【瀚海导航】2012高考数学总复习第四单元 第三节 导数的应用Ⅱ练习

2012届高考数学一轮复习课后强化作业2.3导数的实际应用一、选择题1．(2010·山东济南市模考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( )A．－3B．9C．－15D．－7[答案] C[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝－15，故选C.2．(2010·安徽合肥市质检)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D.3．(文)(2010·甘肃省质检)函数f(x)＝x3－ax2＋x在x＝1处的切线与直线y＝2x平行，则a＝( )A．0B．1C．2D．3[答案] B[解析] 由条件知，f ′(1)＝3×12－2a ×1＋1＝2， ∴a ＝1.(理)(2010·烟台市诊断)曲线y ＝2cos x 在x ＝π4处的切线方程是( )A ．x －y －4＋π4＝0B ．x ＋y ＋4－π4＝0C ．x ＋y －4＋π4＝0D ．x ＋y ＋4＋π4＝0[答案] C[解析] y ′|x ＝π4＝－2sin x |x ＝π4＝－2sin π4＝－1，∴切线方程为y －2cos π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即x ＋y －1－π4＝0，故选C.4．(文)圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为( ) A.S3πB.3πSC.6πS6πD ．3π·6πS [答案] C[解析] 设圆柱底面半径为r ，高为h ，∴S ＝2πr 2＋2πrh ∴h ＝S －2πr 22πr又V ＝πr 2h ＝rS －2πr 32，则V ′＝S －6πr 22，令V ′＝0得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ，r ＝6πS6π. (理)内接于半径为R 的球并且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2RC.43RD.34R [答案] C[解析] 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2∴r 2＝2Rh －h 2∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3V ′＝43πRh －πh 2，令V ′＝0得h ＝43R .5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33cm B.1033cm C.1633cm D.2033cm [答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0所以当x ＝2033时，V 取最大值．6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系是R ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000， x ＞400.则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 [答案] D[解析] 由题意，总成本为C ＝20000＋100x .所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x ＞400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x ＞400.令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大．7．(文)(2010·山东邹平)若函数y ＝e x＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是( ) A ．m >0 B ．m <0 C ．m >1 D ．m <1 [答案] B[解析] y ′＝e x＋m ，由条件知e x＋m ＝0有实数解， ∴m ＝－e x<0，故选B.(理)(2010·泰安质检)已知非零向量a ，b 满足：|a |＝2|b |，若函数f (x )＝13x 3＋12|a |x2＋a ·b x 在R 上有极值，设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 [答案] D[解析] ∵函数f (x )在R 上有极值，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两不等实根，∴Δ＝|a |2－4|a |·|b |cos θ＝4|b |2－8|b |2cos θ>0，∴cos θ<12，∴选D.[点评] 若f (x )为三次函数，f (x )在R 上有极值，则f ′(x )＝0应有二不等实根，当f (x )有两相等实根时，不能保证f (x )有极值，这一点要特别注意，如f (x )＝13x 3，f ′(x )＝x 2＝0有实根x ＝0，但f (x )在R 上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．8．(文)(2010·常德市检测)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a 、b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，则a ＋b 的最小值是( )A.23B.32 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax －b ，在[－1,3]上有f ′(x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0f 3≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥16a －b ≤－9，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝16a －b ＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，∴当直线a ＋b ＝z 经过点A (－1,3)时，z min ＝2.(理)(2010·鞍山一中)函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－316B ．－65<a <－316C ．a >－65D ．－65≤a ≤－316[答案] B[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)有两个零点－2和1，故由题设条件知－2和1是函数f (x )的一个极大值点和一个极小值点，∵f (x )的图象经过4个象限，∴f (－2)·f (1)<0， ∴⎝⎛⎭⎪⎫16a 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫56a ＋1<0，∴－65<a <－316，故选B.9．在内接于半径为R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对 [答案] B[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0＜x ＜R )，l ′＝2－4xR 2－x2，令l ′＝0，解得x ＝55R . 当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0. 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R ，455R . 10．(文)函数y ＝x ＋2cos x 在[]0，π上取得最大值时，x 的值为( ) A ．0 B.π6 C.5π6D ．π [答案] B[解析] y ′＝1－2sin x ，令1－2sin x ＝0，∵x ∈[]0，π，∴x ＝π6或5π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6时f ′(x )≤0，f (x )单调递减，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋2cos π6＝π6＋3，f (π)＝π＋2cos π＝π－2，且π－2<π6＋3，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. (理)如图，过函数y ＝x sin x ＋cos x 图象上点(x ，y )的切线的斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，易知其图象为A. 二、填空题11．