高中物理第六章万有引力理论的成就(基础)学案新人教版必修2

人教版高中物理必修2第六章第4节万有引力理论的成就学案(1)依据：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G Mmr 2＝4π2mr T 2.(2)结论：M ＝4π2r 3GT 2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r ，就可以计算出太阳的质量． 3．其他行星质量的计算(1)依据：绕行星做匀速圆周运动的卫星，同样满足G Mm r 2＝4π2mrT 2(M 为行星质量，m 为卫星质量)． (2)结论：M ＝4π2r 3GT 2，只要知道卫星绕行星运动的周期T 和半径r ，就可以计算出行星的质量． [再判断]1．地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力．(×) 2．绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力．(√) 3．利用地球绕太阳转动，可求地球的质量．(×) [后思考]若已知月球绕地球转动的周期T 和半径r ，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？图6-4-1【提示】 能求出地球的质量．利用G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，求出的质量M ＝4π2r 3GT 2为中心天体的质量．做圆周运动的月球的质量m 在等式中已消掉，所以根据月球的周期T 、公转半径r ，无法计算月球的质量．[合作探讨]1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图6-4-2)，迈出了人类征服宇宙的一大步．图6-4-2探讨1：宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m 的物体重力为F .怎样利用这个条件估测月球的质量？【答案】 设月球质量为M .半径为R ，则F ＝G Mm R 2，故M ＝FR 2Gm .探讨2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T ，怎样利用这个条件估测月球质量？ 【答案】 设月球质量为M ，半径为R ，由万有引力提供向心力，G Mm R 2＝m 4π2T 2R M ＝4π2R 3GT 2.[核心点击]1．计算地球质量的两种方法(1)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg ＝G M 地·m R 2解得地球质量为M 地＝R 2gG .(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即 GM 地·m 月r 2＝m 月⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT 2. 2．计算天体的密度若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M 43πR 3【答案】设飞船的质量为m，它做圆周运动的半径为行星半径R，则GMmR2＝m(2πT)2R，所以行星的质量为M＝4π2R3GT2，行星的平均密度ρ＝M43πR3＝4π2R3GT243πR3＝3πGT2，B项正确．3．如图6-4-3所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是()图6-4-3A．M＝4π2(R＋h)3Gt，ρ＝3π(R＋h)3Gt2R3B．M＝4π2(R＋h)3Gt2，ρ＝3π(R＋h)3Gt2R3C．M＝4π2t2(R＋h)3Gn2，ρ＝3πt2(R＋h)3Gn2R2D．M＝4π2n2(R＋h)3Gt2，ρ＝3πn2(R＋h)3Gt2R3【答案】对卫星有GMm(R＋h)2＝mω2(R＋h)，ω＝2πT＝2πnt，解得M＝4π2n2(R＋h)3Gt2，土星的体积V ＝43πR3，土星的密度ρ＝MV＝3πn2(R＋h)3Gt2R3，D正确．1．计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．2．要注意R、r的区别．一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．以地球为例，若绕近地轨道运行，则有R＝r.总结和归纳C专题知识模块2、发现未知天体1．海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．2．其他天体的发现近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．[再判断]1．海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√)2．科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析．(√)3．冥王星被称为“笔尖下发现的行星”．(×)[后思考]航天员翟志刚走出“神舟七号”飞船进行舱外活动时，要分析其运动状态，牛顿定律还适用吗？【答案】适用．牛顿将牛顿定律与万有引力定律综合，成功分析了天体运动问题．牛顿定律对物体在地面上的运动以及天体的运动都是适用的．[合作探讨]如图6-4-4所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动．图6-4-4探讨1：行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？【答案】由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．5．设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有()A．土星线速度的大小B．土星加速度的大小C．土星的质量D．太阳的质量【答案】根据已知数据可求：土星的线速度大小v＝2πRT、土星的加速度a＝4π2T2R、太阳的质量M＝4π2R3GT2，无法求土星的质量，所以选C.6．(多选)2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观．这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5 576万公里，为人类研究火星提供了最佳时机．如图6-4-5所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，则有()图6-4-5A．2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度B．2003年8月29日，火星的线速度小于地球的线速度C．2004年8月29日，火星又回到了该位置D．2004年8月29日，火星还没有回到该位置【答案】火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动G MmR2＝mv2R可得：v＝GMR，所以轨道半径较大的火星线速度小，B正确；火星轨道半径大，线速度小，火星运动的周期较大，所以一年后地球回到该统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为()图6-4-6A．1∶6 400B．1∶80C．80∶1 D．6 400∶1【答案】月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球和地球与O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，所以vv′＝rR＝Mm，线速度和质量成反比，正确答案为C.6．2010年诺贝尔物理学奖授予英国曼彻斯特大学科学家安德烈·海姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫，以表彰他们在石墨烯材料方面的卓越研究．石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它的发现使“太空电梯”缆线的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空．现假设有一“太空电梯”悬在赤道上空某处，相对地球静止，如图6-4-7所示，那么关于“太空电梯”，下列说法正确的是()图6-4-7A．“太空电梯”各点均处于完全失重状态B．“太空电梯”各点运行周期随高度增大而增大C．“太空电梯”上各点线速度与该点离地球球心距离的开方成反比D．“太空电梯”上各点线速度与该点离地球球心距离成正比【答案】“太空电梯”随地球一起自转，其周期相同，B错；根据v＝ωr可知C错，D对；“太空电梯”不处于完全失重状态，A错．D已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t ，地球半径为R (地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G .由以上条件可以求出( )图6-4-8A ．卫星运行的周期B ．卫星距地面的高度C ．卫星的质量D ．地球的质量【答案】 根据t 时间内转过的圆心角可求出周期T ；由G mM (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，可求出卫星距地面的高度h ；由GM ＝gR 2可求出地球质量M ，故A 、B 、D 正确．11．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m 1和m 2，二者相距为L ，求：(1)双星的轨道半径之比；(2)双星的线速度之比．【答案】 这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，所以两天体间距离L 应保持不变，二者做圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，设二者轨迹圆的圆心为O ，圆半径分别为R 1和R 2由万有引力提供向心力有G m 1m 2L 2＝m 1ω2R 1 ①。

