动点问题+角度拔高

初中数学动点最值思路方法（下）所谓“动点问题”是指图形中有一个或多个动点，在线段、射线或者弧线上运动的一类开放性题目，而解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活地运用相关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题的基本思路．数学压轴题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向，加强了对几何图形运动变化的考核，从变化的角度来研究三角形、四边形、函数图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究手段和方法来探究图形性质及变化．让学生经历探索的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，把运动观点、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想有机地结合起来．目录八、四边形中的动点问题 (3)九、图形面积的定值动点 (4)十、图形面积的比值动点． (19)十一、图形的重叠面积动点． (31)十二、图形面积的最值动点 (43)十三、函数中的动点问题 (59)八、四边形中的动点问题【典型例题1】难度★★★★【解题思路】【答案解析】解：九、图形面积的定值动点【典型例题1】难度★★★【解题思路】【答案解析】解：【典型例题2】难度★★★【答案解析】解：【典型例题3】难度★★★【解题思路】【答案解析】解：【典型例题4】难度★★★【答案解析】解：【总结】此类题型题应先找出未知量与已知量的关系。

利用已知量来表示未知量，列出方程求解；其中要注意因为动点引起的分类讨论是许多问题容易遗漏的．【典型例题5】难度★★★【解题思路】由菱形性质，可求得点B的坐标，进而求得直线BC的解析式，根据待定系数法可求出抛物线的函数表达式，再根据面积相等即可求得点P的坐标．【答案解析】解：【典型例题6】难度★★★【答案解析】解：【典型例题7】难度★★★【解题思路】解：【答案解析】解：【典型例题8】难度★★★【答案解析】解：【典型例题9】难度★★★【答案解析】解：【典型例题10】难度★★★【答案解析】解：十、图形面积的比值动点．【典型例题1】难度★★★【解题思路】通过面积比值找出动点的移动规律，并确定动点位置，增强对所学知识的运用能力和分析能力．【答案解析】解：【典型例题2】难度★★★【答案解析】解：【典型例题3】难度★★★【解题思路】首先要根据直线平分多边形OABCDE的面积，确定直线解析式，然后把所给的点分别代入，即可求出答案．【答案解析】解：【典型例题4】难度★★★【答案解析】解：【典型例题5】难度★★★【解题思路】【答案解析】【典型例题6】难度★★★【答案解析】【典型例题7】难度★★★【解题思路】【答案解析】【典型例题8】难度★★★★【答案解析】【总结】注意用代数式表示图形面积的方法以及求坐标过程中方程思想与整体思想的应用．【典型例题9】难度★★★★【答案解析】【典型例题10】难度★★★★【答案解析】十一、图形的重叠面积动点．【典型例题1】难度★★【解题思路】把一个图形整体沿一直线方向把移动，会到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．【答案解析】【典型例题2】难度★★【解题思路】【答案解析】【典型例题3】难度★★★【解题思路】【答案解析】【典型例题4】难度★★★【解题思路】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．【答案解析】【典型例题5】难度★★★【解题思路】【答案解析】【典型例题6】难度★★★【解题思路】【答案解析】【典型例题7】难度★★★【解题思路】【答案解析】【典型例题8】难度★★★【答案解析】【典型例题9】难度★★★【答案解析】【典型例题10】难度★★★【答案解析】【典型例题1】难度★★【解题思路】【答案解析】【典型例题2】难度★★★【答案解析】【总结】解这类问题关键是要将函数问题转化为方程问题，利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．【典型例题3】难度★★★【解题思路】【答案解析】【典型例题4】难度★★★【答案解析】【典型例题5】难度★★★【解题思路】【答案解析】【典型例题6】难度★★★【答案解析】【典型例题7】难度★★★★【解题思路】【答案解析】。

数学动点问题实用解题技巧总结动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。

下面是小编为大家整理的关于数学动点问题解题技巧，希望对您有所帮助!动点问题解题技巧归纳解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解。

1、仔细读题,分析给定条件中哪些量是运动的,哪些量是不动的.针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论.针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系。

2、画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系.如果没有静止状态,通过比例、相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

3、做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况。

动点问题解题技巧1.数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数。

2.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。

这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a-b;向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3.数轴是数形结合的.产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

例1.已知数轴上有A、B、C三点，分别代表-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位?⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点;若不能，请说明理由。

