高等数学讲义-- 无穷级数(数学一和数学三)

第十章 无穷级数精选讲义【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与p 级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231nn n uu u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项．2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u∞=∑的前n 项和121nn n ii s u u u u ==+++=∑，n s 称为级数1nn u∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，12n n s u u u =+++，．如果级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即limn n s s →∞=，则称无穷级数1nn u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质 （1）如果级数1nn u∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±． （3）在级数1nn u∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．（5）如果级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0nn u →∞=．说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim nn u →∞不为零，则级数1nn u∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或21n n n q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散．（2）调和级数级数 11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．（3）p 级数级数 11111123p p p p n nn∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑也发散．2．比较审敛法的极限形式 设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn n u l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n→∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比nv 高阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑发散，则级数1nn u∞=∑发散．3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散． 4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：112341(1)n n n u u u u u ∞-=-+-+=-∑ ，或12341(1)nn n u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ， 其中1u ，2u ，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件： （1）1nn u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0nn u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++，它的各项为任意实数．如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim1n n nu u ρ+→∞=>或1n ρ→∞=>判定级数1nn u∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时nu 不趋于零，从而n→∞时n u 也不趋于零，因此级数1n n u ∞=∑发散）．五、幂级数（一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式1231()()()()()n n n u x u x u x u x u x ∞=+++++=∑称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数． 2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数1020300()()()()n u x u x u x u x +++++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为20120nn n n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a，叫做幂级数的系数．2．阿贝尔定理如果级数nn n a x∞=∑当0xx =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数0nn n a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间． 3．求收敛半径及收敛区间的方法（1）对于标准形式的幂级数nn n a x∞=∑或1n n n a x ∞=∑，有如下方法： 如果1limn n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()n n u x ∞=∑（如202!n n n x n ∞=∑或0(1)2nn n x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim1()n n n u x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数1．幂级数和函数的性质 性质1 幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续． 性质2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式 10000()1xxx n nn n n n n n n a s x dx a x dx a x dx x n ∞∞∞+===⎡⎤===⎢⎥+⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰ （x I ∈）， 逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 性质3 幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()1001()n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞-==='⎛⎫''=== ⎪⎝⎭∑∑∑ （x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nx n n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)nn x +、1n nx-等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式（1）20111n n n x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）201(1)1(1)1n n n n n x x x x x ∞==-=-+-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．1n ∞= ．解：因1lim 2n n n→∞→∞==，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 2．1n ∞=．解：因223n n n →∞→∞==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nnnn ∞=-∑ ．解：因 33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫⎪⎝⎭，而级数135n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sinlim 11n n n→∞=，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．5．11(1cos )n n ∞=-∑ ． 解：因211cos1lim12n n n→∞-=，而级数211n n ∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ． 解：因 2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因 333322(1)limlim 11(1)n n n n n n n n n n →∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛． 8．111nn a∞=+∑ （0a >）． 解：当1a=时， 111limlim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11limlim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n na a a a →∞→∞+==+，而级数11n n a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性． 1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ． 解：因11(2)!(2)!222lim lim lim (1)!2(1)!22n n n n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞+++=⋅==∞++，故原级数发散．2．213nn n ∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛． 3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ． 解：因1135(21)(21)2123(1)!lim lim 1135(21)3(1)33!n n n n n n n n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅++⋅+==<⋅⋅⋅⋅-+⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ． 解：因112121212lim lim 12122122n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛．6．21sin2nn nπ∞=∑ ．解：因22sin22lim lim 1122n nn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n ∞=∑敛散性相同． 对于级数212n n n ∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n ∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nn n ∞=+-∑．解：1ln[2(1)]11lim 122n nn n n e+-→∞→∞→∞===<，故原级数收敛． 2．11[ln(1)]n n n ∞=+∑ ．解：1lim 01ln(1)n n n n →∞→∞→∞===<+，故原级数收敛． 【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．11(1)n n ∞-=-∑．解：因级数111(1)n n n ∞∞-==-=∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足1n n u u +=>=，且0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛．2．1211(1)n n n∞-=-∑ ． 解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ． 解：因1lim(1)1n n nn +→∞-+不存在，故原级数发散． 4．11sin27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112n n ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n x n∞-=-∑ ． 解：因111limlim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．0!nn x n ∞=∑ ．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!n n n x ∞=∑ ． 解：因1(1)!limlim !n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛． 4．2121n nn x n ∞=+∑ ． 解：因12212222(1)(1)1limlim lim 22(1)11n n n n n n na n n a n n ρ++→∞→∞→∞+++====+++，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n nx x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-． 2．211(1)21n nn x n +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n nxn x xn +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域． 令1(1)lim 1nn n n x x nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则2111()()()()1(1)nnn n x s x x x x x ∞∞=='''====--∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n x n -∞-=--∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x xn +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑，则12224122211()(1)1(1)1n n n n n s x xx x xx ∞----='=-=-+-+-+=+∑，故[]2001()arctan arctan 1xxs x dx x x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑． 