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高数上第一章 复习题1. 计算下列极限: (1)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→;(2)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→;(3))1311(lim 31x x x ---→;(4)xx x 1sin lim 20→;(5)xx x arctan lim ∞→.(6)145lim1---→x x x x ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.(8)xx x sin ln lim 0→;(9)2)11(lim xx x +∞→;(10))1(lim 2x x x x -++∞→;(11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;(12)30sin tan lim xx x x -→;2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);3. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？4. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .5. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n .6. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0 sin x x x x , 求f '(x ) .第二章 复习题1. 求下列函数的导数:(1) y =ln(1+x 2);(2) y =sin 2x ;(3)22x a y -=;(4)xx y ln 1ln 1+-=; (5)xx y 2sin =; (6)x y arcsin=; (7))ln(22x a x y ++=;(8)x x y +-=11arcsin.(9)x x y -+=11arctan ;(10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=;(11))1ln(2x x e e y ++=;2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =(sinx)^n(2) y =x e x .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dxy d.4.求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d :5. 求下列函数的微分:(1)21arcsin x y -=;(3) y =tan 2(1+2x 2);(3)2211arctan xxy +-=;6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin )(x x x x x f 在x =0处的连续性与可导性.第三章 复习题1.设F(x)=(x-1) 2f(x),其中f(x)在[1,2]上具有二阶导数且f(2)=2,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),使得F ”(ξ)=0.2.设b>a>0,证明：(b-a)/(1+b 2) <arctan b –arctan a<(b-a)/(1+a 2).3. 用洛必达法则求下列极限: (1)x e e x x x sin lim 0-→-;(2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(3)x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→;4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;5.判定曲线y=x arctan x的凹凸性:6.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1)y=xe-x (2) y=ln(x2+1);7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.第四、五、六章 复习题1. 求下列不定积分:(1)⎰dx e x x 3;(2)⎰+++dx x x x 1133224;(3)⎰dt t t sin;(4)⎰-+dx e e x x 1;(5)⎰--dx x x 2491;(6)⎰-+dx x x )2)(1(1;.(8)⎰-dx x x 92;(9) ⎰-xdx e x cos ;(10)⎰dx x 2)(arcsin ;(11)⎰xdx e x 2sin .(12)dx x x )1(12+⎰;2. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=x a dt t f a x x F )(1)(.证明在(a , b )内有F '(x )≤0.3. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ; (2)dx x ⎰-2022;4. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.5.计算曲线y=sin x(0≤x≤π)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积..。