龙源期刊网 中考数学压轴题中的“动点”问题的分析及对策
作者：李艳汕
来源：《数学大世界·上旬刊》2019年第09期
【摘要】本文针对动点问题展开了分析和对策的探讨，培养学生动手实验、探索发现、猜想验证和自主学习的能力，有效地帮助学生理解问题、探索问题和解决问题，有助于培养学生利用数学结合思想处理问题的习惯，有助于帮助学生理解数学问题的本质，能够真正提高学生对数学的理解、加深对知识的掌握，让“动点问题”真正动起来。

【关键词】中考数学；压轴题；“动点”问题
数学学科中的“动点问题”主要是指在数学题的题设图形里有一个或者多个“动点”且该动点在其线段、弧线或者射线等上面的位置是运动变化的一类开放性的数学题目，也就是从变化和动态的角度来探究三角形、四边形与函数图像等之间的变换关系。

通过对图形中的图形、对称性以及动点变化规律的研究来探究各种图形的性质与特征。

在解决这类数学题目的过程中通常需要空间思维能力与逻辑推理能力的发挥与运用。

动点问题所有题型解题技巧摘要：1.动点问题概述2.动点问题分类与解题思路a.直线动点问题b.圆动点问题c.曲线动点问题3.解题技巧总结4.动点问题应用实例解析5.动点问题练习与解答正文：动点问题是指在数学中，涉及点到点之间运动的问题。

它具有一定的复杂性和挑战性，需要掌握一定的解题技巧。

本文将为大家介绍动点问题的解题技巧，以及如何应对不同类型的动点问题。

一、动点问题概述动点问题涉及几何、函数、方程等多个方面的知识。

一般来说，动点问题有以下几个特点：1.题目中存在一个或多个点在运动。

2.运动过程中，点与直线、曲线之间存在一定的关系。

3.求解问题时，需要运用数学知识进行分析。

二、动点问题分类与解题思路1.直线动点问题直线动点问题主要涉及点到直线的距离、角度等关系。

解题思路如下：（1）找出关键信息，如直线的方程、点的坐标等。

（2）根据题目条件，建立点到直线的距离或角度的方程。

（3）求解方程，得到点的坐标或位置。

2.圆动点问题圆动点问题主要涉及点到圆心、圆上的点等关系。

解题思路如下：（1）找出关键信息，如圆的方程、点的坐标等。

（2）根据题目条件，建立点到圆心距离、圆上的角度等方程。

（3）求解方程，得到点的坐标或位置。

3.曲线动点问题曲线动点问题涉及点到曲线的关系。

解题思路如下：（1）找出关键信息，如曲线的方程、点的坐标等。

（2）根据题目条件，建立点到曲线的关系方程。

（3）求解方程，得到点的坐标或位置。

三、解题技巧总结1.熟练掌握几何知识，如直线、圆的方程，以及点到直线、圆的距离公式。

2.灵活运用函数、方程的知识，建立动点问题的关系方程。

3.利用数学方法求解方程，如代数法、几何法等。

四、动点问题应用实例解析以下为一个动点问题的实例：已知直线l的方程为2x+3y-1=0，点P在直线l上，且满足PA=PB，其中A、B为圆O的两点，圆O的方程为x^2+y^2=4。

求点P的坐标。

解：根据题意，先求出点A、B的坐标，然后根据PA=PB建立方程，最后求解得到点P的坐标。

3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°, AD＝13cm，BC＝16cm，CD ＝5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；4（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（2）s=2t+26T=3分之19S=3分之116（3）PQ=16-tH=43t-16T=4-根号14或 T=4+根号14相切，说明理由。

