2016年嘉定区高三第一次调研数学试卷文科

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）考生注意:1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有23道试题,满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分,否则一律得零分．1．=+-+∞→221lim22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-+=R x x x x B ,011，则=B A __________．3．若函数xa x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________．4．已知一组数据6，7，8,9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________．5．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与CB 1所成的角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）． 6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________．7．已知012cos sin =αα,则=α2sin8．某程序框图如图所示,输出的S 值是9．过点)2,1(P 的直线与圆422=+y x 相切,且与直线01=+-y ax 垂直,则实数a的值为___________．10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛,则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是____________．11．设)12,(k PA =,)5,4(=PB ,),10(k PC =，则=k _________时,点A ，B ，C共线．12．已知*N ∈n ，若80222211221=++++--n n n n n nC C C，则=n _______．13．设数列}{na 满足21=a,nn a a 111-=+,记数列前n 项的积为nP ，则2016P 的值为__________．14．对于函数)(x f y =,若存在定义域D 内某个区间],[b a ,使得)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭．如果函数||14)(x xx f +-=在R 上封闭，那么=-a b _____________．二．选择题（本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数"是“2πϕ=”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．下列四个命题:①任意两条直线都可以确定一个平面;②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合； ③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面; ④若直线l 上有一点在平面α外,则l 在平面α外． 其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．若椭圆122=+my x的焦距为2,则m 的值是（ ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．418．已知等比数列}{na 中，各项都是正数，且13a ，321a ,22a 成等差数列，则7698a a a a++等于（ )A ．6B ．7C ．8D ．9三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ,内有20cm 深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α(图②）,且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角α的最大值是多少； (2）现需要倒出不少于30003cm 的溶液,当︒=60α时，能实现要求吗？请说明理由．α①②20．（本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知R ∈x ，设)cos sin ,cos 2(x x x m += ,)cos sin ,sin 3(x x x n -=，记函数n m x f⋅=)(． （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间;（2）设△ABC 的角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,若2)(=C f ,3=c ，3=+b a ，求△ABC的面积S ．21．（本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分．设函数x xa ak x f --⋅=)((0>a 且1≠a ）是奇函数．(1）求常数k 的值；(2）设1>a ,试判断函数)(x f y =在R 上的单调性,并解关于x 的不等式0)12()(2<-+x f x f ．22．(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知抛物线py x22=，准线方程为01=+y ，直线l 过定点),0(t T (0>t ）且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1）求抛物线的方程；（2）OB OA ⋅是否为定值,若是，求出这个定值；若不是,请说明理由； （3)当1=t 时,设TB AT ⋅=λ,记)(||λf AB =，求)(λf 的解析式．23．(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分．设复数n n ny i x z⋅+=，其中n x R ∈n y ，*N ∈n ，i 为虚数单位，n n z i z ⋅+=+)1(1，i z 431+=，复数n z 在复平面上对应的点为n Z ．（1）求复数2z ，3z ,4z 的值；（2）证明：当14+=k n (*N ∈k ）时,n OZ ∥1OZ ；（3）求数列}{n ny x⋅的前100项之和．2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文)参考答案及评分标准一．填空题(每题4分，满分56分）1．21 2．},01{R ∈<≤-x x x （或)0,1[-） 3．314．25．510arccos6．π33 7．54 8．201620159．43 10．10911．2-或11 12．4 13．1 14．6二．选择题（每题5分，满分20分）15．B 16．C 17．A 18．D三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19．本题12分,第1小题6分，第2小题6分．α︒60AB CDA BCD③ ④EF(1）如图③,当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出, 此时α最大． ………………………………………………………………(2分)解法一：此时,梯形ABED 的面积等于400202=（2cm )，…………（3分）因为α=∠CBE ，所以αtan 2030-=DE ，AD AB DE SABED ⋅+=)(21， 即40020)tan 2060(21=⋅-⋅α,解得1tan =α，︒=45α． ………………（5分） 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45．……………（6分） 解法二:此时，△BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积， 即200=∆BECS（2cm ）， ………………………………………………（3分）因为α=∠CBE ，所以αtan 21212⋅⋅=⋅⋅=∆BC CE BC S BEC，即200tan 200=α，解得1tan =α,︒=45α． …………………………………………（5分）所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45．…………（6分)(2）如图④，当︒=60α时，设上液面为BF ，因为︒<=∠6023arctan CBD ， 所以点F 在线段AD 上， …………………………………………(1分)此时︒=∠30ABF ，31030tan =︒⋅=AB AF ，=∆ABF S 315021=⋅⋅AF AB (2cm ）， …………………………（3分）剩余溶液的体积为33000203150=⨯(3cm ),…………………（4分）由题意,原来溶液的体积为80003cm ，因为3000330008000<-，所以倒出的溶液不满30003cm ． ……(5分）所以，要倒出不少于30003cm 的溶液,当︒=60α时，不能实现要求．…(6分）20．本题14分，第1小题7分,第2小题7分．（1）x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(22-=-+=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx ．……………………………………（3分）所以)(x f 的最小正周期是π=T ． ………………………（4分)由226222πππππ+≤-≤-k x k ,Z ∈k ， ……………………(6分) 得函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππk k (Z ∈k ）． ……（7分) (2）由2)(=C f ，得162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πC ， …………………………(1分)因为π<<C 0，所以611626πππ<-<-C ， 所以262ππ=-C ，3π=C ． ………………………………（3分） 在△ABC 中，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=， …………(4分）得ab b a ab b a3)(3222-+=-+=，即2=ab , ………………(5分）所以△ABC 的面积2323221sin 21=⨯⨯==C ab S ． …………(7分）21．本题14分,第1小题6分,第2小题8分． (1）解法一：函数x xa a k x f --⋅=)(的定义域为R ，因为)(x f 是奇函数,所以01)0(=-=k f ，1=k ．…………………………………………………………（3分） 当1=k 时,x xa a x f --=)(,)()(x f a a x f x x -=-=--，)(x f 是奇函数．所以，所求k的值为1．…………………………………………………………(6分）解法二：函数x xa a k x f --⋅=)(的定义域为R ,由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， …………………………………（2分) 即x x x xa k a a ak ⋅-=-⋅--，0))(1(=+--x x a a k ， ………………………（4分）因为0>+-x xa a，所以，1=k ．……………………………………………（6分）(2）由（1),x xa a x f --=)(，任取1x ,R ∈2x ,且21x x <，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---=-+--2121221111)()()()()(21x x x x x x x x a a a a a a ax f x f ,因为1>a ，21x x <，所以021<-x x a a,又01121>++x x a，所以0)()(21<-x f x f , 即)()(21x f x f <，所以函数)(x f 在R上是单调递增函数． ………………（4分)（注：也可以这样解答：1>a ，xa y =在R 上是增函数，xxa ay ⎪⎭⎫⎝⎛==-1在R 上是减函数，则xa y --=在R 上是增函数,所以x xa ax f --=)(在R 上是增函数．） 由0)12()(2<-+x f x f ,得)12()(2--<x f x f ，即)21()(2x f x f -<, ……(6分) 所以x x212-<，即0122<-+x x ，解得)21,21(+---∈x ．…………(8分）22．本题16分,第1小题4分,第2小题6分，第3小题6分．（1）由题意，12-=-p ，2=p , ………………………………………………（2分）故抛物线方程为y x 42=． …………………………………………………………(4分）（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，直线t kx y l +=:，则⎩⎨⎧-==+⇒=--⇒⎩⎨⎧=+=.4,40444,212122t x x k x x t kx x y x t kx y …………………………（2分） 于是，2212122121)()1(t x x kt x x k y y xx OB OA ++++=+=⋅t t 42-=, ……（4分） 因为点),0(t T 是定点，所以t 是定值，所以OB OA ⋅是定值，此定值为t t 42-．…(6分）(3）)1,0(T ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,200x x B ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14,200x x TB ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==λλλλ4,200x x TB AT ，故)41,(200x x A ⋅-+-λλλ, ………………（2分）因为点A 在抛物线y x 42=上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=41420202x x λλλ，得λ420=x ．……（4分）又T 为抛物线的焦点，故24412||)(2020++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=++==x x y y AB f B A λλλ 21++=λλ,即21)(++=λλλf (0>λ)． ………………………………（6分）23．本题18分,第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）i i i z 71)43)(1(2+-=++=，i z 683+-=,i z 2144--=．…………（4分)（算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）（2）由已知1(1)n n zz +=+⋅i ,得11)1(z i z n n ⋅+=-， ………………（1分）当14+=k n 时，k k n i i )4()1()1(41-=+=+-, ………………………（3分) 令k)4(-=λ，则1z z n ⋅=λ,即则存在非零实数k )4(-=λ（*N ∈k )，使得1n OZ OZ λ=． …………（5分）所以，当14+=k n （*N ∈k ）时,n OZ ∥1OZ ． ……………………(6分）（3）因为n n n z z i z4)1(44-=+=+，故n n x x 44-=+，n n y y 44-=+, …………(2分） 所以n n n n y x y x 1644=++, …………………………………………………………（3分) 又1211=y x ，722-=y x ,4833-=y x ，2844=y x ，…………………………（4分) )()(8877665544332211100100332211y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +++++++=++++ )(100100999998989797y x y x y x y x +++++1002521161161)2848712(-=--⋅+--=， ……………………………………（7分)所以数列}{nn y x 的前100项之和为10021-．……………………………………（8分)。

