2_概率统计2014秋第2周作业

高三理科数学专项训练（二）——概率统计高三（ ）班 学号 姓名 成绩1．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．2． 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互 之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？ ⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ. （结果可以用分数表示）3．为了调查本市某中学高三男学生的身高情况，在该中学高三男学生中随机抽取了40名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下： （1）估计该校高三男生的平均身高；（2）从身高在170cm （含170cm ）以上的样本中随机抽取2人，记身高在170~175cm 之间的人数为X ，求X 的分布列和数学期望。

（部分参考数据：167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325=139.00）4． 随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：课后练习1．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则a =_______________.2．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名 学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图1 所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这 次百米比赛中获奖的人数共有 人.3．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题， 每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为23，则该学生在面试时得分的期望值为 分.4．已知函数)3cos(3)3sin()(πωπω+-+=x x x f （0>ω）的最小正周期为π．⑴求)127(πf 的值； ⑵若ABC ∆满足)(2)()(A f A B f C f =-+，证明：ABC ∆是直角三角形．5． 如图，平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，2AB =，BD =BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C--是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？（2）当AD BC ⊥时，求α的大小．A BDCO ABC D6. 已知函数 2x =是()f x 的一个极值点.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当[1,)x ∈+∞时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围.高三理科数学专项训练（二）——概率统计答案1. 解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为,A B . 设甲独立解出此题的概率为1P ，乙为2P . 则12()0.6,()P A P P B P ===1212122222()1()1(1)(1)0.920.60.60.920.40.320.8(2)(0)()()0.40.20.08(1)()()()()0.60.20.40.80.44(2)()()0.60.80.48:P A B P A B P P P P PP P P P P P P A P B P P A P B P A P B P P A P B ξξξξ+=-⋅=---=+-=∴+-=====⋅=⨯===+=⨯+⨯===⋅=⨯=则即的概率分布为.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222=-=-==++=⋅-+⋅-+⋅-==+=⨯+⨯+⨯=ξξξξξE E D D E 或利用2．解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-32()3=1927答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为1927； (2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A 2，由于各事件相互独立，,231)(23a x bx x x f ++-=故P （A 2）=41×41×43×41+41×41×43×43 =364， 答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是364（3）根据题意ξ服从二项分布，2323E ξ=⨯=（3）方法二：03311(0)()327p C ξ==⋅= 123216(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=22132112(2)()()3327p C ξ==⋅⋅= 3303218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=3． 解：（1）由频率分布直方图可知，该校高三男学生的平均身高为05.05.1871.05.182325.05.17735.05.172125.05.16705.05.162⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x =174.750（cm ） （2）由频率分布直方图可知，所抽取的样本中身高在170—175cm 之间的人数有0.070×5×40=14人 所抽取的样本中身高在170cm （包含170cm ）以上的人数有 （0.070+0.065+0.020+0.010）×5×40=33人 所以X 的可能取值为0,1,2，，52891)2(528266)1(,528171)0(233214019233114119233014219=========C C C X P C C C X P C C C X P 所以X 的分布列为X 的数学期望为4.解：（1）依题意，随机变量X 的取值为：0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为56p =． 方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ， 7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ．X ∴221637227212160=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ．方法二：根据题意可得)65,3(~B X ，k k k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ．∴25653=⨯==np EX ．.33252815280528=⨯+⨯+⨯=EX(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式有关”．课后练习答案1. 302. 11 3．15 4.解：⑴x x f ωsin 2)(=，πωπ==2T ，2=ω，所以167sin 2)127(-==ππf ⑵由)(2)()(A f A B f C f =-+得A ABC 2sin 2)22sin(2sin =-+，A A B B A 2sin 2)22sin()22sin(=-++-，得02sin cos 2=A B ，所以0cos =B 或02sin =A ，因为A <0，π<B ， 所以2π=B 或2π=A ，ABC ∆是直角三角形．5.解：（1）由题知OD 为CD 在平面ABD 上的射影，∵BD CD ⊥，CO ⊥平面ABD ，∴BD OD ⊥， ∴ODC α∠=，111332C AOD AOD V S OC OD BD OC -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅sin cos 66OD OC CD CD αα=⋅=⋅⋅⋅sin 23α=3≤，当且仅当sin 21α=，即45α=︒时取等号，∴当45α=︒时，三棱锥O ACD -(2)(法一)连接OB ，∵CO ⊥平面ABD ，AD BC ⊥， ∴AD ⊥平面BOC ，∴AD OB ⊥，∴90OBD ADB ∠+∠=︒， 故OBD DAB ∠=∠，∴Rt ABD Rt BDO ∆∆∽，∴OD BD BD AB=， ∴21BD OD AB ===， 在Rt COD ∆中，1cos 2OD CD α==，得60α=︒．(法二) 过O 作OE AB ⊥于E ，则OEBD 为矩形， 以O 为原点，OE ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,2cos 2,2(),0,cos 2,0(),0,0,0(-ααA D O )sin 2,0,0(),0,cos 2,2(ααC B ，B D于是)0,2,2(-=，)sin 2,cos 2,2(αα--=， 由AD BC ⊥，得0=⋅BC AD ，∴0sin 20)cos 2(2)2()2(=⨯+-⨯+-⨯-αα， 得21cos =α，又α为锐角，∴60α=︒ ． 6．解：（1）∵2'()22f x x bx =-+且2x =是()f x 的一个极值点∴'(2)4420f b =-+=32b ⇒=， ∴2'()32(1)(2)f x x x x x =-+=-- 由'()0f x >得2x >或1x <，∴函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞，(2,)+∞； 由'()0f x <得12x <<，∴函数()f x 的单调减区间为(1,2)， （2）由（1）知，函数()f x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增 ∴当2x =时，函数()f x 取得最小值，min ()(2)f x f ==23a +， [1,)x ∈+∞时，22()3f x a ->恒成立等价于2min 2(),[1,)3a f x x <-∈+∞ 即2001a a a -<⇒<<。