高中物理《万有引力理论的成就》导学案新人教版必修21、了解地球表面物体的万有引力两个分力的大小关系，计算地球质量；2、行星绕恒星运动、卫星绕地球运动的共同点：万有引力提供向心力，会用万有引力定律计算天体的质量；3、了解万有引力定律在天文学上有重要应用。

复习：万有引力定律的表达式？G =？r表示什么？卡文迪许用扭秤测量了铅球间的作用力大小，得到了引力常量G的具体数值，进而计算了地球的质量。

从而使得万有引力定律进入定量计算领域，有了更实用的意义。

［问题探究］：预习过程中，思考以下问题：1、地面上物体的重力来源于地球施加的万有引力，但不等同于万有引力，这是因为。

专心听讲的你处于什么状态？受到了哪些力的作用？（无说明，以地面做为参考系）若以地轴为参考系，情况又该如何呢？（地球在自转，此时分析万有引力，而不分析重力，请画一个理想化的地球）万有引力与重力的关系如何？若你在地轴上，万有引力与重力的关系如何？若你不在地轴上，但地球自转可略，万有引力与重力的关系如何？实际中，只要物体在地面附近，均可认为万有引力等于重力。

2、设地面附近g=9、8m/s2，地球半径为R=6、4106m，G=6、6710-11N m2/Kg2。

试估算地球的质量。

(请保留一位有效数字)你能估算出地球的密度吗？（写出表达式即可）3、天体实际上做什么运动？为了简化问题，我们认为天体怎样运动？谁提供向心力？（对于天体，我们只分析万有引力，而不分析重力）描述匀速圆周运动的物理量有哪些？求an的表达式有哪些？4、m绕M匀速圆周运动，设两个天体间的距离r、绕行的周期为T、线速度为v，角速度是ω，试着写出以上物理量间的关系。

由此可估算出中心天体的质量还是环绕天体的质量？应用此方法能否求出环绕天体的质量？知地球绕太阳公转的轨迹的平均半径为1、51011m，G=6、6710-11N m2/Kg2。

试估算太阳的质量。

(请保留一位有效数字，注意隐含条件。

)5、如何由以上规律估算地球的质量？如何测月球的质量？m 绕M匀速圆周运动，知质量m、M，公转周期T，两个天体间的距离r，M的半径R。

《万有引力理论的成就》教学设计课题：高中物理（人教版）必修2第六章第4节万有引力理论的成就教学设计思路：学习万有引力理论的成就时，学生们已对万有引力定律有了一定的了解，关键是如何在具体的天文学问题中对万有引力定律应用，考虑到学生的认知基础及本节内容的重要性和认知难度，这节课需要一课时，重点放在根据已知条件求解天体质量。

新课改的主题是着力改变学生的学习方式，倡导学生合作参与、主动探究体验过程，以培养学生的创新精神和实践能力。

本节课突出强调在教学的过程中，让学生充分发挥其自主能动性，并认为在课堂教学中学生对知识、技能的获得及随之产生的能力提高、兴趣激发和个性发展都是学生对教学活动积极参与的结果。

教学活动中通过让学生参与解决问题，自主地找到求解天体质量的方法，充分显示出学生的“主体”作用。

教师的作用是对学生的这种参与进行启发、诱导、调整、激励，是教学的组织者、合作者和参与者，重在帮助学生进一步理解和运用“万有引力定律”来求解天体质量。

教学目标：一、知识与技能1.了解万有引力定律在天文学上的应用2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法二、过程与方法1.培养学生归纳总结建立模型的能力与方法2.通过求解太阳.地球的质量，培养学生理论联系实际的运用能力三、情感态度与价值观1.培养学生认真严禁的科学态度和大胆探究的心理品质2.体会物理学规律的简洁性和普适性，领略物理学的优美3.通过介绍用万有引力定律发现未知天体的过程，使学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点教学重点：应用万有引力定律计算地球、太阳等天体的质量教学难点：根据已知条件求解天体质量教学流程图：【课件展示】 一、科学真是迷人若不考虑地球自转的影响，地面上物体受到的重力等于地球对物体的吸引力即：RGMm mg 2=【教师】为什么不考虑地球自转的影响，地面上物体受到的重力等于地球对物体的吸引力？ 【课件展示】【教师】引导学生分析：物体放在地面上受到万有引力，万有引力分解为两个分力：重力G 和m 随地球自转的向心力Fn ,请同学们计算：赤道附近的50kg 的人受到重力和随地球自转的向心力Fn 分别是多少？G=mg=4900NN7.12m 2n ≈=R T F ）（π发现向心力Fn 远远小于重力G所以：不考虑(忽略)地球自转的影响时，万有引力近似等于重力。

