铜球的体积相等，所以，如果铝球是实心的，则铜球一定是空心的；如果铝球是空心的，则铜球一定是空心的，由于实心部分的体积 V 铜＜V 铝，所以，铝球的空心体积比铜球的空心体积小；综上可知， ABC错误、 D 正确．故选 D．【点评】本题考查学生对密度公式变形的灵活运用，判断质量和体积都相同时，可以根据在质量一定时，然后根据改变它们体积从而达到体积相同来判断空心的球是哪一个；也可以根据在体积一定时，根据改变它们质量从而达到质量相同来判断空心的球是哪一个．9．现有同一种材料制成的四个正方体，其中有一个是空心的，它们的边长和质量如图所示．则空心的是（）A．B．C．D．【分析】用同一种材料做成的实心物体，其质量与体积的比值是相同的，对比各图中质量与体积的比值，与其他三个不同者就是空心的．【解答】解：四个正方体的密度依次为：ρA= ==5g/cm3，ρB= ==5g/cm3，ρC= ==5g/cm3，ρD===4.6875g/cm3，由计算可知，这种材料的密度是5g/cm 3，只有 D 正方体与其他正方体的密度不同，故 D 是空心的．故选 D．【点评】本题考查密度的计算与空心、实心的判断，同种物质的密度是相同的，即同种物质的质量与体积成正比，当质量与体积的比值小于物质的密度时，物体就是空心的．10．有三个质量相同小球A、B 和 C，（ρA＞ρB＞ρC），投入三只满水的杯子里都沉入杯底，溢出水的体积关系为V A=V B＜V C（）A．球 A 一定空心B．球 B 一定空心C．球 C 一定空心D．球 C 一定实心【分析】要判断哪个金属块溢出的水最多，关键看金属块体积的大小，既然质量相同，利用密度公式，可排出物块体积的大小顺序．【解答】解：由密度根据公式ρ=得，V=，则质量相等的不同物体，密度小的体积大．又因为ρ＞ρ＞ρ，A B C所以 V A＜V B＜V C，由因为投入三只满水的杯子里都沉入杯底，溢出水的体积关系为V A=V B＜V C故 A 一定是空心的， B 可能是空心也可能实心， C 可能是空心也可能实心，故 A 正确， BCD错误．故选 A．【点评】本题主要考查了学生对密度公式的应用，对于相同质量的物体，能否根据密度求出相应的体积．关键是要知道这三者密度的大小顺序．11．甲、乙两个小球的质量相等，已知ρ：ρ =3：1，V甲：V乙=1： 4，则下列甲乙说法中正确的是（）A．甲一定是空心的B．乙一定是空心的C．一定都是空心的D．一定都是实心的【分析】假设甲、乙两球都是实心的，根据公式 m=ρV可分别计算出 m 甲和 m 乙，由 m 甲＜m 乙可得出乙球一定是空心的．【解答】解：假设甲、乙两球都是实心的，则 m 甲：m 乙=ρ甲 V 甲：ρ乙 V 乙=×=×=3：4即乙的质量大于甲的质量，与已知甲、乙两个小球的质量相等矛盾，所以乙球一定是空心的．故选 B．【点评】要判断一个物体是实心的还是空心的，有三种办法：一是比密度，也就是算出这个物体的密度，和构成这个物体的这种物质的密度进行对比，小于这种物质密度就说明这个物体是空心的；二是比体积，也就是算出构成这个物体的这种物质的体积，和物体的实际体积比较，小于物体的实际体积就说明这个物体是空心的；三是质量，也就是算出和物体体积相等的这种物质的质量，和物体的实际质量进行比较，大于物体的实际质量就说明这个物体是空心的．二．填空题（共 4 小题）12．有三个质量相同的实心铜球、铁球和铝球，则铝球的体积最大；若是这三个质量相同的小球体积相同，则铜、铁球一定是空心的（ρ铜＞ρ铁＞ρ铝）．【分析】已知三金属的密度和质量相同的实心球，根据V=比较它们体积的大小关系；若三个质量相同的小球体积相同，说明一定有某些球是空心的．【解答】解：∵ m 铜球 =m 铁球 =m 铝球，且ρ铜＞ρ铁＞ρ铝，∴由 v=可知，铜球的体积最小，铝球的体积最大；若它们的体积相等，则说明有球是空心的．因为如果是实心的话，铜球和铁球的体积应该比铝球体积要小，现三球体积相等，说明铁球和铜球一定是空心的．故答案为：铝；铜、铁．【点评】此题考查对密度公式的灵活应用；要抓住题目中的关键条件﹣﹣质量相等、总体积相等，运用公式可判断出答案．