体艺班二轮复习第十讲 函数的综合应用(1)

2023届二轮复习解答题专题练函数模型的综合应用一、解答题（共12小题）1. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实现征收附加税政策．现知某种酒每瓶80元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R%），则每年的产销量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税不少于128万元，问R应怎样确定?2. 用分期付款的方式购买价格为1150元的电冰箱．购买时先付150元，以后每月付50元及欠款的利息，余额20次付完．如果一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么第10个月该付多少元?购买冰箱的所有款项全部付清后，实际付款多少元?3. 一个水池有若十个流量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24小时可以注满水池．如果开始时水龙头全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，最后关闭的这个水龙头放水多少时间?4. 市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=af(x)，其中f(x)={168−x−1,0≤x≤45−12x,4<x≤10．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟?（2）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟能够持续有效去污，试求a的最小值．5. 为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地铁实行新的计费标准，其分段计费规则如下：0至6千米（含6千米）票价3元；6至16千米（含16千米）票价4元；16千米以上每6千米票价递增1元，但总票价不超过8元．（1）试作出票价y（单位：元）关于路程x（单位：千米）的函数的大致图象；（2）某人买了5元的车票，他乘车的路程不能超过多少?6. 某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格p=50−x（元/百斤），第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售量q=40+∣x−8∣（百斤）（销售收入=销售价格×销售量）（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少?（2）这20天中，哪一天的销售收入最大?最大值为多少?7. 有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．请计算后回答：10 年内哪一个方案可以得到较多的木材?8. 科学家发现某种特别物质的温度 y （单位：摄氏度）随时间 x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：y =m ⋅2x +21−x (0≤x ≤4,m >0)．（1）若 m =2，求经过多少分钟，该物质的温度为 5 摄氏度； （2）如果该物质温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围．9. 中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是 θ1，环境温度是 θ0，则经过时间 t （单位：分）后物体温度 θ 将满足：θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e −kt ，其中 k 为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到 200 ml 初始温度为 98∘C 的水在 19∘C 室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从98∘C 到90∘C 所用时间1分58秒从98∘C 到85∘C 所用时间3分24秒从98∘C 到80∘C 所用时间4分57秒（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025） （1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间 t （单位：分）关于冷却后水温 θ（单位：∘C ）的函数关系，并选取一组数据求出相应的 k 值．（精确到 0.01）（2）“碧螺春”用 75∘C 左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200 ml水煮沸后在 19∘C 室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由． A ．5 B ．7C ．1010. 在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度．现定义交通流量为 v =qx ，x 为道路密度，q 为车辆密度．已知 v =f (x )={100−135⋅(13)x,0<x <40−k (x −40)+85,40≤x ≤80．（1）若交通流量 v >95，求道路密度 x 的取值范围；（2）已知道路密度 x =80，交通流量 v =50，求车辆密度 q 的最大值．11. 如图，已知底角为 45∘ 的等腰梯形 ABCD ，底边 BC 长为 7 cm ，腰长为 2√2 cm ，当一条垂直于底边 BC 垂足为 F 的直线 l 由 B 从左至右向 C 移动（与梯形 ABCD 有公共点）时，直线 l 把梯形分成两部分，令 BF =x （x ≠0），记左边部分的面积为 y ．（1）试求x=1，x=3时的y值；（2）写出y关于x的函数关系式．12. 土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高梁一起被称为全球五大农作物．云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”．2018年3月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！”（1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的．由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低．请建立一个函数模型，来说明以上结论．（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，但最短3年，最长不超过10年；③投资年数x(x∈N∗)与总回报y的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：当x=3时，y=6，以后x每增加1时，y增加2；x2；方案二：y=133)x．方案三：y=(√3请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案．答案1. 由题意 0.8R (100−10R )≥128⇒R 2−10R +16≤0⇒2≤R ≤8， 所以税率应确定在 2%∼8% 之间．2. 第 10 个月付款 50+1000×1%−(10−1)×50×1%=55.5 元． 购买冰箱的所有款项全部付清后，实际付款为 150+20×60−(0+19)202×50×1%=1255（元）．3. 设注满水池的任务为 1，最后关闭的水龙头的放水时间为 t ，依题意可知，水池共有 5 个水龙头，从而每个水龙头的工作效率为 124×5， 则有124×5(15+25+35+45+55)t =1，得 t =40（时）． 4. （1） 因为 a =4，所以 y ={648−x −4,0≤x ≤420−2x,4<x ≤10，则当 0≤x ≤4 时，由 648−x −4≥4，解得 x ≥0， 所以此时 0≤x ≤4；当 4<x ≤10 时，由 20−2x ≥4，解得 x ≤8， 所以此时 4<x ≤8， 综合，得 0≤x ≤8，若一次投放 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达 8 分钟． （2） 当 6≤x ≤10 时， y=2(5−12x)+2[168−(x−6)−1]=(14−x )+3214−x−6,因为 14−x ∈[4,8]，故当且仅当 14−x =3214−x ，即 x =14−4√2 时，y 有最小值为 8√2−6≈5.2>4， 所以能使接下来的 4 分钟中持续去污． 5. （1） 图略；（2） 不能超过 22 km ．6. （1） 由已知得第 10 天的销售价格 p =40（元/百斤），销售量 q =42（百斤）， 所以第 10 天的销售收入 W 10=40×42=1680（元）． 答：第 10 天的销售收入为 1680 元．（2） 设第 x 天的销售收入为 W x ，则 W x ={(50−x )(48−x ),1≤x ≤8(50−x )(32+x ),9≤x ≤20，x ∈N ． 当 1≤x ≤8 时，W x =(50−x )(48−x )=x 2−98x +2400=(x −49)2−1，当 x =1 时取最大值 W 1=2303，当 9≤x ≤20 时，W x =(50−x )(32+x )=50×32+18x −x 2=−(x −9)2+1681，当 x =9 时取最大值 W 9=1681， 由于 W 1>W 9，答：第 1 天该商品的销售收入最大，最大值为 2303 元．7. 设该种树的最初栽植量为 a ，甲方案在 10 年后的木材产量为 y 1=a (1+20%)5(1+10%)5=a (1.2×1.1)5≈4.01a ．乙方案在 10 年后的木材产量为 y 2=2a (1+20%)5=2a ⋅1.25≈4.98a ． 因为 a >0，所以 4.98a >4.01a ，即 y 2>y 1， 所以乙方案能获得更多的木材．8. （1） 由题意，当 m =2，令 y =2⋅2x +21−x =2⋅2x +22x =5，因为 0≤x ≤4 时，解得 x =1，因此，经过 1 分钟时间，该物质的温度为 5 摄氏度． （2） 由题意得 m ⋅2x +21−x ≥2 对一切 0≤x ≤4 恒成立，则由 m ⋅2x +21−x ≥2，得出 m ≥22x −222x ，令 t =2−x ，则 116≤t ≤1，且 m ≥2t −2t 2， 构造函数 f (t )=2t −2t 2=−2(t −12)2+12，所以当 t =12时，函数 y =f (t ) 取得最大值，则 m ≥12．因此，实数 m 的取值范围是 [12,+∞)． 9. （1） 由 θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e −kt 得 e −kt =θ−θ0θ1−θ0，即 −kt =lnθ−θ0θ1−θ0，t =1klnθ1−θ0θ−θ0，在环境温度为 θ0=19∘C ，选取从 θ=98∘C 下降到 θ=90∘C 所用时间约为 2 分钟这组数据有 2=1kln 7971，即 k =ln79−ln712≈0.05；选取从 θ=98∘C 降到 θ=85∘C 期时间的为 3.4 分钟这组数据有 3.4=1kln 7966， 即 k =ln79−ln663.4≈0.05；选取从们 θ=98∘C 得到 θ=80∘C 所期时的为 5 分钟这组数据有 5=1k ln 7961， 即 k =ln79−ln615≈0.05；故 k ≈0.05． （2） B200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B ． 理由如下： 由（1）得 t =20ln79θ−79，当 θ=75∘C 时，有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88．所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳． 10. （1） 因为 v =qx ， 所以 v 越大，x 越小，所以 v =f (x ) 是严格减函数，k >0． 当 40≤x ≤80 时，v 最大为 85，于是只需令 100−135⋅(13)x>95，解得 x >3， 故道路密度 x 的取值范围是 (3,40)．（2） 把 x =80，v =50 代入 v =f (x )=−k (x −40)+85，得 50=−k ⋅40+85，解得 k =78，所以 q =vx ={100x −135⋅(13)x⋅x,0<x <40−78(x −40)x +85x,40≤x ≤80．①当 0<x <40 时，q 是严格增函数， 所以 q <100×40−135×(13)40×40≈4000；②当 40≤x ≤80 时，q 是关于 x 的二次函数，开口向下，对称轴 x =4807，此时 q 有最大值，为−78×(4807)2+120×4807=288007>4000．综上所述，车辆密度 q 的最大值为 288007．11. （1） 当 x =1 时，y =12；当 x =3 时，y =4．（2） 过点 A ，D 分别作 AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是 G ，H ． 因为 ABCD 是等腰梯形，底角为 π4， AB =2√2 cm ，所以 BG =AG =DH =HC =2， 又 BC =7 cm ， 所以 AD =GH =3． ①当点 F 在 BG 上时， 即 x ∈(0,2] 时，y =12x 2，②当点 F 在 GH 上时，即 x ∈(2,5] 时，y =2+(x −2)×2=2x −2， ③当点 F 在 HC 上时，即 x ∈(5,7] 时，y =S 五边形ABFED =S 梯形ABCD −S Rt△CEF =−12(x −7)2+10．所以，函数的解析式为 y ={12x 2,x ∈(0,2]2x −2,x ∈(2,5]−12(x −7)2+10,x ∈(5,7]．12. （1） 设顾客一次购买 x 斤土豆，每斤土豆的单价为 f (x ) 元，由题意知： f (x )=x+1x(1≤x ≤5,x ∈N ∗)，因为 f (x )=x+1x=1+1x，所以 y =f (x ) 在 [1,5] 为单调递减函数．说明一次购买的斤数越多，单价越低．（2） 根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案． 由题意可知方案一对应的解析式为：y =6+(x −3)×2=2x ．解法一：列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，为选择最佳方案提供数据支持． 参考列表：所以，当投资年数为3−5年时，选择方案一最佳；当投资年数为6年时，选择方案一或方案二最佳；当投资年数为7年或8年时，选择方案二最佳；当投资年数为9年时，选择方案二或方案三最佳；当投资年数为10年时，选择方案三最佳．解法二：列表，得出三种方案部分年数总回报（或所有年数总回报）；作出函数图象（散点图），并用虚线连接，对比三个函数图象可以更直观看到三种方案的总回报随年数变化趋势的特征，以及三个图象相互间的位置关系，从而为选择最佳方案提供图象支持．。

