沪科版数学九年级下册22.1.3 比例的性质与黄金分割 学案

22.1.3黄金分割导学案一、学习目标通过本节课的学习，学生应该达到以下目标：1.掌握黄金分割的基本概念和应用；2.能够运用黄金分割判断物体的美感；3.能够运用黄金分割解决实际问题。

二、预习内容1.黄金分割的定义和计算方法；2.在数学中，黄金分割的应用；3.实际生活中黄金分割的应用。

三、课堂内容1. 黄金分割的概念和计算方法黄金分割也叫黄金比例，是指将一条线段分成两段，使其中一段与全长之比等于另一段与这一段之比。

其定义如下：假设将一条线段分成两部分 (AB+BC)，使它们的比例等于整条线段对较长的那部分 (AB) 的比例，那么就可以得到黄金分割。

黄金分割的计算方法如下：设 BC 长度为 x，则 AB 的长度为 AB = x + BC，于是可以列出以下方程：AB/BC = AB/(AB-BC) = (AB+x)/AB。

解方程可得：AB/BC = (1+√5)/2。

2. 黄金分割的应用在数学中，黄金分割有许多应用，下面列举一些：1.长方形的黄金分割长方形的长和宽的比例为黄金分割时，被认为是最美的宽度比例。

从这个比例可以推导出一些有趣的结论，比如宽高比为黄金分割时的长方形，其对角线与短边的比例也是黄金分割。

2.黄金分割线与黄金螺旋将一个一个正方形连接起来，使之沿逆时针方向不断扩大的图形是黄金螺旋。

而沿着黄金螺旋画出的黄金分割线条，是人们眼中视觉最美丽的线条。

3.黄金比例构造法黄金比例可以在各种建筑物、艺术品中使用，比如用于构建长方形画框、建筑的门窗和字型等。

3. 黄金分割在实际生活中的应用黄金分割在实际生活中也有许多应用，下面列举一些：1.室内设计在进行室内设计时，黄金分割可以用来确定家具的尺寸比例、照明灯具的规格等。

2.美学设计在设计广告、海报、包装材料等方面，可以运用黄金分割的比例来增强作品的美感。

3.自然科学黄金分割也被广泛运用于自然科学，比如海壳、蜗牛壳等有机体的外形构造中，表现出黄金比例的规律。

22.1 比例线段第3课时 比例的性质【学习目的】1、能熟记比例的根本性质和黄金分割．2、可以运用比例的性质进展简单的计算和证明.【学习重点】 比例的根本性质及其应用.【学习过程】一、 知识链接：1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答以下问题：〔1〕假如a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。

〔2〕2：3＝4：x ，那么：x = 。

〔3〕注意：概念的有序性线段的比有顺序性，a :b 和b :a 相等吗？请举例说明。

成比例线段也有顺序性，如dc b a =，能说成是b 、a 、c 、d 成比例吗？请举例说明。

二、 预习交流：P66-68 1.比例的根本性质是： 。

请写出推理过程：∴在两边同乘以bd 得，a b ⨯ =c d⨯ 2.合比性质:假如d c b a =，那么a b b += 请写出推理过程：∴在两边同时加上1得，a b + =c d + 两边分别通分得：考虑：请仿照上面的方法，证明“假如d c b a =，那么dd c b b a -=-〞． 3.等比性质：假如n n b a b a b a =⋯==2211，且b 1+b 2+…+b n ≠0,那么n n b b b a a a +⋯+++⋯++2121= 请写出推理过程：设nn b a b a b a =⋯==2211=k ，得a 1=b 1k ，a 2=b 2k ，…，a n =b n k,代入 n n b b b a a a +⋯+++⋯++2121，得nn b b b a a a +⋯+++⋯++2121=4.黄金分割〔1〕如图，把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 〔AC ＞BC 〕，且使CB AC= ，叫做称线段 AB 被点C 黄金分割，点 C 叫做黄金分割点。