解：先求幂级数的收敛域．令 211(1)(2)lim 11(1)n n n x n n x x n n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数111()(1)n n s x x n n ∞+==+∑，(1,1)x ∈-，则11111111()(1)(1)n n n n n n s x x x x n n n n n∞∞∞++===''⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑∑，1111111()()()1n n n n n n s x x x x n n x ∞∞∞-===''''====-∑∑∑， 故[]001()ln(1)ln(1)1x xs x dx x x x'==--=---⎰，[]0()ln(1)(1)ln(1)x s x x dx x x x =--=--+⎰，[1,1)x ∈-． 当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，令 1111223(1)n s n n =+++⋅⋅+， 则11111111112233411n s n n n =-+-+-+-=-++， 所以1(1)lim lim(1)11n n n s s n →∞→∞==-=+，故原幂级数的和函数为 1,1()(1)ln(1),11x s x x x x x =⎧=⎨--+-<<⎩ ． 4．1(1)nn n n x∞=+∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)(2)lim 1(1)n n n n n x x n n x+→∞++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)(1)nn n n ∞=-+∑，发散；当1x =时，原级数即为1(1)n n n ∞=+∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数1()(1)n n s x n n x ∞==+∑，则1111111()(1)(1)()()()n nn n n n n n s x x n n xx n x x x x x ∞∞∞∞-++===='''''=+=+==∑∑∑∑222322()[]1(1)(1)x x x x x x x x x -'''===---，(1,1)x ∈-．【例10-8】将下列函数展开成相应的幂级数． 1．将函数21()32f x x x =-+展开成关于x 的幂级数． 解：11111()()(1)(2)1212(1)2f x x x x x x x ==--=-------， 而 011nn x x ∞==-∑（1x <），01()212n n x x ∞==-∑（12x <，即2x <）， 所以1000111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====-=-∑∑∑，1x <．2．将函数21()32f x x x =++展开成关于(4)x +的幂级数． 解：11111()(1)(2)123(4)2(4)f x x x x x x x ==-=-++++-++-++ 111144321132x x =-⋅+++--． 因 011n n x x ∞==-∑（11x -<<）， 故 011(4)4313nnn x x ∞==++-∑ （4113x +-<< 即 71x -<<-）， 011(4)4212n n n x x ∞==++-∑ （4112x +-<< 即 62x -<<-）， 从而001111()(4)(4)3322nn n n n n f x x x ∞∞===-+++∑∑11011()(4)23nn n n x ∞++==-+∑， 62x -<<-．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的 条件（ ）（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）不确定 解：根据收敛级数的性质，lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件．选项（A ）正确．2．（2009年，1分）幂级数13(1)3n nnn x ∞=+-∑的收敛半径是（ ） （A ）6 （B ）32（C ）3 （D ）13解：原幂级数即为1333n n n x x ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，由13x ≤及13x-≤可得，3x ≤，故级数的收敛半径为3，选项（C ）正确．3．（2008年，3分）数项级数21sin n an n∞=∑（a 为常数）是（ ）级数 （A ）发散的（B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）敛散性由a 确定 解：因22sin a an n n ≤，而级数 21n a n∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．选项（C ）正确．4．（2007年，3分）数项级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑（其中a 为常数）是（ ） （A ）发散的 （B ）条件收敛（C ）收敛性根据a 确定 （D ）绝对收敛解：级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑加绝对值后的级数为1(1cos )n an ∞=-∑，对于此正项级数，由于2222211cos 2limlim 112n n a a a n n n n →∞→∞-⋅==为常数，而级数211n n∞=∑收敛，故级数1(1cos )n an ∞=-∑也收敛，所以原级数绝对收敛．选项（D ）正确． 5．（2005年，3分）幂级数1(1)(1)nnn x n ∞=--∑的收敛区间是（ ）（A ）(0,2]（B ）(1,1]- （C ）[2,0]- （D ）(,)-∞+∞解：令111(1)(1)()1lim lim 11(1)()(1)n n n n n n n nx u x n x x u x n+++→∞→∞--+==-<-- 可得，02x <<，故级数的收敛区间为(0,2)．又当0x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散；当2x =时，原级数即为11(1)nn n∞=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(0,2]．选项（A ）正确． 二、填空题1．（2010年，2分）幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为 ．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，故1R ρ==+∞，所以原幂级数的收敛区间为(,)-∞+∞．2．（2006年，2分）函数1()12f x x=+在1x =处展开的泰勒级数是 ．解：因01(1)1n n n x x ∞==-+∑，故1111()21232(1)31(1)3f x x x x ===⋅++-+- 10012(2)(1)[(1)](1)333n n n n n n n x x ∞∞+==-=--=-∑∑．其中，21(1)13x -<-<，即1522x -<<．3．（2006年，2分）幂级数11(1)(2)12nnnn x ∞=--+∑在0.6x =处的敛散性是 ． 解：令 11111(1)(2)()112lim lim 211()2(1)(2)12n n n n n n n n n nx u x x u x x ++++→∞→∞--+==-<--+，可得04x <<，即收敛区间为(0,4)，故幂级数在0.6x =处是收敛的．说明：此题也可将0.6x =代入原幂级数，判定对应的常数项级数的敛散性．三、计算题1．（2009年，5分）求幂级数231(1)23nn x x x x n--+-+-+的收敛半径和收敛域．解：原级数即为11(1)n n n x n ∞-=-∑．因111(1)1limlim 11(1)nn n n n n a n a n ρ+→∞→∞--+===-，故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x=时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛．故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．（2008年，7分）将函数1()3f x x=-展开成(2)x -的幂级数． 解：因011nn x x ∞==-∑，故011()(2)31(2)n n f x x x x ∞====----∑． 其中，121x -<-<，即13x <<．3．（2007年，7分）求幂级数1(1)n n n x ∞=-∑的收敛区间与和函数． 解：令11()(1)(1)lim lim 11()(1)n n n n n nu x n x x u x n x ++→∞→∞+-==-<-，可得02x <<，故幂级数的收敛区间为(0,2)．21设 1()(1)n n s x n x ∞==-∑，则 111()(1)(1)(1)n n n n s x n x x n x ∞∞-===-=--∑∑ 101(1)(1)(1)(1)(1)n n n n x x x x x x x ∞∞==''-⎡⎤⎛⎫'⎡⎤=--=--=- ⎪⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦∑∑ 22(1)(1)1(1)x x x x x x---⋅--=-⋅=， 02x <<． 4．（2006年，4分）判定级数21(1)(1)nn n n ∞=-+∑的敛散性． 解：此级数为交错级数，其中2(1)n n u n =+． 由于3322123221(1)331(2)1(2)44(1)n n n u n n n n n n u n n n n nn +++++++===<++++，即1n n u u +<，且2lim lim 0(1)n n n n u n →∞→∞==+，故此交错级数符合莱布尼茨定理的条件，故该级数收敛．。

无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质 以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。

第六章 无穷级数无穷级数是数学分析的一个重要工具，也是高等数学的重要组成部分.本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题.我们将只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式.第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念在中学课程中，我们就已经遇到过“无穷项之和”的运算，比如等比级数2na +a r +a r ++a r +另外，无限小数其实也是“无穷项的和”，比如14142234414.1210101010=+++=++对于有限项之和，我们在初等数学里已经详尽地研究了；对于“无穷项之和”，这是一个未知的新概念，不能简单地引用有限项相加的概念，而必须建立一套严格的理论.定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用“+”号连接起来的表达式123n u u u u +++++ (6-1-1)称做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为1231nn n u u u u u∞==+++++∑，其中，12,,,,n u u u 都称为级数(6-1-1)的项，n u 称为级数(6-1-1)的一般项或通项.级数1n n u ∞=∑是“无限多个数的和”.但怎样由我们熟知的“有限多个数的和”的计算转化到“无限多个数的和”的计算呢？我们借助极限这个工具来实现。

设级数1n n u ∞=∑的前n 项的和为n S ，即12n nS u u u =+++ (6-1-2)或1nkk n u S ==∑.我们称n S 为级数1n n u ∞=∑的前n 项部分和，简称部分和. 显然，级数1n n u ∞=∑的所有前n 项部分和nS 构成一个数列{}n S ，我们称此数列为级数1n n u ∞=∑的部分和数列.定义2 若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞=），则称级数1n n u ∞=∑收敛，称S 为级数1n n u ∞=∑的和，记作1231n nn S u u u u u ∞==+++++=∑ .而12n n n n r S S u u ++=-=++称为级数1n n u ∞=∑的余项，显然有lim lim ()0n n n n r S S →∞→∞=-=.若{}n S 是发散数列，则称级数1n n u ∞=∑发散，此时级数1n n u ∞=∑没有和.由此可知，级数的收敛与发散是借助于级数的部分和数列的收敛与发散定义的，于是研究级数及其和只不过是研究与其相对应的一个数列及其极限的一种新形式.例1 设,a q 为非零常数，无穷级数20nnn a a q q qa q a a ∞==+++++∑(6-1-3)称为等比级数（又称为几何级数），q 称为级数的公比.试讨论级数0n n a q ∞=∑的敛散性.解 若1q ≠，则11n n na a q S a a q a qq-=-=+++-11na q aq q-=--.当1q <时，由于0lim nn q →∞=，从而lim 1n n a S q →∞=-，因此这时级数0n n a q ∞=∑收敛，其和为1aq -；当1q >时，由于lim nn q →∞=∞，从而lim n n S →∞=∞，这时级数0n n a q ∞=∑发散；当1q =时，若1q =，这时（）n S n a n =→∞→∞，因此级数0nn a q∞=∑发散；若1q=-，这时级数0nn a q∞=∑成为a a a a -+-+ ，显然n S 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或等于零，从而n S 的极限不存在，因此级数0n n a q ∞=∑发散.综上所述，对于等比级数0n n a q ∞=∑，当公比q 的绝对值1q <时级数收敛；当1q ≥时级数发散.例2 证明级数1111335(21)(21)n n ++++⋅⋅-⋅+ 收敛，并求其和.解 由于1111(21)(21)22121n n n n n u ⎛⎫=- ⎪-⋅+-+⎝⎭=，因此1111335(21)(21)n S n n ++++⋅⋅-⋅+=1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--⎪ ⎪⎪-+⎝⎝++⎭⎭⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.从而1lim 2n n S →∞=，所以该级数收敛，它的和为12. 例3 证明级数13111211n nn∞==+++++∑是发散的.证 该级数的部分和为=131112n nS ++++ . 