余补角
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余角和补角定义和性质
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠的余角是（90 °—∠ ） ∠的补角是（180 °—∠ ）
余角和补角定义和性质
例1 若一个角的补角等于它的余角的
4 倍，求这个角的度数。 解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。
根据题意得： （180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
余角和补角定义和性质
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与 ∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2 与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
余角和补角定义和性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
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3
余角和补角定义和性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
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1
4
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余角和补角定义和性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4 3
余角和补角定义和性质
例3 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2
1
3
4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
余角和补角
余角和补角定义和性质
余角和补角定义和性质
2
1
余角和补角定义和性质
2
1
余角和补角定义和性质
余角和补角定义和性质
例1 若一个角的补角等于它的余角的
4 倍，求这个角的度数。 解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。
根据题意得： （180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
余角和补角定义和性质
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与 ∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2 与∠４相等吗？为什么？
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1
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3
余角和补角定义和性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
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余角和补角定义和性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
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余角和补角定义和性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
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余角和补角定义和性质
例3 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
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3
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解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
余角和补角
余角和补角定义和性质
余角和补角定义和性质
2
1
余角和补角定义和性质
2
1
余角和补角定义和性质
中小学数学课件：余角和补角
课堂检测 3.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式 中∠α与∠β互余的是 （ A ）
A．图①
B．图②
C．图③
D．图④
4.∠α=35°，则∠α的补角为__1_4_5__度．
课堂检测
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
C
(1) 图中有哪几对互余的角？
21
答案：∠A+∠B=90°，∠1+∠B=90°， A
巩固练习
(2)指出图中所有互余和互补的角． 解：互余的角：∠1与∠2；∠1与∠BOE；∠2与 ∠AOF；∠BOE与∠AOF. 互补的角：∠BOE与∠AOE；∠2与∠AOE； ∠AOF与∠BOF；∠1与∠BOF；∠AOC与∠BOC.
探究新知
想一想
∠α
∠α的余角
5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90)
解：OE平分∠BOC，理由如下： 因为∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°，
D
所以∠COD+∠COE=90°，
所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，
因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD， A O
所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC．
C E
B
巩固练习
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角有_∠__B__O_C__和___∠__A__O__D_.
x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°.
探究新知
素养考点 2 余角、补角、角平分线相结合的题目
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，
人教版七年级上册数学4.3.3余角、补角的概念与性质课件(23张ppt)
（简称互余）
2、什么叫互为补角？
如果两个角的和等于 180 ° ，那么这两个角互为补角。
（简称互补）
反之也成立
1、什么叫互为余角？
如果两个角的和等于 90°,那么这两个角互为余角 （简称互余）
几何语言： ∵∠1＋∠2 ＝ 90°， ∴∠1、∠2互为余角
2、什么叫互为补角？ 如果两个角的和等于 180∠°1，+那∠么2 这= 两90个°角互为补角
180 ° － ∠AOC
= =
180 °－ 115 °
65答° ：这个角为
60°。90
°－
∠AOD
答：∠ BOC 的度数为 115 °
能力提升
如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起。
AD
C
20°
70 ° 70 °
O 图1 B
AD
C 40 °50°
40 °
O 图2 B
A
x 90C°－ x
D
90 °－ x
2、如图，点O为直线AB上的一点，OD平分∠AOB,
∠COE = 90 ° ， 则∠BOC = ∠DOE ,
∠COD = ∠AOE .