O ADBCE F二、最值问题1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是平面内的一个动点，且AD=4，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 ． 2分之3,2分之72、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则PQ 长的最小值为 ．13分之603、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=10，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．2倍跟24、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为．10.55、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=5，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．2倍根号26、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．247、如图，90MON ∠=︒ , Rt ABC ∆的顶点,A B 分别在,OM ON 上，90ACB ∠=︒，点A 从点O 出发沿射线OM 运动，同时点B 从点O 出发沿射线ON 运动，连接OC .若AB = 10，则OC 长的最大值是 .58、如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=10，则PM 的最大值是 ．49、如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且 EF=4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为___________ 410、在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .100P（x,y）PA2=(X+1)2+y2PB2=(x-1)2+y2PA2+PB2 =2（x2+y2）+2x2+y2最大值为72=4911、在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ//AB时，求PQ的长度；根号6（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．2分之3倍根号3PQ2=OQ2-OP2OP最小，PQ最大12、如图，圆O的半径为1，A，P，B，C是圆O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断三角形ABC的形状：；等边（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；PA+PB=PC （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．中点，根号313、如图，已知圆O的直径AB=12cm，AC是圆O的弦，过点C作圆O的切线交BA 的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当三角形ABQ与三角形ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．3分之5π3分之13π3分之23π三、暗动点、隐圆1、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上的两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4.则动点C 运动形成的路径长是___.π2、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ． 2（分之根号3+1）a3．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）AA 、21B 、5C 、1455D 、524、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，点D 是斜边AB 上的一个动点(不与点A 重合)，AED ∆为等边三角形.过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是 . 2分之35、如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，过点A 作AH BE ⊥于点H . 若正方形的边长为4，则线段DH 的最小值是多少? 2分之根号5-26、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，解决下列问题： （1）求证：BE ⊥AG ；（2）求线段DH 的长度的最小值．2分之根号5-27、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________根号5-18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求线段PM 的最大值39、如图,以y轴上一点M为圆心作M,分别与坐标轴交于点A,B,C,其中A(0,3),B(1,0),动点P在劣弧BC上由点B运动到C,过点B作BQ⊥AP于点Q,求垂足Q在此过程中经过的路径。

八年级数学全等三角形之动点问题（全等三角形）拔高练习试卷简介:本测试主要考察了移动中地全等三角形，在动态过程中考察全等三角形.本测试分为两个板块，板块一考察点动时地全等三角形，板块二考察图形运动中地全等三角形.本测试共八道题目，全部都是解答题，时间为100分钟.学习建议:<p> 本测试要求在熟练掌握全等三角形地性质及判定地基础上能够灵活应用.总结出解决动态过程中涉及到去昂等三角形时地一般思路，从而进行求解.</p>一、解答题(共8道，每道15分)1.如图，在等边△ABC地顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同地速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中地“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA地延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE地大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC地延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确．2.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘M，BC=9厘M，点D为AB地中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘M/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q地运动速度与点P地运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q地运动速度与点P地运动速度不相等，当点Q地运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CQP？（2）若点Q以（1）②中地运动速度从点C出发，点P以原来地运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC地哪条边上相遇？3.如图，△ABC地边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP地边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP.(1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足地数量关系和位置关系；(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2地位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足地数量关系和位置关系，请证明你地猜想；(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3地位置时，EP地延长线交AC地延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想地BQ与AP地数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′ 地位置, 使得CC′∥AB, 则∠B′AB = _________5.已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A地一条直线，且B、C在AE 地异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE地关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE地关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE地关系．6.在图中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图，若AO = OB，请写出AO与BD 地数量关系和位置关系；（2）将图中地MN绕点O顺时针旋转得到下图，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥ BD；7.如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边地方向平行移动，如图，B点与C点重合时，如图，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由．8.已知,如图,E、F分别为线段AC上地两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点,（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移到移到至如图所示地位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你地理由.八年级秋季拓展拔高班第三节之动点中地全等三角形。

初中数学论文从“动点问题谈中考专题复习教学抛“砖”方能引“玉”【摘要】中考数学专题复习，是从某一重要的数学知识、技能或数学方法展开，通过对某些典型的数学问题的剖析，纵向深入，使得学生学习系统、完善、深化。

然而在现实的推进中，由于专题复习内容综合性强，能力要求高，学生对此类问题倍感困惑，课堂实效并不理想。

笔者有幸参加了温岭市教研室组织的初三复习研讨会，与会老师《动点问题》中考专题复习课给我留下了深刻印象。

笔者尝试从这节课的教学设计和课堂应变入手分析，尝试探索中考数学专题复习教学的精髓所在。

【关键词】中考专题复习教学动点问题笔者有幸参加了市教研室组织的初三复习研讨会，聆听了与会老师上的“动点问题”中考专题复习课。

应该说，动点问题以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点、多种解题方法、数学思想于一身，综合性强，能力要求高，学生对此类问题更是倍感困惑，课堂实效不理想。

然而，在实际的教学中，上课教师精心的教学设计和灵活的课堂应变，使得原本枯燥乏味的复习课生机盎然：炒“冷饭”变成了色香味俱全的“蛋炒饭”。

原来中考专题复习课可以这样上，我恍然大悟。

一、布“点”为基，做好铺垫——工于开头课生辉片段回顾1：课堂伊始，教师开门见山：点、线、图形的运动，构成了数学学习的新问题——动点问题，这是近几年中考的热点,大家把握好这类问题，中考就成功了大半，你们想知道这类题目该怎么去解决吗？（学生点头）教师出示引例：已知如图，△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以1cm/的速度从点A出发沿线段AB向点B运动，设点P的运动时间为（），当t=____时，△PBC是直角三角形？一位学生快速得出正确答案。