显然，部分和数列{}n S 是单调增加的数列，要证明调和级数发散，仅须证明其部分和数列{}n S 无上界即可.事实上=11=12461112 3.222S S S +≥+⨯+⨯；；假设1212kS k ≥+成立，则=111221111122212222k k kkkk k S S +++-+++≥⋅=++ . 于是()122111122k kSSk +≥+≥++. 由归纳法，对一切正整数n 有212n nS ≥+. 由极限的性质，有lim n n S →∞=∞.故调和级数11n n∞=∑发散.常数项级数的性质性质1 若级数1n n u ∞=∑收敛于和，S k 为任意常数，则1n n k u ∞=∑也收敛，且其和为k S .证 设级数1n n u ∞=∑与级数1n n k u ∞=∑的部分和分别为n S 与*n S ，显然有*n n S k S =.于是*lim lim lim n n n n n n k S k S k S S →∞→∞→∞===⋅.这表明级数lim n n k u →∞收敛，且和为k S .需要指出，若级数1n n u ∞=∑发散，即{}n S 无极限，且k 为非零常数，那么{*n S }也不可能存在极限，即lim n n k u →∞也发散.因此可以得出如下结论：级数的每一项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变.上述性质的结果可以改写为1lim n nn n k u u ∞→∞==∑（0k ≠为常数）， 即收敛级数满足分配律.性质2 若级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于12，S S ，则级数1n n n u v ∞=±∑也收敛，且其和为12S S ±. 可以利用数列极限的运算法则给出证明.性质2的结果表明：两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减.性质3 在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性.证 只需证明“去掉、改变级数前面的有限项，或在级数前面增加有限项，不会改变级数的敛散性”.设将级数121n n n u u u u ∞==++++∑ 的前k 项去掉，得新的级数12k k k n u u k +++++++此级数的前n 项部分和为12n k k k n k n k A u u u S S ++++=+++=- ，其中k n S +是原来级数的前k n +项的和.因为k S 是常数，所以当n →∞时，n A 与k n S +或同时存在极限，或同时不存在极限.类似地，可以证明改变级数前面的有限项或在级数的前面加上有限项，不会改变级数的敛散性.性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛，且其和不变.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，加括弧后的级数（把每一括弧内的项之和视为一项）为()()()121112111212k k knn nnn nnuu uu u uu u u --+++++++++++++++++设其前k 项之和为k A ，则有11211n nA u u u S =+++= ，()()2121112212nn nn n u uu A Su u u ++=++++++=+ ，()()()121112111212k k kknn nnk n nnn A u u uu u uu u Su --+++++++++++=++++=+ ，可见数列{}k A 是数列{}n S 的一个子列，由收敛数列与其子列的关系可知，数列{}k A 必定收敛，且有lim lim k n k n A S →∞→∞=，即加括弧后所成的级数收敛，且其和不变.注意 若加括弧后所成的级数收敛，则不能断定原来的级数也收敛.例如，（11）（11）-+-+ 收敛于零，但级数111111(1)nn i -==-+-+-∑ 却是发散的. 推论 若加括弧后所成的级数发散，则原来的级数也发散.性质5（级数收敛的必要条件） 若级数1n n u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即0lim n n u →∞=.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，且（）n S S n →→∞，则 11lim ()nn n n n uS S ∞-→∞==-∑10lim lim n n n n S S S S -→∞→∞-==-=.由性质5可知，若n →∞时级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散. 例如，级数112331471031n nnn n ∞==+++++++∑的一般项31n u nn =+当n →∞时，不趋于零，因此该级数是发散的. 注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例如，在例3中讨论的调和级数11n n∞=∑，虽然它的一般项()10n n nu =→→∞，但它是发散的. *三、 柯西审敛原理因为级数1n n u ∞=∑的敛散性与它的部分和数列{}n S 的敛散性是等价的，故由数列的柯西审敛原理可得下面的定理.定理1［柯西（Cauchy ）审敛原理］ 级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件为：0ε∀>，总存在自然数N ，使得当n N >时，对于任意的自然数p ，都有12n n n p u u u ε++++++<成立.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，因为12n n n p n p n u u u S S +++++++=- ，所以，由数列的柯西审敛原理，即得本定理结论.例4 利用柯西审敛原理证明级数1co s 22nnn ∞=∑收敛.证 对任意自然数p ，都有1212co s 2co s 2co s 2222n n n pn n n n p pn S S +++++++-++=+12111222n n n p++++++≤111122112n p +⎛⎫- ⎪=⎝⎭-1111222n p n⎛⎫< ⎪⎝⎭=-.于是，对()100εε>∀<<，2log 1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∃，当n N >时，对任意的自然数p 都有12n p n n S S ε+-<<，从而该级数收敛.例5 证明级数1n ∞=∑.证 对任意自然数p ，都有n p n S S +++-+=>.特别地取p n =，得2n n S S ->1n ∞=∑.第二节 正项级数敛散性判别法本节我们讨论各项都是非负数的级数，这种级数称为正项级数.研究正项级数的敛散性十分重要，因为许多其他级数的敛散性问题都可归结为正项级数的敛散性问题.设级数12n u u u ++++ (6-2-1) 是一个正项级数（0n u ≥），它的部分和为n S ，显然，数列{S n }满足：12n S S S ≤≤≤≤ ，即{}n S 是单调增加的数列.而单调增加的数列收敛的充要条件是该数列有上界，于是可以得到下面的定理.定理1 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{}n S 有上界.以这个定理为基础，可以导出判断正项级数是否收敛的几种方法.定理2（比较审敛法） 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且存在自然数N 和正常数k ，当n N ≥时，有n n u k v ≤，则有：（1） 若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（2） 若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散.证 根据级数的性质，改变级数前面有限项并不改变级数的敛散性，因此，不妨设对任意自然数n 都有()123,,,n n u k v n ≤= .设级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑的部分和分别为n A 与n B ，由上面的不等式有1212n n n n A u u u k v k v k v k B =+++≤+++= .（1） 若级数1n n v ∞=∑收敛，根据定理1的必要性，数列{}n B 有上界，由不等式n n A k B ≤知，数列{}n A 也有上界，于是1n n u ∞=∑收敛.（2） 采用反证法.若1n n v ∞=∑收敛，则由（1）知1n n u ∞=∑收敛，与已知矛盾，因此1n n v ∞=∑发散.推论 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且(),im00l n n n nkv u v k→∞=≤≤+∞≠，则有：（1） 若0k <<+∞，则级数1nn u ∞=∑与1n n v ∞=∑同时收敛或同时发散；（2） 若0k =，则当1n n v ∞=∑收敛时，1n n u ∞=∑收敛；（3） 若k =+∞，则当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散.证 （1）由极限定义，对2εk=，存在自然数N ，当n N >时有不等式 22n n u k kk v k <<+-，即322n n n u k v k v <<. 再根据比较审敛法，即得所要证的结论.（2）当0k =时，对1ε=，由极限的定义，存在自然数N ，当n N >时，有10n nu v ≤<，从而n n u v <.再根据比较审敛法，当1n n v ∞=∑收敛时，1n n u ∞=∑收敛.（3）当k =+∞时，由极限的定义，存在自然数N ，当n N >时，有1n nu v >，从而n n u v >.再根据比较审敛法，当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散.例1 讨论p 级数11111123pppn pun∞==+++++∑(6-2-2)的敛散性，其中0p>为常数.解 先考虑1p>的情形，因为当1n x n -≤≤时，有11p p nx≤，所以d d 2,3,11111111111())(1n n pppp p n n x x p n n nnxn ----⎡⎤=≤=-⎢⎥-=-⎣⎦⎰⎰.考虑级数11211(1)p p n n n ∞--=⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦∑. (6-2-3)级数(6-2-3)的部分和为11111111111223(1)p p p p p n n n S -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎝=⎭⎭111(1)p n --+=.因为11lim lim 11(1)n p n n S n -→∞→∞⎡⎤=-=⎢⎥+⎣⎦，故级数(6-2-3)收敛，根据定理2，原级数收敛. 当10p <≤时，有11p n n≥，而11n n∞=∑发散，根据定理2，原级数发散. 例2 判别下列正项级数的敛散性： （1）11s in nn n =∑；（2）211ln 1nn n =⎛⎫+⎪⎝⎭∑.解 （1） 因为1sinlim11n n n→∞=，而11n n∞=∑发散，根据推论1，该级数发散； （2）考察221ln 1lim 1n n n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，用实变量x 代替n ，并应用洛必达法则，有ln (1)1limlim11n x x xx→∞→+==+. 因此221ln (1)lim1n nn→∞+，而211n n∞=∑收敛，故该级数收敛.定理3［比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert ）判别法］ 若对正项级数1n n u ∞=∑有：1limn n nu ρu +→∞=，则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时，级数发散；1ρ=时级数可能收敛，也可能发散.证 （1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1ρεγ+=<，根据极限定义，存在自然数N ，当n N >时有1n nu u ρεr+<+=.由此，并利用归纳法，容易证明1,2,kN k Nu r u k +≤=.而1r <时，等比级数1kN k r u ∞=∑是收敛的. 所以1N k k u ∞+=∑也收敛.由于级数1n n u ∞=∑只比1N k k u ∞+=∑多前N项，因此级数1n n u ∞=∑也收敛.（2） 当1ρ>时，取一个适当小的正数ε，使得1ρε->，根据极限定义，存在自然数N ，当n N >时，有不等式＞11n nu u ρε+->，也就是1n n u u +>，所以当n N >时，级数的一般项n u 是逐渐增大的，从而0lim n n u →∞≠，根据级数收敛的必要条件可知级数1n n u ∞=∑发散.类似地，可以证明当1limn n nu u +→∞=+∞时，级数1n n u ∞=∑发散.（3） 当1ρ=时，级数可能收敛也可能发散. 例如，p 级数11pn n∞=∑，不论p 为何值都有11(1)limlim11pn n n npu n u n+→∞→∞+==.但我们知道，当1p >时级数收敛，当1p ≤时，级数发散.例3 判断下列正项级数的敛散性.（1）112n n n ∞-=∑；（2）1!nn n n∞=∑；（3）616n n n∞=∑.解 （1）111112limlimlim1222nn n n n nn n u n u n n +→∞→∞→∞-++===<，故级数收敛. （2）e11(1)!(1)1limlimlim 1!1nn n n n n nnn u n n u n n n ++→∞→∞→∞++⎛⎫===< ⎪+⎝⎭，故级数收敛. （3）166166(1)limlimlim 66116n n n n n n nu n n u n n++→∞→∞→∞+⎛⎫===> ⎪+⎝⎭，故级数发散. 定理4（根值判别法，柯西判别法） 若对正项级数1n n u ∞=∑有：1n ρ∞==∑，则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>（或1n ∞==+∞∑）时，级数发散；1ρ=时，级数可能收敛也可能发散.证 （1） 1ρ<时，我们总可取到适当小的正数ε，使1ρε+<.根据极限定义，对于该正数ε1ρr ε<+=<，即nn u r<，由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，由比较审敛法知级数1n n u ∞=∑收敛.（2） 1ρ>时，我们总可取到正数ε，使1ρε->.根据极限定义，对于该正数ε，存在自然数N ，当n N ≥时，有1ρε>->，即1n u >，于是lim 0n n u →∞≠，故级数1n n u ∞=∑发散.（3）1ρ=时，仍可用p 级数作为例子说明. 例4 判断下列正项级数的敛散性：（1）1321nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；（2）()21ln nn n ∞=∑； （3）ln 153nnn ∞=∑.