E
D
C
A
O
B
D
C
1 2 34
E
A
O
B
综合运用
方程的思想
1、一个角的补角是它的余角的 4 倍，求这个角？
2、如图，A、O、B三点在一条直线上， 已知∠ AOD=25 ° ，∠COD=90 °， 求∠ BOC的度数？
D
25 ° O
A
B
C
强化练习，巩固提高
2、1已、如知图一∠，个AA、O角DO=、2的5B三°补点，在角∠一是C条OD直它=9线0的上°，余， 角的 4 倍，
2、什么叫互为补角？
如果两个角的和等于 180 ° ，那么这两个角互为补角。
（简称互补）
反之也成立
1、什么叫互为余角？
如果两个角的和等于 90°,那么这两个角互为余角 （简称互余）
几何语言： ∵∠1＋∠2 ＝ 90°， ∴∠1、∠2互为余角
2、什么叫互为补角？ 如果两个角的和等于 180∠°1，+那∠么2 这= 两90个°角互为补角
180 ° － ∠AOC
= =
180 °－ 115 °
65答° ：这个角为
60°。90
°－
∠AOD
答：∠ BOC 的度数为 115 °
能力提升
如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起。
AD
C
20°
70 ° 70 °
O 图1 B
AD
C 40 °50°
40 °
O 图2 B
A
x 90C°－ x
D
90 °－ x
2、如图，点O为直线AB上的一点，OD平分∠AOB,
∠COE = 90 ° ， 则∠BOC = ∠DOE ,
∠COD = ∠AOE .
E
D
C
A
O
B
D
C
1 2 34
E
A
O
B
综合运用
方程的思想
1、一个角的补角是它的余角的 4 倍，求这个角？
2、如图，A、O、B三点在一条直线上， 已知∠ AOD=25 ° ，∠COD=90 °， 求∠ BOC的度数？
D
25 ° O
A
B
C
强化练习，巩固提高
2、1已、如知图一∠，个AA、O角DO=、2的5B三°补点，在角∠一是C条OD直它=9线0的上°，余， 角的 4 倍，
余角补角的概念和性质
些互为补角？找一找！
10o
o
30
o
60
100o
o
120
o
150
80o
o
170
2、一个角是70039’，求它的余角和补角。
3、同一个锐角的补角比它的余角大多少度？
∠1与∠2、∠3都互为 余角
补角 ，∠2和∠3的
大小有什么关系？∠1与∠2互为余角
补角 ，∠3
与∠4互为补角
余角 。若∠1=∠3，则∠2与∠4的
这个角是多少度？
2. 如图，点A、O、E在同一直线上，OB、OC、OD都是射线，
∠1=∠2，∠1与∠4互为余角。
(1)∠2与∠3的大小有何关系？请说明理由。
(2)∠3与∠4的大小有何关系？请说明理由。
(3)说明∠3的补角是∠AOD。
D
C
B
A
2
3
1
O
4
B
选做题
3、把一张长方形纸片按如图所示折叠，若∠AEM1=1200,求∠BCN1 的度数。
(1)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？
(2)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？
C
解：(1)∠ADC=∠BDC,理由如下：
因为点E、D、F在同一条直线上，
A
所以∠EDF=1800。
因为∠CDE=900，
E
B
1
所以∠CDF=∠EDF-∠CDE=1800-900=900。
所以∠2+∠BDC=∠CDF=900。
又因为∠1+∠ADC=∠CDE=900，∠1=∠2，
所以∠ADC
C
C
2
1
(2)∠ADF=∠BDE，理由如下：
因为∠1+∠ADF=1800，
10o
o
30
o
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120
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2、一个角是70039’，求它的余角和补角。
3、同一个锐角的补角比它的余角大多少度？
∠1与∠2、∠3都互为 余角
补角 ，∠2和∠3的
大小有什么关系？∠1与∠2互为余角
补角 ，∠3
与∠4互为补角
余角 。若∠1=∠3，则∠2与∠4的
这个角是多少度？
2. 如图，点A、O、E在同一直线上，OB、OC、OD都是射线，
∠1=∠2，∠1与∠4互为余角。
(1)∠2与∠3的大小有何关系？请说明理由。
(2)∠3与∠4的大小有何关系？请说明理由。
(3)说明∠3的补角是∠AOD。
D
C
B
A
2
3
1
O
4
B
选做题
3、把一张长方形纸片按如图所示折叠，若∠AEM1=1200,求∠BCN1 的度数。
(1)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？
(2)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？
C
解：(1)∠ADC=∠BDC,理由如下：
因为点E、D、F在同一条直线上，
A
所以∠EDF=1800。
因为∠CDE=900，
E
B
1
所以∠CDF=∠EDF-∠CDE=1800-900=900。
所以∠2+∠BDC=∠CDF=900。
又因为∠1+∠ADC=∠CDE=900，∠1=∠2，
所以∠ADC
C
C
2
1
(2)∠ADF=∠BDE，理由如下：
因为∠1+∠ADF=1800，
余角和补角 课件(共16张PPT)
课堂小结
余角和补角的定义 定义：两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余
角，简称互余．如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个 角互为补角，简称互补．
余角和补角都是相互的,不能说哪一个角是余角或补角.