考点突破专题二初等函数与函数的应用（1）003函数概念： 同一函数的概念、定义域、解析式、分段函数、函数值【自我提醒】1 •哪几种对应能够构成映射？函数呢？映射和函数是何关系呢？函数是“非空数集上的映射” ，其中“值域是映射中象集 B 的子集”2 •函数有三要素：定义域、对应法则和值域。

定义域是函数的一个部分，求函数一定要指出其定义 域，另外研究函数的性质时一定要先明确定义域（就如你早上起床要刷牙幺：）），定义域一定要写成集合的形式。

y 2=2Px 是函数吗？ x 2=2Py 呢？它只是什么呢？函数与方程有什么联系与区别？什么是 函数？定义 原文呢？函数三要素是什么？其核心是什么？函数一定有解析式吗？函数一定有对应关 系吗？（当然），函数有哪些表示形式？（解析式、图象、表格） 2 •函数的定义域分为“自然定义域和非自然定义域” ，求自然定义域，主要是据表达式有意义罗列条件组，化简条件组就行了；而非自然定义域要注意有时其实质是在解不等式（组），而有时是在求一新函数的值域。

3 •你有“定义域优先”的好习惯吗？比如判断奇偶性时，先做什么？定义域关于原点对称的函数就 一定有奇偶性吗？你有 “定义域优先”的好习惯吗？比如判断奇偶性时，先做什么？定义域关于原点 对称的函数就一定有奇偶性吗？ 【自我测试】1 A . f(x)=l nx B. f(x)=— C .f(x)=|x| D . f(x)=e xx2.(全国I 卷理1)函数y - x(x-1) 、. x 的定义域为 __________________________ •3.（四川延考文2）函数y =、、1 — x lg x 的定义域为 ___________________…x 2亠x 亠65.（上海春卷3）函数f （x ）二一x―6的定义域是 ___________________ •X -16. （湖北卷理13）已知函数f （x ） = x 2 2x a , f （bx^9x^6x 2,其中R , a,b 为常数，则 方程f （ax • b ） = 0的解集为x11）若函数f （x ）, g （x ）分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足 f （x ）-g （x ）二e , 则 f(x) =_11 （全国I 卷理6）若函数y 二f （x-1）的图像与函数 y = l n-、x ，1的图像关于直线 y 二x 对称，则1. （ 2009福建卷文）下列函数中，与函数有相同定义域的是 ______________7. （浙江卷文11） 已知函数 f(x) =x 2 |x -2|，则8.（山东卷文5）211 — x x W 1设函数f (x) 2则f[x +x-2, XA1 ,U(2)的值为9.若 f(x -1)x2• 2，则函数 f(X -1)=x10.（安徽卷理f(x) = ______________ -12 (江西卷文3 )若函数y = f(x)的定义域是［0,2,则函数g(x)二丄空)的定义域X—1是.13. 已知函数f (x)二af • bx・C a・0, b Rc R若函数f (x)的最小值是f(-1)= 0,且c=1，F(x)= f(x)x 0,求F(x) f(-2)的值.I-f(X)X£0,m14. 已知函数f (x) = x2(a 1)x lg | a 2 |(a R，且a = -2).(I )若f (x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；(II )命题P：函数f (x)在区间［(a，1)2「：)上是增函数；命题Q：函数g(x)是减函数•如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；考点突破专题二初等函数与函数的应用(2)004函数性质：值域(最值)、定义域对称、奇偶性判定和性质、单调性判定和性质、凸凹性、对称性、周期性【自我提醒】4 •函数值域的一般求法你还记得吗？利用单调性、利用导数、利用函数的图像、利用判别式法、利用不等式的性质、利用常见函数的性质等。