〔2〕假设设AB=1，那么AC 是多少呢？如图：设线段AB 的长度为1个单位，AC 的长度为x 个单位，那么CB 的长度为 个单位。

22.1.3 比例线段
上课班级：第3课时比例的性质与黄金分割使用教师：
一、情境导入
解：
得2(
求证：
我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去
本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．
千克的糖水b千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖
千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，
已知正数a、b、c，且
a
b＋c
＝
b
c＋a
＝
c
a＋b
＝k，（且a＋b＋c≠0.）则
三、巩固练习
经历探究比例的性质和黄金分割的过程，体会类比的思想，提高学生探究、归。

22.1 比例线段第3课时 比例的性质【学习目标】1、能熟记比例的基本性质和黄金分割．2、能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.【学习重点】 比例的基本性质及其应用.【学习过程】一、 知识链接：1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：（1）如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。

（2）已知2：3＝4：x ，则： 。

（3）注意：概念的有序性线段的比有顺序性，和相等吗？请举例说明。

成比例线段也有顺序性，如dc b a =，能说成是b 、a 、c 、d 成比例吗？请举例说明。

二、 预习交流：P66-68 1.比例的基本性质是： 。

请写出推理过程：∴在两边同乘以得，a b ⨯ =c d⨯ 2.合比性质:如果d c b a =，那么a b b += 请写出推理过程：∴在两边同时加上1得，a b + c d 两边分别通分得：思考：请仿照上面的方法，证明“如果d c b a =，那么dd c b b a -=-”． 3.等比性质：如果n n b a b a b a =⋯==2211，且b 12+…≠0,那么n n b b b a a a +⋯+++⋯++2121= 请写出推理过程：设n n b a b a b a =⋯==2211，得a 11k ，a 22k ，…，,代入 nn b b b a a a +⋯+++⋯++2121，得nn b b b a a a +⋯+++⋯++2121=4.黄金分割（1）如图，把线段 分成两条线段 和 （ ＞），且使CB AC= ，叫做称线段 被点C 黄金分割，点 C 叫做黄金分割点。

（2）若设1，那么是多少呢？如图：设线段的长度为1个单位，的长度为x 个单位，则的长度为 个单位。

由CB AC AC AB=，可得 由比例的基本性质得，即210x x +-=解上述方程：由于 ＝215-≈ 0. 618 ，所以 长为 1 的线段的黄金分割点，大约在距一个端点的 0. 618 处。

比例线段【学习目标】1．认识相似图形，理解相似多边形及相似比等有关概念。

2．经历观察、操作相似图形的过程，进一步体会相似图形的本质特征和相似图形在现实生活中的应用。

3．了解两线段的比的概念，并会计算两线段的比。

4．了解成比例线段的意义，并会判断四条线段是否成比例。

5．掌握比例的基本性质、合比性质及等比性质。

6．会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题。

7．会运用比例的性质进行几何图形中的相关计算和证明。

8．认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念。

9．了解两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一基本事实证明方法。

10．能利用基本事实及推论解决简单的实际问题。

【学习重难点】重点：1．认识生活中相似的图形，学会画简单相似图形的方法。

2．线段的比和成比例线段的概念及其有关计算。

3．比例的基本性质、合比性质及等比性质。

4．比例性质的应用和黄金分割的概念。

5．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一基本事实和推论的简单应用。

难点：1．判断两个多边形是否是相似形。

2．会判断四个数或四条线段成比例。

3．运用比例基本性质解决各类问题。

4．运用黄金分割解决实际问题。

【学时安排】5学时【第一学时】【学习过程】一、预习导航（一）链接。

1．能够____________的两个图形是全等形，全等形中互相重合的边叫做____________，它们相等；互相重合的角叫____________，它们相等。

2．若△ABC和△DEF全等，则可以记作：△ABC≌△DEF，读作“△ABC全等于△DEF”，可得：AB=________，BC=________，AC=________，∠A=∠________，∠B=∠________，∠C=∠________。