解（1）33lim lim1212n n n n →∞→∞==>+，故级数发散； （2）1lim lim01ln n n n→∞→∞==<，故级数收敛；（3）ln 5limlim 513n n n n→∞→∞==>，故级数发散.*定理5（积分判别法） 设()f x 为定义在［1，）+∞上的非负单调递减函数，那么正项级数1()n f n ∞=∑与反常积分d 1()f x x +∞⎰具有相同的敛散性.证 由于（）f x 为［1，）+∞上的非负单调减函数，故对任何正数A ，（）f x 在［1，］A 上可积，且有()d （）1,2,3,1()k k f x x f k f k k -≤≤-=⎰.依次相加，可得d 11221()()(1)()nnn n k k k f k f x x f k f k -===≤≤-=∑∑∑⎰. (6-2-4)若反常积分d 1()f x x +∞⎰收敛，则由(6-2-4)式知：对任何自然数n ，有d d 111()(1)()(1)()nn n k S f k f f x x f f x x+∞==≤+≤+∑⎰⎰.根据定理1，级数1()n f n ∞=∑收敛.反之，若1()n f n ∞=∑为收敛级数，则由(6-2-4)式知：对任一自然数()1n n >有d 111()()n n k f x x S f k S∞-=≤≤=∑⎰. (6-2-5)因为（）f x 为非负单调减函数，故对任何正数［,1］A n n ∈+，都有 d 110(),An f x x S n n S A ≤≤≤≤≤+⎰.根据无穷点极限存在判别法，可知反常积分d 1()f x x +∞⎰收敛.例5 讨论级数（1）21(ln )pn n n ∞=∑； （2）31ln (ln ln )pn n n n ∞=∑的敛散性.解（1）考虑反常积分d 2(ln )px x x +∞⎰，由于d(ln )d d 22ln 2(ln )(ln )pppx x u x x x u+∞+∞+∞==⎰⎰⎰.上式右端的反常积分当1p >时收敛；当1p≤时发散.根据积分判别法知，级数当1p >时收敛；1p ≤时发散.（2） 考察反常积分31ln (ln ln )px x x +∞⎰，类似可推出1p>时收敛，当1p ≤时发散.第三节 任意项级数敛散性判别法上一节，我们讨论了正项级数的敛散性判别问题.对于任意项级数的敛散性判别要比正项级数复杂，这里先讨论一种特殊的非正项级数的收敛性问题.一、 交错级数收敛性判别法定义1 如果级数的各项是正、负交错的，即112341(1)n n n u u u u u ∞-=-=-+-+∑(6-3-1)或112341(1)n n n u u u u u ∞-=-=-+-+-∑， (6-3-2)其中()1,2,0n u n ≥= ，则称此级数为交错级数.定理1[莱布尼茨（Leibniz ）判别法] 如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件：（1）()1231,,,n n u n u +=≥ ；（2）lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u ≤+.证 先证明级数前2n 项的和2n S 的极限存在.为此把2n S 写成两种形式：()()()21234212n n nS u u u u u u -=-+-++-及()()()21234522212n n n nS u u u u u u u u --=-------- .根据条件（1）知道所有括弧中的差都是非负的，由第一种形式可见数列{}2n S 是单调增加的.由第二种形式可见21n S u ≤.于是由“单调有界数列必有极限”的准则知2lim n n S →∞存在，记为S ，则有12lim n n S S u →∞=≤.下面证明级数的前21n +项的和21n S +的极限也是S .事实上，我们有21221n n n S S u ++=+.由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，因此21221lim lim ()n n n n n S S u S ++→∞→∞=+=.由数列{}2n S 与{}21n S +趋于同一极限S ，不难证明级数11(1)n nn u ∞-=-∑的部分和数列{}n S 收敛，且其极限为S ，因此级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛于和S ，并且有1S u ≤.最后，由于12n n n r u u ++=-+ 或 12n n n r u u ++=-+- ，从而12n n n r u u ++=-+.这也是一个满足定理条件的交错级数，根据上面所证，有1n n r u +≤.例1 判别下列交错级数的收敛性.（1）111(1)n n n∞-=-∑；（2）11(1)10n nn n ∞-=-∑.解（1） 因()1,2,111n n n =>+ ，1lim0n n →∞= ，根据莱布尼茨判别法，级数收敛，其和1S ≤. （2） 易证111010n n n n ++>（利用110n n ⋅>+），且im 100l n n n →∞=，根据莱布尼茨判别法，级数收敛，其和S 110≤.绝对收敛与条件收敛现在讨论任意项级数1n n u ∞=∑的敛散性.定义2 如果级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛.定理2 如果级数1n n u ∞=∑绝对收敛，则级数1n n u ∞=∑必定收敛.证 设级数1nn u ∞=∑收敛，令()()1,2,3,12n n n v u u n =+= .显然0nv≥，且n n v u ≤()1,2,3,n = .由比较审敛法知级数1n n v ∞=∑收敛，从而级数12n n v ∞=∑也收敛，而2n n n u v u =-，由收敛级数的性质可知1112nnnn n n uvu ∞∞∞====-∑∑∑收敛，定理证毕.注意 上述定理的逆定理不成立.定理2说明，对于任意项级数1nn u ∞=∑，若用正项级数的审敛法判定出级数1nn u ∞=∑收敛，则1nn u ∞=∑亦收敛，这就使得一大类级数的收敛性判别问题可以转化为正项级数的收敛性判别问题.一般说来，如果级数1n n u ∞=∑发散，我们不能断定级数1n n u ∞=∑也发散. 但是，如果级数1n n u ∞=∑的一般项数列{}n u 不收敛于0，即()0n u n →→∞/，则我们必定可以得到()0n u n →→∞/.由级数收敛的必要条件，则一定可以断定级数1n n u ∞=∑发散.例2 判别级数21co s n n x n ∞=∑的收敛性.解 因为22cos 1n x nn≤，而级数211n n∞=∑收敛.所以级数21co s n n x n∞=∑也收敛，由定理2知，级数21co s n n x n∞=∑绝对收敛.例3 判别级数12111()(1)2nn nn n∞=-⋅+∑的收敛性.解 由211(1)2n n n u n=+，则有11(1)2n n=+e >1111limlim 122nn n n →∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故由正项级数的根值审敛法知级数211112nnn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散，所以原级数发散.绝对收敛级数有一些很好的性质，这是条件收敛级数所不具备的.*定理3 绝对收敛级数经任意交换项的位置后构成的级数也绝对收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）.证 先证定理对于收敛的正项级数是正确的.设级数1n n u ∞=∑为收敛的正项级数，其部分和为n S ，和为S .并设级数1*n n u ∞=∑为1n n u ∞=∑任意交换项的位置后构成的级数，其部分和为*n S .对于任何正整数n ，我们总可取m 足够大，使12,,,***n u u u 各项都出现在12m m S u u u =+++ 中.于是得*n m S S S ≤≤，所以，单调增加的数列{}*n S 有上界，根据极限存在的准则可知*lim n n S →∞存在，即级数1*n n u ∞=∑收敛，且**lim n n S S S →∞=≤.另一方面，原来的级数1n n u ∞=∑也可看成是级数1*n n u ∞=∑交换项的位置后所成的级数，故应用上面的结论，又有*S S ≤.注意到上面已有*S S ≤，因此必定有*S S =. 下面证明定理对一般的绝对收敛级数是正确的.设级数1nn u ∞=∑收敛，()12n n nv u u =+.在定理2的证明中已知1nn v∞=∑是收敛的正项级数，故有()111122nnnn nn n n n uvu vu ∞∞∞∞=====-=-∑∑∑∑.设级数1n n u ∞=∑任意交换项的位置后的级数为1*n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑相应地改变为1*n n v ∞=∑，1n n u ∞=∑相应地改变为1*n n u ∞=∑，由上面证得的结论可知*1*111,nnnn n n n n vvu u ∞∞∞∞======∑∑∑∑，所以11***12n n nnnn uvu ∞∞∞====-∑∑∑1112nn nn n n vu u ∞∞∞===-==∑∑∑.在给出绝对收敛级数的另一性质之前，我们先来讨论级数的乘法运算.设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，仿照有限项之和相乘的规则，写出从这两个级数中各取一项所有可能的乘积的(),1,2,3,i k u v i k = 如下：11111,,,,，23n u v u v u v u v ； 1,,,,，222232n u v u v u v u v ； 1,,,,，332333n u v u v u v u v ；1,,,,，23n n n n n u v u v u v u v ；这些乘积可以用很多的方式将它们排成一个数列.例如，可以按“对角线法”或按“正方形法”将它们排成下面形状的数列.对角线法11121314212223243132333441424344u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v正方形法11121314232122243431323341424344u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v对角线法排列为： 111221132231；，；，，； u v u v u v u v u v u v正方形法排列为： 111222211323333231；，，；，，，，； u v u v u v u v u v u v u v u v u v把上面排列好的数列用加号相连，就得到无穷级数.我们称按“对角线法”排列所组成的级数()()1112211211n n n u v u v u v u v u v u v -++++++++为两级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑的柯西乘积.*定理4（绝对收敛级数的乘法） 设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为u 和v ，则它们的柯西乘积()()1112211211n n n u v u v u v u v u v u v -++++++++也是绝对收敛的，且其和为u v .证明从略.由定理4，我们利用收敛级数可以构造出另外一些非常有用的收敛级数.如当1r <时，几何级数11n n r ∞-=∑是绝对收敛的，且2111nr r rr =+++++- . 将()1211n n r r ∞-=⎛⎫ ⎪⎝⎭<∑按对角线的顺序排列.则得到2221（）（）211()(1)n n nn r r r r r r r r r +=+++++++++++-2123（1）nr r n r =++++++()111n n rr n ∞-==<∑.即()111n n r n r ∞-=<∑也是绝对收敛的，其和为21(1)r -.第四节 函数项级数本节中我们进一步研究级数的各项都是某一个变量的函数的情况，即函数项级数.一、 函数项级数的概念定义1 设()()()()()123,,,,,{}:n n u x u x u x u x u x 为定义在数集I 上的一个函数序列，则由此函数列构成的表达式：()()()()123+++++1()n nn u x u ux x u x u x ∞==∑(6-4-1)称为定义在数集I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数.对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数(6-4-1)成为常数项级数()()()()()1231nnn x u x u x x u u x u ∞=+++++=∑ (6-4-2)若级数(6-4-2)收敛，则称点0x 是函数项级数(6-4-1)的收敛点；若级数(6-4-2)发散，则称点0x 为函数项级数(6-4-1)的发散点.函数项级数(6-4-1)的收敛点的全体构成的集称为其收敛域，发散点的全体构成的集称为发散域.对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和，记为()S x .于是，在收敛域上，函数项级数的和()S x 是x 的函数，通常称()S x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域是级数的收敛域，在收敛域内有()()()()()1231()n n n S xu x u x u x u u x x ∞==+++++=∑ .把函数项级数(6-4-1)的前n 项的部分和记作()n S x ，(){}n S x 称为函数项级数的部分和函数列.在函数项级数的收敛域上有lim ()()n n S x S x →∞=.我们仍把()()()n n r x S x S x =-称为函数项级数的余项（当然，只有x 在收敛域上()n r x 才有意义）.显然有lim (0)n n r x →∞=.与常数项级数一样，函数项级数的敛散性就是指它的部分和函数列的敛散性. 例1 判断下列级数的收敛性，并求其收敛域与和函数.(1)11n n x∞-=∑；(2)()110nn x x ∞=⎛⎫⎪⎝⎭≠∑.解 (1) 此级数为几何级数(即等比级数)，由第一节例1知1x <时，级数收敛，1x ≥时级数发散.故其收敛域为(-1，1)，和函数为11()lim ()limn n n n n S x S x x∞-→∞→∞===∑1111li 1(m )1nn x x x x→∞--=<-<=- .(2) 此级数也为几何级数，公比为1x ，由(1)知11x <时，级数收敛. 11x ≥时级数发散，其收敛域为，11，()()-∞-+∞ ，和函数为()()111111xx x S xx =⎛⎫-- ⎪⎝⎭=> .二、 幂级数及其收敛性函数项级数中简单而应用广泛的一类级数就是各项都是幂函数的级数，称为幂级数.它的形式为21200n n nnna a x axa xa x∞==+++++∑ (6-4-3)或212000000()()()()n nn nn a a x x a x x a ax x x x ∞==+-+--++-+∑， (6-4-4)其中,1,2,(0)n a n = 是常数，称为幂级数的系数，0x 为常数.对于第二种形式的幂级数，只需作代换0t x x =-，就可以化为第一种形式的幂级数.因此我们主要讨论第一种形式的幂级数.显然，0x =时幂级数0nn n a x ∞=∑收敛于0a ，即幂级数0n n n a x ∞=∑至少有一个收敛点0x =.