函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x，得到f1 =f3 ，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x，所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2，+∞上单调递减，且2<3<4，所以f4 <f3 <f2 ，即f4 <f1 <f2 ．故选：A．【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x ≥1时，f (x )单调递增，则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x )，得f (x )的对称轴方程为x =1，故2-x -1 ≥x +1 -1 ，即(1-x )2≥x 2，解得x ≤12．故选：D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知，x >1，函数单调递减，则x ≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x >1时，f x =1x为单调减函数，f x <f 1 =1当x ≤1时，f x =-x 2+2ax +4，则对称轴为x =-2a2×-1=a ，f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数，则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ，故选：A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ，所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者，不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示：h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=a，①当a<-1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数，需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3，则存在x使得f x ≤0成立，故a≤-4 3；②当-1≤a≤1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数，需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0，即a2-a-3≥0，解得a≥1+132或a≤1-132，又1+132>1，1-132<-1故-1≤a≤1时无解；③当a>1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数，需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4，则存在x使得f x ≤0成立，故a≥4.综上所述，a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选：B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6，则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9，对称轴为x =3，开口向下，因为0<x <6，所以当x =3时，6x -x 2有最大值9，没有最小值，故选：D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3，函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，所以对∀x ∈-1,1 ，f x ≥-3恒成立，所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立，即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立，当x =1时，b ∈R ，当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时，不等式显然成立；当0<x <1时，b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈0,2 ，所以1x 2+x ∈12,+∞ ，1+1x 2+x ∈32,+∞ ，-31+1x 2+x∈-∞,-92 ，所以b ≥-92；当-1<x <0时，b ≤-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈-14,0 ，所以1x 2+x ∈-∞,-4 ，1+1x 2+x ∈-∞,-3 ，-31+1x 2+x∈9,+∞ ，所以b ≤9.综上可得，实数b 的取值范围是-92,9.故选：D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4，确定t的取值即可．【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5，所以由4+2x-x2=4，解得x=2或x=0，所以x∈0,2时，y=4+2x-x2>4，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2-t=4，此时解得t=-2，符合题意；当t>1时，即x=0时，0-t=4，此时解得t=4，符合题意；故t=-2或4.故选：A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f x > 0,-x∈D，且f-xf x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g0 =1B.若g x max=g4 =4，则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增，则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R，且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g-x=1g x，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据g-x=1g x，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A，由函数g x 是“类奇函数”，所以g x g-x=1，且g x >0，所以当x=0时，g0 g-0=1，即g0 =1，故A正确；对于B，由g x g-x=1，即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小，若g(x)max=g4 =4，则g(x)min=g-4=14成立，故B正确；对于C，由g x 在0,+∞上单调递增，所以g-x=1g x，在x∈0,+∞上单调递减，设t=-x∈-∞,0 ，∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增，即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增，故C 错误；对于D ，由g x g -x =1,h x h -x =1，所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1，所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (-2)=-f (2)=5，则f (2)=-5，则2a +1=-5，所以a =-3，则当x >0时，f (x )=-3x +1，当x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1，则当x >0时，不等式f (x )>12为-3x +1>12，解得0<x <16，当x <0时，不等式f (x )>12为-3x -1>12，解得x <-12，故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16，故选：A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g (x )是以4为周期的周期函数．求出g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数，所以f (x +1)为奇函数，所以f (x +1)=-f (-x +1)，f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，f (1)=0．因为g (x +2)为偶函数，所以g (x +2)=g (-x +2)，g (x )的图象关于直线x =2对称．由f (x +1)+g (1-x )=2，得f (-x +1)+g (1+x )=2，则-f (x +1)+g (1+x )=2，所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4，所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称．因为g (x )的图象关于x =2轴对称，所以g (x )+g (2+x )=4，g (x +2)+g (x +4)=4，所以g (x +4)=g (x )，即g (x )是以4为周期的周期函数．因为f (1)=0，f (0)=-12，所以g (1)=2，g (2)=52，g (3)=g (1)=2，g (4)=g (0)=4-g (2)=32，所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092．故选：D ．2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，f x 是偶函数，g x 是奇函数，所以g x 在R 上单调递减，f x 在-∞,0 上单调递增，对于A ，f 2 >f 3 ，但无法判断f 2 ,f 3 的正负，故A 不正确；对于B ，g 2 >g 3 ，但无法判断g 2 ,g 3 的正负，故B 不正确；对于C ，g 2 >g 3 ，g x 在R 上单调递减，所以g g 2 <g g 3 ，故C 不正确；对于D ，f 2 >f 3 ，g x 在R 上单调递减，g f 2 <g f 3 ，故D 正确.故选：D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016，再构造函数g (x )=f (x )-2016，判断g (x )的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016，∴f (0)=2016，令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016，∴f (-x 2)+f (x 2)=4032，令g(x)=f(x)-2016，则g max(x)=M-2016，g min(x)=N-2016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0，∴g(x)是奇函数，∴g max(x)+g min(x)=0，即M-2016+N-2016=0，∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x2，则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，求出y0，即可求出x0，即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像，对任意的x0∈-1,0，令y0=x20，则x0,y0∈Γ，且y0∈0,1，又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈Γ，则-2-y0,2-x0∈Γ，则2-x0,-y0-2∈Γ，则-4+x0,4+y0∈Γ，则4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，即y0=14，此时x0=-12或x0=12(舍去)，此时-4+x0=-4+-1 2=-92，即174,-92∈Γ，因此f174 =-92.故选：B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b，则说y=f x 的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x，故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023)，故选：C．2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=g x+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有f x +g x =x2+1，则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x，g x =-4-g6-x，再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3-3x，即函数f x 关于直线x=3对称，故f x =f6-x；由函数g x+3+2为奇函数，则g x+3+2=-g-x+3-2，整理可得g x+3+g-x+3=-4，即函数g x 关于3,-2对称，故g x =-4-g6-x；由f x +g x =x2+1，可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1，所以f x -4-g x =(6-x)2+1，故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ，解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20，所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22，所以f7 g7 =28×22=616.