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=+-+∞→221lim22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-+=R x x x xB ,011，则=B A __________．3．若函数xa x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________．4．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________． 5．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的 角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________． 7．已知31cos 75sin sin 75cos =︒-︒αα，则=+︒)230cos(α_________．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后 输出的S 值是_____________．9．过点)2,1(P 的直线与圆422=+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值 为___________．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是__________．11．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ．2=AD ，1=BC ，P 是腰AB上的动点，则||PD PC +的最小值为__________．12．已知*N ∈n ，若4022221123221=+++++---n n n n n n n C C C C ，则=n ________．开始1←k ，0←S2015≤k)1(1++←k k S S1+←k k输出S结束是否13．对一切实数x ，令][x 为不大于x 的最大整数，则函数][)(x x f =称为取整函数．若⎪⎭⎫⎝⎛=10n f a n ，*N ∈n ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则=20102009S __________．14．对于函数)(x f y =，若存在定义域D 内某个区间],[b a ，使得)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭．如果函数||1)(x kxx f +=（0≠k ）在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是______________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”是“2πϕ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面； ④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外． 其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．已知圆M 过定点)0,2(，圆心M 在抛物线x y 42=上运动，若y 轴截圆M 所得的弦为AB ，则||AB 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．118．已知数列}{n a 的通项公式为113294--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a ，则数列}{n a （ ）A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，能实现要求吗？请说明理由．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知R ∈x ，设)cos sin ,cos 2(x x x m += ，)cos sin ,sin 3(x x x n -= ，记函数n m x f⋅=)(． （1）求函数)(x f 取最小值时x 的取值范围；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，求△ABC 的面积S 的最大值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数xxa a k x f --⋅=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数．（1）求常数k 的值； （2）若38)1(=f ，且函数)(2)(22x mf a a xg xx -+=-在区间),1[∞+上的最小值为2-，求实数m 的值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点)0,1(-F 的距离与P 到定直线4-=x 的距离之比为21． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若轨迹C 上的动点N 到定点)0,(m M （20<<m ）的距离的最小值为1，求m 的值．（3）设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、OB 的斜率之积等于43-，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．α ① ②设复数n n n y i x z ⋅+=，其中n x R ∈n y ，*N ∈n ，i 为虚数单位，n n z i z ⋅+=+)1(1，i z 431+=，复数n z 在复平面上对应的点为n Z ．（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由； （3）求数列}{n n y x ⋅的前102项之和．2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷（理）参考答案及评分标准一．填空题（每题4分，满分56分） 1．212．},01{R ∈<≤-x x x （或)0,1[-） 3．31 4．25．510arccos 6．π33 7．978．201620159．43 10．4111．3 12．4 13．100 14．),1()1,(∞+--∞二．选择题（每题5分，满分20分）15．B 16．C 17．A 18．C三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出，α ︒60 AB C D A B CD③ ④E F此时α最大． …………………………………………………………………（2分） 解法一：此时，梯形ABED 的面积等于400202=（2cm ）， ………………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 2030-=DE ，AD AB DE S ABED ⋅+=)(21， 即40020)tan 2060(21=⋅-⋅α，解得1tan =α，︒=45α． ………………（5分） 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． ……………（6分） 解法二：此时，△BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积，即200=∆BEC S （2cm ）， ……………………………………………………（3分）因为α=∠CBE ，所以αtan 21212⋅⋅=⋅⋅=∆BC CE BC S BEC ，即200tan 200=α， 解得1tan =α，︒=45α． …………………………………………（5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． …………（6分） （2）如图④，当︒=60α时，设上液面为BF ，因为︒<=∠6023arctan CBD ， 所以点F 在线段AD 上， ………………………………………………………（1分） 此时︒=∠30ABF ，31030tan =︒⋅=AB AF ，=∆ABF S 315021=⋅⋅AF AB （2cm ）， ………………………………………（3分） 剩余溶液的体积为33000203150=⨯（3cm ）， …………………………（4分）由题意，原来溶液的体积为80003cm ，因为3000330008000<-，所以倒出的溶液不满30003cm ． …………（5分）所以，要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，不能实现要求．……（6分）20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．（1）x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(22-=-+=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx ． ………………………………………………………（3分）当)(x f 取最小值时，162sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，2262πππ-=-k x ，Z ∈k ，……（6分） 所以，所求x 的取值集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ． …………………（7分） （2）由2)(=C f ，得162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πC ， …………………………（1分） 因为π<<C 0，所以611626πππ<-<-C ，所以262ππ=-C ，3π=C ． ……………………………………（3分）在△ABC 中，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=， ………………（4分） 得ab ab b a ≥-+=223，即3≤ab ， …………………………（5分） 所以△ABC 的面积43323321sin 21=⨯⨯≤=C ab S ， ……………（6分） 因此△ABC 的面积S 的最大值为433． ……………………（7分） 21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分． （1）解法一：函数xxaa k x f --⋅=)(的定义域为R ，因为)(x f 是奇函数，所以01)0(=-=k f ，1=k ． …………………………………………………………（3分）当1=k 时，xxaa x f --=)(，)()(x f a ax f x x-=-=--，)(x f 是奇函数．所以，所求k 的值为1． ………………………………………………………（6分） 解法二：函数xxaa k x f --⋅=)(的定义域为R ，由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， ……………………………………（2分） 即x x x xa k a a ak ⋅-=-⋅--，0))(1(=+--x x a a k ， …………………………（4分）因为0>+-xxaa ，所以，1=k ． ………………………………………………（6分）（2）由38)1(=f ，得381=-a a ，解得3=a 或31-=a （舍）． …………（2分）所以)33(233)(22x x x xm x g -----=，令x x t --=33，则t 是关于x 的增函数，38313=-≥t ，2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，……………（2分） 当38<m 时，则当38=t 时，2238238)(2min -=+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛=m x g ，解得1225=m ； ………………………………………………………………（5分） 当38≥m 时，则当m t =时，22)(2min -=-=m x g ，2±=m （舍去）．……（8分） 综上，1225=m ．（本行不写不扣分，每讨论一种情况正确得3分）22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．（1）设),(y x P ，由题意，21|4|)1(22=+++x y x ， ……………………………（2分）化简得124322=+y x ， ………………（3分）所以，动点P 的轨迹C 的方程为13422=+y x ． ………………………………（4分） （2）设),(y x N ，则3241413)()(||2222222++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=m mx x x m x y m x MN)1(3)4(4122m m x -+-=，22≤≤-x ． ………………………………（2分） ①当240≤<m ，即210≤<m 时，当m x 4=时，2||MN 取最小值1)1(32=-m ，解得322=m ，36=m ，此时2364>=x ，故舍去． …………………（4分） ②当24>m ，即221<<m 时，当2=x 时，2||MN 取最小值1442=+-m m ， 解得1=m ，或3=m （舍）． …………………………………………………（6分） 综上，1=m ．