《高等数学》（上）第1-3章自测题使用对象：2012级计机系、电子系本科学生一、填空题：1.设,0,cos 0,)(⎩⎨⎧>≤=-x x x e x f x 则=-)1(f ，=-)1(2x f .2.设函数3arcsin2lg)(x x x x f +-=，则它的定义域是 .3.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则a=4.如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则a =5.曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ，法线方程为 6.设函数21()1x x f x ax bx ⎧≤=⎨+>⎩在点1x =处可导，则a = ，b = .7. 设函数()f u 可导, 若3(cos 2)y f x x =+, 则dy dx=.8. 设2()y f x x =+且()f u 可导，则y ''= . 9. 设201223825y x x x =+-+，则(30)y = ． 10.设x xe x f =)(，则(10)()f x =.11.设y x y +=tan ，则____________dy =12.已知,arctan )(,2323/x x f x x f y =⎪⎭⎫⎝⎛+-=则==0x dxdy __________________13.函数233x x y -=在__________单调递减，其图形在 是凹的.14.函数322312)(x x x x f -+=在 处取得极小值，在 处取得极大值，点 是拐点. 15.21xy x=+的图形有铅直渐近线 ；有斜渐近线 .16.若函数32y ax bx cx d =+++在0x =处有极值0y =，点(1,1)是拐点，则a = ， b =，c = ，d = . 二、单项选择题：1. 下列函数在给定的变化过程中不是无穷小量的是( ).（A ）1()x f x e =， 0x +→ （B ）()ln f x x =，1x → （C ）()arctan 2f x xπ=-，x →+∞ （D）()f x =x →∞2. 设22()4x f x x +=-, 则2x =-是()f x 的( ).(A) 连续点(B) 可去间断点 (C) 跳跃间断点 (D) 第二类间断点 3. 当0x →时, （ ）与2x 是等价无穷小.(A)2ln(1)x + (B)21cos x - (C)2sin 1x + (D)2x x + 4.已知0()limx f x x→=，且(0)1f =，那么（ ）（A ）()f x 在0x =处不连续。
高数前两章复习题和答案# 高数前两章复习题和答案一、极限的概念与性质复习题：1. 定义极限的概念，并给出一个函数在某一点的极限的例子。
2. 解释什么是无穷小，什么是无穷大，并给出一个函数在无穷远处的极限的例子。
3. 举例说明极限存在的充分条件。
4. 解释什么是夹逼定理，并给出一个应用夹逼定理求解极限的例子。
5. 说明极限的性质，并给出一个函数极限的运算法则的例子。
答案：1. 极限的概念是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的数。
例如，函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x \) 趋近于 0 时的极限是无穷大。
2. 无穷小是指当自变量趋近于无穷时，函数值趋近于 0 的函数。
无穷大是指当自变量趋近于无穷时，函数值趋近于无穷的函数。
例如，函数 \( g(x) = \frac{1}{x^2} \) 在 \( x \) 趋近于无穷时的极限是 0。
3. 极限存在的充分条件包括：单调有界准则、夹逼准则等。
4. 夹逼定理是指如果两个函数 \( f(x) \) 和 \( h(x) \) 都趋近于同一个极限 \( L \)，并且它们在 \( x \) 趋近于 \( a \) 时夹着另一个函数 \( g(x) \)，即 \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \)，那么 \( g(x) \) 在 \( x \) 趋近于 \( a \) 时的极限也是 \( L \)。
5. 极限的性质包括唯一性、局部有界性、保号性等。
例如，如果\( \lim_{x \to a} f(x) = L \) 和 \( \lim_{x \to a} g(x) = M\)，那么 \( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M \)。
二、导数与微分复习题：1. 定义导数的概念，并给出一个函数在某一点的导数的例子。
2. 解释什么是可导函数，并给出一个函数不可导的例子。
同济大学高数上习题答案同济大学高数上习题答案高等数学作为理工科学生必修的一门课程，对于大多数学生来说是一座难以逾越的高山。
而同济大学的高数上课程更是以其难度和复杂性而著称。
为了帮助同学们更好地理解和掌握高数上的知识，我整理了一些习题答案，希望能对同学们的学习有所帮助。
第一章：函数与极限1. 设函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(-1) 的值。
答案：将 x = -1 代入函数 f(x) 中，得到 f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 6。
2. 求函数 f(x) = x^3 - 2x + 1 的极限lim(x→2) f(x)。
答案：将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到 f(2) = 2^3 - 2(2) + 1 = 5。
3. 求函数f(x) = √(x + 1) 的定义域。
答案：由于函数中有根号，要使函数有意义，需要满足x + 1 ≥ 0，即x ≥ -1。
所以定义域为 [-1, +∞)。
第二章：导数与微分1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的导数。
答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x - 3。
2. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = e^x。
3. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的导数。
答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x / (x^2 + 1)。