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <2)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1，∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3. [点评] 注意长方体的长、宽、高都是正值，且长、宽、高的和的4倍为总长度．请再练习下题：用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．[解析] 设容器的短边长为x m ， 则另一边长为(x ＋0.5)m ， 高为14.8－4x －4x ＋0.54＝3.2－2x .由3.2－2x >0和x >0，得0<x <1.6， 设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )(0<x <1.6)， 整理得y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， ∴y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，有－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，即15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(不合题意，舍去)，∴高＝3.2－2＝1.2，容积V ＝1×1.5×1.2＝1.8 答：高为1.2m 时容积最大，最大容积为1.8m 3.12．(2010·江苏，14)将边长为1m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，则s 的最小值是________．[答案]3233[解析] 设DE ＝x ， 则梯形的周长为：3－x ，梯形的面积为：12(x ＋1)·32(1－x )＝34(1－x 2)∴s ＝3－x 2341－x 2＝433·x 2－6x ＋91－x2，x ∈(0,1)， 设h (x )＝x 2－6x ＋91－x2， h ′(x )＝－6x 2＋20x －61－x 22. 令h ′(x )＝0，得：x ＝13或x ＝3(舍)，∴h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8， ∴s 最小值＝433×8＝3233.13．(文)曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________．[答案] 34[解析] y ＝1x与y ＝x 2的交点P (1,1)，如右图易求得K AP ＝2，K BP ＝－1，因此可求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B (2,0)，故S △ABP ＝34. (理)函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x ) ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的值域为________．[答案] ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，e π22 [解析] f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数．∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2. 14．某工厂要围建一个面积为128m 2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．[答案] 16m 8m[解析] 解：设场地宽为x m ，则长为128xm ，因此新墙总长度为y ＝2x ＋128x(x ＞0)，y ′＝2－128x2，令y ′＝0，∵x >0，∴x ＝8.因为当0＜x ＜8时，y ′＜0；当x ＞8时，y ′＞0， 所以当x ＝8时，y 取最小值，此时宽为8m ，长为16m. 即当堆料场的长为16m ，宽为8m 时，可使砌墙所用材料最省． 三、解答题15．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m 2的正四棱锥形有盖容器(如右图)．设容器的高为h m ，盖子边长为a m.(1)求a 关于h 的函数解析式；(2)设容器的容积为V m 3，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值．(容器的厚度忽略不计)[解析] (1)如右图，作PO ⊥平面ABCD ，O 为垂足，作OE ⊥BC 于E ，连结PE ，则PE ⊥BC ，正四棱锥的全面积为第 10 页 共 12 页 金太阳新课标资源网2＝4×12×a ×h 2＋a22＋a 2.所以a ＝11＋h2(h >0)．(2)V ＝13a 2h ＝13·h 1＋h 2(h >0)，V ′＝13·1＋h 2－h 2h 1＋h 22＝1－h 231＋h 22.所以当0<h <1时，V ′>0.所以V (h )在(0,1]上为增函数． 当h >1时，V ′<0，所以V (h )在[1，＋∞)上为减函数． 故h ＝1为函数V (h )的唯一极大值点也是最大值点， ∴V max ＝16.答：当高h ＝1m 时，容积取最大值16m 3.16．(2010·陕西宝鸡市质检)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a 台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．[解析] (1)依题意，销售价提高后变为6000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2)台， 则y ＝a (1－x 2)[6000(1＋x )－4500]， 即y ＝1500a (－4x 3－x 2＋4x ＋1)(0<x <1)． (2)由(1)知y ′＝1500a (－12x 2－2x ＋4)， 令y ′＝0得，6x 2＋x －2＝0， 解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6000×32＝9000元．故笔记本电脑的销售价为每台9000元时，该公司的月利润最大．17．(文)(2010·南通模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度第 11 页 共 12 页 金太阳新课标资源网不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是P ＝119200v 4－1160v 3＋15v ， (1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用400v 小时，故全程运输成本为Q ＝400P v ＝v 348－5v 22＋6000 (0<v ≤100)．(2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0得，v ＝80， ∴当v ＝80千米/小时时，全程运输成本取得最小值，最小值为20003元． (理)已知函数f (x )＝x 3＋3bx 2＋cx ＋d 在(－∞，0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且f (x )＝0的一个根为－b .(1)求c 的值；(2)求证：f (x )＝0还有不同于－b 的实根x 1、x 2，且x 1、－b 、x 2成等差数列；(3)若函数f (x )的极大值小于16，求f (1)的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋6bx ＋c ， x ＝0是极大值点，f ′(0)＝0，∴c ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2bx 2＋d ，令f ′(x )＝0得，x ＝0或－2b ，由f (x )的单调性知，－2b ≥2，∴b ≤－1，∵－b 是方程f (x )＝0的一个根，则(－b )3＋3b (－b )2＋d ＝0，d ＝－2b 3，∴f (x )＝x 3＋3bx 2－2b 3＝(x ＋b )(x 2＋2bx －2b 2)．方程x 2＋2bx －2b 2＝0的根的判别式，Δ＝4b 2－4(－2b 2)＝12b 2>0.又(－b )2＋2b (－b )－2b 2＝－3b 2≠0，即－b 不是方程x 2＋2bx －2b 2＝0的根．∴f (x )＝0有不同于－b 的根x 1、x 2.∵x 1＋x 2＝－2b ，∴x 1，－b ，x 2成等差数列．(3)∵x →＋∞，f (x )→＋∞，且x ＝0是极大值点，∴f (0)<16，即－2b 3<16，∴b >－2，于是－2<b ≤－1，第 12 页 共 12 页金太阳新课标资源网 令g (b )＝f (1)＝－2b 3＋3b ＋1，∴g ′(b )＝－6b 2＋3， ∵－2<b ≤－1时，g ′(b )<0，∴g (b )在(－2，－1]上单调递减，∴g (－1)≤g (b )<g (－2)，即0≤g (b )<11. 即0≤f (1)<11.。