教师马上追问：你是怎么想到的。

学生：使△PBC是直角三角形时点P应运动到AB中点。

由这个情况画图就可得出答案。

教师：哦，可以由动点运动的特殊位置“化动为静”，然后画出图形就可解答。

（教师演示图形）教师接着出示问题（2）：若另一动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/的速度同时出发.设运动时间为t（），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形学生1上台画出图形并向学生讲解：当∠BQP为直角时△PBC是直角三角形。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的动点问题1．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊙AB于点E，⊙OCE的角平分线交⊙O 于D点．（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．2．如图．在Rt△ABC中，BC=4，∠BAC=30°，点E，F为边AB上的动点，点D是EF的中点，以点D为圆心，DE长为半径在△ABC内作半圆D．（1）若EF=2，P为半圆D的中点，在半圆D移动的过程中，求CP的最小值．（2）当半圆D同时与Rt△ABC的两直角边相切时，请求出EF的长．3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABO的顶点A，B，O均落在格点上，OB为⊙O的半径．（1）∠AOB的大小等于（度）；（2）将△ABO绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，点A，B旋转后的对应点为A′，B′．连接AB′，设线段AB′的中点为M，连接A′M．当A′M取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点B′，并简要说明点B′的位置是如何找到的（不要求证明）．4．一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm.将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周.（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积.5．如图，已知AB是⊙O中一条固定的弦,点C是优弧AB上一个动点(点C不与A,B重合).（1）设⊙ACB的角平分线与劣弧AB交于点P,试猜想点P在AB⊙上的位置是否会随点C的运动而发生变化?请说明理由;（2）如图②,设A′B′=8,⊙O的半径为5,在(1)的条件下,四边形ACBP的面积是否为定值?若是定值,请求出这个定值;若不是定值,试确定四边形A′C′B′P′的面积的取值范围.6．如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm．点E 与点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上．设运动时间为x(s)，半圆O与ΔABC的重叠部分的面积为S(cm2)．（1）当x=0时，设点M是半圆O上一点，点N是线段AB上一点，则MN的最大值为；MN的最小值为．（2）在平移过程中，当点O与BC的中点重合时，求半圆O与ΔABC重叠部分的面积S；（3）当x为何值时，半圆O与ΔABC的边所在的直线相切？7．如图，在△ABE中，BE>AE，延长BE到点D，使DE=BE，延长AE到点C，使CE=AE．以点E为圆心，分别以BE、AE为半径作大小两个半圆，连结CD．（1）求证：AB=CD；（2）设小半圆与BD相交于点M，BE=2AE=4．①当S△ABE取得最大值时，求其最大值以及CD的长；②当AB恰好与小半圆相切时，求弧AM的长．8．如图，在半径为5的扇形AOB中，⊙AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊙BC，OE⊙AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在⊙DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，⊙ABC＝90°，⊙C＝30°，AD＝3，AB=2√3，DH⊙BC 于点H．将⊙PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中⊙Q＝90°，⊙QPM＝30°，PM=4√3．（1）求证：⊙PQM⊙⊙CHD；（2）⊙PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且BK=9−4√3．若⊙PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D 旋转的速度为每秒5°，求点K在⊙PQM区域（含边界）内的时长；③如图3．在⊙PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．10．对于平面直角坐标系xOy内任意一点P，过P点作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．（1）点A(2，0)，B(4，4)，C(−2，√2)的垂点距离分别为，，；（2）点P在以Q(√3，1)为圆心，半径为3的⊙Q上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围；（3）点T为直线l：y=√3x+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．