人教版七年级数学上册 有理数 知识点归纳(含例题)

1.1正数和负数

比0大的数叫做正数，比0小的数叫做负数。

0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。

在正数前面加上符号“－”的数就是负数。

例1、3.2、0.4、25%、15等都是正数；－3.2、－0.4、－25%、－15等都是负数。

正数前面可以加上符号“＋”，也可以省略这个符号。但负数前面的符号“－”不能省略。

例2、13可以写成＋13，+13也可以省略“＋”号，写成13 。

但是－13不能省略“－”号写作13 。

0和正数统称为非负数，0和负数统称为非正数。

正数和负数可以分别用来表示相反意义的量。

例3、存入100元记为+100，则取出200元记为-200 。

例4、向北走50米记为+50，则向南走70米记为-70 。

0不仅可以表示“没有”，还可以表示其它意思。

例5、0是正数和负数的分界。

例6、0℃不代表没有温度，相反，0℃是一个确定的温度。

1.2有理数

正整数、0、负整数统称为整数，即：整数{ 正整数0负整数

正分数、负分数统称为分数，即：分数{正分数负分数

整数和分数统称为有理数。

有理数的分类：

按定义分类 按性质分类

有理数{ 整数{ 正整数0负整数分数{正分数负分数 有理数{ 正有理数{正整数正分数0负有理数{负整数负分数

与小学不同，在初中，如果一个小数能化成分数，那么这个小数也是分数。

例1、因为0.2=15，1.5=32，2.666=223，所以0.2、1.5、2.666都是分数。

例2、无限不循环小数，如π、1.010010001…等都不是分数。

引入负数之后，奇数和偶数的范围扩大了。

例3、不仅1、3、5、7……是奇数，而且-1、-3、-5、-7……也是奇数。

例4、不仅0、2、4、6、8……是偶数，而且-2、-4、-6、-8……也是偶数。

用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求：

①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。

②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向。

在一些特殊情况下，也可以规定直线上从原点向上为正方向，从原点向下为负方向。

例如：温度计。

③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，……

数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。

数轴上，原点右边的数是正数，原点左边的数是负数。

数轴上，右边的数比左边的数大。

所有有理数都可以用数轴上的点来表示，包括分数或小数也可以用数轴上的点表示。

例5、从原点向右3.5个单位长度的点表示小数3.5 。

例6、从原点向左52个单位长度的点表示分数-52 。

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

只有符号不同的两个数互为相反数。

例7、3和－3互为相反数，a和－a互为相反数。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0 。

在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

如果一个数前面已经有“－”号，要求它的相反数，则要添上括号。

例8、－（－6）表示－6的相反数，－（－6）=6 。

一个算式里有几个数相加或相减，要求它的相反数，则要把整个算式括起来，再添上“－”号。

例9、3a+b的相反数是－（3a+b） 。

例10、4x-6y的相反数是－（4x-6y） 。

－（＋a）=－a，－（－a）=a，－0=0

在一个数前面加上符号“－”的数不一定是负数。

例11、a可以表示任意数，如果在它前面加上符号“－”，则变成了－a，但－a不一定是负数。

因为当a=0时，则有－0=0，0不是负数。所以－a不一定是负数。

相反数的几何意义：在数轴上，到原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数。这两个数分别在原点的两侧，并且关于原点对称。

如果a是一个正数，那么在数轴上与原点的距离为a的点有两个，它们分别在原点的两侧，关于原点对称，表示为a和－a 。

例12、到原点距离为5的点分别表示为5和－5 。

一个数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫做它的绝对值，记作|a| 。

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 。用字母a表示如下：

①当a＞0，|a|=a 。

②当a=0，|a|=0 。

③当a＜0，|a|=－a 。

任何一个有理数的绝对值都是非负数，所以说绝对值具有非负性，即|a|≥0 。

例13、|3|=3，|－3|=3，|0|=0 。

比较有理数大小的方法：

①看数轴，数轴上右边的数比左边的数大。

②比较两个负数时，绝对值大的反而小。

例14、比较－5和－7的大小。

|－5|=5，|－7|=7

因为7＞5

所以－7＜－5

已知一个数的绝对值，求这个数，可能有两种情况。

例15、已知|a|=5，则a=±5 。

绝对值的化简：

①当a≥0，|a|=a

②当a≤0，|a|=－a

1.3有理数的加减法

有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例1、计算（－3）+（－5）

分析：两数的符号都是“－”号，所以得数的符号是“－”号。

－3的绝对值是3，－5的绝对值是5 。

3+5=8

所以（－3）+（－5）=－8 。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例2、计算（－3）+5

分析：－3的绝对值是3，5的绝对值是5 。

5＞3

所以得数的符号是“＋”号，“＋”号可以省略。

5-3=2

所以（－3）+5=2 。

③互为相反数的两个数相加得0 。

例3、（－6）+6=0

④一个数与0相加，仍得这个数。

例4、6+0=6，－10+0=－10 。

计算有理数的加减法时，要先定符号，再算绝对值。

小学所学的加法运算定律对有理数仍然适用。

加法运算定律：

①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

字母表示：a+b=b+a

②加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后面两个数相加，和不变。

字母表示：a+b+c=a+(b+c)

③如果一个算式中只有加法运算，则加数的顺序可以任意交换。

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

字母表示：a-b=a+(－b)

运用有理数减法法则，可以把减法转化为加法，之后就可以用有理数加法法则来计算。

例5、5-8-7

=5+(－8)+(－7)

=（－3）+(－7)

=－10

拆括号法则：

①a+（－b）=a-b

②a-（－b）=a+b

例6、10+(－8)-(－7)

=10-8+7

=2+7

=9

1.4有理数的乘除法

有理数乘法法则：

①正数乘正数，积为正数。

②正数乘负数，积为负数。

③负数乘正数，积为负数。

④负数乘负数，积为正数。

总的来说就是一句话：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例1、计算3×（－5）

分析：3和－5异号

所以结果为负数

绝对值相乘：3×5=15

所以3×（－5）=－15

例2、计算（－4）×（－6）

分析：－4和－6同号

所以结果为正数

绝对值相乘：4×6=24

所以（－4）×（－6）=24

计算有理数的加减法和乘法都要先定符号，再确定积的绝对值。

任何数与0相乘，都得0 。

要得到一个数的相反数，只要将它乘－1 。

乘积是1的两个数互为倒数。

小学所学的乘法运算定律对有理数的乘法仍然适用。

用字母表示乘数时，“×”号可以写为“ · ”或省略。

例3、a×b可以写为a·b或ab 。

乘法运算定律：

①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

字母表示：ab=ba

②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

字母表示：abc=a(bc)

③如果一个算式中只有乘法运算，那么乘数的位置可以任意交换，积仍然相等。

④乘法分配律：一个数与两个数的积相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把所得的积相加。

字母表示：a(b+c)=ab+ac

几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数时，积是正数。

简称：奇负偶正。