2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用导数【高考目标定位】一、变化率与导数、导数的计算 1、考纲点击（1）了解导数概念的实际背景 （2）理解导数的几何意义；（3）能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=1x,y ; （4）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数。

2、热点提示（1）导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中；（2）导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用研究的同时考查导数的运算。

二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、考纲点击（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

（3）会利用导数解决某些实际问题。

2、热点提示（1）在高考中，重点考查利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题。

有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。

（2）多以解答题的形式出现，属中、高档题目。

【考纲知识梳理】一、变化率与导数、导数的计算 1、函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-则平均变化率可表示为y x∆∆。

2、函数y=f(x)在x=x 0处导数 （1）定义称函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为y=f(x)在x=x 0处导数，记作 0000000()()()|,()lim limx x x x f x x f x yf x y f x x x =∆→∆→+∆-∆'''==∆∆或即 （2）几何意义函数f(x)在点x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线y=f(x)上点（0x ，0()f x '）处的切线的斜率。

第 2 讲 导数在函数中的应用1． (2012 年辽宁 )函数 y ＝1x 2－ lnx 的单一递减区间为 ()2A ． (－ 1,1]B ． (0,1]C ． [1，＋∞ )D ． (0，＋∞ )2．(2013 年广东广州二模 )已知函数 y ＝f(x)的图象如图 K4- 2-1 所示，则其导函数 y ＝ f ′ (x)的图象可能是 ()图 K4- 2-1A B C D3． (2011年海南海口调研测试)函数 y ＝ f(x) 在定义域－ 3，3 内可导，其图象如图2 K4- 2-2 ，记 y ＝ f(x)的导函数为 y ＝ f ′ (x)，则不等式 f ′ (x)≤ 0 的解集为 ()A. －3，1∪ [1,2)2 2B.－1，1 ∪ 4，82 3 3C. － 1， 1 ∪ [2,3) 3D.－3，－ 1 ∪ 1，4 ∪ 8， 322 3 3 图 K4- 2-2 图 K4- 2-34．若 a>0 ，b>0 ，且函数 f(x)＝ 4x 3－ ax 2－2bx ＋ 2 在 x ＝ 1 处有极值，则ab 的最大值等于 ( )A ． 2B ．3C ．6D ． 93－ 3x ＋ m 有三个不一样的零点， 则实数 m 的取值5．(2013 年辽宁营口二模 )若函数 f(x)＝ x 范围是 ( )A ． (1，＋∞ )B ． (－∞，－ 1)C ． [ －2,2]D ． (－ 2,2)26． (2012 年陕西 )设函数 f( x)＝ x ＋ lnx ，则 ()A ． x ＝ 1为 f(x)的极大值点2B ． x ＝ 1 为 f(x)的极小值点2C ． x ＝ 2 为 f(x)的极大值点D ． x ＝ 2 为 f(x)的极小值点7．图 K4- 2-3 为函数 f( x)＝ ax 3＋ bx 2＋cx ＋ d 的图象， f ′ (x)为函数 f( x)的导函数，则不等式 x ·f ′ (x)＜ 0 的解集为.8． (2012 年北京 )已知函数 f(x)＝ ax 2＋ 1(a>0)， g(x)＝ x 3＋ bx.(1)若曲线 y ＝f(x)与曲线 y ＝ g(x)在它们的交点 (1， c)处拥有公共切线，求 a ，b 的值； (2)当 a ＝ 3，b ＝－ 9 时，若函数 f(x)＋ g(x)在区间 [k,2]上的最大值为 28，务实数 k 的取值范围．9．(2012 年山东 )已知函数 f(x)＝ lnx ＋ k(k 为常数， e ＝ 2.718 28 是自然对数的底数 )，曲xe线 y ＝ f(x)在点 (1， f(1))处的切线与 x 轴平行．