高中物理万有引力理论的成就教案 新课标 人教版 必修2知识与技能1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2． 会用万有引力定律计算天体质量。

3．理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

过程与方法1．通过万有引力定律推导出计算天体质量的公式。

2．了解天体中的知识。

情感态度与价值观1．通过推导，巩固前面所学的知识，使自己更好地了解天体中的物理。

2．体会万有引力定律在人类认识自然界奥秘中的巨大作用，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点。

教学重点1． 万有引力定律在天文学上的应用，要掌握利用万有引力定律计算天体质量、天体密度的基本方法。

学好本节有利于对天体运行规律的认识，更有利于我们在今后学习人造卫星。

教学难点1．熟知并掌握计算天体质量的不同表达式，由于题目所给条各不相同，因此从多种表达式中挑选合适的形式较难，主要是对表达式的形式和含义不够熟悉，应理解并记住各种表达式。

教学过程新课教学一、由地面可测量求地球的质量1、思考：地面上物体的重力与地球对物体的引力是什么关系？分析：地球对物体的引力指向地心，一部分提供物体随地球自转所需向心力，另一部分为物体的重力。

只有在赤道和两极处物体的重力方向才指向地心，且赤道处物体的重力最小，两极处物体的重力最大；物体随地球自转的向心力很小，在计算时可近似认为物体的重力就等于地球对它的引力。

2、若不考虑地球自转的影响，地面上的物体的重力等于地球对它的引力。

mg ＝G 2Mm R g ＝G 2M R M ＝2gR G ρ＝M V ＝34g RG 例1、离地面某一高度h 处的重力加速度是地球表面重力加速度的 ,则高度h 是地球半径的 倍。

例2、假设火星和地球都是球体，火星的质量M火和地球的质量M 地之比M 火/M 地=p ，火星的半径R 火和地球的半径R 地之比R火/R 地=q ，那么火星表面处的重力加速度g 火和地球表面处的重力的加速度g 地之比等于[ ]A.p/q 2B.pq 2C.p/qD.pq二、由行星或卫星运动量求中心天体的质量行星或卫星绕中心天体做圆周运动的向心力由中心天体对它的引力提供，由此可列出方程。

人教版普通高中课程标准试验教科书物理必修2第六章第4节《万有引力理论的成就》教学设计一、教学分析1.教材分析本节课是《万有引力定律》之后的一节，内容是万有引力在天文学上的应用。

教材主要安排了“科学真是迷人”、“计算天体质量”和“发现未知天体”三个标题性内容。

学生通过这一节课的学习，一方面对万有引力的应用有所熟悉，另一方面通过卡文迪许“称量地球的质量”和海王星的发现，促进学生对物理学史的学习，并借此对学生进行情感、态度、价值观的学习。

2．教学过程概述本节课从宇宙中具有共同特点的几幅图片入手，对万有引力提供天体圆周运动的向心力进行了复习引入万有引力在天体运动中有什么应用呢？接下来，通过“假设你成为了一名宇航员，驾驶宇宙飞船……发现前方未知天体”，围绕“你有什么办法可以测出该天体的质量吗”全面展开教学。

密度的计算以及海王星的发现自然过渡和涉及。

在教材的处理上，既立足于教材，但不被教科书所限制，除了介绍教科书中重要的基本内容外，关注科技新进展和我国天文观测技术的发展，时代气息浓厚，反映课改精神，着力于培养学生的科学素养。

二、教学目标1.知识与技能（1）通过“计算天体质量”的学习，学会估算中数据的近似处理办法，学会运用万有引力定律计算天体的质量；（2）通过“发现未知天体”，“成功预测彗星的回归”等内容的学习，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2.过程与方法运用万有引力定律计算天体质量，体验运用万有引力解决问题的基本思路和方法。

3.情感、态度、价值观（1）通过“发现未知天体”、“成功预测彗星的回归”的学习，体会科学定律在人类探索未知世界的作用；（2）通过了解我国天文观测技术的发展，激发学习的兴趣，养成热爱科学的情感。

三、教学重点1.中心天体质量的计算；2. “称量地球的质量”和海王星的发现，加强物理学史的教学。

四、教学准备实验器材、PPT课件等多媒体教学设备五、教学过程（一）、图片欣赏复习引入问题一：已知地球的质量M =6.0×1024kg,地球半径R =6.4×103km.请根据以上数据计算:(1)在赤道表面上质量为60 kg 的物体所受的重力及万有引力(2)该物体随地球自转所需的向心力.根据以上计算结果，在忽略地球自转的影响的情况下，你能得出什么结论？设计思想:学生通过计算比较既巩固了已学的知识,又理解了为什么可以忽略地球自转的影响。