故选：B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，又f3 =0所以f-3=0，且f0 =0，所以当x∈-∞,-3∪0,3时，f x >0；当x∈-3,0∪3,+∞时，f x <0，所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0，解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2．故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2，进而得到g x 的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g-2x+2=-g2x+2，则g-x+2=-g x+2，所以g x 对称中心为2,0，又因为g x 的图像关于x=1对称，则g-x+2=g x ，所以-g x+2=g x ，则g x+4=-g x+2=g x ，所以g x 的周期T=4，①g-3=g-3+8=g5 ，所以①正确；②因为g1 =1，g-x+2=g x ，g x 对称中心为2,0，所以g0 =g2 =0，所以g(2024)=g0 =0，所以②正确；③因为f x =g3-x+1，所以f2 =g1 +1=2，因为-g x+2=g x ，所以g-1=-g1 ，则f4 =g-1+1=-g1 +1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4，所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ，则f x 的周期为T =4，因为f 1 =g 2 +1=1，f 2 =2，f 3 =g 0 +1=1，f 4 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024，所以④正确.故选：C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ，且f -x =-f x ，当x ∈-1,1 时，f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时，f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称，画出f x 的图象，从而数形结合得到AB 错误；再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式；D 选项，根据y =f x 的最小正周期，得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ，所以f x =-f x -2 ，故f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，又f -x =-f x ，所以f -x =f x -2 ，故f x 关于x =-1对称，又x ∈-1,1 时，f x =x 3，故画出f x 的图象如下：A 选项，函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称，故A 错误；B 选项，函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称，B 错误；C 选项，当x ∈2,3 时，x -2∈0,1 ，则f x =-f x -2 =-x -2 3，C 错误；D 选项，由图象可知y =f x 的最小正周期为4，又f x +2 =-f x =f x ，故y =f x 的最小正周期为2，D 正确.故选：D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，所以令x =y =0，则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ，即f 0 =f 20 ，因为f 0 ≠0，所以f 0 =1，所以①正确，对于②，令x =0，则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ，所以f y =f -y ，即f x =f -x ，所以∀x ∈R ,f -x -f x =0，所以②错误，对于③，令x =1，则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0，所以f 1+y =-f 1-y ，即f 1+x =-f 1-x ，所以f x 关于点1,0 对称，所以③正确，对于④，因为f 1+x =-f 1-x ，所以f 2+x =-f -x ，因为f x =f -x ，所以f 2+x =-f x ，所以f 4+x =-f 2+x ，所以f 4+x =f x ，所以f x 的周期为4，在f x +y +f x -y =2f x f y 中，令x =y =1，则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0，因为f 0 =1，所以f (2)=-1，f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0，所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1，所以④正确，故选：D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ，f (x +1)为偶函数，且f (3-x )+g (x )=1，f (x )-g (1-x )=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称，结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4，继而得到g x 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f -x +1 ①，所以f x 的图象关于直线x =1轴对称，因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②，又f 3-x +g x =1③，②+③得f 1-x +f 3-x =2④，即f 1+x +f 3+x =2，即f 2+x =2-f x ，所以f 4+x =2-f 2+x =f x ，故f x 的周期为4，又g x =1-f 3-x ，所以g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得f 1+x +f 3-x =2，故f x 的图象关于点2,1 中心对称，且f 2 =1，故选项A 正确，由f 2+x =2-f x ，f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1，且f 1 +f 3 =2，故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1)，因为f 1 与f 3 值不确定，故选项C 错误，因为f 3-x +g x =1，所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ，所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0，故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0，故2023i =0 g (i )=506×0=0，所以选项D 正确，故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，画出图象，计算f x =332，解得x =298，从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得，当x ∈1,2 时，故f x =12f x -1 =121-2x -3 ，当x ∈2,3 时，故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯，可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上，f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，所以当n ≥4时，f x ≤332，作函数y =f x 的图象，如图所示，当x ∈72,4 时，由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298，则m ≥298，所以m 的最小值为298故选：B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1，求出x ∈(2，3)，以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出(0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ，f x max ≤3-t ，解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1)，则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1，即为f (x )=2x 2-10x +11，当x ∈[3，4]，则x -2∈[1，2]，则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立，则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ，当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]，即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ，即为1≤3-t ，解得t ≤2，综上，即有实数t 的取值范围是12,2.故选：C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，所以f (x +4)=x 2+6x +8，再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式，在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，因为x ∈[0,2]时，f x =x 2-2x ，所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ，所以f x +4 =3f x +2 =9f x ，所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ，x ∈[-4,-2]，又因为x ∈[-4,-2]，f x ≥1183t-t 恒成立，故1183t -t ≤f x min =-19，解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x ∈0,2 时，f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ，当x ∈(2,4]，时，x -2∈(0,2]，则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ，当x ∈(4,6]，时，x -4∈(0,2]，则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ，当x ∈(-2,0]，时，x +2∈(0,2]，则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12，作出函数f x 的大致图象，对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，设m 的最大值为t ，则f t =3，所以-4t -5 2+4=3，解得t =92或t =112，结合图象知m 的最大值为92，即m 的取值范围是-∞,92.故选：C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数，结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ，进一步得出f x 是周期函数，从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解：对于A ，令x =y =0，代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0，得f 0 =0，故A 错误；对于B ，取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ，满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0，因为g 3 =cos2π=1≠0，所以g x 的图象不关于点3,0 对称，所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称，故B 错误；对于C ，令y =0，x =1，代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ，可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0，结合f 1 ≠0得1-g 0 =0，g 0 =1，再令x =0，代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ，将f 0 =0，g 0 =1代入上式，得f -y =-f y ，所以函数f x 为奇函数.令x =1，y =-1，代入已知等式，得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ，因为f -1 =-f 1 ，所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ，又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ，所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ，因为f 1 ≠0，所以g 1 +g -1 =-1，故C 错误；对于D ，分别令y =-1和y =1，代入已知等式，得以下两个等式：f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ，f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ，两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ，所以有f x +2 +f x =-f x +1 ，即：f x =-f x +1 -f x +2 ，有：-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0，即：f x -1 =f x +2 ，所以f x 为周期函数，且周期为3，因为f 1 =1，所以f -2 =1，所以f 2 =-f -2 =-1，f 3 =f 0 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 =0，所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1，故D 正确.