11．如图，在⊙O中，OA=2，AB=2√3，将弦AB与AB⌢所围成的弓形（包括边界的阴影部分）绕点B顺时针旋转α(0°≤α≤360°)，点A的对应点为A′．（1）点O到线段AB的距离是；∠AOB=°；当点O落在阴影部分（包括边界）时，α的取值范围是；（2）若线段A′B与优弧ACB的交点为D，当∠A′BA=90°时，点D AO的延长线上（填“在”或“不在”）；（3）当直线．．A′B与⊙O相切时，求α的值并求此时点A′运动路径的长度．12．如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°,BC=4√3,AC=4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧．（1）求⊙O的半径；（2）当CD=4√2时，求∠ACD的度数；（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．13．如图，已知▱ABCD，AB=4√3，BC=8√3，∠B=60°，其内有一个圆心角为240°扇形EOF，半径OE=r．（1）发现：如图1，当E、F在BC边上，扇形EOF与AD相切时，①优弧EF上的点与BC的最大距离为，r=，S扇形EOF=；②当BE=CF时，优弧EF⌢上的点与点D的最小距离为；（2）思考：如图2，当r=2时，扇形EOF在▱ABCD内自由运动①当扇形EOF与▱ABCD的两条边同时相切时，求此时两切点之间的距离是多少？②OE与AD垂直时，扇形EOF▲ （填“有可能”或“不可能”）与▱ABCD的边切于点F；（3）拓展：如图3，将扇形的圆心O放在BC的中点处，点E在线段OB上运动，点F在▱ABCD外，当优弧EF⌢与▱ABCD的边有六个交点时，直接写出r的取值范围：．14．小航在学习中遇到这样一个问题：⌢于C，如图，点F是线段AB上一动点，线段AB=8cm，AB的垂直平分线交AB⌢于E，连接AE.若△AEF是等腰三角取线段CD的中点O，连接FO并延长交AB形，求线段AF的长度.小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点F在线段AB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AF，EF，AE的长度，得到下表的几组对应值.填空：m的值为，n的值为；（2）将线段AF的长度作为自变量x，EF和AE的长度都是x的函数，分别记为y W和y，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y kx的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数kxy的图象；w（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△AEF为等腰三角形时，线段AF长度的近似值（结果保留一位小数）.15．如图1，扇形AOB的半径为4，圆心角为90°，点C为AB⌢上任意一点（不与点A，B 重合），且CD⊥BO于点D，点P为△COD的内心，连接OP，BP，CP．（1）求∠OPB的度数；⌢上运动．（2）如图2，⊙ M为△BOP的外接圆，点C在AB①当CD=OD时，判断OC与⊙ M的位置关系，并加以证明；②设⊙ M的半径为r，若r的值不随点C的运动而改变，请直接写出r的值；若随着点C 的运动而在一个范围内变化，请直接写出这个变化范围．16．如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊙CD，垂足为E，P为AC⌢上的动点（不与端点重合），连接PD．（1）求证：⊙APD＝⊙BPD；（2）利用尺规在PD上找到点I，使得I到AB、AP的距离相等，连接AD（保留作图痕迹，不写作法）．求证：⊙AIP+⊙DAI＝180°；（3）在（2）的条件下，连接IC、IE，若⊙APB＝60°，试问：在P点的移动过程中，ICIE是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；理由如下：连接OD．∵CD平分⊙OCE，∴⊙1=⊙3，而OC=OD，∴⊙1=⊙2，∴⊙2=⊙3，∴CE⊙OD，∵CE⊙AB，∴OD⊙AB，∴AD̂= BD̂，即点D为半圆AB的中点．（2）解：∵在直角⊙AOD中，OA=OD=5，∴AD=5√2．过点A作CD的垂线，垂足为G，∵∠ACD=12∠AOD=45°，∴⊙AGC是等腰直角三角形，∵AC=6，∴AG=CG=3√2．在直角⊙AGD中，DG=√(5√2)2−(3√2)2=4√2，∴CD=CG+DG=3√2+4√2=7√2，∴线段AD的长度为5√2，线段CD的长度为7√2．2．【答案】（1）解：在Rt⊙ABC中，BC=4，⊙BAC=30°∴AC=4√3，AB=8∵EF=2∴半圆半径为1∴DP=1如图，当D、C、P三点共线时，CP最小∵P为半圆D的中点，⊙CBA=60°∴CD⊙AB，CD=2√3∴CP的最小值是2√3−1（2）解：∵半圆D同时与两直角边相切，如图∴DM⊙AC，DN⊙BC，设半圆的半径为r，则CN=DM=DN=r∴BN=4-r，∵⊙CAB=⊙NDB=30°∴tan30°=4−rr=√3 3∴r=123+√3∴EF=2r=3+√3=12−4√33．【答案】（1）45（2）解：取OB′的中点N，连接MN，A′N，构成△A′MN，延长AO交⊙O于点H，如图，根据三角形三边关系，A′M≤A′N+MN,当点A′，N，M三点共线时，A′M取最大值，在Rt△A′B′N中，tan∠A′NB′=A ′B′B′N=2，∵点M，N分别是AB′,OB′的中点，∴A′M∥AH，作∠A′NB′=∠HOB′，由网格图的特点可得，在OH上取格点G，取格点C，连接OC与⊙O交于B′，如图所示，OG=√2,CG=2√2，此时tan∠HOB′=2，∠A′NB′=∠HOB′，故连接OC与⊙O交于B′，点B′即为所求．