第4节 万有引力理论的成就1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用．2．了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路，会用万有引力定律计算天体的质量．(重点)3．理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法．(重点、难点)一、“科学真是迷人”1．依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝G Mm R2．2．结论：M ＝gR 2G ，只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量．二、计算天体的质量 1．太阳质量的计算(1)依据：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G Mm r 2＝4π2mr T2．(2)结论：M ＝4π2r 3GT 2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量．2．行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星的质量M ，公式是M ＝4π2r 3GT2．三、发现未知天体1．“笔尖下发现的行星”是指海王星．2．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位．判一判 (1)天王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的．( ) (2)海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的．( ) (3)哈雷彗星的“按时回归”证明了万有引力定律的正确性．( ) (4)牛顿被称作第一个称出地球质量的人．( )(5)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．( )(6)若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度，则可以求出太阳的质量．( ) 提示：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√做一做 科学家们推测，太阳系有颗行星和地球在同一轨道上．从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息我们可以推知( )A ．这颗行星的质量等于地球的质量B ．这颗行星的密度等于地球的密度C ．这颗行星的公转周期与地球公转周期相等D ．这颗行星的自转周期与地球自转周期相等提示：选C ．由题意知，该行星和地球一样绕太阳运行，且该行星、太阳、地球在同一直线上，说明该行星与地球有相同的公转周期，选项C 正确；但根据所给条件，无法进一步判断这颗行星与地球的自转周期、质量、密度是否相同．想一想 知道行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 能计算出行星的质量吗？ 提示：不能，由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可得G M r 2＝4π2T 2r ，可见公式无法推导m ，行星绕太阳运动的周期T 和半径r 与行星质量无关．天体质量和密度的计算1．计算天体的质量以地球质量的计算为例，介绍两种计算天体质量的方法：(1)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力．即mg ＝G M 地·m R 2，解得地球质量为M 地＝gR 2G ．(2)万有引力提供卫星绕地球做圆周运动的向心力．G Mm r 2＝⎩⎪⎨⎪⎧m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ⇒M ＝4π2r3GT 2，已知r 和T 可以求M ；m v 2r ⇒M ＝r v2G，已知r 和v 可以求M ；mω2r ⇒M ＝r 3ω2G，已知r 和ω可以求M ．2．计算天体的密度若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3将M ＝gR 2G 代入上式得：ρ＝3g4πGR将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得：ρ＝3πr 3GT 2R3当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT2．(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．明确计算出的是中心天体的质量．(2)要注意区分R 、r ．R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运行，则有R ＝r ．命题视角1 “环绕法”求中心天体的质量和密度设“嫦娥三号”卫星距月球表面的高度为h ，做匀速圆周运动的周期为T ．已知月球半径为R ，引力常量为G ．求：(1)月球的质量M ；(2)月球表面的重力加速度g ； (3)月球的密度ρ．[解析] (1)万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，则有G Mm （R ＋h ）2＝m 4π2T 2(R＋h )，得M ＝4π2（R ＋h ）3GT 2.(2)在月球表面，万有引力等于重力，则有G Mm 1R 2＝m 1g ，得g ＝4π2（R ＋h ）3R 2T 2.(3)由ρ＝M V ，V ＝43πR 3，得ρ＝3π（R ＋h ）3GT 2R 3.[答案] (1)4π2（R ＋h ）3GT 2 (2)4π2（R ＋h ）3R 2T 2 (3)3π（R ＋h ）3GT 2R 3命题视角2 “代换法”求天体的质量和密度为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M ．已知地球半径R ＝6．4×106m ，地球质量m ＝6×1024 kg ，日地中心的距离r ＝1．5×1011 m ，地球表面处的重力加速度g 取10 m/s 2，1年约为3．2×107 s ，试估算目前太阳的质量M ．(结果保留一位有效数字，引力常量未知)[思路点拨] 根据太阳对地球的引力提供地球绕太阳做圆周运动(近似处理)的向心力列出相关方程，再根据地球表面物体的重力等于引力推出Gm ＝gR 2，联立求解．本题中引力常量未知，需利用地球表面上的物体找关系．[解析] 设T 为地球绕太阳运动的周期，根据万有引力提供向心力，即G Mm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ①对地球表面的物体m ′，有m ′g ＝G mm ′R2②联立①②两式，解得M ＝4π2mr 3gR 2T 2，代入已知数据得M ≈2×1030 kg.[答案] 2×1030 kg求天体的密度，关键在于求天体的质量，而求天体质量时主要利用万有引力定律处理天体运动的两条思路，同时要注意对题目隐含条件的挖掘，如绕星体表面运行时有r ＝R 星以及地球的公转周期、自转周期等．【通关练习】1．已知万有引力常量G ，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是( )A ．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间tB ．发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期TC ．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D 和月球绕地球运行的周期T D ．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H 和卫星的周期T 解析：选B.根据选项A 的条件，可求出月球上的重力加速度g ，由g ＝GMR 2可以求出月球质量和月球半径的二次方比，M R 2＝gG ，无法求出密度，选项A 不正确；根据选项B 的条件，由GMm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，可求出月球质量和月球半径的三次方比，M R 3＝4π2GT 2，而月球密度为ρ＝M 43πR 3＝3M 4πR 3＝3πGT 2，选项B 正确；根据选项C 的条件，无法求月球的质量，因而求不出月球的密度，选项C 不正确；根据选项D 的条件，由GMm （R ＋H ）2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2(R ＋H )，可求出M （R ＋H ）3＝4π2GT 2，虽然知道H 的大小，但仍然无法求出月球质量和密度． 2．2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5．19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6．67×10－11N ·m 2/kg 2．以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( ) A ．5×109 kg/m 3 B ．5×1012 kg/m 3 C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G Mm R 2＝m 4π2R T 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πGT2，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m 3，C 正确．解决天体运动问题的基本思路1．解决天体运动问题的两条思路 (1)万有引力提供向心力G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝mω2r ＝mωv ＝m 4π2T 2r ． (2)黄金代换在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即GMmR 2＝mg ，从而得出GM ＝R 2g ．2．常用的几个关系式设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动 G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r ＝ma n ，可推导出：⎭⎪⎬⎪⎫v ＝GMrω＝ GM r3T ＝2π r 3GM a n＝G Mr2⇒当r 增大时⎩⎪⎨⎪⎧v 减小ω减小T 增大a n减小即：对于r 、v 、ω、T 、a n 五个量“一定四定”，“一变四变”．