故选：D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y =x ，得出f 2x+f0 ≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出f(n)部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算2023n=1f(n)，判断④，即可得答案.【解答过程】令x=y=0，则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ，故f(0)=0或f0 =1，故①错误；当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f (x)=0，函数f (x)既是奇函数又是偶函数；当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，所以f-y=f y ，则-f (-y)=f (y)，即f (-y)=-f (y)，则f (x)为奇函数，综合以上可知f (x)必为奇函数，②正确；令y=x，则f2x+f0 =2f2x ，故f2x+f0 ≥0.由于x∈R，令t=2x,t∈R，即f t +f0 ≥0，即有f x +f0 ≥0，故③正确；对于D，若f1 =12，令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，则f(0)=1，令x=y=1，则f2 +f0 =2f21 ，即f2 +1=12,∴f2 =-12，令x=2,y=1，则f3 +f1 =2f2 f1 ，即f3 +12=-12,∴f(3)=-1，令x=3,y=1，则f4 +f2 =2f3 f1 ，即f4 -12=-1,∴f(4)=-12，令x=4,y=1，则f5 +f3 =2f4 f1 ，即f5 -1=-12,∴f(5)=12，令x=5,y=1，则f6 +f4 =2f5 f1 ，即f6 -12=12,∴f(6)=1，令x=6,y=1，则f7 +f5 =2f6 f1 ，即f7 +12=1,∴f(7)=12，令x=7,y=1，则f8 +f6 =2f7 f1 ，即f8 +1=12,∴f(8)=-12，⋯⋯，由此可得f(n),n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；(2)令x=0，得到f(-y)=-f(y)，所以f x 为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a)，结合函数f x 的单调性，把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】(1)解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.(2)解：函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0，则f(-y)+f(y)=f(0)=0，所以f(-y)=-f(y)，故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R，且x1<x2，则x1-x2<0，因为当x<0时，f(x)>0，所以f x1-x2>0，所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0，即f x1>f x2，所以f x 是R上的减函数.(3)解：根据题意，可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a)，由(2)知f x 在R上单调递减，所以x2-(a+2)x<-2a，即x2-(a+2)x+2a<0，可得(x-2)(x-a)<0，当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x <0，且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3上的最大值；(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0，求得f0 =0，再令y=-x，从而得f-x=-f x ，从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2，结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性，然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，说明f x 的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答过程】(1)f x 为奇函数，证明如下：令x=y=0，则f0+0=2f0 ，所以f0 =0，令y=-x，则f x-x=f x +f-x=f0 =0，所以：f-x=-f x 对任意x∈R恒成立，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数，证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0，所以f x2<f x1，所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时，f x 单调递减，所以当x=-3时，f x 有最大值为f-3，因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6，所以f-3=-f3 =6，故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减，所以f x ≤f-1=-f1 =2，因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立，令g a =-2am+m2，则g-1>0g1 >0，即2m+m2>0-2m+m2>0，解得：m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x，g(x)=b⋅a-x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，设h(x)=f(x)+g(x)，x∈[-4,4]．(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明)，并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集．【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b，得到h(x)，再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性；(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，即有a+ba+1=52a-ba-1=32，解得a=2b=-1，即f(x)=2x，g(x)=-2-x+x，则h(x)=2x-2-x+x，其定义域为R，h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x )，故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ，由2x 在R 上单调递增，-2-x 在R 上单调递增，x 在R 上单调递增，故h (x )在R 上单调递增，由h (2x +1)+h (2x -1)≥0，且h (x )为奇函数，即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ，即有2x +1≥1-2x ，解得x ≥0，故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．【解题思路】(1)取x =1，y =0代入计算得到f 1 =0，取y =0得到f x =f x f 0 ，得到答案.(2)取y =1，结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ，变换得到f x +4 =f x ，得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13和取x =13，y =-13得到f 13 =32，根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1，计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1，y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0，即f 1 =0；取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ，f x 不是常值函数，故f 0 =1；(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ，取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ，f x 是偶函数，故f x +1 =-f x -1 ，即f x +2 =-f x ，f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0，f x 为偶函数，取x =-13，则f 53 +f -13 =0，即f 53 +f 13 =0；取x =-23，则f 43 +f -23 =0，即f 43 +f 23=0；故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0，f 2 =-f 0 =-1，f 3 =f -1 =f 1 =0，f 4 =f 0 =1，故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223，取x =13，y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1，f 13 >0，f 23 >0，解得f 13 =32，f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解，(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a =2，分离参数，将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ，构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ，结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明：因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ，所以f (x )=f (2-x )，所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2，∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0，x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在1,+∞ 上单调递增，又f (x )关于x =1对称，则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3，所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立， 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立，即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ，则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1，令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ，则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n，因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4，n =5取等号，则g n ∈-52,1，所以g n ∈0,52，所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程，解出即可求出函数的对称中心；(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4]，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ，则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ，即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ，整理得-2=2c ，解得：c =-1，故f (x )的对称中心为(-1,-1)；(2)函数f (x )在(0,+∞)递增；设0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1，由于0<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0，所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ，故函数f (x )在(0,+∞)递增；。