13．体积为 35cm3，质量为 79g 的空心铁球，若在中空部分装满水，则铁球的总质量为 104g （铁的密度是 7.9× 103kg/m 3）【分析】根据 V=求出铁球中铁的体积，用铁球的实际体积减去铁的体积就是空心部分的体积，也是空心部分注满水后水的体积，根据 m=ρV求出水的质量．铁球的总质量等于水的质量与铁的质量之和．【解答】解：由ρ=可得，铁球中铁的体积：V 铁 ===10cm3，空心部分的体积：V 空 =V 球﹣ V 铁=35cm3﹣ 10cm3=25cm3，注满水后水的体积：V 水 =V 空=25cm3，注满水后水的质量：m 水=ρ水 V 水 =1.0g/cm3×25cm3=25g，铁球的总质量：m 总=m 铁 +m 水 =79g+25g=104g．故答案为： 104g．【点评】本题考查了密度公式的应用，涉及到空心问题，关键是知道空心部分注满水后水的体积等于空心部分的体积，计算过程要注意单位的换算和统一．14．AB 两物体质量相等， A 的体积是 B 的 7 倍，B 物质的密度是 A 物质密度的 4倍，如果其中只有一个球是空心的，则能判断出A物体是空心的．【分析】根据ρ=求出实心部分的体积之比，再根据球的体积之比，判断出哪一个球是空心的．【解答】解：由ρ=可得，两球实心部分的体积之比：====，因 A 的体积是 B 的 7 倍，且只有一个球是空心的，所以， A 是空心的， B 球是实心的．故答案为： A．【点评】本题主要考查的是学生对密度计算公式理解和掌握，根据体积关系判断出哪一个球是空心的是解决此题的关键．15．体积为 V0的空心铝球质量为m0，已知铝的密度为ρ0，现将某液体注满它的空心部分后球的质量变为m1，空心部分的体积为V0﹣，液体的密度为．【分析】（1）知道空心铝球的质量和铝的密度，根据V=求出铝的体积，铝球的体积减去铝的体积即为空心部分的体积；（2）将某液体注满它的空心部分后球的质量减去铝球原来的质量即为液体的质量，液体的体积和空心部分的体积，根据ρ=求出液体的密度．【解答】解：（1）由ρ=可得，空心铝球中铝的体积：V铝=，则空心部分的体积：V 空=V0﹣V 铝=V0﹣；（ 2）将某液体注满它的空心部分后，液体的质量：m 液=m1﹣ m0，液体的体积：V 液 =V 空=V0﹣，液体的密度：ρ液 ===．故答案为： V0﹣；．【点评】本题考查了有关空心问题的计算，要注意空心部分的体积和液体的体积相等．三．多选题（共 2 小题）16．现有密度分别为ρ1、ρ2（ρ1＞ρ2）的两种液体，若将两液体等体积混合时混合液的密度为ρ甲，若将两液体等质量混合时混合液的密度为ρ乙，设混合前后总体积不变，则ρ乙=（），ρ甲=（）A．ρ甲 =B．ρ甲=C．ρ乙 =D．ρ乙 =【分析】混合液体的体积等于两液体的体积之和，混合液体的质量等于两液体的质量之和，根据密度公式分别求出两液体等质量和等体积混合时混合液的密度，然后得出答案．【解答】解：（1）将两液体等体积V 混合时，由ρ=可得，两液体的质量分别为：m1=ρ1V， m2=ρ2V，则混合液的密度：ρ甲 ===，故A正确、B错误；（ 2）将两液体等质量m 混合时，两液体的体积分别为：V1=，V2=，则混合液的密度：ρ乙 ====，故C正确、D错误．故选 AC．【点评】本题考查了混合液体密度计算，知道混合液体的密度等于总质量和总体积的比值是关键．17．一空容器的质量为m0，容积为V0，该容器内装满某种液体后，总质量为m1，若在容器内放一质量为m 的小金属块A 后再加满这种液体，总质量为m2；若在容器内放一质量为 m 的小金属块 A 和一质量也为 m 的小金属块 B 后再加满这种液体，总质量为m3，则下列判断正确的是（）A．液体的密度为B．金属块 A 的体积为C．金属块 A 的密度为D．