概率与统计（推荐时间：70分钟)1．某学院为了调查本校学生2013年5月“健康上网"（健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5］，(5，10］，（10,15]，…,（25，30］，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．（1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；（2）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数,求Y的分布列及数学期望E（Y)．解（1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为（0。

01＋0.02＋0。

03＋0.09)×5＝0.15×5＝0。

75，∴健康上网天数超过20天的学生人数是40×（1－0.75)＝40×0.25＝10。

（2）随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,P（Y＝0)＝错误!＝错误!,P（Y＝1）＝错误!＝错误!，P（Y＝2)＝错误!＝错误!。

∴Y的分布列为∴E(Y)＝0×错误!错误!错误!错误!。

2．改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2003到2012年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，2003年编号为1,2004年编号为2，…,2012年编号为10。

数据如下：（11年多于15人的概率;(2)根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程错误!＝错误!x＋错误!,并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．错误!解（1）设考入大学人数至少有1年多于15人的事件为A,则P(A）＝1－错误!＝错误!。

（2)由已知数据得错误!＝3，错误!＝8，y i＝3＋10＋24＋44＋65＝146，错误!i错误!错误!＝1＋4＋9＋16＋25＝55。

则错误!＝错误!＝2。

6，错误!＝8－2.6×3＝0.2.则线性回归方程为错误!＝2。

（完整版）概率统计章节作业答案第一章随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是( B ).A. AB ={出现奇数点}B. AB ={出现5点}C. B ={出现5点}D. A B =ΩU2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ).A. ()A B B A +-=B. ()A B B A B A AB +-=-=-C. ()A B B A B -+=+D.AB AB A +=3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为( D ).A.1212A A A A UB.12A AC.12A AD.12A A U4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为( A ).A.123A A AB.123A A A ++C.123A A AD.123A A A5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是( A).A.(|)0P A B =B. (|)0P B A =C. ()0P AB =D. ()1P A B =U6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B =( D ).A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.87.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则( C ).A.()1P A B =UB.()()()P AB P A P B =C. ()0P AB =D.()0P AB >8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ).A.A =ΦB.A B ?C.A 与B 相互独立D. A 与B 互不相容9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ?,则P (A |B )= ( C ).A. 0B. 0.4C. 0.8D. 110.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ).A.A BB. A B UC. A B ID. A B I11.设事件A B ?, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B =U ( A ).A. 0.3B. 0.2C. 0.5D. 0.4412.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )=( D ).A. 0.08B. 0.4C. 0.2D. 013.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ).A.()()P A B P A =UB.A B ?C. P (A )=P (B )D. P (AB )=P (A )14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ).A. 0.4B. 0.2C. 0.25D. 0.7515.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为( A ).A.37B.0.4C. 0.25D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ).A. 0.48B. 0.75C. 0.6D. 0.817.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为( A ).A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.418.一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为( A ).A. 0.72B. 0.75C. 0.96D. 0.7819.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为( C ).A. 710B. 44710C. 47410C C D. 4710? 20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为( C ).A. 810B. 38310C C C. 33810 D. 38310C 21.某人打靶的命中率为0.4，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为( C ).A. 20.4B. 30.6C. 22350.40.6CD. 23250.40.6C22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为( D ).A.15615()66CB.156151()66C - C.15651()66C D.651()6- 23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A ).A. 19B. 12C. 23D. 13 24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为( A ).A.518B.4!6!C.4446AAD.44!625.某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为< bdsfid="216" p=""></p<1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为<>( D ).A. p2B. (1-p)2C. 1-2pD. p(1-p)二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为18/35 .2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为1/16 .3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25 .4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为0.0486 .5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为0.94 .6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为5/12 .7.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则()P A BU= 0.5 .8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)= 0.5 .9.