第三章：微分中值定理与泰勒展开1. 利用微分中值定理证明函数 f(x) = x^3 - x 在区间 [0, 1] 上存在一个点 c，使得 f'(c) = 2c - 1。
答案：由微分中值定理可知，存在一个点 c 属于 (0, 1)，使得 f'(c) = (f(1) - f(0)) / (1 - 0) = 2c - 1。
2. 求函数 f(x) = sin(x) 在x = π/4 处的泰勒展开式。
第一章习题 习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。
高等数学（上）第一章练习题一．填空题1． 12sin lim sin_________.x x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭1 2． lim 9xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 则__________.a = ln3 3． 若21lim51x x ax bx →++=-，则___________,___________.a b == -7,6 4． 02lim__________.2x x x e e x-→+-= 0 5． 1(12)0()ln(1)0x x x f x x k x ⎧-<=⎨++≥⎩在0x =连续，则k = e^-26． 已知当0x →时，()12311ax+-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a =7． 设21()cos 1x kx f x x x π⎧+≥=⎨<⎩ 处处连续, 则__________.k = -2 8．设20()sin 0a bx x f x bxx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在0x =处间断,则常数a 和b9．()1lim 123nn nn →∞++=10．lim x →+∞⎡=⎣11．lim x ax b →+∞⎤-=⎦0 ，则a = b =12．已知111()23xxe f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点二．单项选择题 13． 当0x →时, 变量211sin x x是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量C. 有界变量但不是无穷小,D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________.A. 不一定存在,B. 无定义,C. 有定义,D. 0=. 15． 如果0lim ()x x f x -→和0lim ()x x f x +→存在, 则_____________.A. 0lim ()x x f x →存在且0lim ()x x f x →0()f x =, B. 0lim ()x x f x →不一定存在,C. 0lim ()x x f x →存在但不一定有0lim ()x x f x →0()f x =, D. 0lim ()x x f x →一定不存在.16．当0x →时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量._________.A. 2x , B. 1cos x -, C.1, D. tan sin x x -.17．如果1ln 11()0010x xx x f x x e x ⎧>⎪-⎪=≤≤⎨⎪⎪<⎩, 则()f x 是____________.A. 在(,)-∞+∞内连续B. 在0x =处连续在1x =处间断C. 在0x =处间断在1x =处连续D. 在0x =、1x =处都间断。
习题1—71．指出下列各函数的间断点以及所属的类型。
如果是可去间断点，则重新定义函数值使函数在该点连续（1）23x -x 1-x y 22+=解：1x 023x -x 2=→=+，2x =22-x 1x lim 23x -x 1-x lim y lim 1x 221x 1x -=+=+=→→→，y lim 2x →不存在 所以1x =，是函数的第一类间断点，且是可去间断点 定义当1x =，-2y =可使函数在1x = 点连续。
2x =是函数的第二类间断点（2）2x x xy 2-+=解：→⎩⎨⎧≥=-+0x 02x x 21x =，y lim 1x →不存在，所以1x =是函数的第二类间断点 （3）x x 1x -1limy 2n2nn +=∞→ 解：1x >时，x x 1x11x 1lim x x 1x -1limy 2n 2nn 2n2nn -=+-=+=∞→∞→1x =时，0x x 1x -1limy 2n 2nn =+=∞→ 1x <时，x x x 1x -1limy 2n2nn =+=∞→ -1y lim 01x =+→，1y lim 01x =-→，0y 1x ==，所以1x =是函数的第一类间断点-1y lim 01x =+-→，1y lim 01x =--→，0y 1x =-=，所以1x -=是函数的第一类间断点（4）x 1x)1(y +=解：e x )1(lim y lim x10x 0x =+=→→，0x =时，x1无意义，x 1x)1(y +=无意义，所以0x =是函数的第一类间断点。
定义0x =时，e y =可使函数在0x =处连续 2．写出函数在点x 0连续的ε—δ定义。
解：设函数x)(f 在点x 0的某邻域内有定义，0>∀ε，0>∃δ，x ∀：δ<0x -x ，使ε<)x (-(x)0f f 成立，则x)(f 在点x 0处连续3．（1）函数x)(f 在点x 0连续，而函数x)(g 在点x 0不连续，问此两函数之和在点x 0是否连续？那么此两函数的积呢？（2）在点x 0，x)(f 与x)(g 都不连续，则两函数的积是否必不连续？ 解：（1）①(x)x)(g f +在x 0处不连续证明：设(x)x)(g f +在x 0处连续，则0>∀ε，01>∃δ，x ∀：10x -x δ<，2/)x ()x (-(x)x)(00ε<-+g f g f2/)x ()x (-(x )x )(2/00εε<-+<-g f g f)]x (-x )([2/)x ((x ))]x (-x )([2/000f f g g f f -<-<--εε由于x)(f 在x 0处连续，所以0>∀ε，02>∃δ，x ∀：20x -x δ<，2/)x (-x)(0ε<f f ，2/)x (-x )(2/0εε<<-f fεεεε=--<-<-]2/[2/)]x (-x )([2/)x ((x )00f f g g εεεε-=-->-->-2/2/)]x (-x )([2/)x ((x )00f f g g故： ε<-)x ((x)0g g所以0>∀ε，},m in{21δδδ=∃，x ∀：δ<0x -x ，使ε<-)x ((x)0g g 成立。