（3）解法一：设),(11y x A ，),(22y x B ，则由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ，（1分）221221)()(||y y x x AB -+-=，因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）①当21x x =时，则四边形11B ABA 为矩形，12y y -=，则432121=x y ，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=413432121x x ，解得221=x ，2321=y ， ||||4||||111y x B A AB S =⋅=34=． ……………………………………（3分） ②当21x x ≠时，直线AB 的方向向量为),(1212y y x x d --=，直线AB 的方程为0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y ，原点O 到直线AB 的距离为2122121221)()(||y y x x y x y x d -+--=所以，△AOB 的面积||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆， 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积AOB S S ∆=4||21221y x y x -=，……（4分） 所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．解法二：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B --， 由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分）因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分） 直线OA 的方程为011=-y x x y ，点B 到直线OA 的距离21211221||yx y x y x d +-=，△1ABA 的面积||||21122111y x y x d AA S ABA -=⋅⋅=∆， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分） 所以， )2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ………………………………（6分） 解法三：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B -- 由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分）因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）△1ABA 的面积111211112111y x y x y x S ABA --=∆||1221y x y x -=， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分） 所以，所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）i i i z 71)43)(1(2+-=++=，i z 683+-=，i z 2144--=．…………（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）（2）若n OZ ∥1OZ ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1z z n ⋅=λ， 即),(),(11y x y x n n λ=， ……………………（3分）又n n z i z )1(1+=+，故11)1(z i z n n -+=，即λ=+-1)1(n i 为实数， ………………（5分）故1-n 为4的倍数，即k n 41=-，14+=k n ，N ∈k ． ……………………（6分）（3）因为n n n z z i z 4)1(44-=+=+，故n n x x 44-=+，n n y y 44-=+， …………（2分）所以n n n n y x y x 1644=++， ……………………………………………………………（3分） 又1211=y x ，722-=y x ，4833-=y x ，2844=y x ，)()(8877665544332211100100332211y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +++++++=++++ )(100100999998989797y x y x y x y x +++++1002521161161)2848712(-=--⋅+--=， …………………………………………（6分）而100112510110121216⨯==y x y x ，10022251021022716⨯-==y x y x ， ………………（7分）所以数列}{n n y x 的前102项之和为102100100100212721221+=⨯-⨯+-．………（8分）。

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=+-+∞→221lim 22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-+=R x x x xB ,011，则=B A __________． 3．若函数x a x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________． 4．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________． 5．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的 角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________．7．已知31cos 75sin sin 75cos =︒-︒αα，则=+︒)230cos(α_________．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后 输出的S 值是_____________．9．过点)2,1(P 的直线与圆422=+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值为___________．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是__________． 11．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ．2=AD ，1=BC ，P 是腰AB上的动点，则||+的最小值为__________．12．已知*N ∈n ，若4022221123221=+++++---n n n n n n n C C C C ，则=n ________．13．对一切实数x ，令][x 为不大于x 的最大整数，则函数][)(x x f =称为取整函数．若⎪⎭⎫⎝⎛=10n f a n ，*N ∈n ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则=20102009S __________．14．对于函数)(x f y =，若存在定义域D 内某个区间],[b a ，使得)(x f y =在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭．如果函数||1)(x kxx f +=（0≠k ）在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是______________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”是“2πϕ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面； ④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外． 其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．已知圆M 过定点)0,2(，圆心M 在抛物线x y 42=上运动，若y 轴截圆M 所得的弦为AB ，则||AB 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．118．已知数列}{n a 的通项公式为113294--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a ，则数列}{n a （ ）A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，能实现要求吗？请说明理由．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知R ∈x ，设)cos sin ,cos 2(x x x m += ，)cos sin ,sin 3(x x x n -=，记函数n m x f⋅=)(．（1）求函数)(x f 取最小值时x 的取值范围；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，求△ABC 的面积S 的最大值． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数xxa a k x f --⋅=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数．（1）求常数k 的值； （2）若38)1(=f ，且函数)(2)(22x mf a a xg xx -+=-在区间),1[∞+上的最小值为2-，求实数m 的值．α ① ②22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点)0,1(-F 的距离与P 到定直线4-=x 的距离之比为21． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若轨迹C 上的动点N 到定点)0,(m M （20<<m ）的距离的最小值为1，求m 的值．（3）设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、OB 的斜率之积等于43-，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设复数n n n y i x z ⋅+=，其中n x R ∈n y ，*N ∈n ，i 为虚数单位，n n z i z ⋅+=+)1(1，i z 431+=，复数n z 在复平面上对应的点为n Z ．（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列}{n n y x ⋅的前102项之和．2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷（理）参考答案及评分标准一．填空题（每题4分，满分56分） 1．21 2．},01{R ∈<≤-x x x （或)0,1[-） 3．314．2 5．510arccos 6．π337．97 8．20162015 9．43 10．4111．3 12．4 13．100 14．),1()1,(∞+--∞二．选择题（每题5分，满分20分）15．B 16．C 17．A 18．C三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出，此时α最大． …………………………………………………………………（2分） 解法一：此时，梯形ABED 的面积等于400202=（2cm ）， ………………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 2030-=DE ，AD AB DE S ABED ⋅+=)(21， 即40020)tan 2060(21=⋅-⋅α，解得1tan =α，︒=45α． ………………（5分） 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． ……………（6分） 解法二：此时，△BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积，即200=∆BEC S （2cm ）， ……………………………………………………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 21212⋅⋅=⋅⋅=∆BC CE BC S BEC ，即200tan 200=α， 解得1tan =α，︒=45α． …………………………………………（5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． …………（6分）α ︒60 B C D CD③ ④E F（2）如图④，当︒=60α时，设上液面为BF ，因为︒<=∠6023arctanCBD ， 所以点F 在线段AD 上， ………………………………………………………（1分） 此时︒=∠30ABF ，31030tan =︒⋅=AB AF ，=∆ABF S 315021=⋅⋅AF AB （2cm ）， ………………………………………（3分） 剩余溶液的体积为33000203150=⨯（3cm ）， …………………………（4分） 由题意，原来溶液的体积为80003cm ，因为3000330008000<-，所以倒出的溶液不满30003cm ． …………（5分）所以，要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，不能实现要求．……（6分）20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．（1）x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(22-=-+=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx ． ………………………………………………………（3分）当)(x f 取最小值时，162sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，2262πππ-=-k x ，Z ∈k ，……（6分） 所以，所求x 的取值集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ． …………………（7分） （2）由2)(=C f ，得162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πC ， …………………………（1分） 因为π<<C 0，所以611626πππ<-<-C ， 所以262ππ=-C ，3π=C ． ……………………………………（3分）在△ABC 中，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=， ………………（4分） 得ab ab b a ≥-+=223，即3≤ab ， …………………………（5分） 所以△ABC 的面积43323321sin 21=⨯⨯≤=C ab S ， ……………（6分） 因此△ABC 的面积S 的最大值为433． ……………………（7分）21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．