除0x =以外，幂级数在数轴上其他的点的收敛性如何呢？ 先看下面的例子:考虑幂级数210n n n x x x x ∞==+++++∑ ，由本节例1可知，该级数的收敛域是开区间1,1()-，发散域是，1］［1，()-∞-+∞ . 从这个例子可以看到，这个幂级数的收敛域是一个区间.事实上，这个结论对于一般的幂级数也是成立的.定理1［阿贝尔(Abel)定理］ 若幂级数0n n n a x ∞=∑在()000x x x =≠处收敛，则对满足＜0x x 的一切x ，该级数绝对收敛，反之，若级数0n n n a x ∞=∑在0x x =时发散，则对满足0x x >的一切x ，该级数也发散.证 先证第一部分.即要证明若幂级数在00x x =≠收敛，则对满足＜0x x 的每一个固定的x 都有0nn n a x∞=∑收敛.因为nnn n n xa xa xx =⋅，且＜10x x ，故0nxx 可看作一收敛的几何级数的通项，而由00n n n a x ∞=∑收敛可知0lim 0nn n a x →∞=.根据极限的性质，存在＞0M ，使得,1,2,0(0)nn M n a x ≤= .因此，对,1,2,0n=有00··nnnnn n xx a xa M x x x ≤=.因为00nn x x ∞=∑是收敛的等比级数(公比为＜10x x )，根据比较审敛法知0nn n a x∞=∑收敛，也就是nnn ax∞=∑绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明.若幂级数在0x x =发散，而有一点1x 使1＞0x x 且幂级数在1x 处收敛，则根据本定理的第一部分，级数在0x x =应收敛，这与所设矛盾，定理得证.定理1告诉我们，若幂级数在()000x x x =≠处收敛，则对于开区间(),00x x -内的任何x ，幂级数都收敛，若级数在1x x =处发散，则对于区间()()11，，x x -∞-+∞ 上的任何x ，幂级数都发散.我们知道，幂函数在整个数轴上有定义，对于给定的幂级数0n n n a x ∞=∑而言，数轴上所有的点都可归为其收敛点和发散点这两类中的一类，而且仅属于其中一类.因此，幂级数的收敛域必为以原点为中心的区间，该区间包含所有的收敛点.在前面的讨论中，我们假设幂级数在1x x =处发散，故1x 不属于收敛域.因而，收敛域包含在区间()11,x x -内，故幂级数如果既有非零的收敛点，又有发散点，则其收敛域是以原点为中心的由P '与P 所确定的有界区间，如图6-1所示.图6-1从上面的几何说明可得以下推论.推论 若幂级数0nn n a x ∞=∑在，()-∞+∞内既有异于零的收敛点，也有发散点，则必有一个确定的正数R 存在，使得当＜x R 时，幂级数在x 处绝对收敛； 当x R >时，幂级数在x 处发散；当x R =时，幂级数在x 处可能收敛也可能发散.我们称上述的正数R 为幂级数的收敛半径，称，()R R -为幂级数的收敛区间.幂级数的收敛区间加上它的收敛端点，就是幂级数的收敛域. 若幂级数仅在0x =收敛，为方便计，规定这时收敛半径0R =，并说收敛区间只有一点0x =；若幂级数对一切，()x ∈-∞+∞都收敛，则规定收敛半径R =+∞，这时收敛区间为，()-∞+∞.关于幂级数的收敛半径的求法，有下面的定理. 定理2 若1limn n na ρa +→∞=，则幂级数0nn n a x∞=∑的收敛半径：1,0,,0,0,.ρρR ρρ⎧≠⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩证 考察0n n n a x ∞=∑的各项取绝对值所成的级数2120nn a a x a xa x+++++ . (6-4-5)该级数相邻两项之比为111n n n nnn a x a x a a x+++=⋅.(1) 若 ()1lim0n n na ρa ρ+→∞=≠存在，根据正项级数的比值审敛法，当＜1ρx ，即1x ρ<时，级数(6-4-5)收敛，从而0nn n a x ∞=∑绝对收敛；当1ρx >，即1x ρ>时，级数(6-4-5)发散，故0nn n a x ∞=∑也发散. 这是因为当n →∞时，n n a x 不收敛于0，从而n n a x 亦不收敛于0.(2) 若0ρ=，则对任何0x ≠，有() 110n n nn a x a xn ++→→∞，所以级数(6-4-5)收敛，从而级数0n n n a x ∞=∑绝对收敛，于是R =+∞.(3) 若ρ=+∞，则除掉0x =外，对任意0x ≠都有＞1111limlimn n n nn n nn a x a x a a x+++→∞→∞⋅=+∞=，即对一切0x ≠，级数0n n n a x ∞=∑都发散，于是0R =.例2 求幂级数12310(1)(1)123n nnn n x x x xx n n ∞+-=-=-+++-++∑的收敛区间与收敛域.解 因为111limlim 11n n n na n ρa n+→∞→∞+===， 所以收敛半径为11R ρ==，于是收敛区间为(-1，1).对于端点1x =，级数成为交错级数111(1)n n n∞-=-∑，它是收敛的；对于端点1x =-，级数成为1111n n n n∞∞==-=-∑∑，它是发散的.因此原幂级数的收敛域为(1，1-⎤⎦.例3 求幂级数0!n n n x ∞=∑的收敛半径（这里!10=）.解 因为1(1)!limlim!n n n na n ρa n +→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在0x =收敛.例4 求幂级数21112!nx x x n+++++ 的收敛区间以及收敛域.解 因为11(1)!1limlimlim011!n n n n na n ρa n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径R =+∞，从而收敛区间为，()-∞+∞，收敛域也是，()-∞+∞.例5 求幂级数20(1)2n nnn x ∞=-∑的收敛区间以及收敛域.解 级数缺少奇次幂的项，定理2不能直接应用，我们根据比值审敛法求收敛半径.因为2212212(1)2limlim22(1)2n n n n n n nnxx x x +++→∞→∞-==-，所以当＜12x 时，级数收敛；＞122x时，级数发散.即x <x >时发散.收敛半径为R =x =时，级数均为0(1)nn ∞=-∑，发散，所以原幂级数收敛区间与收敛域均为(.例5 求幂级数1(1)2nnn x n∞=+⋅∑的收敛区间以及收敛域.解 令1t x =+，上述级数成为12nnn tn∞=⋅∑.因为1121limlim22(1)nn n n n na n ρa n ++→∞→∞===+ ， 所以收敛半径为2R =.当2t =时，级数为11n n∞=∑，发散；当2t =-时，级数为1(1)nn n∞=-∑，收敛. 因此收敛区间为2＜＜2t -，即2＜1＜2x -+，亦即3＜＜1x -，所以原级数的收敛区间为(-3，1)，收敛域为)3,1-⎡⎣.三、 幂级数的和函数的性质我们看到，幂级数在其收敛区间内任一点都是绝对收敛的，因而前面第一节中常数项级数的运算性质在收敛点都是行得通的.在收敛区间上定义的和函数有下面的性质.定理3 设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为I ，则其和函数()S x 在区间I 上连续.由函数在区间上连续的定义，我们知道如果收敛域I 包含左（右）端点，则和函数()S x 在区间I 的左（右）端点必右（左）连续.在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前，我们先说明这样一个事实，即幂级数(6-4-3)在收敛区间,()R R -内逐项求导与逐项求积之后所得到的幂级数112n n a +2a x ++n a x+- (6-4-6)与211021n n a a a x xxn ++++++ (6-4-7)的收敛区间也是,()R R -.事实上，设0x 是幂级数(6-4-3)的收敛区间,()R R -内的任意非零点，则必存在1,()x R R ∈-,满足1xx R<<.由于级数10n n n a x ∞=∑收敛，有1lim 0nn n a x →∞=，即{}1n n a x 为有界数列.而0001111nnnnnn n n x x a x a x a x x x ⎛⎫=⋅=⋅⎪⎝⎭，因此，存在正数M （可取为数列{}1n n a x 的上界）及1r < （可取10||||xr x =）,使得对一切正整数n ，有nnn a x M r ≤，而1000n n nn n n M n a x a x n r x x -=⋅≤，由级数的比值审敛法知1n n n r ∞=∑收敛，故0x 也是级数(6-4-5)的绝对收敛点. 因此幂级数(6-4-6)与(6-4-3)有相同的收敛区间.同理也可以得到幂级数(6-4-7)与(6-4-3)有相同的收敛区间.定理4 设幂级数0nn n a x ∞=∑在收敛区间,()R R -上和函数为()S x ，若x 为,()R R -内任意一点，则(1) ()S x 在x 处可导，且()11n n n n a x S x∞-='=∑；(2) ()S x 在0与x 构成的区间上可积，且d 1()1x n nn a S t t xn ∞+==+∑⎰.定理4指出幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积. 例6 在区间(-1，1)内求幂级数111n n x n ∞-=+∑的和函数.解 由于12lim 111n n n →∞+=+，所以此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(-1，1).设和函数为()S x，则()()111120,n n S xS xn ∞-=+==∑.对()2111n n x n x S x ∞+==+∑逐项求导得()21＜＜1111)11(n nn n x xxn xx S x x ∞∞-=='⎛⎫==⎪+-'⎡⎤=-⎣⎭⎦⎝∑∑ .对上式从0到x 积分得()d 2ln (1)1xxx x x xx S x==----⎰. 于是当0x ≠时，有()2ln (1)S xx x x+-=-.从而2ln (1),01;()1,0.2x x x x S x x +-⎧-≤≤⎪=⎨⎪=⎩由幂级数的和函数的连续性可知，这个和函数()S x 在0x =处是连续的.事实上，我们有2ln (1)1lim ()lim(0)2x x x x S x S x→→---===.四、 幂级数的运算设幂级数21200n n nnna a x axa xa x∞==+++++∑ (6-4-8)及21200n n nnnb b x bxb xb x∞==+++++∑ (6-4-9)分别在区间11,()R R -及22,()R R -内收敛.令12min ,{}R R R =，则根据收敛级数的性质，我们在区间,()R R -上对幂级数(6-4-8)和(6-4-9)可进行下面的加法、减法和乘法运算.1. 加法,000())(nnnnnnn n n n axbxax b R R x∞∞∞====+∈+-∑∑∑.2. 减法,0())(nnnnnnn n n n axbxax b R R x∞∞∞====-∈--∑∑∑.3. 乘法,0()nnnnn nn n n axb xR cx xR ∞∞∞===∈⋅-=∑∑∑，其中0kn nkn k ab c -==∑.4. 除法00nnnn nn n nn ax cxbx∞∞=∞===∑∑∑，这里假设00b ≠.为了决定系数12,,,,,0n c c c c ，可以将级数0nn n b x ∞=∑与0n n n c x ∞=∑相乘（柯西乘积），并令乘积中各项的系数分别等于级数0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，即得000a b c =， 11100a b c b c =+， 2211200a b c b c b c =++，由这些方程就可以顺次地求出12,,,,,0n c c c c .值得注意的是，幂级数(6-4-8)与(6-4-9)相除后所得的幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多.第五节 函数展开成幂级数。

无穷级数是高等数学的一个重要内容，是无限个常量或变量之和的数学模型，它是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具，在数学理论以及工程技术中都有广泛的应用．11.1 数项级数的概念及性质11.1.1 数项级数的概念 实例1 小球运动的时间小球从1米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球运动的总时间． 解 由自由落体运动方程221gt s =知g s t 2=．设k t 表示第k 次小球落地的时间, 则小球运动的总时间为+++++=k t t t t T 222321.这里出现了无穷多个数依次相加的式子.在物理、化学等许多学科中，也常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上称之为无穷级数．上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数相加呢？我们可以从有限项出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数量相加的含义.令n n u u u S +++= 21，称n S 为级数(11.1.1)的部分和．当n 依次为1,2,3,…,时，得到一个数列1S ，2S ，…，n S ，…，称为级数(11.1.1)的部分和数列．从形式上不难知道∑∞=1n n u =n n S ∞→lim ，所以我们可以根据部分和数列的收敛与发散来定义级数的敛散性. 当级数∑∞=1n n u 收敛于S 时，常用其部分和S n 作为和S 的近似值，其差∑∑∑∞+==∞==-=-111n k knk k k k n u u u S S叫做该级数的余项，记为n r ．用部分和S n 近似代替和S 所产生的绝对误差为| r n |．例11.1.1 判定级数 ++⋅++⋅+⋅)1(1321211n n 的敛散性．解 所给级数的一般项为111)1(1+-=+=n n n n u n ，部分和)1(1321211+⋅++⋅+⋅=n n S n 111)111()3121()211(+-=+-++-+-=n n n ，所以1)111(lim lim =+-=∞→∞→n S n n n ，故该级数收敛于1，即1)1(11=+∑∞=n n n ． 例11.1.2 考察波尔察诺级数∑∞=--11)1(n n 的敛散性．解 它的部分和数列是1, 0, 1, 0, … ,显然n n S ∞→lim 不存在，∑∞=--11)1(n n 发散．例11.1.3 讨论几何级数(也称等比级数)∑∞=0n naq +++++=n aq aq aq a 2的敛散性，其中a ≠ 0, q 称为级数的公比．解 该几何级数前n 项的部分和21(1),11 ,1n n n a q q qS a aq aq aq na q -⎧-≠⎪-=++++=⎨⎪=⎩， 当q = 1时，由于lim lim n n n S na →∞→∞==∞，所以级数发散；当q = -1时，级数变为 +-+-a a a a ，显然lim n n S →∞不存在，所以级数发散；当| q | > 1时，由于lim n n S →∞=∞，所以级数发散；当| q | < 1时，由于lim 1n n a S q →∞=-，所以级数收敛于1a q-．因此，几何级数0n n aq ∞=∑当| q | < 1时收敛于qa-1；当| q | ≥ 1时发散． 