应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9．8 m/s 2等．3．双星模型 如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．4．双星模型的特点(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度都相同．(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r 1＋r 2＝L ． 命题视角1 运行天体的物理量的规律如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该小行星带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．太阳对各小行星的引力相同B ．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C ．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D ．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值[思路点拨] 解答本题的关键是能够根据太阳对行星的万有引力提供行星运动的向心力，列出相关动力学方程．[解析] 由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A 错误；太阳对小行星的万有引力提供小行星做圆周运动的向心力，由G Mm r2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 可得T ＝4π2r 3GM，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B 错误；由G Mm r 2＝ma 可得a ＝GMr 2，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C 正确；由G Mmr 2＝m v 2r 可得v＝GMr，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值小于地球公转的线速度值，选项D 错误．[答案] C命题视角2 宇宙中的双星系统宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起．设两者的质量分别为m 1和m 2，两者相距为L ．求：(1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度之比；(3)双星的角速度．[解析] 这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两星间距离L 不变，且两者做匀速圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，两者轨迹圆的圆心为O ，圆半径分别为R 1和R 2.由万有引力提供向心力，有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2R 1①G m 1m 2L2＝m 2ω2R 2② (1)由①②两式相除，得：R 1R 2＝m 2m 1.(2)因为v ＝ωR ， 所以v 1v 2＝R 1R 2＝m 2m 1.(3)由几何关系知R 1＋R 2＝L ③ 联立①②③式解得ω＝G （m 1＋m 2）L 3.[答案] (1)m 2∶m 1 (2)m 2∶m 1 (3)G （m 1＋m 2）L 3命题视角3 万有引力定律在宇宙探测中的应用如图为宇宙中一个恒星系的示意图，A 为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O 运行轨道近似为圆，天文学家观测到A 行星运动的轨道半径为R 0，周期为T 0．长期观测发现，A 行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知的行星B (假设其运行轨道与A 在同一平面内，且与A 的绕行方向相同)，它对A 行星的万有引力引起A 轨道的偏离．根据上述现象及假设，你能对未知行星B 的运动得到哪些定量的预测．[解析] 设中央恒星质量为M ，A 行星质量为m ，则有G Mm R 20＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02R 0. ①由题意可知：A 、B 相距最近时，B 对A 的影响最大，且每隔t 0时间相距最近，设B 行星周期为T B ，则有ωA t 0－ωB t 0＝2π，即t 0T 0－t 0T B ＝1，所以T B ＝t 0T 0t 0－T 0②设B 行星的质量为m 1，运动的轨道半径为R B ，则有 G Mm 1R 2B ＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT B 2R B③由①②③可得：R B ＝R 0·3⎝ ⎛⎭⎪⎫t 0t 0－T 02由圆周运动的运动学知识： 行星B 的角速度ωB ＝2πT B ＝2π（t 0－T 0）T 0t 0，行星B 的线速度v B ＝ωB R B ＝2πR 0（t 0－T 0）T 0t 0·3⎝ ⎛⎭⎪⎫t 0t 0－T 02. [答案] 预测行星B 的轨道半径、运行周期以及运行线速度和角速度【通关练习】1．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )A ．地球公转的周期大于火星公转的周期B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度解析：选D.根据G Mm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ＝m v 2r ＝ma n ＝mω2r 得，公转周期T ＝2πr 3GM，故地球公转的周期较小，选项A 错误；公转线速度v ＝GMr，故地球公转的线速度较大，选项B 错误；公转加速度a n ＝GMr 2，故地球公转的加速度较大，选项C 错误；公转角速度ω＝GMr 3，故地球公转的角速度较大，选项D 正确． 2．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1解析：选C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故T PT Q＝⎝⎛⎭⎫R P R Q 3＝⎝⎛⎭⎫1643＝81，C 正确．[随堂检测]1．(多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”．若已知引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2，能计算出( )A ．地球的质量M 地＝gR 2GB ．太阳的质量M 太＝4π2L 32GT 22 C ．月球的质量M 月＝4π2L 31GT 21 D ．月球、地球及太阳的密度解析：选AB.由G M 地m R 2＝mg 解得地球的质量M 地＝gR 2G ，选项A 正确；根据地球绕太阳运动的万有引力等于向心力G M 太M 地L 22＝M 地4π2T 22L 2，可得出太阳的质量M 太＝4π2L 32GT 22，选项B 正确；不能求出月球的质量和月球、太阳的密度，选项C 、D 错误．2．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120．该中心恒星与太阳的质量比约为( )A ．110B ．1C ．5D ．10解析：选B.行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G Mm r 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2可得M ＝4π2r 3GT 2，该中心恒星的质量与太阳的质量之比M M 日＝R 3R 3日·T 2日T2＝⎝⎛⎭⎫1203×365242≈1，故B 项正确．3．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G ．地球的密度为( )A ．3πGT 2g 0－g g 0B ．3πGT 2g 0g 0－gC ．3πGT 2D ．3πGT 2g 0g解析：选B.物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，地球质量M ＝43πR 3·ρ，以上三式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2（g 0－g ）.故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．4．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦星云时，发现了LMCX －3双星系统．它由可见星A 和不可见的暗星B 构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T ．(1)可见星A 所受暗星B 的引力F A 可等效为位于O 点处质量为m ′的星体(视为质点)对它的引力，试求m ′．设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m ′(用m 1、m 2表示)；(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式． 解析：(1)设A 、B 的圆轨道半径分别为r 1、r 2，由题意可知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有F A ＝m 1ω2r 1，F B ＝m 2ω2r 2，F A ＝F B ．设A 、B 之间的距离为r ，又r ＝r 1＋r 2，由上述各式得 r ＝m 1＋m 2m 2r 1①由万有引力定律，有F A ＝G m 1m 2r 2，将①式代入得F A ＝G m 1m 32（m 1＋m 2）2r 21．令F A ＝G m 1m ′r 21，比较可得m ′＝m 32（m 1＋m 2）2．② (2)由牛顿第二定律，有 G m 1m ′r 21＝m 1v 2r 1③ 又因可见星A 的轨道半径r 1＝v T 2π④ 由②③④式解得m 32（m 1＋m 2）2＝v 3T 2πG ．