高等数学（上）第一章练习题一．填空题1． 12sin lim sin_________.x x x x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭1 2． lim 9xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 则__________.a = ln3 3． 若21lim51x x ax bx →++=-，则___________,___________.a b == -7,6 4． 02lim__________.2x x x e e x-→+-= 0 5． 1(12)0()ln(1)0x x x f x x k x ⎧-<=⎨++≥⎩在0x =连续，则k = e^-26． 已知当0x →时，()12311ax+-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a =7． 设21()cos 1x kx f x x x π⎧+≥=⎨<⎩ 处处连续, 则__________.k = -2 8．设20()sin 0a bx x f x bxx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________.a 不等于b9．()1lim 123nn nn →∞++=10．lim x →+∞⎡=⎣11．lim x ax b →+∞⎤-=⎦0 ，则a = b =12．已知111()23xxe f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点二．单项选择题 13． 当0x →时, 变量211sin x x是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量C. 有界变量但不是无穷小,D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________.A. 不一定存在,B. 无定义,C. 有定义,D. 0=. 15． 如果0lim ()x x f x -→和0lim ()x x f x +→存在, 则_____________.A. 0lim ()x x f x →存在且0lim ()x x f x →0()f x =, B. 0lim ()x x f x →不一定存在,C. 0lim ()x x f x →存在但不一定有0lim ()x x f x →0()f x =, D. 0lim ()x x f x →一定不存在.16．当0x →时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量._________.A. 2x , B. 1c o s x -, C.1, D. tan sin x x -.17．如果1ln 11()0010x xx x f x x e x ⎧>⎪-⎪=≤≤⎨⎪⎪<⎩, 则()f x 是____________.A. 在(,)-∞+∞内连续B. 在0x =处连续在1x =处间断C. 在0x =处间断在1x =处连续D. 在0x =、1x =处都间断。
18．函数110()10x e x f x x x ⎧⎪+>=⎨⎪+≤⎩在0x =处间断是因为__________. A. ()f x 在0x =处无定义 B. 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→和都不存在C. 0lim ()x f x →不存在 D. 0lim ()(0)x f x f →≠.19． 函数323()23x f x x x x-=--的间断点为__________.A. 0,1x x ==B. 0,1,3x x x ==-=,C. 1,3x x =-=D. 0, 3.x x ==20．方程410x x --=至少有一个根的区间是___________. A. ()120,, B. ()12,1, C. ()2,3, D. ()1,2 21．设1sin0()3(1)0x x f x x a x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩ 在0x =处连续, 则_________.a = A. 0, B. 1, C. 13, D. 3三．求下列极限：22． ;3)2(3)2(lim11++∞→+-+-n n nn n 23．);11(lim 22--+∞→n n n n24. )11()311)(211(lim 222n n ---∞→25. )212252321(lim 32n n n -++++∞→ 26. 1003070)25()18()13(lim +-+∞→x x x x27. 112lim 21---→x x x x28. 322lim()2121x x x x x →∞--+29. xx xx x cos sin lim -+∞→30. 2)31(lim +∞→+-x x x x31. 30lim x x → 32. 01cos 2limsin x xx x →- 33. 301cos limsin 2x x x x→- 34.11lim()sin tan x x x→- 35. )1ln(1lim 20+-→x e x x36. lim x答案与提示一．填空题1 . 1 2. ln 3 3. -7 ，6 4. 0 5. 2e - 6. 32-7. 2- 8. a b ≠ 9. 3 10. 0 11.1，12- 12. 一二．单项选择题13. D 14. A 15. B 16.D 17.B 18.C 19.B 20. D 21.C三．