几何级数的敛散性非常重要，许多级数敛散性的判别，都要借助几何级数的敛散性来实现．11.2 .2 数项级数的性质根据级数敛散性的概念，可以得到级数的几个基本性质．12()n n n ku k u u u kS ++=+++=,112)()k k k n k u u u u u u +++++++-+++S S -lim ．从性质1的证明可以看出，如果n S 没有极限且k ≠0，则n σ也不可能有极限.换句话说，级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不改变．例如，47412)31(1313213231(32(3)1(2111=-=---+-=-+=-+∑∑∑∞=∞=∞=nn nn n n n n ．由性质4知，若级数加括号后发散，则原级数必发散．但加括号后收敛的级数，去括号后未必收敛．例如，级数⋅⋅⋅+-+-+-)11()11(11(）收敛，但去括号后级数⋅⋅⋅+-+-+-111111却发散．由级数收敛的必要条件可知，如果0lim ≠∞→n n u 或不存在，则级数一定发散．因此可用性质5判定级数∑∞=1n n u 发散性，有时性质５也称为“级数发散的第n 项判别法”．例11.1.4 判定级数∑∞=+112n n n 的敛散性．解 由于02112limlim ≠=+=∞→∞→n n u n n n ，故此级数发散．例11.1.5 证明调和级数 +++++n131211发散． 证明 将调和级数的两项、两项、四项、…、2m 项、… 加括号，得到一个新级数++++++++++++++++)21221121()81716151()4131()211(1m m m ．因为 2141414131 ,21211=+>+>+， ,218181818181716151=+++>+++，21212121212211211111=+++>+++++++++m m m m m m ， 所以新级数前m + 1项的和大于21+m ，故新级数发散．由性质4知，调和级数发散． 由于调和级数的一般项)(01∞→→=n nu n ，因此例5说明：级数的一般项u n 趋于零仅仅是级数收敛的必要条件，并非充分条件．所以，不可用性质５来判定级数的收敛性．例11.1.6 有甲，乙，丙三人按以下方式分一个苹果：先将苹果分成4份，每人各取一份；然后将剩下的一份又分成4份，每人又取一份；按此方法一直下去.那么最终每人分得多少苹果？解 依题意，每人分得的苹果为+++++n 4141414132． 它是41==q a 的等比级数，因此其和为 3141141=-=S ． 即最终每人分得苹果的31．习题 11.11.写出下列级数的一般项．(1) -+-+-5645342312； (2) +-+-97535432a a a a ．2.判断下列级数的敛散性． (1))1(1n n n -+∑∞=； (2)∑∞=16sinn n π； (3) ++⋅-++⋅+⋅)12()12(1531311n n ； (4) +++++++41312110021；(5)n n n n-∞=-+-∑)11()1(11； (6))31(1n n n+∑∞=．11.2 数项级数的审敛法11.2.1正项级数及其审敛法对于正项级数∑∞=1n n u ，其部分和S n = S n -1 + u n ≥ S n -1 (n = 2, 3, …)，即部分和数列{S n }单调递增．若数列{S n }有界，则由单调有界数列必有极限的准则知，数列{S n }收敛，所以正项级数∑∞=1n n u 必收敛，设其和为S ，则有S n ≤ S ．反之，若正项级数∑∞=1n n u 收敛于S ，则由收敛数列必有界的性质知，数列{S n }必有界．于是我们得到下述重要结论：例11.2.1证明正项级数 +++++=∑∞=!1!21!111!10n n n 收敛．证明 因为),2,1( 2122211211!11 ==⋅⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=-n n n n ， 于是对任意的n ，有2221212111)!1(1!21!111-+++++≤-++++=n n n S,3213211211121<-=--+=--n n即正项级数∑∞=0!1n n 的部分和数列有界，故级数∑∞=0!1n n 收敛．利用定理11.2.1，可导出正项级数的若干审敛法，这里只介绍其中较为重要的两个．例11.2.2讨论广义调和级数(又称p —级数) +++++=∑∞=pppn pn n13121111 (其中p为常数)的敛散性．解 当 p ≤ 1时，有n n p 11≥，由于∑∞=11n n发散，由定理2.2知，p 级数发散． 当p >1时，取n x n ≤<-1，有ppx n 11≤，得到11111d d (2,3,)n n p pp n n x x n n n x --=≤=⎰⎰ 于是p 级数的部分和111123n p p p S n=++++231211111d d d np p pn x x x x x x -≤++++⎰⎰⎰1111111d 1(11,11n p p x x p n p -=+=+-<+--⎰即部分和数列{S n }有界，由定理11.2.1知，p 级数收敛．综上所述，当p > 1时，p 级数收敛 ；当p ≤ 1时，p 级数发散，以后我们常用p 级数作为比较审敛法时使用的级数．例11.2.3 判定下列级数的敛散性． (1) 2111n n ∞=+∑； (2)n ∞=． 解 (1) 因为22111n n u n ≤+=，而级数∑∞=121n n为p = 2 > 1的p 级数，故收敛，所以由比较审敛法知，级数∑∞=+1211n n 也收敛． (2) 因为n n n u n 111122=≥-=，而调和级数∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=-1211n n 也发散．使用比较审敛法时，需要找到一个敛散性已知的正项级数来与所给正项级数进行比较，这对有些正项级数来说是很困难的.自然提出这样的问题：能否仅通过级数自身就能判定级数的敛散性呢？如果正项级数的一般项中含有乘积、幂或阶乘时，常用比值审敛法判定其敛散性． 例11.2.4 判定下列级数的敛散性：(1) 2132nnn n ∞=∑； (2) 11(1)!n n ∞=-∑； (3)11(21)n n n ∞=+∑． 解 (1) 因为123)1(23lim 322)1(3lim lim 2221211>=+=⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n nn n ，所以级数∑∞=1223n n n n 发散．(2) 因为101lim !)!1(lim lim1<==-=∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n ，所以级数∑∞=-1)!1(1n n 收敛． (3) 因为1)32)(1()12(lim lim1=+++=∞→+∞→n n n n u u n nn n ，此时比值审敛法失效，必须改用其他方法判别此级数的敛散性．由于22121)12(1n n n n u n <<+=，而级数∑∞=121n n为p = 2 > 1的p 级数，故收敛，所以由比较审敛法可知，级数∑∞=+1)12(1n n n 也收敛．11.2.2 交错级数及其审敛法交错级数的特点是正负项交替出现．关于交错级数敛散性的判定，有如下重要定理． 例11.2.5 判定交错级数 +-++-+--nn 1)1(41312111的敛散性．解 此交错级数的n u n 1=，且满足 1111+=+>=n n u n n u 且01lim lim ==∞→∞→n u n n n ，由定理11.2.4知，该交错级数收敛，其和小于1．11.2.3 任意项级数及其审敛法设有级数∑∞=1n n u ，其中u n ( n = 1, 2,…)为任意实数，称此级数为任意项级数．对于任意项级数，如何来研究其敛散性？除了用级数定义来判断外，还有什么办法？为此要介绍绝对收敛与条件收敛概念．1,2,)的级数，称为交错级例如，级数2111)1(n n n ∑∞=--绝对收敛，级数n n n 1)1(11∑∞=--条件收敛．定理11.2.5说明，对于任意项级数∑∞=1n n u ，如果它所对应的级数∑∞=1||n n u 收敛，则该级数必收敛，从而将任意项级数的敛散性判别问题转化为正项级数来讨论．但应注意，如果级数∑∞=1||n n u 发散，不能判定级数∑∞=1n n u 也发散．例11.2.6 判定级数∑∞=12)sin(n nn α的敛散性，其中α为常数． 解 由于n nn 212)sin(0≤≤α，而级数∑∞=121n n 是收敛的，由比较审敛法可知，级数∑∞=12)sin(n n n α收敛，即级数∑∞=12)sin(n n n α绝对收敛，由定理11.2.5知，级数∑∞=12)sin(n n n α收敛． 例11.2.7讨论交错p-级数p n n n 1)1(11∑∞=--的绝对收敛与条件收敛性，其中p 为常数．解 当p ≤ 0时，pn n nu 1)1(1--=不趋于)(0∞→n ，故该级数发散．当p >1时，有ppn n n11)1(1=--，且级数∑∞=11n p n收敛，故该级数绝对收敛．当0<p ≤ 1时，级数∑∞=11n p n 发散，但p n n n 1)1(11∑∞=--是交错级数，且满足定理11.2.4的条件，故所给级数条件收敛．习题11.21.用比较审敛法判定下列级数的敛散性． (1) ∑∞=-+133)1(n n n ；(2) )0(111>+∑∞=a an n ．2.用比值审敛法判定下列级数的敛散性．(1) ∑∞=⋅1!2n n nnn ； (2) ∑∞=123n n n ．3.判定下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？(1) ;3)1(111-∞=-∑-n n n n (2) ∑∞=13sin n nn α． 11.3 幂 级 数11.3.1函数项级数的概念 实例1存款问题设年利率为r (实际上其随时间而改变)，依复利计算，想要在第一年末提取1元，第二年末提取4元，第三年末提取9元，第n 年末提取2n 元，要能永远如此提取，问至少需要事先存入多少本金？分析：这里本金为存入的钱，设为A ，则一年后本金与利息之和为一年的本利和，即为)1(r A +，两年后的本利和为2)1(r A +，n 年后的本利和为n r A )1(+.解 若本金A 为n r -+)1(元，n 年后可提取本利和1)1()1(=+⋅+-n n r r （元）.从而 若要n 年后提取本利和2n 元，则本金应为n r n -+)1(2元.所以为使第一年末提1元本利和，则要有本金1)1(-+r ；第二年末能提取本利和22=4元，则要有本金22)1(2-+r 元；第三年末能提取本利和32=9元，则要有本金32)1(3-+r 元，…第n 年末能提取2n 元本利和，则要有本金n r n -+)1(2元；如此下去，所需本金总数为∑∞=-+12)1(n n r n.令r x +=11，得∑∑∞=∞=-=+1212)1(n n n nx n r n .实例2中的∑∞=12n n x n 即为一个无穷级数，但通项不再是我们前面所学的常数，而是函数，称为函数项无穷级数．对于区间I 上的任意确定值x 0，函数项级数(3.1)便成为数项级数++++)()()(00201x u x u x u n ． (11.3.2) 如果数项级数(11.3.2)收敛，则称点x 0为函数项级数(11.3.1)的收敛点；如果数项级数 (11.3.2)发散，则称点x 0为函数项级数(3.1)的发散点．函数项级数(11.3.1)的全体收敛点（或发散点）的集合叫做该级数的收敛域（或发散域）．设函数项级数(11.3.1)的收敛域为D ，则对于任意的x ∈D ，函数项级数(11.3.1)都收敛，其和显然与x 有关，记作S (x )，称为函数项级数(11.3.1)的和函数，并记作D x x u x u x u x S n ∈++++=,)()()()(21 ．例如，级数201n n n x x x x ∞==+++++∑的收敛域为(-1,1)，和函数为x-11，即 01(1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑．把函数项级数(11.3.1)的前n 项的和记作S n (x )，则在收敛域上有)()(lim 1x S x S un n n n==∞→∞=∑．将 r n (x ) = S (x ) -S n (x )称作该函数项级数的余项，则0)(lim =∞→x r n n ．11.3.2 幂级数及其收敛性特别地，当x 0 = 0时，+++++=∑∞=n n n nn x a x a x a a x a 22100(11.3.4)称为关于x 的幂级数．本节主要讨论幂级数(11.3.4)，幂级数(11.3.3)可通过代换t = x – x 0化成幂级数(11.3.4)来研究．下面首先讨论幂级数(11.3.4)的收敛域问题，即x 取数轴上哪些点时幂级数(11.3 .4) 收敛．0,1,2,)，因此．定理11.3.1表明，如果幂级数(11.3.4)在x= x0处收敛(发散)，则对于开区间(-| x0 |, | x0 |)内(闭区间[-| x0 |, | x0 |]外)的一切x，幂级数(11.3.4)都收敛(发散) ．这样的正数R称为幂级数(11.3.4)的收敛半径．由于幂级数(11.3.4 )在区间(-R, R)一定是绝对收敛的，所以我们把(-R, R)称为幂级数(11.3.4)的收敛区间．幂级数在收敛区间内部有很好的性质．幂级数(11.3.4)在区间(-R, R)的两个端点x = ±R处可能发散也可能收敛，需要把x = ±R代入幂级数(11.3.4)，化为数项级数来具体讨论．一旦知道了x =±R处幂级数(3.4)的敛散性，则幂级数(11.3.4)的收敛域为下面四个区间(-R, R), [-R, R) , (-R, R ], [-R, R ]之一．若幂级数(11.3.4)仅在x = 0处收敛，则规定收敛半径R = 0，此时收敛域退缩为一点，即原点；若对一切实数x，幂级数(11.3.4)都收敛，则规定收敛半径R = +∞，此时收敛区间与收敛域都是(-∞, +∞)．下面给出幂级数(11.3.4)的收敛半径的求法．例11.3.1求下列幂级数的收敛半径．(1) 1(1)31nn n n x ∞=-+∑ (2) 0!n n x n ∞=∑； (3) 202n n n x ∞=∑．解 (1) 因311313lim 13)1(13)1(lim lim1111=++=+-+-==+∞→++∞→+∞→n n n n n n n n nn n a a ρ，故收敛半径31==ρR ． (2) 因011lim !1)!1(1lim lim1=+=+==∞→∞→+∞→n n n a a n n nn n ρ，故收敛半径R = + ∞．(3) 因为该级数缺少奇次幂的项，定理3.2失效，换用比值审敛法求收敛半径．由于2(1)121212limlim 22n n n n n n nnx u x x u +++→∞→∞==，因此，由正项级数的比值审敛法知，当2112x <，即2||<x 时该幂级数绝对收敛；当2112x >，即2||>x 时该幂级数发散．故收敛半径2=R ． 例11.3.2 求下列幂级数的收敛区间和收敛域．(1) 11(1)n nn x n +∞=-∑； (2) 21(2)n n x n ∞=-∑． 解 (1) 因为11lim )1(1)1(lim lim121=+=-+-==∞→++∞→+∞→n nnn a a n n n n nn n ρ， 所以收敛半径11==ρR ，收敛区间是(-1, 1)，即该级数在(-1, 1)内绝对收敛．