请同学们比较互余与互补的概念，说说它们的区别和共同之处.
区别 互余是两个角的和是90°（直角）， 互补是两个角的和是180°（平角）.
3 1
获取新知
2 1
两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角,简称互余. 如图，∠1+∠2=90°，那么∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角.
4 3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，简称互补. 如图，∠3+∠4=180°，那么∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角.
【分析】因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°， 所以∠3＝∠1＝50°.故选A.
同角的补 角相等.
随堂演练
1. 已知∠A=55°,则它的余角是( B )
A.25°
B.35° C.45°
D.55°
2.如果两个角互补,那么这两个角( D为钝角 D.均为直角,或一个为锐角,另一个为钝角
3.若一个锐角和它的余角相等,则它的补角为( C )
A.75°
B.120°
C.135°
D.150°
4. 如图，在三角形ABC中，∠C=90°，点D,E 分别在边AC、AB上，若∠B=∠ADE，则下列 结论正确的是（ C ） A.∠A和∠B互为补角. B.∠B和∠ADE互为补角. C.∠A和∠ADE互为余角. D.∠AED和∠DEB互为余角.
1
3
2
同角的余角相等.
探究： 已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3， 那么∠2与∠4相等吗？为什么？
余角与补角
探究
同角的补角相等吗？
1
2
3
同角的补角相等
探究
等角的补角相等吗？
4 3
2
1
等角的补角相等
补角性质：
同角（等角） 的补角相等。
因为∠1+∠2=180° ∠1+∠3=180° 所以∠2=∠3
因为∠1+∠2=180° ∠3+∠4=180° 又 ∠1=∠3 所以∠2=∠4
例3
如图，点A,O,B在同一条直线 上,射线OD和射线OE分别平分 ∠AOC和∠BOC
10o
30o
60
o
80o
100o 120o 150o
170o
填一填
∠α
2° 45° 62°23′ x°
∠α的余角
∠α的补角
88° 178° 135° 45° 27°37′ 117°37′ (90 –x) ° (180-x) °
同一锐角的补角一定比这个角的余角大90°。
3 2
1
同角的余角相等
等角的余角相等
练一练
(1)∠1+∠2=90°则∠1是余角.( 错 ) (2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3、 互为余角.( 错 ) (3)钝角没有余角，但一定有补角.( 对
)
(4)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝
角.( 错 ) (5)互补的两个角不可能相等.( 错
)
算一算： 65° 4、∠A=25°,则它的余角为_______,
155° 它的补角为________.
40 ° 5、已知∠A=50°,则∠A的余角是____， 130° 90° 补角是____ ，补角与余角的差是_____.
余角与补角
①在它北偏东40°方向
②同时在它南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上 又分别发现了货轮C和海岛D.请再画出表示货轮C和海岛D 方向的射线.
画法：
北
B
（1）以点O为顶点，表 示正北方向的射线为角的 一边，画40°的角,使它的 另一边OB落在东与北之间， 射线OB的方向就是北偏东 40°，即客轮B所在的方向。
30o
50
o
60o
40
o
80
o
4
3
补角
2）如果两个角的和等于180°（平角），称这两个角互为补角 其中一个角是另一个角的补角. 简称互补.