艺术生高考数学专题讲义考点10函数的图象及其变换1.函数的图象函数的图象是函数y=f(x)的平面图形表示，通常用笛卡尔坐标系上的点(x,f(x))表示。

函数的图象可以帮助我们直观地了解函数的性质。

2.常见函数图象(1) 一次函数y=ax+b (a≠0) 的图象是一条直线，斜率为a，截距为b。

(2) 二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0) 的图象是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。

(3)幂函数y=x^a(a>0,a≠1)的图象是一条指数曲线，根据a的大小关系可以判断增减性。

(4) 对数函数y=loga(x) (a>0, a≠1) 的图象是一条反比例函数的图象。

3.函数图象的平移(1)向右平移h个单位：将x替换为x-h，则对应的函数图象向右平移h个单位。

(2)向左平移h个单位：将x替换为x+h，则对应的函数图象向左平移h个单位。

(3)向上平移k个单位：将y替换为y-k，则对应的函数图象向上平移k个单位。

(4)向下平移k个单位：将y替换为y+k，则对应的函数图象向下平移k个单位。

4.函数图象的伸缩(1) 横向伸缩：将x替换为kx (k>0)，则对应的函数图象在x轴方向上缩短为原来的1/k倍；如果k<0，则函数图象在x轴方向上翻转。

(2) 纵向伸缩：将y替换为ky (k>0)，则对应的函数图象在y轴方向上伸长为原来的k倍；如果k<0，则函数图象在y轴方向上翻转。

5.函数图象的对称(1)关于x轴对称：将y替换为-y，则对应的函数图象关于x轴对称。

(2)关于y轴对称：将x替换为-x，则对应的函数图象关于y轴对称。

(3)关于原点对称：先进行左右对称，再进行上下对称。

6.函数图象的综合变换根据需要，可以将平移、伸缩和对称等操作综合运用于函数的图象，从而得到更加复杂的函数图象。

7.相关考点(1)函数的性质与图象：通过观察函数的图象，可以判断函数的奇偶性、增减性等性质。

(2)函数的反函数：反函数的图象是原函数的图象关于直线y=x的镜像。

第二章 函数函数的基本概念一、知识点：1. 映射的概念：一般地，设A 、B 是非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“:f A B →”.2. 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作： .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()(),f x y f x x A =∈叫做函数的 .3. 函数的三要素： ， ， .4. 函数的表示方法： ， ， .5. 分段函数：若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示的函数叫分段函数．注：函数是一个函数，而不是几个函数，它的连续与间断完全由对应法则来确定，对于分段函数，必须分段处理.二、基本训练：1. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )A ．()f x =2()g x =B ．2()x f x x =，()g x x =C ．()f x x =，()g x =D ．()f x ()g x =2. 函数231x y x +=-的定义域为 。

3. 函数y =的定义域为 。

4. 函数246y x x =-+当[1,4]x ∈时，函数的值域为( )A ．[]3,6B ．[]2,6C ．)2,6⎡⎣D ．)3,6⎡⎣ 5. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，则)3(f = 6. 确定函数21y x =+的映射是( )A ．R +到R 的映射B ．R +到R +的映射C ．R +到Z 的映射D ．R 到[1,)+∞的映射三、典型例题：例1：求函数y =.例2：函数y .例3：已知x x x f 2)12(2-=+，则)5(f 的值.例4：(1)若函数()f x 的定义域为[1,6]-，求函数(1)f x +的定义域.(2)若函数(1)f x +的定义域为[1,1]-，求函数(2)x f 的定义域.四、课堂作业：1. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ）A ．()1f x x =-，2()1x g x x=- B ．()21f x x =-，()21g x x =+C ．2()f x x =，()g x =D ．()1f x =，0()g x x =2. 函数13()f x x =-的定义域是3. 函数()f x =的定义域是4. 函数()f x =的定义域是5. 已知函数(1)y f x =+定义域为[2,3]-，则函数(21)f x -的定义域是( )A ．5[0,]2B ．[1,4]-C ．[5,5]-D ．[3,7]- 6. 已知62()log f x x =，那么(8)f 等于( )A ．43B ．8C ．18D ．127. 12)(2++=x x x f ，]2,2[-∈x 的最大值是8. 函数(1)0()0f x x f x x x ->⎧=⎨<⎩，则(1)f 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 函数()23f x x =-的值域是 .10. 函数2y =的值域是( )A ．[2,2]-B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[。