4．【答案】（1）解：∵三角板ABC，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，∴AB=2BC=6cm，∴由勾股定理：AC= √AB2−BC2=√36−9=3√3，边BC在平面内绕顶点A旋转一周.图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：（2）解：BC扫过的面积S圆环= πAB2−πAC2=36π−27π=9π5．【答案】（1）解：如图，结论:点P在弧AB上的位置不会随点C的运动而发生变化∵CP平分⊙ACB∴ACP=⊙BCP (角平分线将这个角分为两个相等的角)∴AP⌢= BP⌢(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等)即点P为劣弧AB的中点（2）解：四边形A′C′B′P′的面积不是定值.当C′P′经过圆心时，点C′到A′B′的距离最大,故四边形A′C′B′P′的面积最大,此时C′P′垂直平分A′B′:设C′P′交A′B′于M∵A′M=4，A′O′=5 O′M⊙ A′B′∴O′M=3 (直角三角形勾股定理求值)∴M P′=2 C′=8∵C′M=8 M P′=2 C′P′⊙ A′B′A′B′=8 ;∴△A′B′C′的最大面积= 12×A′B′×C′M=32，△A′B′P′的面积= 12×A′B′×MP′=8∵点C在优弧上运动,且不与A、B重合∴8 <四边形ACBP的面积≤406．【答案】（1）24cm；(9√2−6)cm（2）解：当点O与BC的中点重合时，如图②，点O移动了12cm，设半圆与AB交于点H，连接OH、CH．∵BC为直径，∴∠CHB=90°，∵∠ABC=45°∴∠HCB=45°，∴HC=HB，∴OH⊥BC，OH=OC=OB=6，S阴影=S扇形HOC+SΔBOH=90360π⋅62+12×6×6=9π+18；（3）解：当半圆O与直线AC相切时，运动的距离为0或12，∴x=0（秒）或6（秒）；当半圆O与直线AB相切时，如图③，连接OH，则OH⊥AB，OH=6∵∠B=45°，∠OHB=90°，∴OB=√2OH=6√2，OC=BC−OB=12−6√2，移动的距离为6+12−6√2=18−6√2(cm)，运动时间为x=18−6√22=9−3√2（秒)，综上所述，当x为0或6或9−3√2时，半圆O与ΔABC的边所在的直线相切．7．【答案】（1）证明：在△ABE和△CDE中，{BE=DE∠AEB=∠CEDAE=CE，∴△ABE≌△CDE；∴AB=CD（2）解：①当AE⊥BE时，S△ABE取得最大值，S△ABE最大值=12×BE×AE=12×4×2=4，在Rt△ABE中，AB=√BE2+CE2=√42+22=2√5，∴CD=AB=2√5；②当AB恰好与小半圆相切时，AB⊥AE，∵在Rt△ABE中，BE=2AE=4，∴AE=2，∴∠ABE=30°，∴∠BEA=60°，∴∠AEM=120°，∴弧AM的长=120π×2180=4π38．【答案】（1）解：如图（1），∵OD⊙BC，∴BD= 12BC=12×6=3，∵⊙BDO=90°，OB=5，BD=3，∴OD= √OB2−BD2=4，即线段OD的长为4．（2）解：存在，DE保持不变．理由：连接AB，如图（2），∵⊙AOB=90°，OA=OB=5，∴AB= √OB2+OA2=5 √2，∵OD⊙BC，OE⊙AC，∴D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE= 12AB=5√22，∴DE保持不变．9．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，DH⊥BC∴DH⊥AD则在四边形ABHD中∠ABH=∠BHD=∠HDA=90°故四边形ABHD为矩形DH=AB=2√3，BH=AD=3在Rt△DHC中，∠C=30°∴CD=2DH=4√3，CH=√3DH=6∵{∠DHC=∠Q=90°∠C=∠QPM=30°CD=PM=4√3∴△CHD≌△PQM(AAS)；（2）解：①过点Q作QS⊥AM于S由（1）得： AQ =CH =6 在 Rt △AQS 中， ∠QAS =30°∴AS =√32AQ =3√3平移扫过面积： S 1=AD ⋅AS =3×3√3=9√3 旋转扫过面积： S 2=50°360°⋅π⋅PQ 2=50°360°⋅π⋅62=5π故边PQ 扫过的面积： S =S 1+S 2=9√3+5π ②运动分两个阶段：平移和旋转 平移阶段：KH =BH −BK =3−(9−4√3)=4√3−6t 1=KH v =(4√3−6)s旋转阶段：由线段长度得： PM =2DM取刚开始旋转状态，以PM 为直径作圆，则H 为圆心，延长DK 与圆相交于点G ，连接GH ，GM ，过点G 作 GT ⊥DM 于T设 ∠KDH =θ ，则 ∠GHM =2θ 在 Rt △DKH 中：KH =BH −BK =3−(9−4√3)=4√3−6=2√3×(2−√3)DK=√DH2+KH2=√(2√3)2+(4√3−6)2=4√3×√2−√3设t=√2−√3，则KH=2√3t2，DK=4√3t，DH=2√3tanθ=KHDH=t 2，sinθ=KHDK=t2，cosθ=DHDK=12t∵DM为直径∴∠DGM=90°在Rt△DGM中：DG=DM⋅cosθ=4√3×12t=2√3 t在Rt△DGT中：GT=DG⋅sinθ=2√3t×t2=√3在Rt△HGT中：sin2θ=GTGH=√32√3=12∴2θ=30°，θ=15°PQ转过的角度：30°−15°=15°t2=15°5°=3s总时间：t=t1+t2=4√3−6+3=(4√3−3)s③CF=60−12d9−d10．