设()0.3,(|)0.6P A P B A==，则P(AB)= 0.42 .10.设11()()(),()(),()046P A P B P C P AB P AC P BC======，则P(A+B+C)=5/12 .11.已知P (A )=0.7, P (A -B )=0.3, 则()P AB = 0.6 .12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为 0.25 .13.已知P (A )=0.4, P (B )=0.8, P (B|A )=0.25, 则P (A|B )= 0.125 .14.设111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===，则()P A B U = 1/3 . 15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为 0.576 .16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为 0.7 .三、计算题1.设P (A )=0.4, P (B )=0.2, (|)0.3P B A =, 求P (AB )以及P (A |B ).解:由(|)0.3P B A =得:()0.3,()P AB P A =即()()0.31()P B P AB P A -=-, 解得:P (AB )=0.02. 从而, ()0.02(|)0.1()0.2P AB P A B P B ===.2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ?==求：(1)(),()P A P B ；(2)P (AB )；(3)()P AB ；(4) ()P A B U ；(5)P (B -A ).(1)由概率的性质，知()1()0.8,P A P A =-=()1()0.7P B P B =-=；(2)因为A B ?，所以AB A =，P (AB )=P (A )=0.2； (3)()P AB =P(A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )=0；(4) 因为A B ?，所以A B B =U , ()P A B U =P (B )=0.3；或者，()P A B U =P (A )+P (B )-P (AB )=0.2+0.3-0.2=0.3；3.若事件A 与B 互不相容，P (A )=0.6, P (A+B )=0.9, 求：(1)()P AB ；(2)(|)P A B ；(3)()P AB .解:(1) 因A 与B 互不相容，故AB =Φ，P (AB )=0，所以()P AB =1-P (AB )=1；(2) 因A 与B 互不相容，由加法公式：P (A+B )=P (A )+P (B )，得P (B )=0.3，从而(|)P A B =()()()0.661()0.77()P AB P A P AB P B P B -===-； (3) ()P AB =1()1()10.90.1P AB P A B -=-+=-=.4.已知事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.4, P (A+B )=0.6, 求(1)P(B )；(2) ()P AB ；(3)P (A|B ).解：(1)因为事件A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B )，()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-0.6=0.4+P (B )-0.4P (B )，解得：P (B )=13； (2) 因为事件A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立，故()P AB =4()()15P A P B =； (3) 因为事件A 与B 相互独立，所以P (A|B )=P (A )=0.4.四、应用题1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.解：设A “3个产品中至少有2个产品等级相同”，A “3个产品等级都不同”，由古典概率定义，得111406435012()0.049245C C C P A C ==≈，从而 ()10.0490.951P A =-=.2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.解：A “取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知：1123732108()15C C C P A C +==.3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.解：A “4只鞋子中至少能配成一双”，则A “4只鞋子都不同”.由古典概率得：41111522224108()21C C C C C P A C ==，故13()1()21P A P A =-=. 4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.解：A “排成的数是三位数且是偶数”，A 0“排成的三位数末位是0”，A 2“排成的三位数末位是2”，则A =A 0+A 2，且A 0与A 2互不相容，因为230342!1(),3!4C P A C ==11222341(),3!6C C P A C == 所以，015()()()12P A P A P A =+=. 5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.解：设A i “第i 次取到合格品”（i =1,2,3），则(1)第三次才取到合格品的概率为：12312131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==??≈. (2)A “三次内取得合格品”，则112123A A A A A A A =++，所求概率为：112123()()()()P A P A P A A P A A A =++1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++ 90109010990100100991009998=+?+??0.9993.≈ 6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.解：A 1“第一次取出的是红球”，A 2“第二次取出的是红球”，则(1)由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为：121218714()()(|)121133P A A P A P A A ==?=； (2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：218(|)11P A A =； (3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为：2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.解：设A i “第i 台设备生产的零件”(i =1，2)，B “产品是废品”，由题意知：P (A 1)=25%，P (A 2)=35%，P (A 3)=40%，P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02,由全概率公式得，产品是废品的概率为：112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++25%0.0535%0.0440%0.020.0345=?+?+?=.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.解：设B “零件是合格品”，A “第一台车床加工的零件”，则A “第二台车床加工的零件”，由题意知：21(),()33P A P A ==. (1)由全概率公式得：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P BA =+21(10.03)(10.02)0.97333=?-+?-≈；(2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率为：10.02()()(|)3(|)0.252.921()()13P A B P A P B A P A B P B P B ?====--9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？解：设B “色盲患者”，A “随机挑选一人是男人”，由题设知：11(),(),(|)5%,(|)0.25%22P A P A P B A P B A ====，则 (1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+115%0.25%0.0262522=?+?=； (2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为：15%()()(|)2(|)0.952()()0.02625P AB P A P B A P A B P B P B ?