（二）导读。

阅读课本解决下列问题。

1．观察下面两幅图说说它与全等图形有哪些区别？2．通过阅读课本，你能说说相似多边形及相似比的概念吗，相似多边形有哪些性质？二、合作探究1．如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）2．如图，矩形ABCD和矩形EBFG中，E是AB的中点，F是BC的中点，这两个矩形相似吗？若相似请求出它们的相似比，若不相似请说明理由。

22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.二、探究新知师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?生:两边同乘以bd,得到ad=bc.师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?生:能,两边同除以bd.师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.教师多媒体课件出示:师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论.师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.师:现在就请同学们算一下是否相等.学生计算后回答:相等.师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?学生思考,讨论.生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?教师提示:我们可以倒着推:要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答:能.师:怎么证明?生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.师:现在你知道怎么证明=了吗?生:知道了.师:请同学们想想有没有其他的证法?学生思考.教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?学生思考,讨论.师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生:能.师:怎样表示?生:a1=b1k,a2=b2k.师:你知道怎样证明了吗?生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.生1板书:证明:∵=(已知),两边同乘以得=.∴=(合比性质).两边同乘以得=.两边取倒数,得=,即=.生2板书:设==k,得a1=b1k,a2=b2k,代入得===k=.师:你能总结一下以上两种方法吗?生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+b n≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?生:能.教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+b n≠0,那么=.三、例题讲解【例1】已知:如图,在△ABC中,=.师:请同学们看这道题.学生读题思考.师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.学生举手.教师找一生回答第(1)题.生:因为=,由合比性质得=,即=.教师找另一生回答第(2)题.师:你是怎样考虑的呢?生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.学生证明后集体订正.教师多媒体课件出示:【例2】在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5 000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少?解:根据题意,得===.即=.又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),∴A'B'+B'C'+A'C'=12×5 000=60 000(cm)=600(m).答:实际△A'B'C'的周长是600 m.【例3】如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP 的长和的值.解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶(a-x),即x2+ax-a2=0.解方程,得x=a.因为线段长度不能是负值,所以取x=a.即AP=a.于是==≈0.618.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.四、巩固练习1.若6x=5y,则x∶y= .【答案】2.已知ab=cd,则= .【答案】3.若==,则= .【答案】4.已知x===,则x的值是.解析:∵x===,∴a2+ab=bc+c2. ①b2+bc=a2+ac. ②ac+c2=ab+b2③将③式减去②式得ab-bc=c2-a2. ④将②式减去①式得ac-ab=b2-c2. ⑤将③式减去①式得b2-a2=ac-bc. ⑥由④⑤⑥式都可得出a+b+c=0.∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.∴x====-1.【答案】-15.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为.解析:设AP=x,∴x2=(x+4)×4,x2-4x-16=0.∴x=2±2.又∵x>0,∴AP长取2+2.【答案】2+26.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是( )A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618AB【答案】C7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.又∵y∶z=4∶7,∴z=y.∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.五、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评.教学反思首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.。

22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割学习思路(纠错栏）学习目标:1、会运用比例的性质进行几何图形中的相关计算和证明.2、认识线段的黄金分割,理解黄金分割的概念.学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念。

预设难点：运用黄金分割解决实际问题。

☆预习导航☆一、链接请写出比例的基本性质、合比性质、等比性质?二、导读1、阅读课本上的例1和例2，体会一下合比性质和等比性质在实际问题中的应用，并谈谈你的感受。

2、阅读课本上的例3,回答下列问题：（1）叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？叫做线段的黄金分割点，叫做黄金数.☆合作探究☆学习思路（纠错栏）1、如图，已知线段AB的长度为1，点P是AB上的一点，且使AP2=AB·BP,求线段AP的长和AP：AB的值。

2、如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上的一点,且使AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值。

☆归纳反思☆本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？☆达标检测☆1、若点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则AB:AC= ；B C：AB= 。

2、若在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，=11BAAB=11CBBC1111CD DAC D D A==58且四边形A1B1C1D1的周长为80cm,求四边形ABCD的周长.EDACB3、已知，如图在 △ABC 中ECAE DB AD = 求证：（1）EC AC DB AB =； （2)EC AE AB AD =4、设点C 是长度为2cm 的线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为。

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