(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单一区间；(3)设 g(x)＝ xf ′ (x)，此中 f ′ (x)为 f(x)的导函数．－2证明：对随意 x>0， g(x)<1 ＋ e .第 2 讲 导数在函数中的应用1．B 分析： ∵ y ＝ 1x 2－ lnx ，∴ y ′＝ x －1.由 y ′≤ 0，解得－ 1≤ x ≤1.又 x>0，∴ 0<x ≤ 1.应选 B. 2 x2．A 分析： 由函数 f(x)的图象看出，在 y 轴左边，函数有两个极值点，且先增后减再 增，在 y 轴右边函数无极值点，且是减函数， 依据函数的导函数的符号和原函数单一性间的 关系可知，导函数在 y 轴右边应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在 y 轴右边无零 点，且导函数值恒负，由此能够判定导函数的图象是A 的形状．应选 A.3． C 分析： f ′ (x)＝ 12x 2－ 2ax － 2b ，因为 f(x)在 x ＝ 1 处有极值，则4．Df ′ (1)＝ 12－ 2a －a ＋b 2 ＝ 9，当且仅当 a ＝ b ＝ 3 时，等号建立．此2b ＝ 0.于是 a ＋ b ＝ 6.因为 a>0 ，b>0 ，ab ≤2时，f ′ (x)＝ 12x 2－ 6x －6＝ 6(2x 2－ x － 1)＝ 6(x － 1)(2x ＋ 1)，所以， x ＝ 1 是其的一个极值点． 所以 ab 的最大值等于 9.应选 D.5．D 分析： 由函数 f(x)＝ x 3－ 3x ＋m 有三个不一样的零点，则函数 f(x)有两个极值点，极小值小于 0，极大值大于 0.由 f ′ (x)＝ 3x 2－ 3＝ 3(x ＋1)(x －1) ＝0， 解得 x 1＝1， x 2＝－ 1，所以函数 f(x)的两个极值点为 x 1＝ 1， x 2＝－ 1.因为 x ∈ (－∞，－ 1)时， f ′ (x) ＞0; x ∈ (－1,1)时， f ′ (x)＜ 0; x ∈ (1，＋∞ )时， f ′ (x)＞ 0，所以函数的极小值f(1) ＝m － 2 和极大值 f(－ 1)＝ m ＋ 2.因为函数 f(x)＝ x 3－ 3x ＋ m 有三个不一样的零点，m ＋2>0 ，解得－ 2<m<2.所以m －2<0 ， 6．D7． (－∞，－ 3)∪ (0， 3)8． 解： (1)f ′ (x)＝ 2ax ，g ′ (x)＝ 3x 2＋ b.因为曲线 y ＝ f(x) 与曲线 y ＝ g(x)在它们的交点 (1， c)处拥有公共切线，所以f(1)＝ g(1) ，f ′ (1)＝g ′(1) ．即 a ＋1＝ 1＋ b 且 2a ＝ 3＋ b.解得 a ＝ 3， b ＝3.(2)记 h(x)＝ f(x)＋ g(x)，当 a ＝3， b ＝－ 9 时， h(x)＝ x 3＋ 3x 2－ 9x ＋ 1，则 h ′(x)＝ 3x 2 ＋6x － 9.令 h ′(x)＝ 0，解得 x 1＝－ 3， x 2＝ 1.h(x)与 h ′ (x)在 (－∞， 2]上的状况以下表：x (－∞，－ 3)－ 3(－ 3,1)1 (1,2) 2h ′(x) ＋0 －0 ＋h( x)28－ 43由此可知：当 k ≤－ 3 时，函数 h(x)在区间 [k,2]上的最大值为 h(－ 3)＝ 28；当－ 3<k<2 时，函数 h(x)在区间上的最大值小于 28.所以，实数 k 的取值范围是 (－∞，－ 3] ．1－ lnx － k9． (1) 解： f ′ (x)＝x，xe1－ k由已知得， f ′ (1)＝＝0，所以 k ＝ 1.1－ ln x － 1(2)解： 由 (1) 知， f ′ (x)＝x.xe设 k(x)＝ 1－ lnx － 1，则 k ′ (x)＝－ 11x x 2－ x <0， 即 k(x)在 (0，＋∞ ) 上是减函数，由 k(1)＝ 0 知，当 0<x<1 时， k(x)>0，进而 f ′( x)>0 ；当 x>1 时， k(x)<0，进而 f ′( x)<0.故 f(x)的单一递加区间是 (0,1)，单一递减区间是 (1，＋∞ )．(3)证明： 因为 g(x)＝ xf ′ (x)，1所以 g(x)＝ x (1－ x － xlnx)， x ∈ (0，＋∞ )．e－ 2令 h(x)＝ 1－x － xlnx ，得 h ′ (x)＝－ lnx － 2＝－ (lnx － lne )．所以当 x ∈ (0， e －2 )时， h ′(x)>0，函数 h(x)单一递加；－2，＋∞ )时， h ′ (x)<0 ，函数 h(x)单一递减． 当 x ∈ (e－ 2 － 2所以当 x ∈ (0，＋∞ ) 时， h(x)≤ h(e )＝ 1＋e .又当 x ∈ (0，＋∞ )时， 0<1x <1.e1 －2－ 2所以当 x ∈ (0，＋∞ ) 时， x h(x)<1 ＋ e，即 g(x)<1＋ e .e。