===≈； (3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为：195%()()(|)2(|)0.48781()0.97375()P AB P A P B A P A B P B P B ?===≈-. 10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则(1)甲乙都抽到难签的概率为：432()()(|)10915P AB P A P B A ===； (2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为：644()()(|)10915P AB P A P B A ==?=； (3)甲乙丙都抽到难签的概率为：4321()()(|)(|)109830P ABC P A P B A P C AB ===；(4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：4()0.410P A ==. 由全概率公式得，乙抽到难签的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+43640.4109109=+?=. 丙抽到难签的概率为：()()(|)()(|)()(|)()(|)P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB =+++4326434636541098109810981098=??+??+??+??=0.4. 得，P (A )=P (B )=P (C )=0.4，所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”.A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且0()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A =-?--=，1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P A =?-?-+-??-+-?-?=,2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P A =??-+?-?+-??=, 3()0.40.50.70.14P A =??=.由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为：00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A PA PB A =+++0.0900.360.20.410.60.1410.458=?+?+?+?=.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”.A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且由贝努里公式得：00303()0.60.40.064P A C =??=，1213()0.60.40.288P A C =??=，2223()0.60.40.432P A C =??=，3333()0.60.216P A C =?=.由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：30()()(|)i i i P B P A P B A ==∑0.06400.2880.20.4320.60.21610.5328=?+?+?+?=13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.解：设A “产品是合格品”，B “经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P (A )=95%, ()195%5%,(|)10.020.98,(|)0.03P A P B A P B A =-==-==.则(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+95%0.985%0.030.9325=?+?=；(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为：()0.950.98(|)0.9984()0.9325P AB P A B P B ?==≈. 14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.解：设A i “第i 台机床需要看管”，i =1，2，3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为123123123123A A A A A A A A A A A A +++，且这4个事件两两互不相容，由加法与独立性知，所求的概率为：123123123123()P A A A A A A A A A A A A +++123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++ 123123123123()()()()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A PA P A P A P A P A =+++0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.90.80.70.902=??+??+??+??=15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？解：设A i “第i 道工序加工出次品”，i =1，2，3.则加工出来的零件是次品表示为A 1+A 2+A 3，且A 1，A 2，A 3相互独立，从而123,,A A A 也相互独立.所求概率为：123123123(++)1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A =-=-1(12%)(13%)(15%)0.09693=----=.16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率.解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+B+C 表示“密码被破译”，且A ，B ，C 相互独立，从而,,A B C 也相互独立，故所求概率为：(++)1()1()()()P A B C P A B C P A P B P C =-=-1(10.4)(10.6)(10.7)0.928=----=.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.解：设A ，B 分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知：()0.8,()0.7,()10.80.2,()10.70.3P A P B P A P B ===-==-=.(1)两粒种子都能发芽的概率为：()()()0.80.70.56P AB P A P B ==?=；(2)至多有一粒种子能发芽的概率为：()()()()P AB AB A B P AB P AB P A B ++=++()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.80.30.20.70.20.30.44=?+?+?=；(3)至少有一粒种子能发芽的概率为：()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-U0.80.70.80.70.94=+-?=.18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2；(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.解：该问题是参数p =0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1=22350.70.30.1323C ??=；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为：p 2=55520.70.3k k k k C -=??∑=005145510.70.30.70.30.96922C C -??-??=； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为：p 3=55510.70.3k k k k C -=??∑=005510.70.30.99757C -??=.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8081, 求射手射击一次命中目标的概率. .解：设射手射击一次命中目标的概率为p ，由贝努里定理知，4次射击中至少有一次命中目标的概率为：41(1)p --，由题设知：4801(1)81p --=，解得：23p =. 20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p , 求射击到第4次时恰好两次命中的概率.