（1）解法一：函数x x a a k x f --⋅=)(的定义域为R ，因为)(x f 是奇函数，所以01)0(=-=k f ，1=k ． …………………………………………………………（3分）当1=k 时，x x a a x f --=)(，)()(x f a a x f x x -=-=--，)(x f 是奇函数． 所以，所求k 的值为1． ………………………………………………………（6分） 解法二：函数x x a a k x f --⋅=)(的定义域为R ，由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， ……………………………………（2分） 即x x x xa k a a ak ⋅-=-⋅--，0))(1(=+--x x a a k ， …………………………（4分）因为0>+-xxaa ，所以，1=k ． ………………………………………………（6分） （2）由38)1(=f ，得381=-a a ，解得3=a 或31-=a （舍）． …………（2分） 所以)33(233)(22x x x x m x g -----=，令xxt --=33，则t 是关于x 的增函数，38313=-≥t ，2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，……………（2分） 当38<m 时，则当38=t 时，2238238)(2min -=+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛=m x g ，解得1225=m ； ………………………………………………………………（5分） 当38≥m 时，则当m t =时，22)(2min -=-=m x g ，2±=m （舍去）．……（8分） 综上，1225=m ．（本行不写不扣分，每讨论一种情况正确得3分）22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．（1）设),(y x P ，由题意，21|4|)1(22=+++x y x ， ……………………………（2分） 化简得124322=+y x ， ………………（3分）所以，动点P 的轨迹C 的方程为13422=+y x ． ………………………………（4分） （2）设),(y x N ，则3241413)()(||2222222++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=m mx x x m x y m x MN)1(3)4(4122m m x -+-=，22≤≤-x ． ………………………………（2分） ①当240≤<m ，即210≤<m 时，当m x 4=时，2||MN 取最小值1)1(32=-m ，解得322=m ，36=m ，此时2364>=x ，故舍去． …………………（4分） ②当24>m ，即221<<m 时，当2=x 时，2||MN 取最小值1442=+-m m ， 解得1=m ，或3=m （舍）． …………………………………………………（6分） 综上，1=m ．（3）解法一：设),(11y x A ，),(22y x B ，则由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ，（1分） 221221)()(||y y x x AB -+-=，因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）①当21x x =时，则四边形11B ABA 为矩形，12y y -=，则432121=x y ， 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=413432121x x ，解得221=x ，2321=y ， ||||4||||111y x B A AB S =⋅=34=． ……………………………………（3分）②当21x x ≠时，直线AB 的方向向量为),(1212y y x x d --=，直线AB 的方程为 0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y ，原点O 到直线AB 的距离为2122121221)()(||y y x x y x y x d -+--=所以，△AOB 的面积||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆， 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积AOB S S ∆=4||21221y x y x -=，……（4分） 所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ． 所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分）解法二：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B --， 由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分） 因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）直线OA 的方程为011=-y x x y ，点B 到直线OA 的距离21211221||yx y x y x d +-=，△1ABA 的面积||||21122111y x y x d AA S ABA -=⋅⋅=∆， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分） 所以， )2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ………………………………（6分） 解法三：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B -- 由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分） 因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）△1ABA 的面积111211112111y x y x y x S ABA --=∆||1221y x y x -=， ……………………（3分）根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分） 所以，所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分）23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）i i i z 71)43)(1(2+-=++=，i z 683+-=，i z 2144--=．…………（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）（2）若n OZ ∥1OZ ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1z z n ⋅=λ， 即),(),(11y x y x n n λ=， ……………………（3分） 又n n z i z )1(1+=+，故11)1(z i z n n -+=，即λ=+-1)1(n i 为实数， ………………（5分）故1-n 为4的倍数，即k n 41=-，14+=k n ，N ∈k ． ……………………（6分） （3）因为n n n z z i z 4)1(44-=+=+，故n n x x 44-=+，n n y y 44-=+， …………（2分） 所以n n n n y x y x 1644=++， ……………………………………………………………（3分） 又1211=y x ，722-=y x ，4833-=y x ，2844=y x ，)()(8877665544332211100100332211y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +++++++=++++ )(100100999998989797y x y x y x y x +++++1002521161161)2848712(-=--⋅+--=， …………………………………………（6分）而100112510110121216⨯==y x y x ，10022251021022716⨯-==y x y x ， ………………（7分） 所以数列}{n n y x 的前102项之和为102100100100212721221+=⨯-⨯+-．………（8分）。

2016年上海市嘉定区高考一模试卷数学文一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分.1.22 1lim 22n n n n →∞+-+= . 解析：分式的分子分母同时除以n 2，利用极限的性质能求出结果.22 1lim22n n n n →∞+-+=2211lim 122n n n n→∞+-+=12.答案：12. 2.设集合A={x|x 2-2x ＞0，x ∈R}，B={x|11x x +-≤0，x ∈R}，则A ∩B= . 解析：集合A={x|x 2-2x ＞0，x ∈R}={x|x ＜0或x ＞2，x ∈R}， B={x|11x x +-≤0 ， x ∈R}={x|-1≤x ＜1，x ∈R}， ∴A ∩B={x|-1≤x ＜0，x ∈R}(或[-1，0)). 答案：{x|-1≤x ＜0，x ∈R}(或[-1，0))3.若函数f(x)=a x(a ＞0且a ≠1)的反函数的图象过点(3，-1)，则a= . 解析：∵函数f(x)=a x(a ＞0且a ≠1)的反函数的图象过点(3，-1)， ∴3=a -1，解得a=13. 答案：134.已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是 . 解析：∵一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，∴15(6+7+8+9+m)=8，解得m=10， ∴这组数据的方差S 2=15[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2.答案：25.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为棱A 1B 1的中点，则异面直线AM 与B 1C 所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示).解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为2，则A(2，0，0)，M(2，1，2)，B 1(2，2，2)，C(0，2，0)，AM u u u u r=(0，1，2)，1B C uuu u r =(-2，0，2)，设异面直线AM 与B 1C所成的角为θ，11cos ||AM B C AM B C θ⋅==⋅u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r . ∴θ.∴异面直线AM 与B 1C 所成的角为. 答案：.6.若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为 .解析：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l ，则πrl=2π，∴l=2，∴圆锥的高∴圆锥的体积V=13πr 2.答案：3. 7.已知sin cos 21αα=0，则sin2α= . 解析：∵sin cos 21αα=0，∴sin α-2cos α=0， ∴sin 2α+cos 2α=5cos 2α=1，解得cos α=， 当cos α=-5时，sin α=2cos α=-5，∴sin2α=2sin αcos α=2×(-5)×(-5)=45， 当cos α时，sin α=2cos α，∴sin2α=2sin αcos α=2=45，故sin2α=45.答案：45.8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是 .解析：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤2015，S=112⨯，k=2.满足条件k≤2015，S=112⨯+123⨯，k=3.…满足条件k≤2015，S=112⨯+123⨯+…+120142015⨯，k=2015.满足条件k≤2015，S=112⨯+123⨯+…+120142015⨯+120152016⨯，k=2016.不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值.由于S=112⨯+123⨯+…+120142015⨯+120152016⨯=1-12+12-13+13-…+12015-12016=1-1 2016=2015 2016.答案：2015 2016.9.过点P(1，2)的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则实数a的值为.解析：当a=0时，直线ax-y+1=0，即直线y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点P(1，2)，故有所求的直线为x=1，此时，不满足所求直线与圆x2+y2=4相切，故a≠0.故要求的直线的斜率为1a ，要求的直线的方程为 y-2=1a(x-1)，即 x-ay+2a-1=0. 再根据圆心O 到x-ay+2a-1=0的距离等于半径2=2，求得a=-34. 答案：-34. 10.从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是 .解析：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛， 基本事件总数n=25C =10，选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：p=22259110C C -=.答案：910. 11.设PA u u u r =(k ，12)，PB u u u r =(4 ，5)，PC u u u r=(10，k)，则k= 时，点A ，B ，C 共线.解析：∵PA u u u r =(k ，12)，PB u u u r =(4，5)，PC u u u r=(10，k)， ∴AB u u u r =(4-k ，-7)，BC u u u r=(6，k-5)；又AB u u u r 与BC u u u r共线，∴(4-k)(k-5)-(-7)×6=0，即k 2-9k-22=0，解得k=-2或k=11；∴当k=-2或11时，点A ，B ，C 共线. 答案：-2或11.12.已知122112222n n n n n C C C --+++⋯+n=80，则n= .