金属块 B 的体积为【分析】（ 1）容器内装满某种液体后液体的质量m 液 =m﹣m0，液体的体积 V 液=V0，根据ρ液 =求出液体的密度；（ 2）在容器内放一质量为 m 的小金属块 A 后，小金属块 A 排开液体的质量m 排1+m﹣m 2，根据V A=求出金属块 A 的体积，利用ρA=求出金属块A=m=V排的密度；（3）在容器内放一质量为 m 的小金属块 A 和一质量也为 m 的小金属块 B 后再加满这种液体，液体的质量 m 液′=m3﹣m0﹣2m，根据密度公式求出液体的体积，利用V B=V0﹣ V A﹣V 液求出金属块 B 的体积．【解答】解：A．容器内装满某种液体后，液体的质量m 液 =m1﹣m0，液体的体积 V 液 =V0，则液体的密度：ρ液 ==，故A正确；BC．在容器内放一质量为m 的小金属块 A 后再加满这种液体，总质量为m2，小金属块 A 排开液体的质量m 排=m1+m﹣ m2，金属块 A 的体积： V A=V 排 ===V0，金属块 A 的密度：ρA=，故B错误、C正确；= =D．在容器内放一质量为m 的小金属块 A 和一质量也为 m 的小金属块 B 后再加满这种液体，总质量为m3，则此时容器中液体的质量m 液′=m3﹣ m0﹣ 2m，此时容器中液体的体积：V 液′===V0，则金属块 B 的体积：B 0﹣V A﹣V′=V0﹣V0﹣V0=，故D正确．V =V液故选 ACD．【点评】本题考查了密度公式的灵活运用，分清金属块 A、B 的体积是关键，有一定的难度．四．计算题（共 4 小题）18．判断一个铝球是否是实心的，他们对铝球进行了测量，实验数据如下：（ρ铝=2.7×103kg/m3）铝球的质量 m/g水的体积 V1/mL水和铝球的总体积 V2/mL2750.065.0求：（ 1）该铝球是空心还是实心的？（2）若铝球是空心的，空心部分的体积多大？（3）若在空心部分注满水，水的质量是多大？【分析】（1）根据密度公式变形V=求出铝球的实心体积，再与球的实际体积（65.0ml﹣ 50.0ml）相比较，如果相等，则是实心的，如果实心体积小于实际体积，则是空心的．（2）用球的实际体积减去实心部分的体积就是空心部分的体积；（3）空心部分水的体积等于空心部分的体积，利用 m=ρV求水的质量．【解答】解：（1）由ρ=得铝球中铝的体积：V 铝 ===10cm3，33因为 V 球 =V2﹣V1=65mL﹣50mL=15mL=15cm＞10cm，所以该球是空心的．（ 2）空心部分的体积：V 空 =V 球﹣ V 铝=15cm3﹣ 10cm3=5cm3；（ 3）在空心部分注满水后水的体积：V 水 =V 空=5cm3，由ρ=得水的质量：m 水=ρ水 V 空 =1.0g/cm3×5cm3=5g．答：（ 1）该铝球是空心；（2）空心部分的体积为 5cm3；（3）在空心部分注满水，水的质量是 5g．【点评】本题考查了密度公式及其变形公式的应用，判断物体是否为空心，解决问题的方法很多，但实质上都是根据密度定义式，比较实际物体与实心部分的质量、体积或密度之间是否存在差异，即比较质量法、比较体积法和比较密度法，如果存在差异，则实际的物体为空心物体，此题运用的是比较体积法，解题过程中要注意统一单位．19．一个铜球，体积10cm3，质量为 62.3g，通过计算说明（ 1）这个铜球是实心的还是空心的？（ 2）如果是空心的，空心部分体积多大？（ 3）若把此球的空心部分罐满水，则此球的总质量是多少？（ρ铜=8.9g/cm3）【分析】利用密度公式先计算实心的体积与铜球体积相比较即可知道是否是实心；若是空心，求出空心部分的体积，求出水的质量，则总质量等于水的质量 +铜球的质量．【解答】解：（ 1）由ρ=得铜的体积：V===7cm3＜10cm3，所以，铜球是空心的；（ 2）空心部分的体积：V 空 =10cm3﹣7cm3=3cm3；（ 3）把此球的空心部分罐满水，水的体积：V 水 =V 空=3cm3，由ρ=得水的质量：m 水=ρ水 V 水 =1g/cm3×3cm3=3g，此球的总质量：m 总=m+m 水 =62.3g+3g=65.3g答：（ 1）这个铜球是空心的；（2）空心部分的体积是 3cm3；（3）把空心部分罐满水，总质量是 65.3g．【点评】本题主要是考查学生对密度公式的灵活运用，注意：水的体积即是空心部分的容积，总质量等于水的质量和铜球的质量和，灵活运用密度公式计算即可．。