解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为：12223(1)3(1)P pC p p p p =-=-. 五、证明题1.设0证：必要性设事件A 与B 相互独立，则P (AB )=P (A )P (B )，P (A|B )=P (A )，又()()()()()(|)()1()1()()P AB P A AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --====--，所以，(|)(|)P A B P A B =.充分性若(|)(|)P A B P A B =，则()()()()()()1()1()()P AB P AB P A AB P A P AB P B P B P B P B --===--，对上式两端化简，得：()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立2.证明条件概率的下列性质：(1)若P (B )>0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=；(2)若A 与B 互不相容，()0P C >，则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+U ； (3)(|)1(|)P A B P A B =-.证：(1)因为()(|)()P AB P A B P B =，而0()()P AB P B ≤≤，所以，0(|)1P A B ≤≤，且()()(|)1()()P B P B P B P B P B ΩΩ===，()()(|)0()()P B P P B P B P B ΦΦΦ===； (2)若A 与B 互不相容，则AC 与BC 也互不相容，从而()()()(|)(|)(|)()()P AC BC P AC P BC P A B C P A C P B C P C P C +===+U U ；(3)由性质(2)得：(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+U ，又A A =ΩU ，由性质(1)知，(|)1P B Ω=，所以，(|)(|)1P A B P A B +=，即(|)1(|)P A B P A B =-第二章随机变量及其概率分布一、单项选择题1.设随机变量X 的分布律为则P {X <1}= ( C ).A. 0B. 0.2C. 0.3D. 0.52.设随机变量X 的概率分布为则a =( D ).A. 0.2B. 0.3C. 0.1D. 0.43.设随机变量X 的概率密度为2,1(),0,1c x f x x x ?>?=??≤?则常数c =( D ).A. 1-B. 12C. -12D. 1 4.设随机变量X 的概率密度为3,01(),0,ax x f x ?≤≤?=其它则常数a = ( D ).A. 14B. 12C. 3D. 4 5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是(A ).A.2100,1000,100x x x ?>≤? B.10,00,0x x x ?>≤? C. 1,020,x -≤≤其它 D. 113,2220,x ?≤≤其它6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0；若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[,]a b 为 ( A ).A. [0,]2πB. [0,]πC. [,0]2π-D. 3[0,]2π 7.下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是 ( C ).A. 0,00.3,01()0.2,121,2x x F x x xB. 0.5,0()0.8,011,1x x F x x xC. 0,00.1,05()0.6,561,6x x F x x xD. 0,2()sin ,021,0x F x x x x ππ?<-=-≤8.设()F x 是随机变量X 的分布函数，则 ( B ).A. ()F x 一定连续B. ()F x 一定右连续C. ()F x 是不增的D. ()F x 一定左连续9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是(D ).A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞→-∞-= C.()()()P a X b F b F a <≤=- D.对一切实数x ，都有0<()F x <110.设随机变量的概率分布为2()(),(1,2,3...)3k P X k a k ===，则常数a =( B ). A. 1 B. 12C. 2D. 12- 11.已知随机变量X 的分布律为()F x 是X 的分布函数，则F (2.5)=( B ). A. 0.7 B. 0.8 C. 0.1 D. 112.随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <A.14 B.13 C.12 D.3413.已知随机变量X 的分布律为若随机变量Y =X 2，则P {Y =1}= ( C ).A. 0.1B. 0.3C. 0.4D. 0.214.设随机变量X ~B (4, 0.2)，则P {X >3}= ( A ).A. 0.0016B. 0.0272C. 0.4096D. 0.819215.设随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +1，Y ~ ( C).A. N (1, 4)B. N (0, 1)C. N (3, 16)D. N (3, 9)16.设2~(,)X N μσ，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则()P a X b ≤≤= ( D ). A.()()b a Φ-Φ B.()()b a Φ+ΦC.22()()b a μμσσ--Φ-Φ D.()()b a μμσσ--Φ-Φ17.设X ~N (-1，4)，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则P (-2<=""A.12()12Φ- B.(0)(2)Φ-Φ- C.1(2)2Φ- D.(2)(0)Φ-Φ 18.设X ~N (0，1)，()x ?是X 的概率密度函数，则(0)?= (C ).A. 0B. 0.5C. D. 1 19.设X 服从均匀分布U[0，5]，Y =3X +2，则Y 服从( B ).A. U[0, 5]B. U[2, 17]C. U[2, 15]D. U[0, 17]20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为 ( D ).A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布21.设X 服从参数2λ=的泊松分布，()F x 是X 的分布函数，则下列正确的选项是 ( B ).A.2(1)F e -=B.2(0)F e -=C.P (X =0)=P (X =1)D.2(1)2P X e -≤=22.设X 服从参数λ的泊松分布，且2(1)(3)3P X P X ===，则λ= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1<="" 2,="" bds fid="604" p="" x="" ≤≤="1" 则12()p="">2.设随机变量X 的概率分布为记Y =X 2, 则P (Y =4)= 0.5 .3.若X 是连续型随机变量, 则P (X =1)= 0 .4.设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则(32)P X -<≤= 0.4 .5.设随机变量X的分布函数为212()xt F x e dt --∞=?,则其密度函数为 .6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2x F x x x x ππ??f π= 1/2 . 7.设随机变量X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x -?-≥=?0时, X 的概率密度()f x = 1 . .8.设随机变量X 的分布律为则(01)P X ≤≤= 0.6 .9.设随机变量X ~N (3, 4), 则(45)P X <<= 0.148 .(其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=)10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律P(X=K)=6K/K! K=0，1，2，3 .11.若随机变量X ~B (4, 0.5), 则(1)P X ≥= 15/16 .12.若随机变量X ~U (0, 5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时, Y 的概率密度()Y f y = 1/10 .13.设随机变量X ~N (0, 4)，则(0)P X ≥= 0.5 .14.设随机变量X ~U (-1, 1)，则1(||)2P X ≤= 0.5 . 15.设随机变量X 在[2, 4]上服从均匀分布，则(23)P X <<= 0.5 .。