解析：因为1221112222n n n nn n C C C --+++⋯++=(1+2)n=80+1=81，所以3n=81，∴n=4. 答案：413.设数列{a n }满足a 1=2，a n+1=1-1na ，记数列前n 项的积为P n ，则P 2016的值为 . 解析：∵1=2，a n+1=1-1n a ，∴a 2=12，a 3=-1，a 4=2，…， ∴a n+3=a n .a 1a 2a 3=-1.∴数列前2016项的积P 2016=(-1)672=1.14.对于函数y=f(x)，若存在定义域D 内某个区间[a ，b]，使得y=f(x)在[a ，b]上的值域也为[a ，b]，则称函数y=f(x)在定义域D 上封闭，如果函数f(x)=41xx-+在R 上封闭，则b-a= .解析：∵f(x)=41x x -+=[)()44014401x x x x ⎧-+∈+∞⎪⎪+⎨⎪+∈-∞⎪-⎩，，，，，，设0≤x 1＜x 2， 则f(x 1)-f(x 2)=()()()2112411x x x x -++＞0，故f(x)在[0，+∞)上是单调递减函数，又∵f(x)=41xx+，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数. 所以f(x)在R 上是单调递减函数，而x ∈[0，+∞)时，f(x)值域为(-4，0]，x ∈(-∞.0)时，f(x)值域为(0，4) 要使得y=f(x)在[a ，b]上的值域也为[a ，b]，则a ＜0＜b ，由()()f a b fb a ==⎧⎪⎨⎪⎩，，得441441b a a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-+=⎪+⎩，，得33a b =-⎧⎨=⎩，，∴b-a=6.答案：6二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分. 15.“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=2π”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若φ=2π时，y=sin(x+φ)=cosx 为偶函数； 若y=sin(x+φ)为偶函数，则φ=2π+k π，k ∈Z ；∴“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=2π”的必要不充分条件.16.下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外.其中错误命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S-ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确.答案：C17.若椭圆x2+my2=1的焦距为2，则m的值是( )A.1 2B.1C.2D.4解析：∵椭圆x 2+my 2=1的焦距为2，∴，解得m=12. 故选：A18.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则8967a a a a ++等于( )A.6B.7C.8D.9解析：∵3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴a 3=3a 1+2a 2， ∴q 2-2q-3=0，∴q=3，q=-1(舍去).∴238917186715161a a a q a q q q a a a q a q q+++==+++ =q 2=32=9.故选：D三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液.现将此容器倾斜一定角度α(图②)，且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；(2)现需要倒出不少于3000cm 3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由. 解析：(1)根据题意画出图形，结合图形，过C 作CF ∥BP ，交AD 所在直线于F ，且点F 在线段AD 上，用tan α表示出DF 、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值；(2)当α=60°时，过C 作CF ∥BP ，交AB 所在直线于F ，则点F 在线段AB 上，溶液纵截面为Rt △CBF ，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论. 答案：(1)根据题意，画出图形，如图所示，过C 作CF ∥BP ，交AD 所在直线于F ，在Rt △CDF 中，∠FCD=α，CD=20cm ，DF=20tan α， 且点F 在线段AD 上，AF=30-20tan α， 此时容器内能容纳的溶液量为： S 梯形ABCF ·20=()2AF BC AB +⋅·20=(30-20tan α+30)·20·10=2000(6-2tan α)(cm 3)；而容器中原有溶液量为20×20×20=8000(cm 3)，令2000(6-2tan α)≥8000，解得tan α≤1，所以α≤45°， 即α的最大角为45°时，溶液不会溢出； (2)如图所示，当α=60°时，过C 作CF ∥BP ，交AB 所在直线于F ，在Rt △CBF 中，BC=30cm ，∠BCF=30°，cm ， ∴点F 在线段AB 上，故溶液纵截面为Rt △CBF ，∵S △ABF =12BC ·2，容器内溶液量为3，倒出的溶液量为3＜3000cm 3.∴不能实现要求.20.已知x ∈R ，设m u r =(2cosx ， sinx+cosx)，n r sinx ，sinx-cosx)，记函数f(x)=m u r ·n r.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(C)=2，，a+b=3，求△ABC 的面积S.解析：(1)利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得f(x)，再利用三角函数的图象与性质即可得出；(2)利用三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出.答案：(1)∵f(x)=m u r ·n r 2x-cos 26π).∴f(x)的最小正周期是T=π.由2k π-2π≤2x-6π≤2k π+2π，k ∈Z ， 得函数f(x)的单调递增区间是[k π-6π ， k π+3π](k ∈Z).(2)由f(C)=2，得sin(2C-6π)=1，∵0＜C ＜π，所以-6π＜2C-6π＜116π，∴2C-6π=2π，C=3π.在△ABC 中，由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ， 得3=a 2+b 2-ab=(a+b)2-3ab ，即ab=2，∴△ABC 的面积S=12absinC=12×2.21.设函数f(x)=k ·a x-a -x(a ＞0且a ≠1)是奇函数. (1)求常数k 的值；(2)设a ＞1，试判断函数y=f(x)在R 上的单调性，并解关于x 的不等式f(x 2)+f(2x-1)＜0. 解析：(1)可看出f(x)的定义域为R ，而f(x)又是奇函数，从而有f(0)=0，这样可求出k=1； (2)f(x)=a x-a -x，根据单调性的定义，设任意的x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，然后作差，通分，提取公因式，便可说明f(x 1)＜f(x 2)，这便得出f(x)在R 上单调递增，从而根据f(x)为奇函数和增函数便可由原不等式得到x 2＜1-2x ，解该不等式便可得出原不等式的解集. 答案：(1)函数f(x)的定义域为R ，f(x)是奇函数；∴f(0)=k-1=0；∴k=1； (2)由(1)，f(x)=ax-a-x ，设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则：f(x 1)-f(x 2)=()()()1122121211x x x x x x x x a a a a a a a--+-⎛⎫ ⎪⎝--=-⎭+； ∵a ＞1，x 1＜x 2；ax 1-ax 2＜0，又1+1ax 1+x 2＞0；∴f(x 1)-f(x 2)＜0； 即f(x 1)＜f(x 2)；∴函数f(x)在R 上是单调递增函数；由f(x 2)+f(2x-1)＜0，得f(x2)＜-f(2x-1)； 即f(x 2)＜f(1-2x)；f(x)在R 上单调递增；∴x 2＜1-2x ，即x 2+2x-1＜0；解得＜x ＜；∴原不等式的解为). 22.已知抛物线x 2=2py ，准线方程为y+1=0，直线l 过定点T(0，t)(t ＞0)且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点. (1)求抛物线的方程；(2)OA u u u r ·OB u u u r是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当t=1时，设AT u u u r =λ·TB u u r，记|AB|=f(λ)，求f(λ)的解析式.解析：(1)根据准线方程便可得到-2p =-1，从而可以求出p ，这便得到抛物线方程为x 2=4y ； (2)可设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，可得到直线l 方程y=kx+t ，联立抛物线方程并消去y 得到x 2-4kx-4t=0，从而得到121221244x x k x x t y y t ⎧+=⎪=-⎨⎪=⎩，，，这样即可得到OA u u u r ·OB u u u r =t 2-4t ，根据题意知t 为定值，即得出OA u u u r ·OB u u u r 为定值，定值为t 2-4t ；(3)可得到T(0，1)，可设B(x 0，204x )，根据条件AT u u u r =λTB u u r 便可得到A(-λx 0，1+λ-λ·204x )，而根据点A 在抛物线x 2=4y 上便可得到x 02=4λ，而T 又是抛物线的焦点，从而有f(λ)=|AB|=y A +y B +2，带入A ，B 的纵坐标及x 02=4λ便可得出f(λ)的解析式. 答案：(1)由题意，-2p=-1，p=2； ∴抛物线方程为x 2=4y ；(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线l ：y=kx+t ，则： 由24y kx t x y=+⎧⎨=⎩，得，x 2-4kx-4t=0；∴121244x x k x x t +=⎧⎨=-⎩，； ∴y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=-4k 2t+4k 2t+t 2=t 2；∴OA u u u r ·OB u u u r =x 1x 2+y 1y 2=t 2-4t ；因为点T(0，t)是定点，所以t 是定值，所以OA u u u r ·OB u u u r 是定值，此定值为t 2-4t ；(3)T(0，1)，设B(x0，x024)，则：TB u u r =(x 0，2014x -)，AT u u u r =λTB u u r =(λx 0 ，λ·204x -λ)，故A(-λx 0 ，1+λ-λ·204x )； 因为点A 在抛物线x 2=4y 上，所以λ2x 02=4(1+λ-λ·204x )，得x 02=4λ； 又T 为抛物线的焦点，故f(λ)=|AB|=y A +y B +2=(1+λ-λ·204x )+204x +2=λ+1λ+2； 即f(λ)=λ+1λ+2(λ＞0). 23.设复数z n =x n +i ·yn ，其中x n y n ∈R ，n ∈N*，i 为虚数单位，z n+1=(1+i)·z n ，z 1=3+4i ，复数z n 在复平面上对应的点为Z n .(1)求复数z 2，z 3，z 4的值；(2)证明：当n=4k+1(k ∈N*)时，n OZ u u u u r ∥1OZ uuu u r ；(3)求数列{x n ·y n }的前100项之和.解析：(1)利用z n+1=(1+i)·z n ，z 1=3+4i ，即可得出；(2)由已知z n+1=(1+i)·z n ，得z n =(1+i)n-1·z 1，当n=4k+1时，(1+i)n-1=(-4)k，即可证明.(3)由z n+4=(1+i)4z n =-4z n ，可得x n+4=-4x n ，y n+4=-4y n ，x n+4y n+4=16x n y n ，即可得出.答案：(1)∵z n+1=(1+i)·z n ，z 1=3+4i ，∴z 2=(1+i)(3+4i)=-1+7i ，z 3=-8+6i ，z 4=-14-2i.(2)由已知z n+1=(1+i)·z n ，得z n =(1+i)n-1·z 1，当n=4k+1时，(1+i)n-1=(1+i)4k =(-4)k ，令λ=(-4)k ，则z n =λ·z 1， 即则存在非零实数λ=(-4)k(k ∈N*)，使得n OZ u u u u r =λ1OZ uuu u r . ∴当n=4k+1(k ∈N*)时，n OZ u u u u r ∥1OZ uuu u r .(3)∵z n+4=(1+i)4z n =-4z n ，故x n+4=-4x n ，y n+4=-4y n ，∴x n+4y n+4=16x n y n ，又x 1y 1=12，x 2y 2=-7，x 3y 3=-48，x 4y 4=28，∴x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3+…+x 100y 100=(x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3+x 4y 4)+(x 5y 5+x 6y 6+x 7y 7+x 8y 8)+…+(x 97y 97+x 98y 98+x 99y 99+x 100y 100)=(12-7-48+28)·25116116--=1-2100， ∴数列{x n y n }的前100项之和为1-2100.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三年级教学质量检测数学试卷（文科) 2016。