4.2导数在研究函数中的应用【考纲要求】1、导数在研究函数中的应用① 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2、生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.. 【基础知识】1、用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0 （2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求DP ,得函数的单调递增（减）区间。

一般地，函数()f x 在某个区间可导 ，'()f x ＞0 ⇒ ()f x 在这个区间是增函数 一般地，函数()f x 在某个区间可导 ，'()f x ＜0 ⇒ ()f x 在这个区间是减函数 （3）单调性的应用一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是增(减)函数⇒ '()f x ≥()≤0 温馨提示：①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式'()f x ＞ （＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。

②已知函数的增（减）区间，应得到'()f x ≥（≤）0，必须要带上等号。

③求函数的单调增（减）区间，要解不等式'()f x ＞()<0，此处不能带上等号。

④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间， 不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。

2、求函数的极值（1）设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大（小）值。

第四单元 第一节一、选择题1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定【解析】 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ，k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1>k 2.【答案】 A2．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ； ②(log 2x )′＝1x ·ln2； ③(e x )′＝e x.A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 因为(3x )′＝3xln3，故①错，②③正确． 【答案】 C3．物体运动的图象(时间x ，位移y )如右图，则其导函数图象为( )【解析】 根据导数的几何意义，线段OA 上每点的导数为直线OA 的斜率；同理，AB 和BC 上每点的导数也为常数，且线段BC 的斜率为负值，故其导数也为负值．【答案】 D 4.已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )【解析】 设二次函数为y ＝ax 2＋b (a <0，b >0)，则y ′＝2ax ，又∵a <0，∴选B. 【答案】 B5．(精选考题·洛阳模拟)已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( ) A.193 B.163 C.133 D.103【解析】 由题意得f ′(x )|x ＝－1＝(ax 3＋3x 2＋2)′|x ＝－1＝(3ax 2＋6x )|x ＝－1＝3a －6＝4，故a ＝103.【答案】 D6．(精选考题·江西高考)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0【解析】 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∴f ′(－x )＝－4ax 3－2bx ＝－f ′(x )，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.【答案】 B7．(精选考题·全国高考Ⅱ卷)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 求导得y ′＝2x ＋a ，因为曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线l 的方程是x －y ＋1＝0，所以切线l 的斜率k ＝1＝y ′|x ＝0，又点(0，b )在切线l 上，于是有⎩⎪⎨⎪⎧0＋a ＝1，0－b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.【答案】 A二、填空题8．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．【解析】 ∵y ′＝e x ＋x ·e x＋2，y ′|x ＝0＝3， ∴切线方程为y －1＝3(x －0)，∴y ＝3x ＋1. 【答案】 y ＝3x ＋19．过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 【解析】 设切点坐标为(x 0，e x 0)，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝e x 0，切点与原点连线的斜率k ′＝e x 0x 0.∵k ＝k ′，∴e x 0＝e x 0x 0，∴x 0＝1，∴切点为(1，e)，k ＝e.【答案】 (1，e) e10．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1x .若存在垂直于y 轴的切线，则f ′(x )＝0有解，即a ＝－13x3(x ＞0)有解，∴a ＜0.【答案】 (－∞，0) 三、解答题11．求下列函数的导数．(1)y ＝(3x 3＋5x )(2x －1)； (2)y ＝x 2cos x ；(3)y ＝2x e x －3x＋π.【解析】 (1)y ′＝(3x 3＋5x )′(2x －1)＋(3x 3＋5x )(2x －1)′＝(9x 2＋5)(2x －1)＋2(3x 3＋5x )＝18x 3－9x 2＋10x －5＋6x 3＋10x＝24x 3－9x 2＋20x －5.(2)y ′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .(3)y ′＝(2x )′e x ＋2x (e x )′－(3x)′＝2x ln2×e x ＋2x e x －3xln3＝(ln2＋1)(2e)x －3xln3.12．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝3.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形面积为定值，并求此定值．【解析】 (1)f ′(x )＝a －1x ＋b 2，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b2＝0，2a ＋12＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.∵a ，b ∈Z ，∴f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1x 0－2知，过此点的切线方程为y －x 02－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x 0－2(x －x 0)． 令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，∴切线与直线x ＝1的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1. 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，∴切线与直线y ＝x 交点为(2x 0－1,2x 0－1)． 又∵直线y ＝x 与x ＝1的交点为(1,1)，∴所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1·|2x 0－1－1|＝2， ∴所围三角形的面积为定值2.。