空心轴和实心轴的承载能力一、空心轴的承载能力空心轴是指轴的内部为空心的结构，空心轴具有较高的强度和刚度，适用于承受较大的载荷和扭矩。

空心轴的承载能力主要由以下几个因素决定：1. 材料强度：轴的材料强度是决定空心轴承载能力的重要因素之一。

常见的空心轴材料有钢、铝合金等。

不同材料的强度不同，因此对于相同尺寸的空心轴，使用不同材料制造的承载能力也会有所差异。

2. 空心轴的几何形状：空心轴的几何形状对其承载能力有重要影响。

一般来说，较大的外径和较小的内径可以提高空心轴的承载能力。

此外，空心轴的壁厚也会影响其承载能力，较大的壁厚可以提高轴的强度。

3. 加工工艺：空心轴的加工工艺对其承载能力也有一定影响。

精密的加工工艺可以提高轴的表面质量和尺寸精度，从而提高其承载能力。

二、实心轴的承载能力实心轴是指轴的内部为实心的结构，实心轴具有较高的刚度和稳定性，适用于承受较小的载荷和扭矩。

实心轴的承载能力主要由以下几个因素决定：1. 材料强度：实心轴的材料强度同样是决定其承载能力的重要因素之一。

常用的实心轴材料有钢、铜等。

不同材料的强度不同，因此对于相同尺寸的实心轴，使用不同材料制造的承载能力也会有所差异。

2. 实心轴的直径：实心轴的直径对其承载能力有重要影响。

一般来说，较大的直径可以提高实心轴的承载能力。

此外，实心轴的长度也会影响其承载能力，较短的实心轴可以提高轴的强度。

3. 表面处理：实心轴的表面处理对其承载能力也有一定影响。

例如，表面硬化处理可以提高实心轴的硬度和耐磨性，从而提高其承载能力。

三、空心轴和实心轴的比较1. 承载能力：由于空心轴具有较大的外径和较小的内径，以及较大的壁厚，因此相同尺寸的空心轴的承载能力通常高于实心轴。

2. 刚度：实心轴由于其结构的特点，具有较高的刚度和稳定性，适用于对刚度要求较高的场合。

而空心轴由于内部为空心，刚度相对较低，适用于对刚度要求较低的场合。

3. 重量：空心轴由于其内部为空心，相同尺寸的空心轴通常比实心轴更轻，适用于对重量要求较低的场合。

⽅阵问题⽅阵问题：⼀、实⼼⽅阵1、总数：每边数*每边数2、每层数：（每边数－1）*4 或每边数*4－43、每边数：每层数÷4+1⼆、空⼼⽅阵1、最外层每边数：总数÷4÷层数+层数2、总数：（最外层每边数－层数）*层数*43、去掉⼀⾏、⼀列的总⼈数：去掉的每边⼈数*2－1练习题：1、学校庆祝六⼀节，要在正⽅形操场周围插上彩旗，要求四个⾓都要插上⼀⾯彩旗，每条边上插8⾯旗，要准备多少⾯彩旗？2、同学们围成⼀个正⽅形的队伍，每边站12⼈，⾄少需要多少为学⽣？3、⼀个正⽅形棋盘的四个⾓都放有1枚棋⼦，每条边上都能数出5枚棋⼦，⼀共放了多少枚棋⼦？4、学校开运动会，⽼师要在正⽅形操场周围插上彩旗，要求四个⾓上都要插上⼀⾯彩旗，每条边上插10⾯旗，⽽在每两⾯彩旗中要摆放⼀盆鲜花。