答案：见解析[课时作业]一、单项选择题1．天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运动周期，若知道比例系数G ，由此可推算出( )A ．行星的质量B ．行星的半径C ．恒星的质量D ．恒星的半径解析：选C.恒星对行星的引力为行星绕恒星运动提供向心力，即G Mm r 2＝mr 4π2T 2，故M ＝4π2r 3GT 2，恒星的质量M 可求出，选项C 正确，其他的几个物理量无法根据行星的轨道半径和运动周期求出，A 、B 、D 错误．2．若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比M 日M 地为( ) A ．R 3t 2r 3T 2B ．R 3T 2r 3t 2C ．R 3t 2r 2T3D ．R 2T 3r 2t3解析：选 A.无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为GMm r 2＝m 4π2T 2r ，即M ∝r 3T 2，所以M 日M 地＝R 3t 2r 3T2，选项A 正确．3．我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km ，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km ，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )A ．周期B ．角速度C ．线速度D ．向心加速度解析：选A.由万有引力定律有G Mm R 2＝mRω2＝m 4π2T 2R ＝m v 2R ＝ma ，可得T ＝2πR 3GM，ω＝GMR 3，v ＝GM R ，a ＝GMR2，又由题意可知，“高分四号”的轨道半径R 1大于“高分五号”的轨道半径R 2，故可知“高分五号”的周期较小，选项A 正确．4．通常我们把太阳系中行星自转一周的时间称为“1天”，绕太阳公转一周的时间称为“1年”．与地球相比较，金星“1天”的时间约是地球“1天”时间的243倍．由此可知( )A ．金星的半径约是地球半径的243倍B ．金星的质量约是地球质量的243倍C ．地球的自转角速度约是金星自转角速度的243倍D ．地球表面的重力加速度约是金星表面重力加速度的243倍解析：选C.金星自转一周的时间为“243天”，由ω＝2πT ，则地球的自转角速度约是金星自转角速度的243倍，选项C 正确；星球的半径、质量、表面重力加速度等根据所给数据无法计算，选项A 、B 、D 错误．5．天文学家如果观察到一个星球独自做圆周运动，那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的黑洞．星球与黑洞由万有引力的作用组成双星，以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，那么( )A ．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比B ．它们做圆周运动的周期与其质量成反比C ．它们做圆周运动的半径与其质量成反比D ．它们所受的向心力与其质量成反比解析：选C.由于该双星和它们的轨道中心总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即它们做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同，选项A 、B 错误；因为它们所受的向心力都是由它们之间的相互作用力来提供，所以大小必然相等，选项D 错误；由F ＝mω2r 可得r ∝1m，选项C 正确．6．“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道．观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示．已知引力常量为G ，由此可推导出月球的质量为( )A ．l 3G θt 2B ．l 3θGt 2C ．l Gθt 2D ．l 2G θt2解析：选A.根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r ＝lθ，根据转过的角度和时间，可得ω＝θt，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G Mm r 2＝mω2r ，由以上三式可得M ＝l 3G θt2.7．如图所示，若两颗人造卫星a 和b 均绕地球做匀速圆周运动，a 、b 到地心O 的距离分别为r 1、r 2，线速度大小分别为v 1、v 2，则( )A ．v 1v 2＝r 2r 1B ．v 1v 2＝r 1r 2C ．v 1v 2＝⎝⎛⎭⎫r 2r 12D ．v 1v 2＝⎝⎛⎭⎫r 1r 22解析：选A.由万有引力提供向心力可得G Mmr 2＝m v 2r ，即v ＝GMr ，所以有v 1v 2＝r 2r 1，故选项A 正确，B 、C 、D 错误．二、多项选择题8．要计算地球的质量，除已知的一些常识性数据外还需知道某些数据，下列给出的各组数据中，可以计算出地球质量的是( )A ．已知地球半径RB ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和线速度vC ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期TD ．已知地球公转的周期T ′及运转半径r ′解析：选ABC.设相对于地面静止的某一物体质量为m ，地球的质量为M ，根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得mg ＝G Mm R 2，解得地球质量为M ＝R 2gG ，所以选项A 正确．设卫星的质量为m ′，根据万有引力提供卫星运转的向心力，可得G Mm ′r 2＝m ′v 2r ，解得M ＝r v 2G ，故选项B 正确．再根据G Mm ′r 2＝m ′r ⎝⎛⎭⎫2πT 2，G Mm ′r 2＝m ′v 2r ，以上两式消去r 解得M ＝v 3T2πG ，故选项C 正确．若已知地球公转的周期T ′及运转半径r ′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以选项D 错误．9．2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )A ．密度B ．向心力的大小C ．离地高度D ．线速度的大小解析：选CD.卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有G Mm （R ＋h ）2＝m (2πT )2(R ＋h )，无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度及向心力大小，A 、B 项错误；又G Mm 0R 2＝m 0g ，联立两式可得h ＝3gR 2T 24π2－R ，C 项正确；由v ＝2πT (R ＋h )，可计算出卫星的线速度的大小，D 项正确．10．如图所示，a 、b 、c 是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a 和b 质量相等，且小于c 的质量，则( )A ．b 所需向心力最小B ．b 、c 的周期相同且大于a 的周期C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度D ．b 、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度解析：选ABD.因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由F 向＝GMmr 2知b 所受的引力最小，故A 对．由GMm r2＝mrω2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2得T ＝2πr 3GM，即人造地球卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b 、c 的周期相等且大于a 的周期，B 对．由GMm r 2＝ma ，得a ＝GMr 2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b 、c 的向心加速度大小相等且小于a 的向心加速度，C 错．由GMm r 2＝m v 2r，得v ＝GMr.即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b 、c 的线速度大小相等且小于a 的线速度，D 对．三、非选择题11．如果在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表记下了一昼夜的时间T ，然后用弹簧测力计测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%．试写出星球平均密度的估算表达式．解析：设星球的质量为M ，半径为R ，两极表面重力加速度为g ′，平均密度为ρ，砝码的质量为m .砝码在赤道上失重ΔF ＝(1－90%)mg ′＝0．1mg ′表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力 F n ＝ΔF ＝0．1mg ′而一昼夜的时间T 就是星球的自转周期．根据牛顿第二定律可得0．1mg ′＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ① 根据万有引力定律，星球两极表面的重力加速度为 g ′＝G M R 2＝43G πρR ②联立①②得，星球平均密度的估算式为ρ＝30πGT 2．答案：30πGT 212．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿水平方向以速度v 0从高h 处抛出一个小球，测得小球落地时的水平位移为x ，已知该星球半径为R ，引力常量为G ．求：(1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的质量； (3)该星球的密度．解析：(1)在星球上小球做平抛运动 x ＝v 0t h ＝12gt 2 联立解得g ＝2h v 20x2．(2)因为星球表面的重力等于万有引力： mg ＝G MmR2则星球的质量为：M ＝gR 2G ＝2h v 20R2x 2G．(3)星球的密度为：ρ＝M43πR 3＝3h v 202x 2GR π． 答案：见解析。