第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过1．基本初等函数的导数公式2(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cosx －x 2sin x ，故选B.2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3 5．函数y ＝x ＋x的导数为________．解析：y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x′＝x ＋x －x x ＋x 2＝x ＋2x ＋1·x －x ＋x 2＝2x2x ＋1－x ＋x 2＝2x －x ＋x ＋x ＋x2.答案：y ′＝2x －x ＋x ＋x ＋x2[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ≠0且n∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x)′＝a xln a ，而不是(a x)′＝xax －1.1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ， 又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x＋ln x 且f ′(a )＝0，则2aln 2a＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a，则a ·2a·ln2＝－1，即2a ln 2a＝－1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y ′＝4x ，设切点为(m ，n )，则4m ＝2，所以m ＝12，则n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 4．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，所以f ′(1)＝3，且f (1)＝3×1－2＝1，所以f (1)＋f ′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：31．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：选A 解f ′(x )＝6x 2－18x ＋12<0可得1<x <2，所以单调减区间是(1,2)． 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－24>0，－a4≤1，g ＝5＋a ≥0⇔－26≤a ≤26或a >26⇔a ≥－26，故选C.[清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点．2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x(x >0)，因为函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，令g (x )＝x 2－ax ＋1，且g (0)＝1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24＋1<0，解得a >2.答案：(2，＋∞)5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 因为A 、B 为单调函数，所以不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )>0可得x >1或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]． 又因为f (－2)＝－1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (2)＝3， 所以M ＝3，m ＝－1， 所以M ＋m ＝2. 答案：2定积分1．定积分的概念在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x ) ⎪⎪⎪ba，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．[小题速通]1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.2.⎠⎛01(e x＋x)d x ＝________.解析：⎠⎛01(e x＋x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝⎝⎛⎭⎪⎫e 1＋12－(e 0＋0)＝e －12.答案：e －123．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪1＝16. 答案：16[清易错]定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( )A .23B.13C .12D.14解析：选D 由题意及图形可得阴影部分的面积 S ＝⎰201⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2dx ＋⎰211⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14.一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1eC.1e2D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e.2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( )A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋m x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B f(x)＝x(x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f′(x)＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m)(3x －m)．由f′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f′(x)＝3(x －1)(x －3)，当1<x<3时，f′(x)<0，当x<1或x>3时，f′(x)>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f′(x)＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f′(x)<0，当x<13或x>1时，f′(x)>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B .7．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎠⎛02|x 2－1|d xC .⎠⎛02(x 2－1)d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：选B 作出封闭图形的示意图如图所示，易得所围成的封闭图形的面积是S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,3] B ．(2,3] C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x<1； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋a x，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋a x＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)ex －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)ex －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x－1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立，从而得b ≤74，所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，74.14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点 [全国卷5年命题分析]导数的运算[典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )＝x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ，故选D.(3)由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. [答案] (1)C (2)D (3)B [方法技巧]1．可导函数的求导步骤(1)分析函数y ＝f (x )的结构特点，进行化简； (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导； (3)化简整理答案． 2．求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．[即时演练]1．(2018·江西九校联考)已知y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝( ) A ．3x 2－12x ＋6 B ．x 2＋12x －11 C ．x 2＋12x ＋6D ．3x 2＋12x ＋11解析：选D 法一：y ′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11. 法二：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.2．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2， 即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案：e导数的几何意义问中，难度较低，属中、低档题. 