要准备多少⾯彩旗和多少盆鲜花？5、早操时，全校同学排成⼀个正⽅形⽅阵。

当把这个正⽅形⽅阵减少⼀⾏和⼀列时，发现减少49⼈，全校有多少⼈排队做早操？6、⼀个正⽅形棋盘上放满棋⼦，当把这个正⽅形上的棋⼦减少⼀⾏⼀列时，发现减少了45颗棋⼦，原来棋盘上有多少颗棋⼦？7、同学们做队列操，排成⼀个正⽅形⽅阵，后来为这个⽅阵增加⼀⾏和⼀列，结果还需要25个⼈，原来这个队列有多少⼈？8、运动会⼊场式要求运动员排成⼀个9⾏9列的正⽅形⽅阵，如果去掉2⾏2列，要减少多少运动员？9、六⼀节，同学们⽤鲜花在表演台周围排成⼀个四层空⼼⽅阵，最外⾯⼀层每边摆了12盆鲜花，摆这个⽅阵共⽤了多少盆鲜花？10、⽤⼀堆棋⼦摆⼀个五层空⼼⽅阵，对内层每边有12枚，这堆棋⼦共有多少枚？11、四年级学⽣160⼈排成四路纵队（即每排4⼈），每相邻两排相隔1⽶，那么纵队有多长呢？12、有28位⼩朋友排成⼀⾏，从左边数第10个是王爱华，从右边数他是第⼏位呢？13、⼭东⼩学四年级学⽣排成⼀个实⼼⽅阵多出7⼈，如果、竖各增加⼀⾏，⼜差24⼈，四年级学⽣有多少⼈？14、⼀个正⽅形⽅阵，最外层有100⼈，这个⽅针共有多少⼈呢？15、同学们做早操，排成⼀个正⽅形的⽅阵，从前、后、左、右数，⼩明都是第5个，这个⽅阵共有多少⼈？16、四年级学⽣进⾏体操表演，从左数⼩红排第10个，从右数⼩红排第9个，从前数她排第7个，从后数她排第6个，四年级学⽣共有多少⼈？17、操场上有20排同学做课间操，每排⼈数相等，王刚站在第10排，从排头数他是第5个，从排尾数他是第8个，操场上⼀共有多少个学⽣？18、共有96名男⽣站在⼀个三层空⼼⽅阵，问中间⼀层每边有多少⼈？19、学校舞蹈队摆了⼀个三层的空⼼⽅阵队形，最外圈站了24位同学，这个队形共需多少位同学？20、某校学⽣组成⼀个6层的空⼼⽅阵，最外层每边排25位同学，那么要多少位同学才能排出这个空⼼⽅阵？21、同学们做操，排成⼀个正⽅形的队伍，从前后左右数，⼩红都是第5个，则这个队伍⼀共有多少⼈？22、学校开联欢晚会，要在正⽅形操场四周装彩灯，四个⾓都装⼀盏，每边装7盏，那么⼀共需要准备多少盏彩灯？23、四年级学⽣组成⼀个正⽅形⽅阵，共有13⾏13列，后来由于服装不够，只好去掉⼀⾏⼀列，去掉了多少⼈呢？24、⼀个⼤⾏⽅阵，外层每边30⼈，内层每边10⼈，中间位置由16⼈进⾏体操表演，这个⽅阵共有多少⼈？25、操场上有15排同学在做早操，每排⼈数相等，李明站在第6排，从派头开始数，她是第6个，从排尾数她是第7个，⼀共有多少名同学？26、四年级学⽣排成⼀个实⼼⽅阵还多9⼈，如果横、竖各增加⼀排，⼜差28⼈，四年级学⽣共有多少⼈？27、有⼀队学⽣排成空⼼⽅阵，最外层是52⼈，最⾥层是28⼈，这队学⽣共有多少⼈？28、红星⼩学学⽣做队列操，576⼈排成⼀个三层空⼼⽅阵，这个空⼼⽅阵外层每边有多少⼈呢？29、有棋⼦若⼲枚，如果排成三层中空⽅阵，就多9枚，如果中空部分增加两层，则少15枚，问棋⼦共有多少枚？30、学⽣进⾏队列⽐赛，要求由三⾓队列刚好变成正⽅形队列，⼈数不变。