万有引力理论的成就班课教案【学习目标】1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用． 2．会用万有引力定律计算天体的质量．3．理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法．知识回顾：1. 行星绕太阳旋转什么提供了向心力？答：万有引力提供向心力2. 物体受到的重力是否就等于万有引力？答：不等于，稍微小于万有引力，）（重支支向万G F F F F =+= 3. 黄金代换公式，线速度，角速度，周期的表达式？答：2gR GM = R v m R Mm G 22= 22ωmR RMm G = 2224T mR R Mm G π=知识点一、万有引力与重力地球对物体的引力是物体受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是2F mr ω=向，式中的r 是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F ，它是引力F 的一个分力，如图所示，引力F 的另一个分力才是物体的重力mg ．在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r 不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力2cos F mR ωα=向(R 为地球半径)．由公式可见，随着纬度的升高，向心力将减小，作为引力的另一个分量，重力则随纬度的升高而增大，在两极处r ＝Rcos90°＝0，0F =向，所以在两极，引力等于重力．在赤道上，物体的重力、引力和向心力在一条直线上，方向相同，此时重力等于引力与向心力之差，即2Mmmg GF R=-向．此时重力最小．从图中还可以看出重力mg 一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg 才指向地心．(1)重力是由万有引力产生的，重力实际上是万有引力的一个分力，物体的重力随其纬度的增大而增大，并且除两极和赤道上外，重力并不指向地心．(2)物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的万有引力，即2Mmmg GR=． 例题1.已知地球的质量大约是M ＝6.0×1024kg ，地球的平均半径为R ＝6370 km ，地球表面的重力加速度g 取9.8 m/s 2．求：(1)地球表面一质量为10 kg 的物体受到的万有引力； (2)该物体受到的重力；(3)比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力． 【思路点拨】明白重力与万有引力的关系是解决问题的关键。