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(满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页,23道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写(非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题(本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ,则A B =_________．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ,则点P的坐标是___________．4．计算:=++∞→222)1(C P lim n nn n __________． 5．在平面直角坐标系内，直线:l 022=-+y x ,将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为___________．6．已知0sin 2sin =+θθ,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2,则=θ2tan _____________．7．设定义在R 上的偶函数)(x f y =,当0≥x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中,有一定点)1,1(A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点,则抛物线C 的方程为_____________．9．已知x、y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤,02,4,y y x x y 则yx z +=2的最小值为____________．10．已知在62⎪⎭⎫ ⎝⎛+x k x (k 为常数）的展开式中，3x 项的系数等于160，则=k _____________．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点,则以这三点为顶点的三角形的面积等于21的概率是______________．12．已知数列}{na 满足n n a aa n 3221+=+++ (*N ∈n )，则22122312n a a a n +++=+__________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较,他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________． 14．对于函数bx ax x f +=2)(,其中0>b ，若)(x f 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为_____________．二．选择题(本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“0sin =α”是“1cos =α”的（ )．（A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件 （C)充分必要条件 （D)既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（ )．(A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；(B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等,则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π；（D ）若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则1l ∥2l 。

2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理科）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效． 2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码． 3．本试卷共有23道试卷，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若i ii z +=11（i 为虚数单位），则=z ___________． 2．已知集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ，},01{R ∈<+=x x x B ，则=B A _____________． 3．函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最小正周期是___________．4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________． 5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是__________________．6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的 值为_____________．7．小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）．8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的体积是________．9．点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________________．10．在△ABC 中，已知41tan =A ，53tan =B ，且△ABC 最大边的长为17，则△ABC 最小边的长为____________．11．将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）围成的三角形面积记为n S ，则=∞→n n S lim ___________．12．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0)()(=-⋅-c b c a ，则||c 的最大值是___________．13．观察下列算式：113=， 5323+=，119733++=，1917151343+++=，…………若某数3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m _______．14．设m 、R ∈n ，定义在区间],[n m 上的函数|)|4(log )(2x x f -=的值域是]2,0[，若关于t 的方程0121||=++⎪⎭⎫⎝⎛m t （R ∈t ）有实数解，则n m +的取值范围是___________．（第6题图）二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知R ∈x ，条件p ：x x <2，条件q ：11≥x，则p 是q 的…………………（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．以下说法错误的是………………………………………………………………………（ ） A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π17．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，cby ax cby ax ++++=2211δ．有四个命题：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是……………………………………………………………（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④18．设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为……………………（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[-三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ． （1）求异面直线AB 与PC 所成角的大小；（2）求三棱锥ABC P -的表面积S ．P A B C21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：222||2||1||1OM OB OA ++22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知q pS S n n +=+1（*N ∈n ，p 、q 为常数），21=a ，12=a ，p q a 33-=．（1）求p 、q 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）是否存在正整数m ，n ，使得1221+<--+m m n n m S m S 成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(n m ；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设R ∈a ，函数x a x x x f 2||)(+-⋅=．（1）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值； （2）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；（3）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．上海市嘉定区2013届高三一模数学试卷（理科）参考答案与评分规范一．填空题（每小题4分，满分56分）1．i -2 2．}12{-<<-x x 3．π 4．25．⎥⎦⎤ ⎝⎛710,45 6．37 7．1511 8．2433R π 9．2412+=x y 10．2 11．2112．213．45 14．)2,1[二．选择题（每小题5分，满分20分）15．A 16．C 17．B 18．D 三．解答题 19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分）20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） （1）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ，连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ， 所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或 其补角）．…………（2分） 连结AG ，则522=+=CG AC AG ，……（3分）622=+=AG EA EG ， …………（4分）又22==PC AB ，所以2==FG EF ．…………（5分）在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7分） 故︒=∠120EFG ．所以异面直线AB 与PC 所成角的大小为︒60．…………（8分）（2）因为⊥PA 底面ABC ，所以AB PA ⊥，BC PA ⊥，AC PA ⊥， 又AC BC ⊥，所以⊥BC 平面PAC ，所以PC BC ⊥，…………（2分） 所以△ABC 、△PAB 、△PBC 、△PAC 都是直角三角形．……（3分） 所以，24421212121+=⋅+⋅+⋅+⋅=AC PA PC BC AB PA BC AC S ．……（6分） 21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）（1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b a ba ，…………（2分） 解得32=a ，232=b ．…………（5分）所以椭圆C 的方程为132322=+y x ．…………（6分） （2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b aa b b OM OB OA ．……（1分） G P ABFE同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫⎝⎛+=++=++b a b a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分） 所以2221212221)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=， 所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分） 综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）（1）由题意，得⎩⎨⎧+=+=q pS S q pa S 2312，……（2分）即⎩⎨⎧+=-++=q p p q q p 33323 ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221q p ．…………（4分） （2）由（1）知，2211+=+n n S S ① 当2≥n 时，2211+=-n n S S ②…………（1分） ①－②，得n n a a 211=+（2≥n ），又1221a a =，…………（3分）所以数列}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列．…………（4分）所以}{n a 的通项公式为221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a （*N ∈n ）．…………（6分）（3）由（2），得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114，…………（1分）由1221+<--+mm n n m S m S ，得122211421141+<-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m n n m m ，即12222)4(42)4(+<-⋅--⋅-m m nn m m ， 即12122)4(2+>-⋅-mn m ．因为012>+m，所以22)4(>⋅-n m ， 所以4<m 且422)4(21+<⋅-<+m nm ， （*）因为*N ∈m ，所以1=m 或2或3．……………………（2分）当1=m 时，由（*）得8232<⨯<n，所以1=n ； …………（3分）当2=m 时，由（*）得12222<⨯<n ，所以1=n 或2； …………（4分） 当3=m 时，由（*）得2022<<n，所以2=n 或3或4． …………（5分） 综上可知，存在符合条件的正整数m 、n ，所有符合条件的有序整数对),(n m 为：)1,1(，)1,2(，)2,2(，)2,3(，)3,3(，)4,3(． …………（6分）23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）（1）当2=a ，]3,0[∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-≥=+-⋅=.20,4;2,2|2|)(22x x x x x x x x x f …（2分）作函数图像（图像略），可知函数)(x f 在区间]3,0[上是增函数，所以)(x f 的最大值为9)3(=f ．…………（4分）（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=.,)2(,,)2()(22a x x a x a x x a x x f ……（1分）①当a x ≥时，4)2(22)(22--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <-22， 所以)(x f 在),[∞+a 上单调递增．…………（3分）②当a x <时，4)2(22)(22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <+22，所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减．…………（5分） 综上，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ， 单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22．………………（6分） （3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．…………（2分） ②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t ．…………（5分） 令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ．…………（7分）所以，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛89,1．…………（8分）。