常见的命题角度有：求切线方程； 确定切点坐标；已知切线求参数值或范围； 切线的综合应用. 角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：∵f ′(x )＝11＋x －1＋2x ，∴f ′(1)＝32，f (1)＝ln 2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.答案：3x －2y ＋2ln 2－3＝0角度二：确定切点坐标2．已知函数f (x )＝exx(x >0)，直线l ：x －ty －2＝0.若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，则切点横坐标的值为________．解析：由f (x )＝e x x (x >0)，得f ′(x )＝e x ·x －e x x2＝exx －x 2(x >0)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．根据直线l 的方程x ＝ty ＋2，可得l 恒过点(2,0)．①当t ＝0时，直线l ：x ＝2垂直于x 轴，不与曲线y ＝f (x )相切，舍去；②当t ≠0时，设切点A (x 0，y 0)，直线l 可化为y ＝1t x －2t ，斜率k ＝1t＝f ′(x 0)＝e x 0x 0－x 20，又直线l 和曲线y ＝f (x )均过点A (x 0，y 0)，则满足y 0＝1t x 0－2t ＝e x 0x 0，所以e x 0x 0－x 20＝e x 0x 0－x 0·x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t x 0－2t ·x 0－1x 0＝x 0－2t ·x 0－1x 0＝1t，两边约去t 后，可得(x 0－2)·x 0－1x 0＝1，化简得x 20－4x 0＋2＝0， 解得x 0＝2± 2.综上所述，切点的横坐标为2± 2. 答案：2± 2角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________． 解析：设y ＝a ln x －1的切点为(x 0，y 0)，求导y ′＝ax，则切线的斜率为a x 0，所以公切线方程为y －(a ln x 0－1)＝a x 0(x －x 0)， 联立方程y ＝x 2－1可得x 2－a x 0x ＋a －a ln x 0＝0， 由题意，可得Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 02－4(a －a ln x 0)＝0， 则a ＝4x 20(1－ln x 0)．令f (x )＝4x 2(1－ln x )(x >0)，则f ′(x )＝4x (1－2ln x )，易知，函数f (x )＝4x 2(1－ln x )在(0，e)上是增函数，在(e ，＋∞)上是减函数， 所以函数f (x )＝4x 2(1－ln x )的最大值是f (e)＝2e ， 则正实数a 的取值范围是(0,2e]． 答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)，g (x )＝xx ＋1(x >－1)．(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)上的单调性；(2)若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值． 解：(1)F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝mx ＋1－1x ＋2＝m x ＋－1x ＋2(x >－1)， 当m ≤0时，F ′(x )<0，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当m >0时，由F ′(x )<0，得－1<x <－1＋1m，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1m 上单调递减；由F ′(x )>0，得x >－1＋1m，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1m，＋∞上单调递增．综上所述，当m ≤0时，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减，当m >0时，函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1m，＋∞上单调递增．(2)函数f (x )＝m ln(x ＋1)在点(a ，m ln(a ＋1))处的切线方程为y －m ln(a ＋1)＝ma ＋1(x－a )，即y ＝ma ＋1x ＋m ln(a ＋1)－maa ＋1. 函数g (x )＝xx ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，b b ＋1处的切线方程为y －bb ＋1＝1b ＋2(x －b )，即y ＝1b ＋2x ＋b 2b ＋2.因为y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，即⎩⎪⎨⎪⎧m a ＋1＝1b ＋2， ①m a ＋－ma a ＋1＝b 2b ＋2， ②所以有唯一数对(a ，b )，满足这个方程组，由①得a ＋1＝m (b ＋1)2，代入②消去a 整理得：2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0，关于b (b >－1)的方程有唯一的解，令h (b )＝2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1， 则h ′(b )＝2m b ＋1－2b ＋2＝2[m b ＋－1]b ＋2， 方程组有解时，m >0，所以h (b )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1m，＋∞上单调递增，所以h (b )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1m ＝m －m ln m －1，因为b →＋∞，h (b )→＋∞，b →－1，h (b )→＋∞， 所以只需m －m ln m －1＝0.令p (m )＝m －m ln m －1，则p ′(m )＝－ln m 在m >0时为单调递减函数，且m ＝1时，p ′(m )＝0.所以p (m )max ＝p (1)＝0，所以m ＝1时，关于b (b >－1)的方程2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0有唯一解，此时a ＝b ＝0，公切线为y ＝x .[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．[典例] (1)(2018·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在 (2)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，，x 2－1，x∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 (3)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] (1)如图，⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 3⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56. (2) ⎠⎛-12f (x )dx ＝⎠⎛-111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ，因为⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点，半径为1的上半圆的面积，则⎠⎛-111－x 2dx ＝π2；⎠⎛12 (x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 21＝43， 所以⎠⎛-12f (x )dx ＝π2＋43.(3)封闭图形如图所示， 则⎠⎛ax dx ＝23x 32⎪⎪⎪a＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49. [答案] (1)C (2)A (3)49[方法技巧]求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (2)面积法根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． [即时演练]1．(2018·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e .故选C .2．直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成封闭图形的面积为________． 解析：如图，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，可得x 1＝－1，x 2＝3，故所求图形面积为S ＝⎠⎛-13 [(2x＋3)－x 2]dx ＝⎠⎛-13－1(2x ＋3)dx －⎠⎛-13x 2dx ＝(x 2＋3x ) ⎪⎪⎪3-1－13x 3⎪⎪⎪3-1＝323.答案：3233．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率为________．解析：由图知长方形OABC 的面积为e ；函数y ＝a x 过点(1，e )，则a ＝e ，所以曲线的方程为y ＝e x，A ，D 在直线y ＝1－x 上， 所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛01(e x＋x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 2－x 10＝e －32，所以在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率P ＝e －32e ＝1－32e.答案：1－32e1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)，y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝x 2＋－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2， ∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案：8一、选择题1．