求下列极限：22 .31]1)32[(3]1)32[(3lim 3)2(3)2(lim1111=+-+-=+-+-++∞→++∞→n n n n n n n nnn 23 1)1111(2lim 112lim)11(lim 222222=-++=-++=--+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n 24. )11)(11()311)(311)(211)(211(lim )11()311)(211(lim 222n n nn n +-+-+-=---∞→∞→.21)121(lim )11454334322321(lim =+⋅=+⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n 25. 记.212252312,2122523211232--++++=-++++=n nn n n S n S 则2211315321232121()()()2222222n n n n n nn n n S S S -----∴=-=+-+-++--21121111....lim 1 3.122212n n n n n S -→∞-=++++-∴=+=-26. 解： .583)25()18()13(lim )25()18()13(lim 100307010030701003070=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x 27. .31)12)(1(lim 112lim121=-+-=---→→x x x x x x x x 28. ()32222(1)1lim()lim .2121421(21)x x x x x x x x x x →∞→∞+-==-+-+ 29. .1cos 11sin 11lim cos sin lim=-+=-+∞→∞→x xxx x x x x x x 30. .31)341(lim )31(lim 414432----+∞→+∞→=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-e x x x x x x x x x31. 0x →=3320001tan sin 1sin sin .cos 1sin 1cos 11lim lim lim ..22cos 2cos 4x x x x x x x x x x x x x x x x →→→---===32. 22lim sin cos 1lim2200==-→→xx x x x x x 33. 4322lim 32)cos cos 1)(cos 1(lim 2sin cos 1lim22022030==++-=-→→→x x x x x x x x x x x x 34. 2200011tan sin 2lim()lim lim 0sin tan sin tan x x x x x xx xx x x →→→--===35. 22lim )1ln(1lim020==+-→→xxx e x x x36. limlim1.x x →+∞→+∞==第二章一．选择题1．（ ）处连续，则在 ，如果，，设函数==⎩⎨⎧≥+<=b x x f x b x x x x f 0)(020cos 3)(4321． ． ． ．D C B A 2．的值是（ ）处连续，则在 ，则，，设k x x f x x x x kx x f 0)(020tan )(=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=2121--． ． ． ．D C B A 3．的值是极限11)3arcsin(lim--→x x x （ ）662323． ． ． ．D C B A --4．的值是极限)31ln()21ln(lim 220x x x -+→ （ ）9432312． ． ． ．D C B A --5．处连续的极限式是在不能导出0)(x x f y = （ ）[][]存在．．．．x x f x x f x yD x x f x x f C x f x f B x f x x f A x x x x x x ∆∆-∆+=∆∆=∆--∆+==-∆+→∆→∆→∆→→∆)()(lim lim)()(lim )()(lim 0)()(lim 00000000006．．，若)0(0)(lim 0)(lim100>≠==+→→k c x x g x x f k x k x的关系是与，无穷小则当)()(0x g x f x → （ ）比较无肯定结论．与．的同阶无穷小；为．的高阶无穷小；为．的高阶无穷小；为．)()()()()()()()(x g x f D x g x f C x f x g B x g x f A7．的值为，则已知a x x x a x 21sin cos lim 0=-→ （ ）．．； ．； ．； ．1210-D C B A8．的是无穷小量－时，无穷小量当12111-+→x x x x （ ）．低阶无穷小量．．高阶无穷小量；量；．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；D C B A9．的间断点是函数x x x y 11111-+-= （ ）．，，．有三点；，．只有两点；，．只有两点； ，．只有两点110111010-=-=-==x D x C x B x A10．是内存在零点的充分条件，在函数)()(b a x f （ ）[][]．上连续，且，在．；上连续，且，在．上连续；，在．；．0)()()(0)()()()()(0)()(<<<b f a f b a x f D b f a f b a x f C b a x f B b f a f A二．解答题1．设 ，，求．y a b e a b y x xx=->>'3400()2．．．求设 y b ax y ''+=)arctan(23．设 处处可导，且，求f x f x d dxf x f x ()()()>⎡⎣⎢⎤⎦⎥04．．．求且可导均为对，其中设)(0)(,)()(,))(1()(x y x f x x g x f x f y x g '>=5．．并在可导处求的可导性试讨论， ，设 )(,)(,010)(tan x f x f x x e x f x '⎩⎨⎧<≥=6．设 由方程所确定其中为可导函数求．y y x x f y x f y dydx y ==+()(),(),7．处的切线方程。