2016-2017学年度长宁、嘉定区高三第一次质量调研数学试卷一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分．1．设集合},1|2|{R ∈<-=x x x A ，集合Z =B ，则=B A _____________． 2．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）的最小正周期是π，则=ω____________． 3．设i 为虚数单位，在复平面上，复数2)2(3i -对应的点到原点的距离为__________．4．若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(，则实数=a __________． 5．已知n b a )3(+展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则=n ______． 6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有___________种． 7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm 、圆心角为︒270的扇形，则这个圆锥的体积为_____________3cm ．8．若数列}{n a 的所有项都是正数，且n n a a a n 3221+=+++（*N ∈n ），则=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→1321lim212n a a a n n n _____________．9．如图，在△ABC 中，︒=∠45B ，D 是BC 边上的一点， 5=AD ，7=AC ，3=DC ，则AB 的长为_____________．10．有以下命题：① 若函数)(x f 既是奇函数又是偶函数，则)(x f 的值域为}0{； ② 若函数)(x f 是偶函数，则)(|)(|x f x f =；③ 若函数)(x f 在其定义域内不是单调函数，则)(x f 不存在反函数； ④ 若函数)(x f 存在反函数)(1x f -，且)(1x f -与)(x f 不完全相同，则)(x f 与)(1x f -图像的公共点必在直线x y =上．其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号）．11．设向量)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，其中O 为坐标原点，0>a ，0>b ，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值为____________．12．如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点 的最短路线的长为__________cm ．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．“2<x ”是“24x <”的……………………………………………………………（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．若无穷等差数列}{n a 的首项01<a ，公差0>d ，}{n a 的前n 项和为n S ，则以下结论中一定正确的是……………………………………………………………………………（ ）（A ）n S 单调递增 （B ）n S 单调递减 （C ）n S 有最小值 （D ）n S 有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使23cos sin =+αα； （2）直线2π-=x 是函数x y sin =图象的一条对称轴；（3）)cos(cos x y =（R ∈x ）的值域是]1,1[cos ；（4）若α，β都是第一象限角，且βα>，则βαtan tan >．其中正确命题的序号为……………………………………………………………………（ ）（A ）（1）（2） （B ）（2）（3） （C ）（3）（4） （D ）（1）（4）16．如果对一切正实数x ，y ，不等式yx a x y 9sin cos 42-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）⎥⎦⎤⎝⎛∞-34, （B ）),3[∞+ （C ）]22,22[- （D ）]3,3[-三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ．（1）求三棱锥BCD A -的体积；（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且72cos 22sin 82=-+A CB ． （1）求角A 的大小； （2）若3=a ，3=+cb ，求b 和c 的值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域ODC 开挖成一个池塘．如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为)2,1(，曲线OD 是函数2ax y =图像的一部分，过边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数b kx y +=（0>k ）的图像，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，四边形MABN为绿化风景区．（1）求证：28k b =-；（2）设点P 的横坐标为t ，① 用t 表示M ，N 两点的坐标；② 将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数)(t S S =， 并求S 的最大值．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数3329)(+⋅-=x x a x f ．（1）若1=a ，]1,0[∈x ，求)(x f 的值域； （2）当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的最小值)(a h ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：① 3>>m n ；② 当)(a h 的定义域为],[n m 时，其值域为],[22n m ．若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知无穷数列}{n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：a a =1，11-=+n n n a a rS ，其中1≠a ，常数r N ∈．（1）求证：n n a a -+2是一个定值；（2）若数列}{n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*N ∈n ，都有n T n a a =+成立，则称}{n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列}{n a 是各项均为有理数的等差数列，132-⋅=n n c （*N ∈n ），问：数列}{n c 中的所有项是否都是数列}{n a 中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．参考答案与评分标准1．【解析】|x ﹣2|＜1，即﹣1＜x ﹣2＜1，解得1＜x ＜3，即A=（1，3）， 集合B=Z ， 则A ∩B={2}， 故答案为：{2}2．【解析】∵⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）， ∴T=2|πω｜　=π，∴ω=2． 故答案是：2．3．【解析】复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．4．【解析】函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图象经过点（4，1）， 即函数a x x f ++=)1(log )(2的图象经过点（1，4）， ∴4=log 2（1+1）+a ∴4=1+a ， a=3．故答案为：3．5．已知n b a )3(+展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则=n ______． 【解析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：66．【解析】根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C 52C 52=100，②两人所选两门都相同的有为C 52=10种，都不同的种数为C 52C 32=30， 故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种． 故答案为60．7．【解析】设此圆锥的底面半径为r ，由题意，得： 2πr=π×2， 解得r=． 故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr 2h=cm 3．故答案为：． 8．【解析】∵++…+=n 2+3n （n ∈N *），∴n=1时，=4，解得a 1=16．n ≥2时，且++…+=（n ﹣1）2+3（n ﹣1），可得：=2n +2，∴a n =4（n +1）2．=4（n +1）．∴（）==2．故答案为：2．9．【解析】在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．10．【解析】①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．11．【解析】向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：812．【解析】将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．13、【解析】由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．14．【解析】S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．15．【解析】（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．16．【解析】∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx +1﹣sin 2x ≤3，即asinx ﹣sin 2x ≤2恒成立． ①若sinx ＞0，a ≤sinx +恒成立，令sinx=t ，则0＜t ≤1，再令g （t ）=t +（0＜t ≤1），则a ≤g（t ）min ． 由于g ′（t ）=1﹣＜0，所以，g （t ）=t +在区间（0，]上单调递减， 因此，g （t ）min =g （1）=3，所以a ≤3；②若sinx ＜0，则a ≥sinx +恒成立，同理可得a ≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a ∈R ； 综合①②③，﹣3≤a ≤3． 故选：D ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．（1）因为⊥AB 平面BCD ，所以ADB ∠就是AD 与平面BCD 所成的角，即︒=∠30ADB ，且AB 为三棱锥BCD A -的高． …………………………（2分）由2==BC AB ，得32=BD ，又由CD BC ⊥，得22=CD ． …………（3分）所以，324213131=⋅⋅⋅⋅=⋅=∆AB CD BC h S V BCD ． ……………………（5分） （2）取AB 中点E ，连结EM ，EC ，则EM ∥AD ，所以EMC ∠就是异面直线AD 与CM 所成的角（或其补角）， ……………………………………（1分）在△EMC 中，2=EM ，3=CM ，5=EC ， …………………………（3分）所以，633225342cos 222=⋅⋅-+=⋅-+=∠CM EM EC CM EM EMC ， ……………………（6分） 即63arccos=∠EMC ． 所以异面直线AD 与CM 所成角的大小为63arccos． ……………………（7分）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由72cos 22sin82=-+A CB ，得01)cos(4cos 42=+++C B A ，……（2分） 因为π=++C B A ，所以A C B cos )cos(-=+，故0)1cos 2(2=-A ，…………（4分）所以，21cos =A ，3π=A ． …………………………………………………………（6分） （2）由余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=，得322=-+bc c b ， ………………（2分）33)(2=-+bc c b ，得2=bc ， ……………………………………（4分）由⎩⎨⎧==+,2,3bc c b 解得⎩⎨⎧==,1,2c b 或⎩⎨⎧==.2,1c b ………………………………（8分）19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分． （1）将)2,1(D 代入2ax y =得，2=a ，所以二次函数的解析式为22x y =（10≤≤x ）， …………………………（2分）由⎩⎨⎧=+=,2,2x y b kx y 得022=--b kx x ， …………………………………………（3分） 由题意，△082=+=b k ，所以82k b -=． ……………………………………（5分）（2）① 由（1），一次函数的解析式为82k kx y -=， …………………………（1分）因为直线过点)2,(2t t P ，所以8222k kt t -=，解得t k 4=，故22t b -=．