数量关系为：
∵∠α+ ∠β=180°
∵ ∠α和 ∠β互补 ∴∠α+ ∠β=180°
∴∠α和 ∠β互补
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
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3
4
2
1
余角
1）如果两个角的和等于90°（直角），称这两个角互为余角， 简称互余. 其中一个角是另一个角的余角. 数量关系为： ∵∠1+ ∠2=90° ∵ ∠1和 ∠2互余
∴∠1和 ∠2互余
∴∠1+ ∠2=90°
2
1
2 1
2
1
2 1
2 1
2
1
2 1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
O
40 °
6 0 °
A
北
（2）以点O为顶点，表示正 D 南方向的射线为角的一边，画 10°的角,使它的另一边OC落在 南与西之间，射线OC的方向就是 南偏西10°，即货轮C所在的方 向。 （3）同学们口述小岛D所在的方 向
②同时在它南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上 又分别发现了货轮C和海岛D.请再画出表示货轮C和海岛D 方向的射线.
画法：
北
B
（1）以点O为顶点，表 示正北方向的射线为角的 一边，画40°的角,使它的 另一边OB落在东与北之间， 射线OB的方向就是北偏东 40°，即客轮B所在的方向。
30o
50
o
60o
40
o
80
o
4
3
补角
2）如果两个角的和等于180°（平角），称这两个角互为补角 其中一个角是另一个角的补角. 简称互补.
数量关系为：
∵∠α+ ∠β=180°
∵ ∠α和 ∠β互补 ∴∠α+ ∠β=180°
∴∠α和 ∠β互补
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
2
1
余角
1）如果两个角的和等于90°（直角），称这两个角互为余角， 简称互余. 其中一个角是另一个角的余角. 数量关系为： ∵∠1+ ∠2=90° ∵ ∠1和 ∠2互余
∴∠1和 ∠2互余
∴∠1+ ∠2=90°
2
1
2 1
2
1
2 1
2 1
2
1
2 1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
O
40 °
6 0 °
A
北
（2）以点O为顶点，表示正 D 南方向的射线为角的一边，画 10°的角,使它的另一边OC落在 南与西之间，射线OC的方向就是 南偏西10°，即货轮C所在的方 向。 （3）同学们口述小岛D所在的方 向
余角和补角的概念公式
余角和补角的概念公式
余角概念
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°。
余角的性质：
同角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
补角概念
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A
补角的性质：
同角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
余角补角
因此我们可以通过上述概念及理论中知道：若有一角∠α，使得∠β与∠α有如下关系：
∠β+∠α=90°
且有一∠γ，使得∠β与其有如下关系：
∠β+∠γ=180°
则我们可以说+∠γ是∠α的余角补角。
知识归纳：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角;如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。
余角和补角的定义和性质
余角和补角的定义和性质
什么是余角和补角：
余角和补角是两个平行四边形中两个角间的性质，在一条平行四边形中，所有相邻的两个角相加总和为360°，其中有一个角称为余角，另外一个角称为补角。
余角的性质：
余角是平行四边形中所有相邻的两个角相加，余出的那个角，余角小于180°，在正六边形、正八边形、正十边形等多边形中，所有的角都是余角。
补角的性质：
补角是平行四边形中所有相邻的两个角相加，补到360°的那个角，补角大于180°，在正六边形、正八边形、正十边形等多边形中，所有的角有一个是补角。
余角和补角的关系：
余角与补角是平行四边形中一种互补的关系，它们的总和总是等于360°。
例如，如果一个角为100°，它的余角是100°，它的补角就是260°；如果一个角是240°，它的补角就是240°，它的余角就是120°。
余角和补角是平行四边形中两个相邻角之间的性质，它们的总和等于360°，其中一个角被称为余角，另一个角被称为补角，余角小于180°，而补角大于180°，它们之间有着一种互补的关系。
余角与补角
想一想:1、钝角有余角吗？ 没有
2、直角有余角吗？
没有
3、同一个角的补角比它的余角大多少度？
90°
例1、如图，∠AOC=∠BOD= ∠AOB=90°，
问有哪两个锐角相等？
D
C
B
解：∠AOB=90°-∠COB， ∠DOC=90°-∠COB， ∴∠AOB=∠COD
O
A
1与2互余,1=(6x 8) , 2 (4 x 8) ,
1、90度的角叫余角，180度的角叫补角。 （ 3、如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角。（
）
4、互补的两个角不可能相等。
（
5、钝角没有余角，但一定有补角。（
） ）
6、互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（ ）
7、若∠1+∠2+∠3=90°，那么∠1、∠2、∠3 互为余角. （ ）
补角的概念
如果两个锐角的和是一个平角,就称这两 个角互为补角,简称互补.也可以说其中一个角 是另一个角的补角.