概率统计实验一、课程目标知识目标：1. 理解概率统计的基本概念，掌握概率的计算方法和应用；2. 掌握统计学中的平均数、中位数、众数等描述性统计量的计算和应用；3. 了解随机变量及其分布，理解正态分布的特点和在实际问题中的应用；4. 学会运用概率统计知识解决实际问题，进行数据分析和决策。

技能目标：1. 能够运用概率的计算方法，解决简单的概率问题；2. 能够运用统计学方法，对数据进行整理、描述和分析；3. 能够运用统计软件或工具进行数据收集和处理，绘制统计图表；4. 能够运用所学的概率统计知识，解决生活中的实际问题。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对概率统计学科的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的数据分析能力，使其认识到数据在决策中的重要性；3. 培养学生的团队合作意识，学会与他人共同探讨问题；4. 培养学生的批判性思维，使其在分析问题时能够客观、全面地考虑各种因素。

本课程针对高年级学生，结合概率统计学科特点，注重理论知识与实践应用的结合。

课程目标旨在使学生掌握概率统计的基本知识，培养数据分析能力，提升学生在实际生活中运用概率统计知识解决问题的能力。

通过本课程的学习，使学生形成正确的数据分析观念，具备批判性思维和团队合作精神。

在教学过程中，教师需关注学生的个体差异，设计分层教学活动，确保课程目标的达成。

二、教学内容1. 概率的基本概念：概率的定义、性质，条件概率，独立事件的判定与应用；2. 随机变量及其分布：随机变量的定义，离散型随机变量及其分布，连续型随机变量及其分布，正态分布的特点与运用；3. 描述性统计分析：平均数、中位数、众数、方差的意义与计算，四分位数及其应用；4. 概率统计在实际问题中的应用：利用概率知识解决实际问题，运用统计学方法进行数据分析，结合实际案例进行讲解；5. 统计软件的使用：介绍统计软件的基本操作，进行数据收集、处理和分析，绘制统计图表。

教学内容依据课程目标，以教材为蓝本，系统性地安排如下：第一周：概率的基本概念，重点讲解条件概率和独立事件的判定；第二周：随机变量及其分布，侧重于离散型和连续型随机变量的学习；第三周：描述性统计分析，学会计算各类统计量并应用于实际问题；第四周：概率统计在实际问题中的应用，通过案例教学，提高学生的实际操作能力；第五周：统计软件的使用，教授学生如何运用统计软件辅助学习。