在端点x = 1处，级数成为交错级数∑∞=+-11)1(n n n ，这是收敛的级数．在端点x = -1处，级数成为∑∞=-11n n，这是发散的级数，故该级数的收敛域为(-1, 1]．(2) 令t = x -2，则所给级数变成∑∞=12n n nt ．因为 ,1)1(lim 1)1(1lim lim22221=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n nn n ρ故级数∑∞=12n n n t 的收敛半径11==ρR ，即级数∑∞=12n n nt 在区间(-1, 1)内绝对收敛．在端点t = 1处，级数∑∞=12n n n t 变成p 级数∑∞=121n n ，故收敛；在t = -1处，级数∑∞=12n n n t 变成交错级数∑∞=-121)1(n n n 也收敛．因此，幂级数∑∞=12n n n t 的收敛区间为(-1,1)，收敛域为[-1, 1]，从而级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛区间为(1,3)，收敛域为[1, 3]．(因为-1 ≤ t ≤ 1，即-1 ≤ x - 2 ≤ 1，所以13x ≤≤)．11.3.3幂级数的运算 1. 四则运算设幂级数∑∞=0n n n x a 和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R 1和R 2，它们的和函数分别为S 1(x )和S 2( x )，令R = min{ R 1, R 2}，则在(-R , R )内有(1) 加法运算(2) 乘法运算2. 分析运算设幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为(0)R R >)，在(-R , R )内的和函数为S (x )，则有(1) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内连续．(2) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内可导，且有逐项求导公式：(3) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内可积，且有逐项积分公式：注意：逐项求导和逐项积分前后，两幂级数具有相同的收敛半径和收敛区间． 例11.3.3 求下列幂级数的和函数． (1)11(11)n n nx x ∞-=-<<∑； (2)10(11)1n n x x n ∞+=-<<+∑．解 (1) 设11(), (1, 1)n n S x nx x ∞-==∈-∑，两端积分，得111()d d 1xxn n n n xS x x nx x x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰， 上式两端对x 求导，得21(), (1, 1)(1)S x x x =∈--．(2) 设10(), (1, 1)1n n x S x x n ∞+==∈-+∑，两端对x 求导，得 ∑∑∞=∞=+-=='+='10111)1()(n n n n x x n n x S ．上式两端从0到x 积分，得01()(0)d ln(1)1xS x S x x x-==---⎰， 而S ( 0 ) = 0，所以()ln(1), (1, 1)S x x x =∈---．例11.3.4求幂级数20, (1, 1)21nn x x n ∞=∈-+∑的和函数，并计算()2011212nn n ∞=+∑的值．解 设20(), (1, 1)21nn x S x x n ∞==∈-+∑，两端同时乘以x ，得,12)(012∑∞=++=n n n x x xS 两端对x 求导，得 ,1112])([202012x x n x x xS n nn n -=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='∑∑∞=∞=+ 上式两端从0到x 积分，得 20111()ln ,211xx x x x xx S +==--⎰d 所以 11()ln , (1, 1)21x S x x x x+=∈--．因为21=x 在(-1, 1)内部，代入上式，得 3ln 211211ln21212112120=-+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=nn n ． 习题 11.31.求下列幂级数的收敛区间．(1) +⋅⋅+⋅+64242232x x x ； (2)∑∞=++-11212)1(n n nn x ；(3)∑∞=--122212n n nx n ； (4)∑∞=-1)5(n n n x ．2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数． (1) )11( 14014<<-+∑∞=+x n x n n ; (2)∑∞=+<<-+0)1(2)11( )1(2n n x x n ，并求级数∑∞=-+01221n n n 的和． 11.4 函数展开成幂级数前面我们讨论了幂级数在收敛域内求和函数的问题，在实际应用中常常遇到与之相反的问题，就是对一个给定的函数，能否在一个区间内展开成幂级数？如果可以，又如何将其展开成幂级数？其收敛情况如何？本节就来解决这些问题．11.4.1泰勒(Taylor)级数如果函数f (x )在点x 0的某邻域U ( x 0, δ )内有定义，且能展开成x - x 0的幂级数，即对于任意的x ∈U ( x 0, δ )，有+-++-+-+=n n x x a x x a x x a a x f )()()()(0202010 ． (11.4.1)由幂级数的分析性质知，函数f (x )在该邻域内一定具有任意阶导数，且 ),2,1( )()!1(!)(01)( =+-++=+n x x a n a n x fn n n ． (11.4.2)在式(11.4.1)和式(11.4.2)中，令x = x 0，得)(00x f a =，!1)(01x f a '=，,!2)(02x f a ''= ,!)(,0)(n x f a n n =． (11.4.3) 将式(11.4.3)代入式(11.4.1)中，有+-++-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000．这说明，如果函数f (x )在x 0的某邻域U ( x 0, δ )内能用形如式(11.4.1)右端的幂级数表示，则其系数必由式(11.4.3)确定，即函数f (x )的幂级数展开式是唯一的．函数f (x )的泰勒级数(11.4.4)的前n + 1项之和记为S n +1(x )，即n n n x x n x f x x x f x x x f x f x S )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(2000001-++-''+-'+=+ ，并把差式f (x )- S n +1(x )叫做泰勒级数(4.4)的余项，记作R n ( x )，即)()()(1x S x f x R n n +-=．显然，只要函数f (x )在点x 0的某邻域U ( x 0，δ )内具有任意阶导数，则它的泰勒级数(11.4.4) 就已经确定，问题是级数(11.4.4)是否在x 0的某邻域内收敛？若收敛，是否以f (x )为其和函数？为此有下面的定理．显然，使用定理11.4.1来进行收敛性的判定是困难的．下面直接给出余项R n (x )的表达式称上式为拉格朗日型余项．在实际应用，若取常数x 0 = 0，此时泰勒级数(11.4.4)变成称为f (x )的麦克劳林(Maclaurin)级数，其余项为11.4.2函数展开成幂级数将函数)(x f 展开成0x x -或x 的幂级数，就是用其泰勒级数或麦克劳林级数表示)(x f ．下面结合例题来研究如何将函数展开成幂级数．1. 直接展开法直接利用麦克劳林公式将函数f (x )展开为x 的幂级数的方法称为直接展开法，可以按照下列步骤进行(展开为(x -x 0)的幂级数与之类似)：第一步 求出函数f ( x )在x = 0处的各阶导数 ),0(,),0(),0(),0()(n ff f f '''．若函数在x = 0处的某阶导数不存在，就停止进行，该函数不能展开为x 的幂级数．例如，在点x = 0处，37)(x x f =的三阶导数不存在，它就不能展开为x 的幂级数．第二步 写出幂级数+++''+'+nn x n f x f x f f !)0(!2)0()0()0()(2并求出收敛半径R 及收敛区间(-R , R )．第三步 在收敛区间(-R , R )内，考察余项R n ( x )的极限1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ(ξ介于0与x 之间)， 是否为零？如果为零，第二步所写出的幂级数就是函数f ( x )在(-R , R )内的展开式，即),(,!)0(!2)0()0()0()()(2R R x x n f x f x f f x f nn -∈+++''+'+= ．如果不为零，第二步写出的幂级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数f ( x )． 例11.4.1将下列函数展开为x 的幂级数．(1) ()e x f x =； (2) x x f sin )(=； (3) m x x f )1()(+=(m 为任意常数)． 解 (1) 因为f (x ) = e x ，故f (n )(0 ) = 1( n = 0,1, 2,…)．从而e x 的麦克劳林级数为++++++!!3!2132n x x x x n ． 容易求得它的收敛半径R = +∞，下面考察余项1e ()(1)!n n R x x n ξ+=+， (ξ介于0与x 之间)． 因为ξ介于0与x 之间，所以||e e x ξ<，因而有||11e e |()|||||(1)!(1)!x n n n R x x x n n ξ++=<++． 对于任一确定的x 值，e |x |是一个确定的常数，而级数++++++!!3!2132n x x x x n是绝对收敛的，由级数收敛的必要条件可知0)!1(||lim 1=++∞→n x n n ， 所以 1||||lime 0(1)!n x n x n +→∞=+．由此可得，0)(lim =∞→x R n n ，这表明级数收敛于e x ，所以23e 1 ()2!3!!n x x x x x x n =++++++-∞<<+∞．(2) 因为x x f sin )(=，所以),2,1( )2sin()()( =+=n n x x f n π，则 ,)1()0(,0)0(,,1)0(,0)0(,1)0(,0)0()12()2(n n n ff f f f f -==-='''=''='=+．于是sin x 的麦克劳林级数为++-++-+-+)!12()1(!7!5!312753n x x x x x n n ．它的收敛半径R = + ∞，考察余项的绝对值)(0)!1(||)!1()21sin()(11∞→→+≤+++=++n n x n x n x R n n n πξ．于是得展开式)( )!12()1(!5!3sin 1253+∞<<-∞++-+-+-=+x n x x x x x n n．(3) 用同样的方法，可以推得牛顿二项展开式)11( !)1()1(!2)1(1)1(2<<-++--++-++=+x x n n m m m x m m mx x nm ．这里m 为任意实数．当m 为正整数时，就退化为中学所学的二项式定理．最常用的是12m =±的情形，读者可自己写出这两个式子．2．间接展开法以上几个例子是用直接展开法把函数展开为麦克劳林级数，直接展开法虽然步骤明确，但运算常常过于繁琐，尤其最后一步要考察n →∞时余项R n ( x )是否趋近于零，这不是一件容易的事．下面我们从一些已知函数的幂级数展开式出发，利用变量代换或幂级数的运算求得另外一些函数的幂级数展开式，这种将函数展开成幂级数的方法叫间接展开法．例11.4.2将下列函数展开为x 的幂级数． (1) x x f cos )(=; (2) )1ln()(x x f +=．解(1) 由例1中的(2)知，)( )!12()1(!5!3sin 1253+∞<<-∞++-+-+-=+x n x x x x x n n，两边对x 逐项求导，得).( !2)1(!4!21cos 242+∞<<-∞+-+-+-=x n x x x x nn ）（ (2) 由牛顿二项展开式得)11( )1(11132<<-+-++-+-=+x x x x x xn n ．上式两端从0到x 逐项积分，得)11( 1)1(432)1ln(1432<<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n ． 又因为当x = -1时该级数发散，当x = 1时该级数收敛，故有)11(11)1()1ln(10≤<-+-=++∞=∑x x n x n n n．例11.4.3将下列函数展开为x - 1的幂级数： (1) x x f ln )(=； (2) 2)(2--=x x x x f ． 解 (1) )]1(1ln[ln )(-+==x x x f ，利用)1ln(x +的展开式得),111( 1)1()1(3)1(2)1()1(ln 132≤-<-++--+--+---=+x n x x x x x n n 即 )20(1)1()1(ln 1≤<+--=+∞=∑x n x x n n n．(2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--=--=x x x x x x x x x f 221131)1)(2(2)(2 ][)1(12)211(2131----+=x x ． 由)11( )1(110<<--=+∑∞=x x x n n n ，得 )1211( 21)1(212112111 2<-<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+x x x x x nn ． )111( )1()1()1(1)1(112<-<-+-++-+-+=--x x x x x n ． 于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=--∑∑∞=∞=002)1(2)21()1(21312n n n n n x x x x x n n n n x )1(22)1(3101-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∞=+，)20(<<x ． 习题 11.41.将下列函数展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间． (1) xx f -=31)(； (2) x x f 2cos )(=； (3) x x f arcsin )(=． 2.将函数231)(2++=x x x f 展开成(x + 4)的幂级数．11.5幂级数展开式的应用利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算，即展开式成立的区间内，函数值用级数的部分和按规定的精度要求近似计算.例11.5.1计算2的近似值( 精确到小数点四位，即误差不超过0.0001).