《万有引力理论的成就》【教材版本】《普通高中物理课程标准实验教科书物理（必修2）》第六章第四节，人民教育出版社。

【教材分析】本节教材简要介绍了万有引力理论在天文学上的重要应用，即“计算天体的质量”，“发现未知天体”。

教材首先通过“科学真是迷人”，在不考虑地球自转影响的情况下，认为地面上的物体所受重力和引力相等，进而得到只要知道了地球表面的重力加速度和引力常量，即可计算出地球的质量。

这种设计思路既给出了应用万有引力定律解决问题的一种思路，也展示了万有引力理论的魅力——“称量地球的质量”。

教材随后作为示范，以计算太阳质量为例，给出了运用万有引力定律计算天体质量的方法，思路清晰，表述规范。

最后从科学史的角度，简要介绍了亚当斯和勒维耶发现海王星的过程，都显示了万有引力理论的巨大成就。

因此，通过这一节课的学习，一方面要使学生了解运用万有引力定律解决问题的思路和方法，另一方面还要能体会到科学定律对人类探索未知世界的作用，激发学习兴趣和对科学的热爱之情。

【学情分析】学生在学习本节内容之前，已经学习了匀速圆周运动的相关知识，知道匀速圆周运动的向心力由合外力提供，初步掌握了利用牛顿第二定律和向心力表达式处理匀速圆周运动的方法。

在前一节又学习了万有引力定律，但不熟悉运用万有引力定律解决实际问题的思路和方法。

学生对天文学的研究方法相对比较陌生，不了解万有引力理论所取得的成就。

【教学设计思想】本教学设计倡导由学生自主积极建构知识，而教师的教学只是提供给学生一个学习的支架，促进学生理解知识，运用知识，建构和完善知识结构。

在本节课的教学中，有两条主线：一是引导和启发学生通过“称量地球的质量”，“计算天体的质量”的学习，明晰万有引力定律运用的思路和方法。

这是学生需要掌握的最基本的知识与技能。

并由此引出天体密度的估算方法。

二是通过“发现未知天体”、“成功预测彗星的回归”和“我国天文观测的成就”等史实材料的展示，提供给学生丰富的感性认识，让他们体会在科学技术高速发展的现时代，前辈科学家所做的巨大贡献和已经取得的成就的奠基作用，也让他们感觉到科学的美妙与科学定律发现的意义和价值，培养学生对科学的热爱。

4.万有引力理论的成就三维目标知识与技能1.了解地球表面物体的万有引力两个分力的大小关系，计算地球质量；2.行星绕恒星运动、卫星的运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力，会用万有引力定律计算天体的质量；3.了解万有引力定律在天文学上有重要应用。

过程与方法1.培养学生根据数据分析找到事物的主要因素和次要因素的一般过程和方法；2.培养学生根据事件的Z间相似性采取类比方法分析新问题的能力与方法；3.培养学生归纳总结建立模型的能力与方法。

情感态度与价值观1 .培养学生认真严禁的科学态度和大胆探究的心理品质:2.体会物理学规律的简洁性和普适性，领略物理学的优美。

教学重点1.地球质量的计算、太阳等中心天体质量的计算。

2.通过数据分析、类比思维、归纳总结建立模型来加深理解。

教学难点根据己有条件求中心天体的质量。

教学方法教师启发、引导，学生白主阅读、思考，讨论、交流学习成果。

教具准备多媒体课件教学过程［新课导入］天体之间的作用力主要是万有引力，引力常量的测出使万有引力定律有了实际意义，万有引力定律对天文学的发展起了很大的推动作用，揭示了天体运动的规律。

这节课我们将举例來学习万有引力定律在天文学上的应用。

［新课教学］一、“科学真是迷人”地球的质量是多少？这不可能用天平称量，但是可以通过万有引力定律来“称量”。

若不考虑地球自转的影响，地血上质量为刃的物体所受的重力飓等于地球对物体的引力,即式中〃是地球的质量，斤是地球的半径，也就是物体到地心的距离。

由此得到（黄金代换式）G地面的重力加速度g和地球半径斤在卡文迪许之前就已知道，一旦测得引力常量G就可以算出地球的质量必卡文迪许把他自己的实验说成是“称量地球的重量”，是不无道理的。

在实验室里测量儿个铅球Z间的作用力，就可以称量地球，这不能不说是一个科学奇迹。

难怪一位外行人、著名文学家马克•吐温满怀激情地说：“科学真是迷人。

根据零星的事实, 增添一点猜想，竟能赢得那么多收获！”二、计算天体的质量1.中心天体质量计算的公式应用万有引力定律还可以计算太阳等中心天体的质量。