若a ＝⎠⎛02x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋1x 6展开式中的常数项是( )C ．－540D ．540解析：选C a ＝⎠⎛02xdx ＝12x ⎪⎪⎪20＝2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x 6展开式的通项T r ＋1＝(－3)r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0可得r ＝3，则常数项是T 4＝(－3)3C 36＝－540.2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋2＝2x ＋2，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC .1eD ．－1e解析：选C 法一：∵f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x .设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e.法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， 又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)，解得m ＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎥⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.6．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－exe x＋2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x ×1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A .二、填空题7．若a 和b 是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)＝lg (ax 2＋4x ＋4b)的值域为R 的概率为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <2，0<b <2所表示的平面区域是正方形，其面积为4.因为函数f (x )＝lg(ax 2＋4x ＋4b )的值域为R ， 所以ax2＋4x ＋4b 取遍所有的正数，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－16ab ≥0，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab ≤1，如图所示，不等式⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ≤1所表示的图形的面积S ＝2×12＋⎠⎛2121ad a ＝1＋ln a 212＝1＋2ln 2，所以所求事件的概率为1＋2ln 24.答案：1＋2ln 248．已知函数f (x )＝e ax＋bx (a <0)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝5x ＋1，且f (1)＋f ′(1)＝12.则a ，b 的值分别为________．解析：f (x )＝e ax＋bx ，那么f ′(x )＝a e ax＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧＝5，＋＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，a e a ＋b ＋b ＋e a＝12，化简得(e a－2)(a ＋1)＝0， 由a <0，得a ＝－1，b ＝6. 答案：－1,69．(2017·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1，∴f (x 0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)． 答案：(1,0)10．设过曲线f (x )＝－e x－x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________．解析：设曲线f (x )上任意一点A(x 1，y 1)，曲线g(x )上存在一点B(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x －1，g ′(x )＝m －3cos x .由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－ex 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]．因为过曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(3－a )ln x ，a ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－5. 解：(1)∵f ′(x )＝x －a ＋3－a x ＝x 2－ax ＋3－ax，∴f ′(1)＝4－2a ，由题意知4－2a ＝－12，解得a ＝94.(2)证明：由题意知，x 1，x 2为f ′(x )＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－－a ，a >0，3－a >0，∴2<a <3.又x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝3－a ， ∴f (x 1)＋f (x 2)＝12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＋(3－a )ln x 1x 2 ＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )．设h (a )＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )，a ∈(2,3)，则h ′(a )＝－a －ln(3－a )，h ″(a )＝－1＋13－a ＝a －23－a>0，故h ′(a )在(2,3)上递增． 又h ′(2)＝－2<0，a →3时，h ′(a )→＋∞，∴∃a 0∈(2,3)，当a ∈(2，a 0)时，h (a )递减，当a ∈(a 0,3)时，h (a )递增，∴h (a )min ＝h (a 0)＝－12a 20＋a 0－3＋(3－a 0)·(－a 0)＝12a 20－2a 0－3＝12(a 0－2)2－5>－5，∴∀a ∈(2,3)，h (a )>－5， 综上，f (x 1)＋f (x 2)>－5.1．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析：选D y ＝ln x ，x ∈(0,1)的导数y ′＝1x>1，设切点为(t ，ln t )，则切线l 的方程为y ＝1tx ＋ln t －1，因为函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线l 的斜率为2x 0， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1t ，x 20＝1－ln t ，则1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是x 0，则排除A 、B ； 又因为g ′(x )＝2x －1x＝2x 2－1x>0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0， 从而2<x 0< 3.2．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2，设x 1＋x 2＝t (|t |>2)， 则φ(M ，N )＝|3x 21－3x 22|x 1－x 22＋x 31＋2－x 32－2＝|3x 21－3x 22|x 1－x 22[1＋x 21＋x 1x 2＋x 222]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋x 1＋x 22－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋x 1＋x 22－1]2＝3|t |1＋t 2－2＝3t 2＋2t2－2.设g (x )＝x ＋2x ，x >4，则g ′(x )＝1－2x2>0，所以g (x )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (4)＝92.所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N )<3105.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，3105高考研究课二函数单调性必考，导数工具离不了[全国卷5年命题分析][典例] (2016·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋x2，a ∈R ，讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝ax 2－x －x3.当a ≤0，x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a x －x 3⎝⎛⎭⎪⎫x － 2a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ 2a .①若0＜a ＜2，则 2a＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1， 2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②若a ＝2，则2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜ 2a＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减；。