【答案】（1）ℎA=2；ℎB=4√2；ℎC=√6（2）解：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N．∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，∴四边形PMON是矩形．∴OP=MN．∵Q点坐标为(√3，1)，∴OQ=2．∵PQ−OQ⩽OP⩽PQ+OQ，∴3−2≤OP⩽3+2．∴1⩽ℎ⩽5（3）解：如图，设直线l与x轴，y轴的交点分别为A，B，过点O作OM⊥直线l于点M，以OA为半径作⊙O，交直线l于点N．∵∠BAO=60°，AO=2√3，∴AM=√3.过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC=√32，即OC=3√32．∵△AON是等边三角形，∴OD=12AO=√3．∴t=−3√32或−√3⩽t<0．11．【答案】（1）1；120；30°≤α≤60°（2）在（3）解：①当A′B与⊙O相切，∴⊙OBA′=90°，此时α=⊙ABA′=90°+30°=120°，或α=120°+180°=300°；②当α=120°时，A′运动路径的长度= 120π⋅2√3180=4√33π．当α=300°时，A′运动路径的长度= 300π⋅2√3180=10√33π．综上可知，α=120°或α=300°；A′运动路径的长度为4√33π或10√33π．12．【答案】（1）解：如图1中，∵AB是直径，∴⊙ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝4 √3，∴AB =√AC2+BC2=√42+(4√3)2=8，∴⊙O的半径为4．（2）如图1中，连接OC，OD．∵CD＝4 √2，OC＝OD＝4，∴CD2＝OC2+OD2，∴⊙COD＝90°，∴⊙OCD＝45°，∵AC＝OC＝OA，∴⊙AOC是等边三角形，∴⊙ACO＝60°，∴⊙ACD＝⊙ACO﹣⊙DCO＝60°﹣45°＝15°．（3）如图2中，连接OM，OC．∵AM＝MD，∴OM⊙AD，∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．∵⊙AOC是等边三角形，AJ＝OJ，∴CJ⊙OA，∴CJ =√AC2−AJ2=2 √3，∵CM≤CJ+JM＝2 √3+2，∴CM的最大值为2 √3+2．13．【答案】（1）6；4；32π3；2√31−4（2）解：①2或者2√3理由：（i）如图当扇形与AB、AD边相切时（当扇形与CB、CD边相切时），过点O做OM⊥AD，ON⊥AB，连接AO，易证Rt△AMO≌Rt△ANO，∠ONA=∠OMA=60°，∠NOM=60°，∴ΔOMN为等边三角形，∴MN=2（ii）当扇形与DC、AD边相切时（当扇形与AB、BC边相切时），同理可求得∠NOM= 120°，MN=2√3②有可能（3）6<r<4√314．【答案】（1）3.0；5.6（2）解：如图，描点连线：（3）解：如图，作直线y=x，△AEF为等腰三角形有三种情况：①AE=EF时，即AF=x为y kx与y w的交点横坐标，如图，AF=5.4cm，②当AF=EF时，即求y=x与y w的交点横坐标，如图，AF=3.3cm，③当AE=AF时，即求y kx与y=x的交点横坐标，如图，AF=4.6cm，综上所述，当⊙AEF为等腰三角形时，AF的长为3.3cm，4.6cm，或5.4cm. 15．【答案】（1）解：∵点P为△COD的内心，∴∠COP=∠BOP．又∵PO=PO，CO=BO，∴△COP≌△BOP．∵CD⊥BO于点D，∴∠OCD+∠COD=90°．∴12∠OCD+12∠COD=45°．∴∠OPC=135°．∴∠OPB=∠OPC=135°．（2）解：①当CD=OD时，OC与⊙M相切．证明如下：如图，在优弧OB上取一点Q，连接OQ，BQ．∵点P在劣弧OB上，且∠OPB=135°，∴∠OQB=45°．∴∠OMB=90°．连接MO，MB．∴OM=BM．∴∠BOM=∠OBM=45°．而当CD=OD时，∠COD=∠OCD=45°，∴∠COD+∠BOM=90°．∴当CD=OD时，OC与⊙M相切．②r的值是定值；r=2√2．理由如下：⌢上运动时，由（2）证得∠OMB=90°，OM=MB=r，⊙OBM为等腰直角三角形，而当点C在ABOB=4，故OM=MB= r=2√2．16．【答案】（1）证明：∵直径CD⊙弦AB，⌢=BD⌢，∴AD∴⊙APD=⊙BPD；（2）解：如图，作⊙BAP的平分线，交PD于I，证：∵AI平分⊙BAP，∴⊙PAI=⊙BAI，∴⊙AID=⊙APD+⊙PAI=⊙APD+BAI，⌢=BD⌢，∵AD∴⊙DAB=⊙APD，∴⊙DAI=⊙DAB+⊙BAI=⊙APD+⊙BAI，∴⊙AID=⊙DAI，∵⊙AIP+⊙DAI=180°，∴⊙AIP+⊙DAI=180°；（3）解：如图2，连接BI，AC，OA，OB，∵AI平分⊙BAP，PD平分⊙APB，∴BI平分⊙ABP，⊙BAI=12⊙BAP，∴⊙ABI=12⊙ABP，∵⊙APB=60°，∴⊙PAB+⊙PBA=120°，∴⊙BAI+⊙ABI=12（⊙BAP+⊙ABP）=60°，∴⊙AIB=120°，∴点I的运动轨迹是AB⌢，∴DI=DA，∵⊙AOB=2⊙APB=120°，∵AD⊙AB，∴AD⌢=BD⌢，∴⊙AOB=⊙BOD=60°，∵OA=OD，∴⊙AOD是等边三角形，∴AD=AO，∵CD是⊙O的直径，∴⊙DAC=90°，∵CD⊙AB，∴⊙AED=90°，∴⊙AED=⊙CAD，∵⊙ADC=⊙ADE，∴⊙ADE⊙⊙CDA，∴ADCD=DEAD，∴AD2=DE•CD，∵DI′=DI=AD，∴DI2=DE•CD，∵⊙I′DE是公共角，∴⊙DIE⊙⊙DCI，∴ICIE=CDDI=2．。