∠A+∠B= 180°
∠B的补角是∠A
∠A与∠B互补
∠A与∠B互补
∠A的补角是∠B
2、补角的性质。 ∠
的补角=180°- ∠
若∠
∠ 的余角=180°- ∠
则180°- ∠ =180°- ∠ 即∠
则1 _____, 2 _____.
解： 1与2互余
(6 x 8) (4 x 8) 90 x9
1=6 9+8=62
2=4 9 8=28
已知：一个角的补角是它的余角的4倍。 求：这个角是多少度。
分析：可设这个角为x°，则它的补角可表示为 180 x ， 它的余角可表示为 90 x ，它们之间有怎么样的等量关系？
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阜阳市第十九中学七年级数学导学案 主备：张春春 审核人：付翔 审批人：姚洪泽 姓名 班级 小组 使用时间 （第 周） 编号
世界上最永恒的幸福就是平凡，人生中最长久的拥有就是珍惜。
2
1
4
3
西北
西南
东南
东北
北
西南
东
O E
D
C
B
A
课题 课题 4.3.3课题：余角和补角
【学习目标】
1.在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角。
2.掌握余角和补角的性质。
3.了解方位角，能确定具体物体的方位。
【重点难点】
正确求出一个角的余角和补角。
掌握余角和补角的性质；方位角的应用。
【学法指导】
1、用10分钟把课本复习一遍。
2、认真独立完成导学案，并把不懂和有疑惑的知识点记录下来准备课上讨论。
【导学过程】
预习案
一、知识链接 思考：
（1） 在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于多少度？ （2） 如图1，已知∠1=61°，∠2=29°，那么∠1+∠2= 。
（3） 如 图 2，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠COD=90°，那么∠1+∠2= 。
1.互为余角的定义：
2.互为补角的定义： 问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？
问题2：若 ∠1+∠2 +∠3 =180° ，那么∠1、∠2、∠3互为补角吗？
探究案
1、如图， ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∠1= ∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
分析：（1）∠1与∠2互补，∠2等于什么？∠2=1800
- ， ∠3与∠4互补，∠4等于什么？∠4=1800
- 。
（2）当∠1= ∠3时，∠2与∠4有什么关系？为什么？
补角的性质：等角的 相等。
2、探究余角的性质：
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
余角性质：等角的 相等 3．方位角：
（1）认识方位：正东、正南、正西、正北、东南、西南、西北、东北。
训练案
1:若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。
2：如图，∠AOC ＝∠COB ＝90°，∠DOE ＝90°，A 、O 、B 三点在一直线上 （1）写出∠COE 的余角，∠AOE 的补角； （2）找出图中一对相等的角，并说明理由；
3、如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,
请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？
【总结反思】：
2 图 1 90° 1 2
图 2 C O
D 1
2 3 4。