2.10函数的综合应用典例精析题型一 抽象函数的计算或证明 【例1】已知函数 f (x)对于任何实数x ，y 都有 f(x ＋y)＋f(x －y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0. 求证： f(x)是偶函数.【证明】因为对于任何实数x 、y 都有 f(x ＋y)＋f(x －y)＝2f(x)f(y)， 令x ＝y ＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，所以2f(0)＝2f(0)f(0)， 因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x ＝0，y ＝x ，则f(0＋x)＋f(0－x)＝2f(0)f (x)， 所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，所以f(－x)＝f(x)， 故f(x)是偶函数. 【点拨】对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径；判断或证明抽象函数的奇偶性单调性时，既要扣紧函数奇偶性单调性的定义，又要灵活多变，以创造条件满足定义的要求.【变式训练1】已知函数f(x)对任意的x ，y 有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(x)的定义域为R ，请判定f(x)的奇偶性.【解析】取x ＝y ＝0，得f(0)＝0.取y ＝－x ，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数. 题型二 函数与导数的综合应用【例2】已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax ＋1.(1)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，求实数a 的值；(2)若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，求实数a 的取值范围. 【解析】由题意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x －a. (1)f′(1)＝3＋4－a ＝4，所以a ＝3.(2)方法一：①当g(－1)＝－a －1＝0，即a ＝－1时，g(x)＝f′(x)的零点x ＝－13∈(－1,1)；②当g(1)＝7－a ＝0，即a ＝7时， f′(x)的零点x ＝－73∉(－1,1)，不合题意；③当g(1)g(－1)＜0时，－1＜a ＜7；当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-><-<-≥+=∆0)1(,0)1(,1321,0)34(4g g a 时，－43≤a＜－1.综上所述，a ∈[－43，7).方法二：g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y ＝a 与曲线y ＝3x2＋4x ，x ∈(－1,1)有公共点，作图可得a ∈[－43，7).方法三：等价于当x ∈(－1,1)时，求值域：a ＝3x2＋4x ＝3(x ＋23)2－43∈[－43，7).【变式训练2】二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与坐标轴交于(－1,0)和(0，－1)，且其顶点在第四象限，则a ＋b ＋c 的取值范围为 .【解析】由已知c ＝－1，a －b ＋c ＝0，所以a ＋b ＋c ＝2a －2.又⎪⎩⎪⎨⎧>-<02,0a b a ⇒0＜a ＜1，所以a ＋b ＋c ∈(－2,0).题型三 化归求函数的最大值和最小值问题【例3】某个体经营者把开始6个月试销售A 、B 两种商品的逐月投资与所获得的纯利润列成下表：该经营者下月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A 、B 两种商品各多少才能获得最大的利润，请你帮助制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润，并根据你的方案求出经营者下个月可能获得的最大利润(结果保留两个有效数字).【解析】以投资金额为横坐标，纯利润为纵坐标，可以在直角坐标系中画出图象.据此可以考虑用下列函数描述上述两组数据之间的对应关系 y ＝－a(x －4)2＋2 (a ＞0)，① y ＝bx ，②把x ＝1，y ＝0.65代入①得a ＝0.15，故前6个月所获得的纯利润关于投资A 商品的金额函数关系式可近似的用y ＝－0.15(x －4)2＋2表示，再把x ＝4，y ＝1代入②可得b ＝0.25，故前6个月所获得的纯利润关于投资B 商品的金额函数关系式可近似的用y ＝0.25x 表示，设下个月投资A 商品x 万元，则投资B 商品(12－x)万元，则可获得纯利润为 y ＝－0.15(x －4)2＋2＋0.25(12－x)＝－0.15x2＋0.95x ＋2.6， 可得当x≈3.2时，y 取最大值4.1万元.故下个月分别投资A 、B 两种商品3.2万元和8.8万元可获得最大利润4.1万元.【点拨】本题可以用两个函数近似地表示两种投资方案，是估计思想的体现.根据表中所列数据，把近似函数的解析式求出来，由此求得最大利润.解决此类问题的关键在于根据列出的散点图来选取适当的函数模型，然后求出待定系数便可求得函数解析式，再由解析式求最优解.【变式训练3】求函数y ＝222++x x x的值域. 【解析】x ＝0时，y ＝0；x ＞0时，y ＝21)211(212++x ，所以0＜y ＜1； x ＜0时，y ＝21)211(212++-x ，所以－2≤y＜0. 综上，－2≤y＜1.总结提高1.函数把数学各个分支紧紧地连在一起，函数与方程、不等式、数列、几何、三角函数彼此渗透、互相融合，构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性.解这类综合问题应注意如下几点：(1)在解题时有些函数的性质并不明显，深入挖掘这些隐含条件，将获得简捷解法； (2)应坚持“定义域优先”的原则，先弄清自变量的取值范围；(3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要有意识地引进变量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题. 2.解函数应用题的基本步骤：(1)阅读理解，审清题意.读题要逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所表达的实际背景，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x ，函数为y ，必要时引进其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后再根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识和其他相关知识建立关系式，在此基础上，将实际问题转化为函数问题，实现问题数学化，即建立数学模型；(3)利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求出结果； (4)将所得结果转译成具体问题的解答.。