…………（2分）所以一次函数为224t tx y -=，令0=y ，得2t x =，即⎪⎭⎫⎝⎛0,2t M ， ………………（3分）令2=y ，得⎪⎭⎫⎝⎛+=t t x 121，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,121t t N ． ………………………………（5分） ② 22||t MA -=，⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t NB 1212||， …………………………………………（1分） 当点N 与点B 重合时，22242=-⋅t t ，解得32-=t ，所以)1,32(-∈t ． 所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+⋅=t t AB NB MA t S 214|||)||(|21)(，)1,32(-∈t ．…………（4分） 因为221≥+t t ，当且仅当22=t 时取等号，所以当且仅当22=t （km ），时)(t S 取最大值)24(-（2km ）． ………………………………………………（6分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）当1=a 时，由3329+⋅-=x x y ，得2)13(2+-=x y ， ………………（2分）因为]1,0[∈x ，所以]3,1[3∈x，]6,2[∈y ． …………………………………（4分） （2）令t x=3，因为]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t ，函数)(x f 可化为2223)(32)(a a t at t t g -+-=+-=． …………………………………………（2分）① 当31<a 时，3292831)(a g a h -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=； …………………………………………（3分） ② 当331≤≤a 时，23)()(a a g a h -==； …………………………………………（4分） ③ 当3>a 时，a g a h 612)3()(-==． ……………………………………………（5分） 综上，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<-=.3.612,331,3,31,32928)(2a a a a a a a h ………………………………………………（6分） （3）因为3>>m n ，a a h 612)(-=为减函数，所以)(a h 在],[n m 上的值域为)](,)([m h n h ， …………………………………………（2分）又)(a h 在],[n m 上的值域为],[22n m ，所以，⎪⎩⎪⎨⎧==,)(,)(22n m h m n h 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-,612,61222n m m n …（3分） 两式相减，得))(()(622n m n m n m n m -+=-=-，因为3>>m n ，所以6=+n m ，而由3>>m n 可得6>+n m ，矛盾．所以，不存在满足条件的实数m 、n ． …………………………………………（6分）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）由11-=+n n n a a rS ①， 得1211-=+++n n n a a rS ②②－①，得)(211n n n n a a a ra -=+++， ………………………………（2分）因为0>n a ，所以r a a n n =-+2（定值）． ………………………………（4分）（2）当1=n 时，a a =1，故12-=aa ra ，ar a ra a 112+=+=， ……………（1分） 根据（1）知，数列}{n a 的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是r ，所以，r n a a n )1(12-+=-，nr aa n +=12， …………………………………………（3分） 当0>r 时，}{n a 的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列， …………（4分） 所以0=r ，所以a a n =-12，aa n 12=，所以，数列}{n a 是周期数列，其最小周期为2． ……………………………………………………（6分） （3）因为数列}{n a 是有理项等差数列，由a a =1，r a a +=12，r a a +=3，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++r a r a a 12，整理得0222=--ra a ， 得4162++=r r a （负根舍去），……………………………………………………（1分） 因为a 是有理数，所以162+r 是一个完全平方数，设2216k r =+（*N ∈k ），当0=r 时，1=a （舍去）． ……………………………………………………（2分）当0>r 时，由2216k r =+，得16))((=+-r k r k ， 由于r ，*N ∈k ，所以只有3=r ，5=k 符合要求， …………………………（4分）此时2=a ，数列}{n a 的公差232==r d ，所以213+=n a n （*N ∈n ）．…………（6分) 对任意*N ∈n ，若132-⋅=n n c 是数列}{n a 中的项，令m n a c =，即213321+=⋅-m n ， 则31341-⋅=-n m ，1=n 时，1=m ，2=n 时，*311N ∉=m ，故2c 不是数列}{n a 中的项． …………………………………………………（8分）。

嘉定区2008学年度高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（每小题5分，满分60分）1．}31{≤≤-x x ；2．257；3．12-x （R x ∈）；4．2；5．π；6．π12；7．7；8．201； 9．7；10．1；11．41-；12．)}1,4(,)4,4{(-．二．选择题（每小题4分，满分16分） 13．D ；14．A ；15．C ；16．B ．三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 17．（本题满分12分）解：方程0522=+-x x 的根为i x 21±=，……（4分） 因为z 在复平面内所对应的点在第一象限，所以i z 21+=，所以⎩⎨⎧=+=-2cos 211sin 422θθa ，……（6分）解得21cos =θ，因为),0(πθ∈，所以3πθ=．……（8分）所以44341sin 4122=⋅+=+=θa ，2±=a ．……（11分）所以3πθ=，2±=a ．……（12分）18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 解：（1）连结AC ，因为⊥PA 平面ABCD ，所以PCA ∠为PC 与平面ABCD 所成的角……（2分） 由已知，2tan ==∠ACPAPCA ，而2=AC ， 所以4=PA ．……（3分）底面积3260sin 220=⋅⋅=S ，……（4分） 所以，四棱锥ABCD P -的体积3384323131=⋅⋅==Sh V ．……（6分） （2）连结BD ，交AC 于点O ，连结MO ，因为M 、O 分别为PA 、AC 的中点，所以MO ∥PC ，所以BMO ∠（或其补角）为异面直线BM 与PC 所成的角．……（8分） 在△BMO 中，3=BO ，22=BM ，5=MO ，……（10分） （以下由余弦定理，或说明△BMO 是直角三角形求得）46arcsin=∠BMO 或410arccos 或515arctan ．……（13分） 所以，异面直线BM 与PC 所成角的大小为46arcsin （或另外两个答案）．……（14分）MDCBAPO19．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） 解：（1）作AB MC ⊥，垂足为C ，由已知060=α，030=β，所以0120=∠ABM ，030=∠AMB所以4==AB BM ，060=∠MBC ，……（2分） 所以5.33260sin 0<=⋅=BM MC ， 所以该船有触礁的危险．……（4分） 设该船自B 向东航行至点D 有触礁危险， 则5.3=MD ，……（5分）在△MBC 中，4=BM ，2=BC ，32=MC ，5.0)32(5.322=-=CD ，所以，5.1=BD （km ）．……（7分）所以，该船自B 向东航行5.1km 会有触礁危险．……（8分） （2）设x CM =，在△MAB 中，由正弦定理得，MABBMAMB AB ∠=∠sin sin ， 即αβαcos )sin(4BM =-，)sin(cos 4βαα-=BM ，……（10分）而)sin(cos cos 4cos sin βαβαβ-=⋅=∠⋅=BM MBC BM x ，……（12分）所以，当5.3>x ，即27)sin(cos cos 4>-βαβα， 即87)sin(cos cos >-βαβα时，该船没有触礁危险．……（14分） 20．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） 解：（1）当1=a 时，1||)(2+-=x x x f⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<++=0,10,122x x x x x x ．作图（如右所示）……（4分） （2）当]2,1[∈x 时，12)(2-+-=a x ax x f ． 若0=a ，则1)(--=x x f 在区间]2,1[上是减函数，3)2()(-==f a g ．……（5分）若0≠a ，则141221)(2--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a x a x f ，)(x f 图像的对称轴是直线a x 21=． 当0<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数，36)2()(-==a f a g ．……（6分）β北 MB Cα 105-2 32 1 yxO -1 -3 1当1210<<a ，即21>a 时，)(x f 在区间]2,1[上是增函数， 23)1()(-==a f a g ．……（7分）当2211≤≤a ，即2141≤≤a 时，141221)(--=⎪⎭⎫⎝⎛=a a a f a g ，……（8分） 当221>a ，即410<<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数， 36)2()(-==a f a g ．……（9分）综上可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=2123214114124136)(a ，a a ，a a a ，a a g 当当当 ．……（10分）（3）当]2,1[∈x 时，112)(--+=xa ax x h ，在区间]2,1[上任取1x ，2x ，且21x x <，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-211211221212)(112112)()(x x a a x x x a ax x a ax x h x h 212112)12()(x x a x ax x x --⋅-=．……（12分）因为)(x h 在区间]2,1[上是增函数，所以0)()(12>-x h x h ，因为012>-x x ，021>x x ，所以0)12(21>--a x ax ，即1221->a x ax ， 当0=a 时，上面的不等式变为10->，即0=a 时结论成立．……（13分）当0>a 时，a a x x 1221->，由4121<<x x 得，112≤-a a ，解得10≤<a ，…（14分） 当0<a 时，a a x x 1221-<，由4121<<x x 得，412≥-a a ，解得021<≤-a ，（15分） 所以，实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21．……（16分）21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）解：（1）由题意得，n n n a a S +=22 ①，当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a ，……（1分）当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S ②， ①式减去②式得，12122---+-=n n n n n a a a a a于是，1212--+=-n n n n a a a a ，111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a ，……（2分）因为01>+-n n a a ，所以11=--n n a a ，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，……（3分） 所以{}n a 的通项公式为n a n =（*N n ∈）．……（4分）（2）设存在满足条件的正整数m ，则210052)1(2n n n >-+，10052>n， 2010>n ，……（6分）又2000{=M ，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，所以2010=m ，2012，…，2998均满足条件，它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．……（8分）设共有k 个满足条件的正整数，则2998)1(22010=-+k ，解得495=k ．……（10分） 所以，M 中满足条件的正整数m 存在，共有495个，m 的最小值为2010．……（12分）（3）设n n S u 1=，即)1(2+=n n u n ，……（15分）， 则)1(232221221+++⨯+⨯=+++n n u u u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211*********n n n ，其极限存在，且()21112lim lim 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++∞→∞→n u u u n n n ．……（18分） 注：n n S c u =（c 为非零常数），121+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n S c n nu （c 为非零常数），1+⋅=n S c n nqu （c 为非零常数，1||0<<q ）等都能使()n n u u u +++∞→ 21lim 存在．按学生给出的答案酌情给分，写出数列{}n u 正确通项公式的得3分，求出极限再得3分．。