解 由于 ++--++-+⋅+=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(!11)1(2ααααααα21)211(2242-=-=根据上一节二项式展开式，取21-=x ，21=α 21)211(2242-=-=)21!453121!33121!21211(28642 -⋅⋅-⋅---=取前四项的和作为近似值，其差（称截断误差）为4r )21!5753121!4531(2108 +⋅⋅⋅+⋅⋅=0098.025225))21()21(211(21!45312910328≈=⋅=++++⋅⋅< 于是，近似值为≈24219.1)21!33121!21211(2642≈⋅---=.由“四舍五入”引起的误差叫做舍入误差. 计算时取五位小数，四舍五入后误差不会超过小数点后四位.本题如果用下面做法，展开的级数收敛很快，同样取前四项计算，误差很小.2150114.12-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+⋅+⋅+⋅+⨯= 43250112835501165501835012114.1取前四项来作计算， 则4142.1]50116550183501211[4.1232≈⋅+⋅+⋅+⨯≈前四项的截断误差⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⨯< 544501*********.1r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⨯⨯= 245015011501128354.1 83341025.65012814950128354.14950501128354.1-⨯≈⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=例11.5.2 计算2ln 的近似值(精确到小数点后第4位). 解 将展开式)11()1(432)1ln(1432≤<-+-++-+-=+-x nx x x x x x nn 中的x 换成x -，得)11(432)1ln(432<≤--------=-x nx x x x x x n两式相减，得到不含有偶次幂的展开式)11(7531211ln 753<<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-+x x x x x x x令211=-+xx ，解出31=x .以31=x 代入得⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+⋅+⋅+⋅= 753317131513131311122ln若取前四项作为2ln 的近似值，则误差为0001.0700001341911132])91(911[32)31131311113191(2||911211131194<<⨯=-⨯=+++<+⨯+⨯+⨯= r于是取 6931.0317131513131311122ln 753≈⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+⋅+⋅≈.例11.5.3 利用x sin 求12sin 的近似值(精确到小数点后第6位). 解 由于展开式+--+-+-=--!)12()1(!5!3sin 12153n x x x x x n n （+∞<<∞-x ） 是交错级数，取前n 项部分和做近似估计，误差!)12(!)12()(1212+=+≤++n x n x x R n n n （+∞<<∞-x ）151801212ππ=⨯== x ，取前三项能满足精度要求，于是53)15(!51)15(!311515sin12sin ππππ+-≈= 20791170.0)20943951.0(1201)20943951.0(6120943951.053≈+-≈ 精确到六位小数，207912.012sin ≈.例11.5.4 计算定积分⎰=10sin dx x xI 的近似值，精确到0.0001.解 因1sin lim0=→xxx ，所给积分不是广义积分，若定义函数在0=x 处的值为1，则它在区间]1,0[上连续.由前一节知，被积函数的展开时为+--+-+-=--!)12()1(!5!31sin )1(2142n x x x x x n n （∞<<∞-x ） 在区间]1,0[上逐项积分，得⎰10sin dx x x+-⋅--++⋅-⋅+⋅-=-!)12()12(1)1(!771!551!33111n n n这是交错级数，因为第四项5109.2352801!771-⨯<=⋅，所以取前三项的和作为积分的近似值就能满足精度要求.0.9461!551!3311≈⋅+⋅-≈I 例11.5.5 在爱因斯坦（Einstein ）的狭义相对论中，速度为v 的运动物体的质量为220/1cv m m -=其中0m 为静止着的物体的质量，c 为光速.物体的动能是它的总动能与它的静止能量之差202c m mc K -=（1）证明在v 与c 相比很小时，关于K 的表达式就是经典牛顿物理学中的动能公式2021v m K =（2）估计s m v /100≤时，这两个动能公式的差别.解 （1）]1)1[(212220202--=-=-cv c m c m mc K ，记22c v x -=，展开成泰勒级数，有]1)16583211[(66442220-+⋅+⋅+⋅+= cv c v c v c m K)1658321(66442220 +⋅+⋅+⋅=cv c v c v c m当cv 很小时，2022202121v m c v c m K =⋅⋅≈.(2) 由解(1)可见，泰勒公式中一阶余项为（22cv x -=）252240225202252021)-(83)1(83)1(83!2)()(v c cv m x x c m x x c m x x f x r =+≤+=''=θθ（10<<θ）.因为s m c /1038⨯=，s m v /100≤，则252240225201)(83)1(83)(v c cv m x x c m x r +=-≤010252283840)107.4(]100-103[8)103(1003m m -⨯<⨯⨯⨯⨯≤）（）（.可见，误差极小，说明两个公式极为接近.习题 11.51．利用函数的幂级数展开式求下列各函数的近似值： （1）ln 3（误差不超过0.0001）； （2）cos2︒（误差不超过0.0001）；2．利用函数的幂级数展开式求下列定积 分的近似值：（1）0.54011dx x +⎰（误差不超过0.0001）； （2）0.5arctan xdx x⎰（误差不超过0.001）； 11.6傅里叶级数实例1振动问题一根弹簧受力后产生振动，如不考虑各种阻尼，其振动方程为)sin(ϕω+=t A y ，其中A 为振幅，ω为频率，ϕ为初相，t 为时间，称为简谐振动.人们对它已有充分的认识.如果遇到复杂的振动，能否把它分解为一系列简谐振动的叠加，从而由简谐振动去认识复杂的振动呢?实例2正弦波问题在电子线路中，对一个周期性的脉冲)(t f ，能否把它分解为一系列正弦波的叠加，从而由正弦波去认识脉冲)(t f 呢?实际上科学技术中其他一些周期运动也有类似的问题，这些问题的解决都要用到一类重要的函数项级数―傅里叶级数.为了研究傅里叶级数，我们先来认识下面一个概念—三角级数.它在数学与工程技术中有着广泛的应用．三角级数的一般形式是)sin cos (210nx b nx a a n n n ++∑∞=, 其中n n b a a ,,0 ( n = 1,2,…)都是常数，称为三角级数的系数．特别地，当a n = 0 ( n = 0,1,2,…)时，级数只含正弦项，称为正弦级数；当b n = 0 ( n = 1,2,…)时，级数只含常数项和余弦项，称为余弦级数．对于三角级数，我们讨论它的收敛性以及如何把一个周期为2l 的周期函数展开为三角级数的问题．11.6.1 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 1三角函数系 函数列,sin cos , ,2sin ,2cos ,sin ,cos 1nx nx x x x x ，， (11.6.1)称作三角函数系．三角函数系(11.6.1)有下列重要性质．这个定理的证明很容易，只要通过积分的计算即可验证，请读者自己进行．设两个函数ϕ和φ在[,]a b 上可积，且满足⎰=bax x x 0d )()(φϕ，则称函数ϕ和φ在[,]a b 上正交．由定理11.6.1，三角函数系(11.6.1)在[,]ππ-上具有正交性，称为正交函数系．-π2 周期为2π的函数的傅里叶级数设函数f (x )是周期为2π的周期函数，且能展开成三角级数，即设)sin cos (2)(10nx b nx a a x f n n n++=∑∞= (11.6.2)为了求出式(11.6.2)中的系数，假设式(11.6.2)可逐项积分，把它从-π到π逐项积分，得1()(cos sin ),2n n k a f x x x a nx x b nx x ππππππππ∞----==++∑⎰⎰⎰⎰d d d d 由三角函数系的正交性知，上式右端除第一项外均为0，所以0(),2a f x x x a πππππ--==⎰⎰d d 于是得01(),a f x x πππ-=⎰d 为求a n ( n = 1,2,…)，先用cos kx 乘以式(5.2)两端，再从-π到π逐项积分，得1()cos cos (cos cos sin cos )2n n k a f x kx x kx x a nx kx x b nx kx x ππππππππ∞----==++∑⎰⎰⎰⎰d d d d ．由三角函数系正交性知，上式右端除k = n 的一项外其余各项均为0，所以2()cos cos ,n n f x nx x a nx x a πππππ--==⎰⎰d d于是得1()cos (1,2,3,) n a f x nx x n πππ-==⎰d ．类似地，为求b n ( n = 1,2,…)，用sin kx 乘以式(11.6.2)两端，再从-π到π逐项积分，得1()sin (1,2,3,). n b f x nx x n πππ-==⎰d显然，当f (x )为奇函数时，公式(5.3)中的a n = 0 (n = 0, 1, 2, 3,…)；当f (x )为偶函数时，公式(11.6.3)中的b n = 0 (n = 1, 2, 3,…)，所以有(1) 当f (x )是周期为2π的奇函数时，其傅里叶级数为正弦级数nx b n n sin 1∑∞=，其中2()sin (1,2,3,) n b f x nx x n πππ-==⎰d ；(2) 当)(x f 是周期为2π的偶函数时,其傅里叶级数为余弦级数nx a a n n cos 21∑∞=+，其中 2()cos (1,2,3,) n a f x nx x n πππ-==⎰d ．3 傅里叶级数的收敛性对于给定的函数)(x f ，只要)(x f 能使公式(5.3)的积分可积，就可以计算出)(x f 的傅里叶系数，从而得到)(x f 的傅里叶级数．但是这个傅里叶级数却不一定收敛，即使收敛也不一定收敛于)(x f ．为了确保得出的傅里叶级数收敛于)(x f ，还需给)(x f 附加一些条件．对此有下面的定理．2,3,)2,3,)例11.6.1 正弦交流电i (x ) = sin x 经二极管整流后变为(如图11.6.1)⎩⎨⎧+<≤<≤-=ππππ)12(2,sin 2)12(,0)(k x k x k x k x f ,其中k 为整数．把函数f (x )展开为傅里叶级数．解 函数)(x f 满足收敛定理的条件，且在整个数轴上连续，因此)(x f 的傅里叶级数处处收敛于)(x f ．函数f (x )的傅里叶系数为00112()sin a f x x x x ππππππ-===⎰⎰d d ，图11.6.120,11()cos d sin cos d 2,1)n n a f x nx x x nx x n n ππππππ-⎧⎪===⎨-⎪-⎩⎰⎰为奇数为偶数（， 00,111()sin d sin sin d 1, 12n n b f x nx x x nx x n πππππ-≠⎧⎪===⎨=⎪⎩⎰⎰．所以)(x f 的傅里叶展开式为)142cos 356cos 154cos 32cos (2sin 211)(2 +-++++-+=k kx x x x x x f ππ，)(+∞<<-∞x ． 例11.6.2 如图11.6.2所示，一矩形波的表达式为⎩⎨⎧+<≤<≤--=ππππ)12(2,12)12(,1)(k x k k x k x f ，k 为整数．求函数)(x f 的傅里叶级数展开式．图11.6.2解 函数)(x f 除点x = k π ( k 为整数)外处处连续，由收敛定理知，在连续点(x ≠ k π)处，)(x f 的傅里叶级数收敛于)(x f ．在不连续点(x = k π)处，级数收敛于02)1(1=-+．又因)(x f 是周期为2π的奇函数，因此，函数)(x f 的傅里叶系数为0 (0,1,2,3,)n a n ==，004,22()sin d 1sin d 0, n n n b f x nx x nx x n πππππ⎧⎪==⋅=⎨⎪⎩⎰⎰为奇数为偶数．所以)(x f 的傅里叶展开式为)( )12)12sin(55sin 33sin (sin 4)(为整数，k k x k xk x x x x f ππ≠+--++++= ．该例中)(x f 的展开式说明：如果把)(x f 理解为矩形波的波函数，则矩形波可看作是由一系列不同频率的正弦波叠加而成．4 [-,]ππ或[0,]π上的函数展开成傅里叶级数在实际应用中，经常会遇到函数)(x f 只在[-π, π]上有定义，或虽在[-π, π]外也有定义但不是周期函数，而且函数)(x f 在[-π, π]上满足收敛定理的条件，要求把其展开为傅里叶级数．由于求)(x f 的傅里叶系数只用到)(x f 在[-π, π]上的部分，所以我们仍可用公式(11.6.3)求()f x 的傅里叶系数，至少)(x f 在(-π，π)内的连续点处傅里叶级数是收敛于)(x f的，而在x =±π处，级数收敛于)]0()0([21+-+-ππf f ．类似地，如果)(x f 只在[0, π]上有定义且满足收敛定理条件，要得到)(x f 在[0, π]上的傅里叶级数展开式，可以任意补充)(x f 在[-π, 0]上的定义(只要公式(11.6.3)中的积分可积)，称为函数的延拓，常用的两种延拓办法是把)(x f 延拓成偶函数或奇函数(称为奇延拓或偶延拓)，然后将奇延拓或偶延拓后的函数展开成傅里叶级数，再限制x 在[0, π]上，此时延拓后的函数F (x )≡f (x )，这个级数必定是正弦级数或余弦级数，这一展开式至少在(0, π)内的连续点处是收敛于)(x f 的．这样做的好处是可以把)(x f 展开成正弦级数或余弦级数．例11.6.3 将函数f (x ) = x, x ∈[0, π ]分别展开成正弦级数和余弦级数．解 为了把)(x f 展开成正弦级数，先把)(x f 延拓为奇函数F (x ) = x, x ∈[-π, π]，如图11.6.3所示，则1222()sin sin (1)n n b F x nx x x nx x nππππ+==⋅=-⎰⎰d d ． 由此得F (x )在(-π, π)上的展开式，也即)(x f 在[0, π)上的展开式为)0( )sin )1(33sin 22sin (sin 21π<≤+-+-+-=+x nnxx x x x n ． 在x = π处，上述正弦级数收敛于 图11.6.30)(21)]0()0([21=+-=-++-ππππf f ． 为了把)(x f 展开成余弦级数，把)(x f 延拓为偶函数||)(x x F =, x ∈[-π, π]，如图11.6.4所示，则0022()a F x x x x πππππ===⎰⎰d d ，222()cos d cos d 4, (1,2,)0,n a F x nx x x nx xn n n n πππππ==-⎧⎪==⎨⎪⎩⎰⎰为奇数时为偶数时 于是得到)(x f 在[0, π]上的余弦级数展开式为 图11.6.4。