2021年全国体育单招数学章节复习：函数的基本性质一(含解析)(共18页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2021年全国体育单招数学章节复习：函数的基本性质（一）一、单选题1．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A ．3()f x x x =+B ．()31x f x =-C ．1()f x x=- D ．3()log ||f x x =2．函数y=log 12(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ）A ．（1，+∞）B ．（-∞， 34］ C ．（12，+∞） D ．（-∞， 12］3．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭4．已知函数3()-f x x =，则A ．()f x 是偶函数，且在(-+)∞∞，上是增函数 B ．()f x 是偶函数，且在(-+)∞∞，上是减函数 C ．()f x 是奇函数，且在(-+)∞∞，上是增函数 D ．()f x 是奇函数，且在(-+)∞∞，上是减函数 5．函数()[]243,1,4f x x x x =-+∈，则()f x 的最小值为（ ）A ．-1B ．0C ．3D ．-26．若奇函数()f x 在[]3,7上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）A ．增函数且最小值是1-B ．增函数且最大值是1-C ．减函数且最大值是1-D ．减函数且最小值是1-7．下列四个函数中，在()0,+∞上为减函数的是（ ） A ．()3f x x =+B ．()23f x x x =-C ．()1f x x=-D ．()f x x =-8．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间()1,-+∞为增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．](2-∞-，B ．()2-∞-，C ．()2+∞，D ．[)2+∞，9．若函数()|2|f x x a =+的单调递减区间是(,3]-∞，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．6-D ．610．已知函数2()1f x x x m =-+在[1,)+∞上是单调增函数，则m 的范围为（ ） A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21f x x =-+，则当0x <时，()f x 等于（ ）A ．21x -B ．21x +C ．21x -+D ．21x --12．一次函数()()f x 3a 2x 1a =-+-，在[﹣2，3]上的最大值是()f 2-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a 3≥B ．2a 3>C ．2a 3≤D ．2a 3<13．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A ．32y x =-+ B ．3y x=C ．245y x x =-+D ．23810y x x =+-14．下列函数既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．21y x =+B ．y x =C ．3y x =-D ．12y x =15．下列函数中是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．2tan y x x = D ．ln y x =二、填空题16．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.17．若函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则a b += ．18．如果函数21()y a x b =-+ 在R 上是增函数，那么a 的取值范围______. 19．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是_________． 20．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则的递减区间是 .21．已知函数()538f x ax bx cx =+++，且()210f -=，则函数()2f 的值是__________．22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=_________．23．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()23f x x =-，则当0x >时，()f x =______．24．若2()21xf x a =-+是奇函数，则a =_______. 25．已知函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则实数b =_____.参考答案1．A 【解析】 【分析】依次判断每个函数的单调性和奇偶性得到答案. 【详解】B 中函数非奇非偶，D 中函数是偶函数，C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增，只有A 中函数符合题意：3()f x x x =+，()3()f x x x f x -=--=-，奇函数.2'()310f x x =+>恒成立，故函数单调递增. 故选：A . 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 2．A 【解析】212log ,2310y u u x x ==-+> ，所以当12x <时，(),()()u x y u y x ⇒当1x >时，(),()()u x y u y x ⇒，即递减区间为（1，+∞），选A.点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性. 3．D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断.【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】根据奇偶性定义判断出奇偶性，在结合幂函数单调性求得单调性. 【详解】()3f x x =-，则()()()33f x x x f x -=--==-()f x ∴为奇函数又3x 在(),-∞+∞上单调递增，则()3f x x =-在(),-∞+∞上单调递减本题正确选项：D 【点睛】本题考查具体函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】由题意结合二次函数的性质可得函数()f x 在[]1,4x ∈上的单调性，即可得解. 【详解】由二次函数的性质可得函数2()43f x x x =-+的图象开口朝上，对称轴为2x =，所以函数()f x 在[1,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增， 所以当[]1,4x ∈时，min ()(2)4831f x f ==-+=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用二次函数的单调性求二次函数在区间上的最值，考查了运算求解能力，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】根据奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性不变以及奇函数的定义可得出正确选项. 【详解】奇函数()f x 在[]3,7上是增函数，所以在[7,3]--上是增函数()31f =∴函数()f x 在[7,3]--上是有最大值()31f -=-，故选B. 【点睛】本题考查奇函数的定义以及奇函数在关于原点对称的区间上单调性的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7．D 【解析】 【分析】A. 根据一次函数的性质判断.B.根据二次函数的选择判断.C. 根据反比例函数的性质判断.D. 根据分段函数的性质判断. 【详解】A. 根据一次函数的性质知，()3f x x =+在R 上为增函数，故错误.B.因为()2239324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故错误.C. 因为()1f x x=-，在(),0-∞上是增函数，在()0,+∞上为增函数，故错误.D. 因为(),0,0x x f x x x x -≥⎧=-=⎨<⎩，在(),0-∞上是增函数，在()0,+∞上为减函数，故正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的单调性，还考查了转化，理解辨析的能力，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】根据二次函数性质，结合单调区间即可求得a 的取值范围. 【详解】函数()()2212f x x a x =+-+，对称轴为()2112a x a -=-=-，若函数()()2212f x x a x =+-+在区间()1,-+∞为增函数，则11a -≤-，解得2a ≤，即[)2a ∈+∞，， 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数单调性与对称轴关系的简单应用，属于基础题. 9．C 【解析】 【分析】去绝对值符号可知()f x 单调递减区间为,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，由此构造方程求得结果.【详解】当2a x ≤-时，()2f x a x =-，()f x ∴单调递减区间为,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，32a∴-=，解得：6a =-. 故选：C . 【点睛】本题考查根据函数的单调区间求解参数值的问题，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】先求函数的对称轴，由条件可知12m≤，解m 的取值范围. 【详解】函数的对称轴是2m x =， 因为函数在[)1,+∞单调递增，所以12m≤ 解得：2m ≤. 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的单调性求参数的取值范围，重点考查二次函数，属于简单题型. 11．A 【解析】 【分析】设0x <，转化为0x ->，利用已知求出()f x -，根据函数的奇偶性，再转化为()f x ，即可求出结论.【详解】设0x <，则0x ->，依题意2()1f x x -=-+， 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2()()1f x f x x -=-=-+， 所以2()1f x x =-. 故选：A . 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a 的范围. 【详解】因为一次函数()()f x 3a 2x 1a =-+-，在[﹣2，3]上的最大值是()f 2-， 则函数f （x ）在[﹣2，3]上为减函数，则3a ﹣2＜0，解得2a 3<， 故选D ． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性和最值的关系，考查了转化与化归思想，属于基础题. 13．D 【解析】 【分析】对四个选项逐一分析函数的单调性，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数在R 上递减.对于B 选项，函数在(),0-∞和()0,∞+上递减.对于C 选项，函数在(),2-∞上递减，在()2,+∞上递增.对于D 选项，函数在4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，在4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，故也在()0,2上递增，符合题意.故选D. 【点睛】本小题主要考查基本初等函数的单调性，属于基础题.14．C【解析】【分析】根据奇偶性及单调性定义，结合函数解析式即可判断.【详解】对于A ，21y x =+为偶函数，所以A 错误；对于B ，y x =为奇函数，但为增函数，所以B 错误；对于C ，3y x =-为奇函数，且为减函数，所以C 正确；对于D ，12y x =不具有奇偶性，所以D 错误。

第十讲 函数的综合运用考向一新概念题【例1】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.由y ＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝14.又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116，∴1－316<x 1x 2x 3<0. 【举一反三】1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )A .]2,49(--B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D .),49(+∞-【答案】A【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－(2x ＋m )＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F (x )＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，即402049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－94<m ≤－2，故选A考向二函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数 满足 ，当0 时， ，则函数 在区间 内的零点个数为。