中考数学抛物线动点题秒杀技巧
中考数学中关于抛物线动点题目的解题关键在于，首先要理解抛物线的性质，包括其方程、顶点、对称轴等。

然后，根据题目给出的条件，选择适当的公式或方法来求解。

对于抛物线上的动点问题，通常需要找到与动点相关的量，如距离、角度等，并使用这些量建立方程或不等式。

在解题过程中，可能还需要使用一些基本的数学技能，如代数运算、几何作图和推理等。

以一道题目为例：在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(4,0)，动点P在x轴上运动，当∠APB最大时，求点P的坐标。

首先，需要确定∠APB的最大值。

根据三角形内角和为180°的性质，∠APB=180°-∠APO-∠BPO。

因为∠APO和∠BPO的大小与点P的位置有关，所以当∠APB 最大时，必然有∠APO和∠BPO尽可能小。

根据题目条件，可以找到当OA=PB 时，∠APB最大。

接下来，设点P的坐标为(x,0)，根据OA=PB，可以得到方程x^2+1=x-4+2，
解得x=-1或x=3。

由于题目要求∠APB最大，所以点P的坐标应为(3,0)。

解决抛物线上的动点问题需要综合运用抛物线的性质、三角形的性质、代数运算和几何作图等技能。

在解题过程中，要善于根据题目条件建立方程或不等式，并灵活运用各种数学技能来求解。